Biometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem

Átírás

1 Biometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem Előadások-gyakorlatok 2018-ban (13 alkalom) IX.12, 19, 26, X. 3, 10, 17, 24, XI. 7, 14, 21, 28, XI. 5, 12. Előadók: Podani János Pásztor Erzsébet Kun Ádám NRÖEB Tsz Genetika Tsz NRÖEB Tsz

2 Tematika Az alapok összefoglalása (eloszlások, a hipotézis vizsgálatok alapelve, paraméteres módszerek) Nemparaméteres próbák - megfigyelt változók elemzése és rangpróbák Általános lineáris modellek: regresszió, variancia-analízis, többváltozós esetek Adatok ábrázolása Randomizációs módszerek, tesztek Mintavételezés Bevezetés a többváltozós módszerekbe Maximum likelihood becslés, logit regressziós modellek

3 Ajánlott irodalom: Internet: egyéni tanuláshoz ELTE statisztika 1 és 2 Biometria előadás anyaga Többváltozós módszerek: SYN-TAX 2000 for WINDOWS ramet.elte.hu/~podani/syn2000.html - laptop?? -kalkulátor, mobiltelefon - órai feladatlap, utolsó órai zh.

4 Fontos definíciók: Változó: Eseménytér elemeihez rendelt érték x : H Diszkrét vagy folytonos Paraméter: Elméleti érték, pl. testmagasság átlaga. Csak teljes enumerációval kapható meg. Ez ritkán lehetséges. > mintavétel Minta: A lehetséges adatok részhalmaza vö. populáció (univerzumhalmaz) Becslőfüggvény: Olyan formula, ami a mintából becsli a paramétert. Statisztika. x i /n Becslés: A paraméter becsült értéke. x

5 Diszkrét eloszlású v. v. Eloszlások értékkészlete megszámlálható halmaz. Legyen p k az a valószínűség, hogy éppen az x k értéket veszi fel. Ekkor az eloszlás a { p k, x k } számpárok halmaza. Pl. kockadobásnál: { 1/6, x k } Grafikon: Az oszlopok magasságainak összege 1.0 I. Egyenletes eloszlás p 1/ k

6 A v.v. eloszlásfüggvénye Megadja, hogy egy v.v. milyen valószínűséggel vesz fel egy adott x-nél kisebb értéket: F(x) = p ( < x) Diszkrét v.v. ("lépcsős fv.") a kockadobás (egyenletes eloszlás) példájára: p

7 II. Binomiális eloszlás - urnamodell, visszatevéssel. Általában: n esetből k darab "kedvező" esemény bekövetkezésének (x=k) a valószínűsége, ha p az esemény egyedi valószínűsége (q = 1 p). P(x=k) = n k p k q n-k, k = 1,2,,n Példa: n=3, k=1, p=0.33. v. v. P P(X=1) = 3 * 0.33 * 0.66 * 0.66 = 0.44 k

8 Biológiai példák: mintavétel igen (~végtelen) nagy populációból - nemek - magvak csírázása III. Hipergeometrikus eloszlás - urnamodell, visszatevés nélkül. Általában: n esetből k darab "kedvező" esemény bekövetkezésének (x=k) a valószínűsége, ha a kedvező esetet N egyedből m képviseli a populációban Biológiai példák: mintavétel kis populációból

9 Poisson eloszlás adódik, ha ritka események a tér- vagy időbeli folytonosságban egymástól függetlenül, véletlenszerűen következnek be. 1 km

10 IV. Poisson eloszlás k darab tér-, időegységre eső bekövetkezés valószínűsége, az átlag azaz a várható érték p k p( k) e k k!

11 Egy nevezetes példa (Ladislaus Bortkiewicz 1898) Porosz hadsereg, n = 200 (húsz hadtest, tíz éven át) Halálesetek száma/év/hadtest Megf. Poisson ,67 (+) ,29 (-) ,22 (+) 3 3 4,11 (-) 4 1 0,63 (+) >4 0 0,1 (-) k ahol a várható értéket, -t, a mintából becsültük: halálesetek átlagos száma/év/hadtest = = Össz. haláleset/össz 1 évig megfigyelt hadtest = = (109*0+65*1+22*2+3*3+1*4) / ( ) = 122/200 = 0,61

12 Folytonos eloszlású v. v. Értékkészlete nem megszámlálható halmaz. Az eloszlás ábrázolása a sűrűségfüggvénnyel történik. I. Egyenletes eloszlás pl. a telefonhívástól a kapcsolásig eltelt idő (mp) a központban. Ez 1. és 41. mp között biztosan, bármelyik időpillanatban azonos valószínűséggel bekövetkezik. Ekkor egy egyenletes eloszlású, folytonos v. v. az alábbi sűrűségfüggvénnyel ábrázolható: p 1/ A görbe alatti terület : 1.0. Mi a valószínűsége annak, hogy a kapcsolás a mp között történik meg?

13 Folytonos v.v. eloszlásfüggvénye a telefonhívás példájára: F(b) F(a) p a b Az eloszlásfüggvény alapján megtudhatjuk, hogy milyen valószínűséggel vesz fel egy [a,b] intervallumba tartozó értéket: p ( a b) = F(b) - F(a)

14 A sűrűségfv. közelítése: a) az értékkészlet egységnyi intervallumokra osztása b) sok megfigyelés (n) pˆ 1/40 p ˆ k fk n (sűrűséghisztogram). A téglalapok magasságainak összege 1.

15 II. Normális eloszlás Két paraméter: várható érték, 2 variancia (négyzetgyöke a szórás) Sűrűségfüggvény:

16 Sűrűség-hisztogram Sűrűségfüggvény standard alak:

17 Példa: férfiak testmagassága az USA-ban, átlag: 177 cm, szórás 7,4 cm. Pl. mi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott férfi magasabb cm-nél?? cm-nél - max. egy szórásra az átlagtól??

18 Bevezetés a hipotézisvizsgálatba Nemcsak a mért, megfigyelt, vizsgált valószínűségi változóknak van eloszlása!!

19 A mintavételi univerzumból (populációból) sokszor vehetünk mintát Mindegyikre kapunk adott paraméterre egy becslést A becsült értékek eloszlása nézzük az átlagot, nagyon sokszor feldobva n kockát 1/6 f(x) n = 3 f(x) n = x x átlag eloszlása - sampling distribution

20 Tegyük fel, hogy csak egy mintát vehetünk, amit most úgy imitálunk, hogy egy kockát hatszor feldobunk Nullhipotézis: a kocka szabályos f(x) n = x elfogadási régió

21 Alternatív hipotézis: nem szabályos f(x) n = x elutasítási régió elutasítási régió

22 Vagyis: ha a statisztika olyan eredményt ad, ami valószínű, akkor elfogadjuk, hogy a statisztika az adott eloszlásból származik. Ha a statisztika olyan eredményt ad, ami nagyon valószínűtlen, akkor azt mondjuk, hogy NEM, a statisztika mégse ebből az eloszlásból származik!! Bartlett-paradoxon! Tévedés lehetősége: mégis abból származik, ez rendszerint 0.05% (szignifkancia-szint, jele ) Általános munkamenet: a. A minta alapján kiszámítunk egy statisztikát, megválasztjuk az -t b. Megnézzük egy táblázatban, vagy kiszámítjuk, hogy a statisztika adott értéke mennyire valószínű a. Eldöntjük, hogy az eredmény szignifikáns-e avagy sem.

23 Hibalehetőségek: 1) "Elsőfajú" hiba (Type I error): H o -t elvetjük, holott igaz. Mértéke (hiszen éppen H o igaz volta esetén ilyen a statisztika eloszlása: csak valószínűséggel esik a kritikus tartományba). /2 /2

24 2) "Másodfajú" hiba (Type II error): Elfogadjuk H o -t, holott nem igaz! Ennek meghatározása csak az alternatív eloszlás ismeretében lehetséges. Valószínűségét jelöljük -val. Stat. eloszlása Alternatív eloszlás /2 /2 Ha az alternatív hipotézisben megjelölt várható érték közel van a H o -ban megjelölt várható értékhez, akkor nagy az átfedés, nagy a. Ha az alternatív hipotézisben megjelölt várható érték távolabb esik a H o -ban megjelölt várható értéktől, akkor kicsi az átfedés, kicsi a. A mintaelemszám növelése csökkenti a -t

25 Összesítve: elfogadjuk H o -t elvetjük igaz helyes I. hiba H o hamis II. hiba helyes és összefüggése: minél kisebb, annál nagyobb.

26 0. Szabályos-e a pénzérme??? Nullhipotézis: szabályos, az írás és a fej egyformán valószínű H o : p = q Alternatív hipotézis: nem szabályos, nem egyforma a két valószínűség H 1 : p q - Vizsgálat: 20 dobás. - Készítünk egy statisztikát, ami most: az írás becsült valószínűsége, p^ - Ennek megvizsgálása egy referencia-eloszlásban, amely arra az esetre szól, ha H o IGAZ!!!

27 Pénzfeldobásos kísérlet... összesített eredmény: fejek száma 20-ból Adatsor

28 p=q, n=20 k p(x=k) p(x=k) = n k p k q n-k Szélsőséges A statisztika innen származik! Szélsőséges

29 ennek becslése 2) Variancia, 2 (szórás ) Statisztikák 1) Várható érték, µ x 1 1 ) ( n n x x n x x s n i i n i i n i i Megj.: Teljes enumerációnál (ha az alapsokaság minden elemét ismerjük nem csupán egy kisebb mintát) nem becslünk, tehát n az osztó. ennek becslése 3) Variációs koefficiens becslése CV = s / * 100 % 4) Variancia-hányados, korreláció, regressziós koefficiensek, stb. x

30 Kapcsolat a v.v. átlaga és az átlagok átlaga között Az átlagok átlaga a v.v. várható értékét becsli, ugyanúgy, mint maga az átlag - de hogyan? Kapcsolat a v.v. varianciája (szórása) és az átlag varianciája (szórása) között x

31 5. Az átlag szórása (varianciája) Példa: N=5, k=2, := { 6, 8, 10, 12, 14 }, egyenletes e.o., µ=10, V()=8. Viszatevéses mintavétellel a lehetséges kételemű minták száma N k = 5 2. Az átlag eloszlása x f ( x) p( x) 6 1 1/ / / / / / / / / M( x i ) Az átlag varianciája (szórás négyzete) 2 x i (x i N k x ) 2 = 100/25 = 4 vagyis 8/2 = eredeti var./mintanagyság.