Van-e kapcsolat a változók között? (példák: fizetés-távolság; felvételi pontszám - görgetett átlag)

Átírás

1 , rangkorreláció Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép Tel: Fax:

2 Kérdés: Van-e kapcsolat a változók között? (példák: fizetés-távolság; felvételi pontszám - görgetett átlag)

3 Felvételi pontszám-görgetett átlag felvételi pontszám görgetett átlag 3

4 Kérdés: Van-e kapcsolat a változók között? Válasz: korrelációs együttható Megfigyelés sorozat: ( 1,η 1 ), (,η ), ( n,η n ), Átlagok: és η 4

5 : c = ( )( ) i i i η η 5

6 C n = η η i= 1 ( )( ) i i c < 0 i c > 0 i c > 0 c < 0 i i 6

7 A pontok tendenciája n ( i )( i ) C= η η> 0 i= 1 7

8 n ( i )( i ) C= η η< 0 i= 1 A pontok tendenciája 8

9 C 0 9

10 C függ a megfigyelések számától: n 1 n ( i )( η η i ) az változók szórásától: s s η ( )( η η) i i 1 n 1 ρη = n η η (, ) ( )( ) i i ss η tapasztalati korrelációs együttható ss η 10

11 Tapasztalati korrelációs együttható 1 ρη = n η η (, ) ( )( ) i i ss η r (, ) η = ( ( ) ) η ( η) ( ) M M M σσ η 11

12 tulajdonságai szimmetrikus: értéke: (, η) r( η, ) r = (, η) 1 1 r linearitás: (, η) = ± 1 r η = a + b Ha értéke = ±1, akkor a két változó közötti kapcsolat lineáris 1

13 Bizonyítás (azt akarjuk látni, hogy) r, η = ± 1 η = a + b ( ) A korrelációs együttható definíciójából: r ( η, ) ( ( ) ) η ( η) ( ) = M M M σσ η r ( η, ) ( ) M( ) M η η = M σ ση 13

14 Jelöljük: η= * η M( η) σ η és = * M( ) σ Ezzel (a kiinduló feltétel): standardizálás! ( * *) M η = 1 14

15 Belátjuk, hogy M = 0 ( * ) * = M( ) σ M * ( ) M( ) = M σ ( M( ) ) M = = σ 0 15

16 Belátjuk, hogy D = 1 ( * ) D ( ) D M( ) * = σ ( ) D = = 1 σ 16

17 ( ) ( *) * ( ) = = = D 1 M M * = M M = ( * ) ( *) tudjuk: * ( ) M = 0 = M ( * ) Kaptuk, hogy ( * ) M = 1 17

18 Hasonló módon láthatjuk, hogy ( * ) D η = 1 és ( * ) M η = 1 18

19 Eddig kaptuk: Vizsgáljuk meg: ( * ) ( * ) ( * *) M = 1 M η = 1 M η = a feltétel szerint = 1 M ( * * ) η =? = M η +η = ( * * * * ) = M M η + M η = 0 ( * ) ( * *) ( * ) 19

20 ( ) M η = 0 =η * * * * M η M η = σ σ ( ) ( ) σ σ η η η= M + M η σ σ η ( ) η= a+ b 0

21 Eddig azt láttuk, hogy: (, η) = ± 1 r η = a + b Visszafelé is igaz: η = a + b r(, η) = ± 1 1 A bizonyítás sokkal egyszerűbb: Indulás a korrelációs együttható definíciójából:

22 Tudjuk (a definició) A várhatóérték: η = a + b r ( η, ) M( η= ) M( a+ b) = ( ( ) ) η ( η) ( ) = M M M σσ η = am( ) + b A szórás: ( a b) σ = D + = η = aσ

23 Behelyettesítjük a kék összefüggéseket a def.-ba: r η, ( ) ( ( ) ) η ( η) ( ) = M M M σσ η r η, ( ) = ( ( )) M ( ( )) M a + b am( ) + b aσσ 3

24 Kapjuk: r η, ( ) = ( ( ) ) ( ) ( ) am M M aσσ r η, ( ) = M ( M( ) ) = 1 σ 4

25 Eddig azt láttuk, hogy (, η) = ± 1 r η = a + b A korrelációs együttható a lineáris kapcsolat szorosságát méri Ha korrelációs együttható zérus: korrelálatlanok a változók Ha korrelálatlanok és normális eloszlásúak, akkor függetlenek. 5

26 Ellenpélda! Legyen egyenletes (-1,1)-ben η = c j < 0 c j > 0 A kapcsolat determinisztikus, funkcionális, mégis a korrelációs együttható zérus 6-1 1

27 Felvételi pontszám-görgetett átlag felvételi pontszám ρ= görgetett átlag 7

28 Spearman féle rangkorreláció A megfigyelt két változó diszkrét (pl. a sorrend, a rangsorolás szubjektív) Kérdés: van e kapcsolat a két sorrend között (hogyan értékel a zsűri?). Rangszám: sorba rendezzük az adatokat Rangszám = a sorba-rendezett elem sorszáma Spearman féle rangkorreláció = korrelációs együttható a rangszámok között 8

29 Spearman féle rangkorreláció Minta: A B C D 1. rangszám k1 k k3 k4.. rangszám j1 j j3 j4. Rangszámok különbsége: d i = k i -j i 9 Spearman féle rangkorreláció: r 1 6 d = n n 1 i ( )

30 Spearman féle rangkorreláció Tulajdonságai: Ha a két sorrend azonos: r =1 Ha a két sorrend egymás ellentettje: r = -1 Ha nem sok közük van egymáshoz: r = ~0 30

31 Lássunk egy példát (rangkorreláció): Borversenyen vagyunk. Adott 4 féle bor. Jelöljük őket egyszerűen betűkkel. A két zsűritag más-más nedűt talál jobbnak. Hasonlítsuk össze pontjaikat, melyek a képen láthatóak. A rangszámokat vonjuk ki egymásból (d i ). Helyettesítsünk be a Spearman-képletbe. Bagó Ákos Károly 31

32 Lássunk egy példát (rangkorreláció): Behelyettesítés: r 1 6 d = nn 1 i ( ) 61 ( ) r= 1 = ( ) 3

33 Lássunk egy példát (rangkorreláció): A példa eredménye: r = 0-át kaptunk eredményül. Így azt láthatjuk, nincs kapcsolat a két zsűritag véleménye közt. Újra kell kóstolni Vége... 33

34 korreláció Összefoglalás: r (, ) η = ( ( ) ) η ( η) ( ) M M M σσ η A változók közötti lineáris kapcsolat szorosságát méri Legfontosabb tulajdonsága: 34 r(, η) = ± 1 η = a + b

35 Rangkorreláció: Spearman féle rangkorreláció Két sorrend (sorba rendezett minta) összehasonlítására szolgál. Rangszámok különbsége: d i = k i -j i 35 r 1 6 d = nn 1 i ( ) Ha a két sorrend azonos: r =1 Ha a két sorrend egymás ellentettje: r = -1