Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh november MEGOLDÁS

Átírás

1 Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh november MEGOLDÁS 1. Kihasználva a hosszasan elhúzódó jó időt, kirándulást szeretnénk tenni az ország tíz legmagasabb csúcsa közül háromra az elkövetkezendő hétvégén. Ha véletlenszerűen választjuk ki úti céljainkat, akkor mennyi a valószínűsége, hogy: a. Pontosan kétszer leszünk a Bükkben? b. Maximum 1-szer túrázunk a Mátrában? c. Istállós-kőre eljutunk? d. A Galya-tető lesz a legmagasabb a három túra helyszínből? A feladat mögött a Visszatevés nélküli mintavételezés modellje van. Hegycsúcs neve Hegység Magasság 1. Kékes Mátra Pezsgő-kő Mátra Galya-tető Mátra Szilvási-kő Bükk Péter hegyese Mátra Istállós-kő Bükk Tányéros-töbör Bükk Bálvány Bükk Kőrös-bérc Bükk Virágos-Sár-hegy Bükk 955 X = a három túrából a Mátrában tett kirándulások száma (Hipergeometriai valószínűségi változó) Ha pontosan kétszer vagyunk a Bükkben, az annak felel meg, hogy egyszer vagyunk a Mátrában: c, Y = a három túrából az Istállós-kőn tett kirándulások száma (Hipergeometriai valószínűségi változó) d, I. megoldás: Z = a három túrából Gyalya-tető lesz a legmagasabb = Kékesre, illetve Pezsgő-kőre nem jutok el ÉS(!) Gyalya-tetőre igen ÉS(!) még kettőre a maradék hétből. vagy itt (3 pont) d, II. megoldás: Z 1 =három túrából Kékesre, illetve Pezsgő-kőre nem jutok el Z 2 =három túrából Kékesre, Pezsgő-kőre illetve Galya-tetőre nem jutok el Z = a három túrából Gyalya-tető lesz a legmagasabb = Z 1 \ Z 2 vagy itt (3 pont)

2 2. Egy vidéki házi orvos egy nap 8 órát rendel, ez alatt átlagosan 24-en keresik fel. a. Mi a valószínűsége, hogy a következő órában minimum 2 beteg keresi fel? b. Mi a valószínűsége, hogy két beteg érkezése között eltelt idő, legalább 18 perc? X = Egy óra alatt a betegek száma (tekinthető Poisson eloszlású val. változónak) E(X) = = = 3 Y = Két betegek érkezése között eltelt idő percben mérve (tekinthető Exponenciális eloszlású val. változónak)

3 3. Egy étterem három különböző sörfőzdéből szerzi be a sörkészletét. Az I. sörfőzdéből származik a készletének 30%- a II.-ból a 50%- a maradék a III. sörfőzdéből. Az alábbi táblázat tartalmazza a gyártott szűrt illetve szűretlen sör arányát a különböző sörfőzdékben. Az egyik pultos találomra csapra ver egy hordót (szigorúan minőségellenőrzés céljából!). Mi a valószínűsége, hogy a kiválasztott hordó: Szűrt- / Szüretlen sör arány I. Sörfőzde 7:1 II. Sörfőzde 2:1 III. Sörfőzde Nem gyárt szűretlen sört a. Szűrt sört tartalmaz? b. Kóstolás után rájött, hogy szűrt sör. Mi a valószínűsége, hogy az I. sörfőzdéből származik a hordó? A = A kiválasztott hordóban szűrt sör van B 1 = A kiválasztott hordó az I. sörfőzdéből származik => P(B 1 ) = 0,3 B 2 = A kiválasztott hordó a II. sörfőzdéből származik => P(B 2 ) = 0,5 B 3 = A kiválasztott hordó a III. sörfőzdéből származik => P(B 3 ) = 0,2 Teljes valószínűség tétele: Bayes Tétel: (3 pont) +

4 4. Egy ifjú férj azzal lepi meg feleségét első házassági évfordulójuk alkalmával, hogy két héten keresztül mindennap hozz neki egy szál virágot. Feleségének kedvenc virágai a Kál a Tulipán, a Gerbera és a Rózsa. Ha mindennap véletlenszerűen választ virágot, mi a valószínűsége, hogy kedvese mindegyik virágból kap legalább egyszer ez alatt a két hét alatt? A = A feleség minden virágból kap legalább egyszer a két hét alatt => P(A) meghatározása Szita formulával! A 1 = Nem kap Kálát a feleség egyszer sem A 2 = Nem kap Tulipánt a feleség egyszer sem A 3 = Nem kap Gerberát a feleség egyszer sem A 4 = Nem kap Rózsát a feleség egyszer sem

5 5. Jelölje X a Budapest és Siófok közötti vasútvonalon, a felső vezeték meghibásodásának helyét és tegyük fel, hogy X egy egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Budapesttől Velence 40 km-re, Székesfehérvár 60km-re, Siófok pedig 100 km-re található. a. Mi a valószínűsége, hogy a hiba Székesfehérvár előtt van? b. Mi a valószínűsége, hogy a hiba Székesfehérvár és Velence között van? c. Adja meg X várható értékét és szórását! d. Adja meg az 5-6X eloszlás- és sűrűségfüggvényét! X = (0,100)-on értelmezett egyenletes eloszlású valószínűségi változó c, d,

6 6. A valószínűségszámítás gyakorlaton a megengedett hiányzások száma maximum 3. Hosszú évek tapasztalata alapján a következő táblázat tartalmazza az egy évfolyamon, a hallgatónkénti hiányzások eloszlását. Az egyik 24 fős idei csoport hiányzásainak összesítése: Hiányzások száma Hiányzások számának valószínűsége 0 1/6 + 2c 1 1/3 - c 2 2c 3 1/6 + c a. Adjuk meg a hiányzások számának várható értékét és szórását! b. Adjunk torzítatlan becslést a c paraméterre a minta segítségével, i. relatív gyakoriságokkal! ii. minta átlaggal! X = A hallgatónkénti hiányzások száma A relatív gyakoriságok torzítatlan becslései a valószínűségeknek: A mintaátlag torzítatlan becslése a várható értéknek: