Diszkrét idejű felújítási paradoxon

Átírás

1 Magda Gábor Szaller Dávid Tóvári Endre

2 X 1, X 2,... független és X-szel azonos eloszlású, pozitív egész értékeket felvevő valószínűségi változó (felújítási idők) P(X M) = 1 valamilyen M N 1 x M-re p x := P(X = x) T 0 = 0, T k = k Xi (felújítási időpontok) Az n időpontban α n a legutóbbi felújítás óta eltelt idő, β n a következő felújítási időpontig hátralévő idő Ha n = T k, akkor α n = 0 és β n = X k+1 γ n = α n + β n annak a felújítási intervallumnak a hossza, amibe n esik

3 Y n = (α n, β n ) Markov-lánc Markov-tulajdonság: P (Y n = (a n, b n) Y n 1 = (a n 1, b n 1 ),..., Y 1 = (a 1, b 1 ) ) = { } δan,0 p = bn ha b n 1 = 1 csak Y δ an,an 1 +1 δ bn,bn 1 1 ha b n 1 > 1 n 1 -től függ = P(Y n = (a n, b n) Y n 1 = (a n 1, b n 1 ) ) teljesül a Markov-tulajdonság

4 A Markov-lánc stacionárius eloszlása Átmenet: (a n, b n) P(α n+1 = x, β n+1 = y) = b n=1 (0, y), ahol y X eloszlású véletlen szám b n 1 (a n + 1, b n 1) M 1 = δ x,0 P(α n = i, β n = 1) p y + (1 δ x,0 ) P(α n = x 1, β n = y + 1) A stacionárius állapotban P(α n+1 = x, β n+1 = y) és P(α n = x, β n = y) helyett π(α = x, β = y)-t írhatunk: π(α = x, β = y) = M 1 = δ x,0 π(α = i, β = 1) p y + (1 δ x,0 ) π(α = x 1, β = y + 1)

5 A Markov-lánc stacionárius eloszlása π(α = x, β = y) = M 1 = δ x,0 π(α = i, β = 1) p y + (1 δ x,0 ) π(α = x 1, β = y + 1) Azaz x 0 esetben π(α = x, β = y) = π(α = x 1, β = y + 1) π(α = x, β = y) = ϱ(x + y) csak az összegtől függ (rekurzívan belátható). Ha x = 0 : M 1 π(α = 0, β = y) = π(α = i, β = 1) p y M 1 ϱ(y) = ϱ(i + 1) p y ϱ(y) = ϱ(j) p y j=1

6 A Markov-lánc stacionárius eloszlása ϱ(y) = ϱ(j) p y (1) j=1 A π(x, y) mátrix elemeinek összege egy teljes eseményrendszer valószínűsége, így 1 kell legyen. π(α = i, β = j) = 1 M 1 M i j=1 (1)-et helyettesítsük be (2)-be. ϱ(i + j) = 1 M 1 M i j=1 i ϱ(i) = 1 (2)

7 A Markov-lánc stacionárius eloszlása Tehát j=1 1 = i ϱ(y) = ϱ(j) p y (1) j=1 ϱ(j)p i = j=1 } {{ } ϱ(i) ip i }{{} ϱ(j) = 1, ezt (1)-be helyettesítve: ϱ(i) = ϱ(j) j=1 pi px+y, így π(α = x, β = y) =

8 γ = α + β x 1 P(γ = x) = P(α + β = x) = π(α = i, β = x i) = x 1 = ϱ(x) = xϱ(x) = xpx Ez a felújítási időkből vett hossz-torzított minta: az intervallumokat a hossz-várhatóértékhez viszonyított relatív hosszukkal súlyozzuk. Egy késői ( ) időpont felújítási intervalluma hosszának (annak az intervallumnak a hossza, amibe a kései időpont beleesik) az eloszlása nem egyezik meg a felújítási intervallumok hosszának eloszlásával: Ez a felújítási paradoxon. P(γ = x) = xpx px = P(X = x)

9 Állítás: E(γ ) > Számítsuk ki X szórásnégyzetét! E(γ ) = = ip i () 2 = i 2 p i ip i D 2 (X) = E ( X 2) () 2 = ha p i > 0 legalább két i-re. ( ) i 2 p i ip i > 0

10 -szel leosztva: ( i 2 p i ipi ) > 0 E(γ ) > 0 E(γ ) > kései időpontok felújítási intervallum-hosszának várható értéke nagyobb a felújítási intervallumok hosszának várható értékénél.

11

12 P(α = y és γ = x) P(α = y γ = x) = = P(γ = x) = π(α = y, β = x y) P(γ = x) = p x xp x = 1 x α eloszlása rögzített γ mellett diszkrét egyenletes. Azaz a véletlenszerűen választott időpont a hozzá tartozó intervallumban egyenletes eloszlású.

13 Becslés 1 << n-re: A nagy számok törvénye alapján n-ig kb. Ennek p x-ed része volt x hosszúságú, azaz n felújítás volt. npx db. Ezek összhossza (mindegyik x hosszúságú) n xpx. Ha egyenletes eloszlással az 1... n időpontok közül választunk, mennyi az esélye, hogy x hosszúságba esik? x hosszúságú intervallumok összhossza n Markov-láncok nélkül is kijön. = xpx = P(γ = x)

14 Köszönöm a figyelmet!

15 Én is!