Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport

Átírás

1 Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége a B feltétel mellett (azaz ha tudjuk, hogy a B esemény bekövetkezett) P(A B) P(A B) :=, hacsak > 0.. Valószínűségi változó eloszlásfüggvénye. ( pont) Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, ξ : Ω R valószínűségi változó / véletlen mennyiség, akkor az F ξ : R [0, ], F ξ (x) := P{ξ < x} függvényt ξ eloszlásfüggvényének nevezzük.. Abszolút folytonos valószínűségi változó várható értéke. ( pont) Ha ξ : Ω R egy abszolút folytonos valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye f ξ : R [0, ), akkor az E ξ := x f ξ (x) dx mennyiséget a ξ várható értékének nevezzük, amennyiben ez az improprius integrál abszolút konvergens, azaz x f ξ(x) dx <.. (n, p) paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó. ( pont) n független kísérlet, A esemény, p := P(A) valószínűséggel A gyakorisága: ξ := k n (A) diszkrét valószínűségi változó; ξ lehetséges értékeinek halmaza: eloszlása melyet (n, p) X = {0,,,..., n}, ( ) n P{ξ = k} = p k ( p) n k, k paraméterű binomiális eloszlásnak nevezünk. Fogalmazza meg az alábbi tételeket! 5. Láncszabály. ( pont) P(A A A n ) = P(A ) P(A A ) P(A A A ) P(A n A A A n ) hacsak P(A A A n ) > Addíciós képlet. (6 pont) Ha ξ és η valószínűségi változók, akkor var(ξ + η) = var ξ + cov(ξ, η) + var η 7. Diszkrét valószínűségi változó függvényének várható értéke. ( pont)

2 Legyen g : R R. Ha ξ diszkrét valószínűségi változó x, x,... lehetséges értékekkel, akkor E g(ξ) = k g(x k ) P{ξ = x k }, amennyiben ez a sor abszolút konvergens. Feladatok 8. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy írást és fejet is kapunk? (8 pont) P = P(csak fej vagy csak irás) = (P(csak fej) + P(csak irás)) = ( + ) 0 = 0 = 9 = Véletlenszerűen felírunk két, egynél nem nagyobb nem negatív számot. (Tehát a számpár egyenletes eloszlású a [0, ] [0, ] egységnégyzetben.) Mennyi annak a valószínűsége, hogy átlaguk (számtani közepük) nagyobb 0.-nál? x+y > 0, vagy y > 0, 6 x. P = kedvező terület lehetséges terület = 0, 6 / = 0, 8 mivel a lehetséges terület az egységnégyzet területe, ami, a kedvező terület az egységnégyzetből az y = 0, 6 x egyenes feletti területrész, ami -ből levonva az y = 0, 6 x egyenes alatti területet (ami egy derékszögű háromszög, melynek mindkét befogója 0, 6). 0. Egy asztalnál négyen kártyáznak. Az 5 lapos francia kártyát egyenlően szétosztják egymás között, azaz mindenki lapot kap. Ha az egyik kiválasztott játékosnak egy király jutott, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy az utána következőnek nem jutott király? Legyen B az az esemény, hogy a kiválasztott játékosnak egy király jutott, A pedig az az esemény, hogy a következő játékosnak nem jutott király, és kezdjük az osztást az első játékossal. A P(A B) = P(A B) valószínűséget kell kiszámolni. Az összes lehetséges leosztások száma ( )( )( )( ) ( ) !, vagy (!) azon a leosztások száma, amikor az első játékosnak egy király jut ( )( )( )( )( ) 8 9 6, azon a leosztások száma, amikor az első játékosnak egy király jut és a következőnek nem jut király ( )( )( )( )( ) 8 6 6, így P(A B) = P(A B) = ( )( 8 )( 6 )( 6 )( ( 5 )( 9 )( 6 )( ) ( )( 8 )( 9 )( 6 )( ( 5 )( 9 )( 6 )( ) ) ) = ( 6 ( 9 ) ) 0, 8.. Legyenek a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei:,, és a megfelelő valószínűségek P(ξ = ) = /, P(ξ = ) = /6, P(ξ = ) = /. Számítsuk ki ξ várható értékét és varianciáját! (0 pont)

3 E ξ = = 6 E(ξ ) = = 6 =, var ξ = E(ξ ) (E ξ) = ( ) 6 = Legyen a ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f ξ (x) = x ha x >, 0 egyébként. Határozzuk meg ξ eloszlásfüggvényét, várható értékét és varianciáját. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ξ-nek az -től való eltérése kisebb mint 0.? f ξ (t)dt = 0 ha x t dt = [ t ] x = x ha x > E ξ = xf ξ (x)dx = [ ] dx = x x = E(ξ ) = x dx = [ x] = var ξ = E(ξ ) (E ξ) = ( ) = P( ξ < 0, ) = P(0, 9 < ξ <, ) = F ξ (, ) F ξ (0, 9 + 0) = F ξ (, ) =,. a(x ) ha < x <,. Legyen a ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f ξ (x) = 0 egyébként. Határozza meg az a együttható értékét! Adja meg ξ és ξ eloszlásfüggvényét, és számolja ki ξ várható értékét! innen a =. = f ξ (t)dt = f ξ (x)dx = [ a(x ) a(x )dx = ] = a 0 ha x (t )dt = [ (t ) ] x = (x ) ha < x < ha x. P(ξ < x) = P(ξ < x) = F ξ ( x) = 0 ha x vagy, ha x ( x ) ha < x < vagy, ha < x < 8 ha x vagy, ha x 8. E(ξ) = x (x )dx = [ ] x 5 5 x = 9 0.

4 . A (ξ, η) valószínűségi változó lehetséges értékeit és a megfelelő valószínűségeket az alábbi táblázatban adjuk meg: η 0 ξ - p p 0 p p p p p =. Független-e ξ és η? Számítsuk ki a ξ, illetve η eloszlását, várható értéküket és varianciájukat, továbbá a cov(ξ, η), corr(ξ, η) értékeket. A peremeloszlásokat az alábbi táblázat adja (az utolsó sor és oszlop): η 0 ξ ξ - p p p = 0 p p p = p p 6p = 6 η 6p = 6 6p = 6 E ξ = = = 6 E(ξ ) = ( ) = 0 = 5 6 var ξ = E(ξ ) (E ξ) = 0 ( ) 6 = 9 6 ( pont) E η = = 6 = E(η ) = = 6 = var η = E(η ) (E η) = ( ) =. Ha ζ = ξ η akkor ζ értékei: 0,,, a megfelelő valószínűségek: Innen P(ζ = 0) = = 7, P(ζ = ) =, P(ζ = ) =. E ζ = ( ) = = cov(ξ, η) = E(ξ η) = E ξ E η = 6 = 6 corr(ξ, η) = 6 q 9 6 Mivel cov(ξ, η) 0 a ξ és η nem függetlenek. = 9 0, 7.

5 B csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Teljes eseményrendszer. ( pont) Teljes eseményrendszer események olyan A, A,... véges vagy végtelen sorozata, melyek egymást páronként kizárják, és uniójuk az egész eseménytér, vagyis A i A j = ha i j, és A i = Ω. i. λ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó. ( pont) Ha egy ξ valószínűségi változó lehetséges értékei a nemnegatív egész számok és k = 0,,... esetén P(ξ = k) = λk k! e λ, ahol λ > 0, akkor azt mondjuk, hogy ξ eloszlása λ paraméterű Poisson eloszlás.. Valószínűségi változó sűrűségfüggvénye. ( pont) Ha (Ω, A, P) valószínűségi mező, ξ : Ω R valószínűségi változó és létezik olyan f ξ : R [0, ) függvény, melyre akkor az f ξ x f ξ (t) dt, x R, függvényt a ξ sűrűségfüggvényének nevezzük.. Valószínűségi változó varianciája (szórásnégyzete). ( pont) Valószínűségi változó varianciája / szórásnégyzete var ξ := D ξ := E [ (ξ E ξ) ]. Fogalmazza meg az alábbi tételeket! 5. Bayes-formula. ( pont) Ha A és B pozitív valószínűségű események, akkor P(A B) = P(A) P(B A). 6. Eloszlásfüggvény jellemzése. (6 pont) Egy F : R [0, ] függvény akkor és csak akkor lehet eloszlásfüggvénye valamely ξ : Ω R valószínűségi változónak, ha lim () F monoton növekvő, () F balról folytonos, () lim F (x) = 0, x x + F (x) =. 7. Abszolút folytonos valószínűségi változó függvényének várható értéke. ( pont)

6 Legyen g : R R. Ha ξ abszolút folytonos valószínűségi változó f ξ E g(ξ) = amennyiben ez az improprius integrál abszolút konvergens. g(x) f ξ (x) dx, sűrűségfüggvénnyel, akkor Feladatok 8. Egy dobozban 0 piros golyó van. Legalább hány fehér golyót kell hozzátenni ahhoz, hogy piros golyó húzásának valószínűsége kisebb legyen 0.-nál? (8 pont) Ha f a fehér golyók száma, akkor f ezért legalább fehér golyóra van szükség. < 0, amiből 0 < + 0, f vagy f > 7 0,, 9. Véletlenszerűen felírunk két, egynél nem nagyobb nem negatív számot. (Tehát a számpár egyenletes eloszlású a [0, ] [0, ] egységnégyzetben.) Mennyi annak a valószínűsége, hogy átlaguk (számtani közepük) nagyobb 0.6-nál? x+y > 0, 6 vagy y >, x. P = kedvező terület lehetséges terület = 0, 8 / = 0, mivel a lehetséges terület az egységnégyzet területe, ami, a kedvező terület az egységnégyzetből az y =, x egyenes feletti derékszögű háromszög (melynek mindkét befogója 0, 8). 0. Egy asztalnál négyen kártyáznak. Az 5 lapos francia kártyát egyenlően szétosztják egymás között, azaz mindenki lapot kap. Ha az egyik kiválasztott játékosnak nem jutott király, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy az utána következőnek egy király jutott? Legyen B az az esemény, hogy a kiválasztott játékosnak nem jutott király, A pedig az az esemény, hogy a következő játékosnak egy király jutott, és kezdjük az osztást az első játékossal. A P(A B) = P(A B) valószínűséget kell kiszámolni. Az összes lehetséges leosztások száma ( )( )( )( ) ( ) !, vagy (!) azon a leosztások száma, amikor az első játékosnak nem mjut király ( )( )( )( ) 8 9 6, azon a leosztások száma, amikor az első játékosnak nem jut király jut és a következőnek egy király jut ( )( )( )( )( ) 8 5 6, így P(A B) = P(A B) = ( 8 ( 8 )( )( 5 )( 6 )( )( 9 )( 6 )( ) ( )( 5 ) ( 9 ) ) 0, 08.. Legyenek a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei:,, és a megfelelő valószínűségek P(ξ = ) = /, P(ξ = ) = /, P(ξ = ) = /6. Számítsuk ki ξ várható értékét és varianciáját!

7 E ξ = = 6 = E(ξ ) = ( ) = 0 6 = 0, var ξ = E(ξ ) (E ξ) = 0 ( ) = Legyen a ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f ξ (x) = x 5 ha x >, 0 egyébként. Határozzuk meg ξ eloszlásfüggvényét, várható értékét és varianciáját. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ξ-nek az -től való eltérése kisebb mint 0.? f ξ (t)dt = 0 ha x t 5 dt = [ t ] x = x ha x > E ξ = xf ξ (x)dx = [ ] dx = x x = E(ξ ) = x dx = [ x ] = var ξ = E(ξ ) (E ξ) = ( ) = 9 P( ξ < 0, ) = P(0, 9 < ξ <, ) = F ξ (, ) F ξ (0, 9 + 0) = F ξ (, ) =,. a(x ) ha < x <,. Legyen a ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f ξ (x) = 0 egyébként. Határozza meg az a együttható értékét! Adja meg ξ és ξ eloszlásfüggvényét, és számolja ki ξ várható értékét! innen a =. = f ξ (t)dt = f ξ (x)dx = [ a(x ) a(x ) dx = ] = a 0 ha x (t ) dt = [ (t ) ] x = (x ) ha < x < ha x. P(ξ < x) = P(ξ < x) = F ξ ( x) = 0 ha x vagy, ha x 8 ( x ) ha < x < vagy, ha 8 < x < 7 ha x vagy, ha x 7. E(ξ) = [ ] x (x ) dx = x 6 6 x5 5 + x = 0.

8 . A (ξ, η) valószínűségi változó lehetséges értékeit és a megfelelő valószínűségeket az alábbi táblázatban adjuk meg: η - 0 ξ 0 p p p p p p p =. Független-e ξ és η? Számítsuk ki a ξ és η eloszlását, várható értéküket és varianciájukat, továbbá a cov(ξ, η), corr(ξ, η) értékeket. ( pont) A peremeloszlásokat az alábbi táblázat adja (az utolsó sor és oszlop): η - 0 ξ ξ 0 p p 5p = 5 p p p = p p p = η p = 8p = 8 E ξ = = 0 = 5 6 E(ξ ) = = 6 = var ξ = E(ξ ) (E ξ) = ( ) 5 6 = 6 E η = ( ) = = E(η ) = ( ) = = var η = E(η ) (E η) = ( ) = 9. Ha ζ = ξ η akkor ζ értékei:,, 0 a megfelelő valószínűségek: Innen P(ζ = ) =, P(ζ = ) =, P(ζ = 0) = = 9. E ζ = ( ) + ( ) = 5 cov(ξ, η) = E(ξ η) = E ξ E η = ( ) = 5 6 = corr(ξ, η) = q 6 9 Mivel cov(ξ, η) 0 a ξ és η nem függetlenek. = 7, 99. 6