GVMST22GNC Statisztika II.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "GVMST22GNC Statisztika II."

Átírás

1

2 GVMST22GNC Statisztika II. 4. előadás: 9. Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

3 Korrelációszámítás Mennyiségi ismérvek közötti összefüggés vizsgálata. Korrelációszámítás Fennáll-e kapcsolat az ismérvek között, milyen erősségű. Regressziószámítás Összefüggésekben rejlő tendenciák matematikai függvényekkel való leírása.

4 Kétváltozós korrelációszámítás Korrelációszámítás Kapcsolat intenzitásának és irányának mérése. A kapcsolat mérőszámainál elvárt tulajdonságok: Ha nincs összefüggés: az érték 0. Ha (lineáris) függvényszerű kapcsolat: az érték 1, vagy -1. A kapcsolat szorosságának mérőszámai: 1 Kovariancia 2 Lineáris korrelációs együttható 3 Rangkorrelációs együttható

5 Kovariancia Kovariancia Két valószínűségi változó, ξ és η kovarianciája cov(ξ, η) = M([ξ M(ξ)] [η M(η)]) Az átlagtól való eltérések szorzatának átlaga. Tulajdonságok 1 cov(ξ, η) = M(ξη) M(ξ)M(η). 2 Ha ξ, η függetlenek cov(ξ, η) = 0. Fordítva NEM igaz! 3 HA ξ, η eloszlása kétváltozós normális, akkor cov(ξ, η) = 0 függetlenek.

6 Kovariancia számítás Adott sokaság, 2 ismérv, lehetséges értékei X 1,..., X s ; Y 1,..., Y t. Az együttes valószínűség p ij = P(X = X i, Y = Y j ); a peremvalószínűségek p i = P(X = X i ), p j = P(Y = Y j ). Ekkor cov(x, Y ) = t j=1 i=1 s p ij X i X j M(X ) M(Y ) ahol M(X ) = s i=1 p i X i, M(Y ) = t j=1 p jy j

7 Kovariancia véges sokaság Adott sokaság, 2 ismérv, lehetséges értékei X 1,..., X s ; Y 1,..., Y t. Az együttes gyakoriság a peremgyakoriságok p ij = f ij N = g ij; p i = f i N = g i, p j = f j N = g j. C XY = 1 N = = t t s j=1 i=1 j=1 i=1 t j=1 i=1 ( s f ij X i X j 1 N 2 i=1 ( s s g ij X i X j i=1 s g ij X i X j X Ȳ g i X i ) f i X i ) t j=1 t j=1 g j Y j f j Y j =

8 Egyedi adatok Ha minden értékpár csak egyszer fordul elő Ekkor C XY = 1 N N i=1 (X i X )(Y i Ȳ ) = N i=1 d X i d Yi N

9 Tulajdonságok 1 Előjelét a d Xi d Yi szorzatösszeg előjele adja meg 2 Elemszámtól független 3 Szorosabb korreláció nagyobb érték 4 Korrelátlanság esetén C XY = 0 5 Ismérvek függetlensége esetén C XY = 0. 6 Ha C XY 0 értéke függ a mértékegységtől normált (0 és 1 közötti) mérőszámot keresünk. 7 Mennyi a maximális érték??

10 Lineáris kapcsolat Tegyük fel, hogy lineáris a kapcsolat X és Y között: Y i = a + b X i d Yi = Y i Ȳ = (a + b X i ) (a + b X i ) = b d Xi Ebből: C XY = 1 N N i=1 d X i d Yi = σx σ Y. Fordítva is igaz! Ha C XY = σ X σ Y, a kapcsolat lineáris.

11 Lineáris korrelációs együttható Korrelációs együttható Sztochasztikus kapcsolatok szorosságát mérő dimenzió nélküli mérőszám. Lineáris (Pearson-féle) korrelációs együttható R(ξ, η) = cov(ξ, η) D(ξ)D(η) 0 R(ξ, η) 1 Szoros kapcsolat esetén R(ξ, η) közel az 1-hez. Ha R(ξ, η) = 0 akkor függetlenek. Véges sokaság esetén R XY = C XY σ X σ Y

12 Lineáris korreláció becslése ahol ˆR XY = 1 n n i=1 ξ iη i ˆµ X ˆµ Y ˆσ X ˆσ Y ˆµ X, ˆµ Y lehetséges mintaátlagok ˆσ X, ˆσ Y szórásbecslések n a minta elemszáma x, ȳ a mintaátlagok s x, s y tapasztalati szórások Konkrét minta esetén: 1 n xi y i xȳ dxi d yi r xy = = s x s y d 2 xi = d 2 yi xi y i n xȳ x 2 i n x 2 y 2 i nȳ 2

13 Rangkorrelációs együttható lineáris korreláció arányskálán mérhető ismérvek esetén rangkorreláció sorrendi (ordinális) skálán mérhető ismérvek esetén ρ = 1 6 N i=1 (X i Y i ) 2 N(N 2 1) becslőfüggvénye: ˆρ = 1 6 N i=1 (ξ i η i ) 2 n(n 2 1)

14 Az elméleti regresszió az egyik ismérv (változó) hogyan hat a másikra Feltételes várható érték Ha ξ {x 1,..., x s }, η {y 1,..., y t } diszkrét valósz.-i változók, h η (x i ) = M (η ξ = x 1 ) = M (η x 1 ) = t y j P(η = y j ξ = x i ) = j=1 az η várható értéke a ξ = x i feltétel esetén. A h η az η valószínűségi változó ξ-re vonatkozó regressziós függvénye. Grafikonja diszkrét pontokból áll. Ha ξ, η folytonos valószínűségi változók, h η = M(η ξ = x) = yf (y x)dy t j=1 p ij p i

15 Az elméleti regresszió tulajdonságok Ha ξ és η függetlenek, akkor h η (x) = M(η ξ = x) = M(η) független x-től. Az együttes eloszlás ismeretében a regressziófüggvény egyértelműen megadható Ha ξ, η együttes eloszlása normális, egymásra vonatkozó regressziófüggvényeik lineárisak: h η (x) = β 0 + β 1 x, ahol cov(ξ, η) β 0 = M(η) D 2 (ξ) M(ξ) β 1 = M(ξη) M(ξ)M(η) M(ξ 2 ) M 2 (ξ) = cov(ξ, η) D 2 (ξ).

16 A tapasztalati regresszió Diszkrét értékek esetén p ij = P(X = X i Y = Y j ) = f ij N így h Y (X i ) = t j=1 ahol Y i, X j részátlagok. p i = P(X = X i ) = f i N s Y j f ij f i = Y i h X (Y i ) = i=1 X i f ij f j = X j

17 Tapasztalati regresszió Grafikus ábrázolás Bruttó átlagkereset (e Ft) Bruttó átlagkereset (e Ft) Szolgálati idő Szolgálati idő Tapasztalati regressziófüggvény. A különböző ismérvértékekre (v. osztályközökre) számolt részátlagok (h X (Y i )) alkotta függvény.

18 A tapasztalati regressziófüggvény tulajdonságai Bruttó átlagkereset (e Ft) Szolgálati idő Korrelációs kapcsolat esetén a pontok a regressziófüggvény körül szóródnak. Kisebb szóródás szorosabb kapcsolat. Függvényszerű kapcsolat esetén a pontok a függvényre esnek Függetlenség esetén a függvény konstans.

19 A regressziófüggvény paramétereinek meghatározása A függvénykapcsolatot v. közeĺıtését nem mindig egy egyenes írja le a legjobban. 1 A regressziófüggvény szabálytalan 2 A regressziófüggvény ismeretlen. Analitikus függvényt választunk melyre M ( [ξ h ξ (η)] 2) és M ( [η h η (ξ)] 2) minimális. Ez az analitikus regressziófüggvény. lineáris regresszió hatványkitevős (v. multiplikatív) regresszió exponenciális regresszió parabolikus regresszió hiperbolikus regresszió

20 A legkisebb négyzetek módszere A függvénytípus után meg kell határozni paramétereit is. A legkisebb négyzetek módszere Lineáris regresszió; a függvény h Y (x) = y = β 0 + β 1 x ahol β 0, β 1 minimalizálja E(β 0, β 1 )-t. E(β 0, β 1 ) = N i=1 E 2 i = N (Y i β 0 β 1 X i ) 2 i=1 Bruttó átlagkereset (e Ft) Szolgálati idő β 0 = ( Y i ) ( Xi 2 ) ( Xi ) ( ) X i Y i N Xi 2 ( X i ) 2 = Ȳ X C XY σx 2 β 1 = N X i Y i ( X i ) ( Y i ) N Xi 2 ( X i ) 2 = C XY σx 2

21 A regressziófüggvény értelmezése A regressziós egyenes egyenlete y Ȳ = C XY σx 2 lényegében y = C XY x (x X ), X a független-, v. magyarázóváltozó, Y a függő- v. eredményváltozó β 1 az egyenes meredeksége; X egységnyi változása mekkora változást okoz Y -ban β 0 a függvény értéke az X = 0 helyen (pl pályakezdők fizetése).

22 A lineáris regresszió együtthatóinak becslése A (torzítatlan!) becslőfüggvények ˆβ 0 = ( η i ) ( ξi 2 ) ( ξi ) ( ξ i η i ) n ξi 2 ( ξ i ) 2 ˆβ 1 = n ξ i η i ( ξ i ) ( η i ) n ξ 2 i ( ξ i ) 2 Konkrét mintában b 0 = ( y i ) ( xi 2 ) ( xi ) ( ) x i y i n xi 2 ( x i ) 2 b 1 = n x i y i ( x i ) ( y i ) n x 2 i ( x i ) 2

23 A normálegyenletek megoldása Explicit képlettel (ld. fent) Transzformált normálegyenletekkel Mátrixalgebrai műveletekkel (ez főleg később lesz segítség).

24 A változók felcserélhetősége Kölcsönhatás esetén tetszőleges a változók szerepe. ŷ = b 0 (y x) + b 1 (y x)x b 1 (y x) = dx d y d 2 x ˆx = b 0 (x y) + b 1 (x y)y b 1 (x y) = dx d y d 2 y A két egyenes nem esik egybe. Legyen r 2 xy = b 1 (x y)b 1 (y x) Ha nincs korreláció: r xy = b 1 = 0, az egyenesek a tengellyel párhuzamosak, egymásra merőlegesek. Lineáris kapcsolat esetén r xy = 1, így b 1 (x y) = 1 b 1 (y x), a két egyenes egybeesik. Sztochasztikus kapcsolat esetén a közelség a kapcsolat szorosságától függ.

25 A rugalmassági együttható (elaszticitás) Elaszticitás Az egyik változó relatív változása a másik változó milyen mértékű relatív változását eredményezi. Mérésére a rugalmassági (elaszticitási) együttható (E) szolgál. E (y x) = dy dx x y. y-t becsüljük, így esetünkben Ê (y x) = dŷ dx x ŷ. E < 1 Y rugalmatlan X változásaival szemben E = 1 Y arányosan változik X változásaival szemben Itt E > 1 Y rugalmas X változásaival szemben Ê (y x) = b 1 x b 0 +b 1 x Szokásosan átlagpontban vizsgálva: Ê (y x= x) = b 1 x b 0 +b 1 x = b 1 x ȳ

26 A standard lineáris modell A lineáris sztochasztikus kapcsolat: M(Y X = X i ) = β 0 + β 1 X i. Ȳ i = β 0 + β 1 X i, azaz ha Y i = β 0 + β 1 X i + E i, akkor M(E) = 0. minta alapján η i = β 0 + β 1 X i + ε i, ε i valószínűségi változó. Bármi lehet! Standard lineáris modell 1 ε i (illetve η i ) normális eloszlásúak 2 cov(ε i, ε j ) = 0 ha i j 3 M(ε i ) = 0 4 D(ε i ) = σ (független X i -től)

27 Becslés során elkövetett hibák Kétféle hiba: 1 Mintából becsült paraméterek; becslés tehát nem pontos. 2 Az ismérvek között csak sztochasztikus kapcsolat van, nem függvényszerű, csak azt a részt kapjuk meg Y -ból, ami X -ből következik. Ha X i rögzített, a becslőfüggvények ˆβ 0 = ( η i ) ( Xi 2 ) ( Xi ) ( X i η i ) n Xi 2 ( X i ) 2 ˆβ 1 = n X i η i ( X i ) ( η i ) n Xi 2 ( X i ) 2 = ( (Xi X ) 2 η i ) (Xi X ) 2 Mindkettő az η i valószínűségi változók lineáris kombinációja.

28 A becslőfüggvények tulajdonságai 1 M( ˆβ 0 ) = β 0, M( ˆβ 1 ) = β 1 torzítatlanok 2 Szórásuk, azaz a becslés standard hibája megadható: D( ˆβ 0 ) = σ ˆβ0 = σ D( ˆβ 1 ) = σ ˆβ1 = σ 3 A becslés konzisztens. X 2 i n d 2 X 1 n d 2 X Itt σ az ε (nem ismert) szórása külön becsülni kell a mintából.

29 Minta szórásának becslése Az elméleti szórás: D(ε) = σ ε A mintából becsült szórás: ˆσ ε = 1 n (ηi ŷ i ) 2 Konkrét mintából becsült szórás: s e = e 2 i n 2 Itt ei 2 a minimalizálni kívánt négyzetösszeg, n 2 pedig a szabadságfokok száma torzítatlan becslés.

30 A regressziós becslés abszolút és relatív hibája Abszolút hiba Kifejezi, hogy a regressziós becslések (ŷ i ) átlagosan mennyivel térnek el az eredményváltozó (y i ) megfigyelt értékeitől. Itt s e, ld. fent, vagy s e = s y 1 r 2 Relatív hiba Kifejezi, hogy a regressziós becslések átlagosan hány %-kal térnek el az eredményváltozó megfigyelt értékeitől. Itt: V e = sē y. A gyakorlatban 10% alatti relatív hiba esetén jó a regressziós becslés.

31 A paraméterek intervallumbecslése Belátható, hogy β 1 ˆβ 1 σ ˆβ 1 n 2 szabadságfokú Student t-eloszlást követ. 1 α valószínűségi szint esetén ( ) β 1 b 1 t α (1 2 ) s b 1 ; b 1 + t α (1 2 ) s b 1 ( ) β 0 b 0 t α (1 2 ) s b 0 ; b 0 + t α (1 2 ) s b 0

32 Regressziós becslések és prognózisok A regressziós függvény minden x 0 értékre kidob egy ŷ 0 -t. Ez mit jelent? 1 Az Ȳ 0 = M(Y X = X 0 ) becslése. 2 Annak becslése, hogy (X 0, Y 0 ) minta esetén y 0 mekkora lehet. 1. Az x 0 értékhez tartozó feltételes várható érték intervallumbecslése. A ŷ 0 szórása meghatározható (itt: konkrét mintára): 1 sŷ0 = s e n + (x 0 x) 2 (x x) 2 (Ez x közelében a legjobb, távolodva romlik a becslés.) A konfidenciaintervallum pedig: ( ) ŷ 0 t α (1 2 ) s 1 e n + (x 0 x) 2 (x x) 2 ; ŷ 0 + t α (1 2 ) s 1 e n + (x 0 x) 2 (x x) 2

33 Regressziós becslések és prognózisok 2. Az egyedi y 0 becslések konfidenciaintervalluma... ha egy hiányzó Y 0 adatot kívánunk becsülni adott X 0 helyen. Y 0 = ˆβ 0 + ˆβ 1 X 1 + ε 0 = ŷ 0 + ε 0 σ 2 Y 0 = σ 2 ŷ 0 + σ 2 e A Y 0 szórása meghatározható (itt: konkrét mintára): 1 sŷ0 = s e n + (x 0 x) 2 (x x) A ( konfidenciaintervallum pedig: ŷ 0 t α (1 2 ) s e 1 n + (x 0 x) 2 (x x) 2 + 1; ŷ 0 + t (1 α 2 ) s e ) 1 n + (x 0 x) 2 (x x) 2 + 1

34 A regressziófüggvény hipotézis-ellenőrzése A regressziófüggvény mintából származik, kérdés érvényes-e a sokaságra is. 1 Szignifikáns-e β 1? 2 Szignifikáns-e maga a regressziófüggvény? (két ismérv esetén a kettő ugyanaz)

35 A regressziós együttható (β 1 ) tesztelése Feltételezzük, hogy nincs korreláció, a tapasztalati paraméter b 1 0-tól való eltérését a véletlen okozza. H 0 : β 1 = 0, H 1 : β 1 0. n elemű minta esetén β 1 ˆβ 1 ˆσ ˆβ1 n 2 szabadságfokú t-eloszlást követ. α szignifikanciaszinten elfogadjuk, ha t = b 1 s b1 < t (n 2) 1 α 2

36 Varianciaanaĺızis a regressziószámításban y i = ŷ i + e i 1 y i : az Y megfigyelt értéke (X = x i ) 2 ŷ i = b 0 + b 1 x i : az x i -hez tartozó regressziós becslés 3 e i : maradéktag v. reziduum. n i=1 (y i ȳ) 2 = n i=1 (ŷ i ȳ) 2 + n i=1 (y i ŷ) 2 SST = SSR + SSE reziduális négyzetösszeg SSE = 0 függvényszerű kapcsolat. SSE 0 sztochasztikus kapcsolat.

37 Varianciaanaĺızis 2 A szórásnégyzet Eltérés- Szabadságfok Átlagos forrása négyzetösszeg négyzetösszeg Regresszió SSR = (ŷ i ȳ) 2 1 (ŷi ȳ) 2 1 (yi ŷ) 2 Hibatényező SSE = (y i ŷ) 2 n 2 Teljes SST = (y i ȳ) 2 n 1 Hipotézisvizsgálat: tagadjuk a regresszió létezését. H 0 : β 1 = 0 és H 1 : β 1 0 SSR = külső; SSE = belső szórás F -próba. Konkrét minta esetén: F 0 = SSR 1 SSE F (1) (n 2) n 2 n 2

38 Szorosság mérése varianciaanaĺızis-tábla alapján Determinációs együttható (r 2 ) A regresszió által megmagyarázott eltérés-négyzetösszegnek az y teljes eltérés-négyzetösszegéhez való aránya. r 2 = SSR SST = SST SSE SST = 1 SSE SST

39 Diagnosztikai tesztek Diagnosztikai teszt Értékeli a modellt; levont következtetések valódiságát támasztja alá. A reziduális változó tapasztalati értékeit (e i ) vizsgáljuk. Megfelel az elméleti ε i -nek hasonló tulajdonságokkal kell, hogy rendelkezzen. Például: a hibatényező szórása állandó nem jó, ha nő a szórás!

40 Robusztus becslési módszerek Mérési hibák: pontatlan adatok, eĺırás, stb. robusztus becslési módszerek: kevésbé érzékenyek. Nyesett átlag: elhagyunk nα megfigyelést a rangsor két szélén, majd újra becslés.

41 Nemlineáris regresszió Ha az X változó hatása Y -ra függ X nagyságától nemlineáris regresszió. Fontosabb típusai: hatványkitevős exponenciális parabolikus hiperbolikus A paraméterek meghatározására legkisebb négyzetek módszere.

42 Parabolikus regressziófüggvény Az eltérés-négyzetösszeg: ŷ = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 f (b 0, b 1, b 2 ) = (y i ŷ i ) 2 = (y i b 0 b 1 x i b 2 x 2 i ) 2 A 0-val egyenlővé tett b 0, b 1, b 2 szerinti parciális deriváltakból kapjuk a normálegyenleteket: yi =b 0 n +b 1 xi +b 2 x 2 i xi y 1 =b 0 xi +b i x 2 i +b 2 x 3 i x 2 i y i =b 0 x 2 i +b 1 x 3 i +b 2 x 4 i Mikor használjuk? Ha a két változó közötti összefüggés iránya megváltozik Gyakori, hogy azt vizsgáljuk, hol maximális.

43 Hatványkitevős regressziófüggvény ŷ = b 0 x b 1 log ŷ = log b 0 + b 1 log x lineáris kapcsolat log x és log y között. Megoldás, mint a lineáris regressziónál A hatványkitevő a rugalmassági együtthatóval azonos. 1%-kal nagyobb x értékhez hány %-kal nagyobb y tartozik.

44 Exponenciális regressziófüggvény ŷ = b 0 b 1 x log ŷ = log b 0 + log b 1 x lineáris kapcsolat x és log y között. A b 1 arra ad választ, hogy a tényezőváltozó egységnyi növekedése hányszorosára változtatja az eredményváltozó értékét.

45 9.8. Feladat 19 ország adatai alapján vizsgálták az 1 lakosra jutó GDP, X és az 1000 lakosra jutó személygépkocsik száma, Y közötti összefüggést. Számítási eredmények: Lineáris regressziófüggvény: ŷ = 83, 4 + 0, 0935x. A megfigyelt változók szórásai: σ (x) = 1149; σ (y) = 120, 5. lg x = 67, 57, (lg y) 2 = 107, 5812, lg y = 44, 7463, (lg x lg y) = 160, 0585, (lg x) 2 = 240, 8056.

46 9.8. Feladat Feladat: a) Milyen szoros a kapcsolat a két ismérv között? b) Hány %-ban játszik szerepet az X ismérv az Y szórásában? c) Írjuk fel a hatványkitevős regresszió normálegyenleteit és számítsuk ki a paramétereket! d) Értelmezzük mindkét regressziófüggvény b 1 paraméterét! e) Adjunk becslést egy olyan országra, amelynek az 1 lakosra jutó GDP-mutatója 7200 dollár!

47 9.8. Feladat Megoldás a) Milyen szoros a kapcsolat a két ismérv között? A kapcsolat szorosságát a kovarianciával, vagy lineáris korrelációs együtthatóval mérhetjük. Tudjuk, hogy β 1 = cov(ξ, η) D 2 (ξ) cov(ξ, η) = β 1 D 2 (ξ) cov(ξ, η) = 0, = R(ξ, η) = cov(ξ, η) D(ξ)D(η) R(ξ, η) = = 89, 1% , 5

48 9.8. Feladat Megoldás b) Hány %-ban játszik szerepet az X ismérv az Y szórásában? A determinációs együttható (r 2 ) határozza meg. r 2 = R 2 (ξ, η) = 0, = 79, 5%. Az X ismérv az Y szórását 79,5%-ban határozza meg.

49 9.8. Feladat Megoldás c) Írjuk fel a hatványkitevős regresszió normálegyenleteit és számítsuk ki a paramétereket! Hatványkitevős regressziófüggvény:ŷ = b 0 x b 1 azaz lg ŷ = lg b 0 + b 1 lg x. Normálegyenletek: lg yi = n lg b 0 + b 1 lg xi lg xi lg y i = lg b 0 lg xi + b 1 lg x 2 i 44, 75 = 19 lg b , 57b 1 160, 06 = 67, 57 lg b , 81b 1 b 1 = 1, 83, lg b 0 = 4, 165, azaz b 0 = 0, , így ŷ = 0, x 1,83.

50 9.8. Feladat Megoldás d) Értelmezzük mindkét regressziófüggvény b 1 paraméterét! Lineáris regresszió: Ha a GDP 1000 dollárral nő, akkor 1000 lakosonként 93,5 autóval több lesz. Hatványkitevős regresszió: Ha a GDP 1%-kal nő, (kb.) hány %-kal nő az 1000 lakosra jutó gépkocsik száma.

51 9.8. Feladat Megoldás e) Adjunk becslést egy olyan országra, amelynek az 1 lakosra jutó GDP-mutatója 7200 dollár! Lineáris regresszió: ŷ = 83, 4 + 0, 0935x = 83, 4 + 0, = 589, 8. Hatványkitevős regresszió: ŷ = 0, x 1,83 = 0, ,83 = 807, 2.

52

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

Statisztika I. 12. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 12. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 1. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Regresszió analízis A korrelációs együttható megmutatja a kapcsolat irányát és szorosságát. A kapcsolat vizsgálata során a gyakorlatban ennél messzebb

Részletesebben

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision

Részletesebben

2013 ŐSZ. 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét!

2013 ŐSZ. 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! GAZDASÁGSTATISZTIKA KIDOLGOZOTT ELMÉLETI KÉRDÉSEK A 3. ZH-HOZ 2013 ŐSZ Elméleti kérdések összegzése 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! 2. Mutassa be az

Részletesebben

Korrelációs kapcsolatok elemzése

Korrelációs kapcsolatok elemzése Korrelációs kapcsolatok elemzése 1. előadás Kvantitatív statisztikai módszerek Két változó közötti kapcsolat Független: Az X ismérv szerinti hovatartozás ismerete nem ad semmilyen többletinformációt az

Részletesebben

Statisztika elméleti összefoglaló

Statisztika elméleti összefoglaló 1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Regressziós vizsgálatok

Regressziós vizsgálatok Regressziós vizsgálatok Regresszió (regression) Általános jelentése: visszaesés, hanyatlás, visszafelé mozgás, visszavezetés. Orvosi területen: visszafejlődés, involúció. A betegség tünetei, vagy maga

Részletesebben

Korreláció és lineáris regresszió

Korreláció és lineáris regresszió Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef.

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Feladatok Gazdaságstatisztika 7. Statisztikai becslések (folyt.); 8. Hipotézisvizsgálat

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 6.

Matematikai statisztikai elemzések 6. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzések 6. MSTE6 modul Regressziószámítás: kétváltozós lineáris és nemlineáris regresszió, többváltozós

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus

Részletesebben

Lineáris regressziószámítás 1. - kétváltozós eset

Lineáris regressziószámítás 1. - kétváltozós eset Lineáris regressziószámítás 1. - kétváltozós eset Orlovits Zsanett 2019. február 6. Adatbázis - részlet eredmény- és magyarázó jellegű változók Cél: egy eredményváltozó alakulásának jellemzése a magyarázó

Részletesebben

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 11. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Összefüggés vizsgálatok A társadalmi gazdasági élet jelenségei kölcsönhatásban állnak, összefüggnek egymással. Statisztika alapvető feladata: - tényszerűségek

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Többváltozós lineáris regressziós

Részletesebben

Bevezetés a Korreláció &

Bevezetés a Korreláció & Bevezetés a Korreláció & Regressziószámításba Petrovics Petra Doktorandusz Statisztikai kapcsolatok Asszociáció 2 minőségi/területi ismérv között Vegyes kapcsolat minőségi/területi és egy mennyiségi ismérv

Részletesebben

III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió)

III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió) III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió) Tartalom Változók kapcsolata Kétdimenziós minta (pontdiagram) Regressziós előrejelzés (predikció) Korreláció Tanuló Kétdimenziós minta Tanulással

Részletesebben

4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis

4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis 1. feladat Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve 2. feladat Az iskola egy évfolyamába tartozó diákok átlagéletkora 15,8 év, standard deviációja 0,6 év. A 625 fős évfolyamból hány diák fiatalabb

Részletesebben

Regresszió számítás az SPSSben

Regresszió számítás az SPSSben Regresszió számítás az SPSSben Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Lineáris regressziós modell X és Y közötti kapcsolatot ábrázoló egyenes. Az Y függ: x 1, x 2,, x p p db magyarázó változótól

Részletesebben

5. előadás - Regressziószámítás

5. előadás - Regressziószámítás 5. előadás - Regressziószámítás 2016. október 3. 5. előadás 1 / 18 Kétváltozós eset A modell: Y i = α + βx i + u i, i = 1,..., T, ahol X i független u i -től minden i esetén, (u i ) pedig i.i.d. sorozat

Részletesebben

VIZSGADOLGOZAT. I. PÉLDÁK (60 pont)

VIZSGADOLGOZAT. I. PÉLDÁK (60 pont) VIZSGADOLGOZAT (100 pont) A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékűek! I. PÉLDÁK (60 pont) 1. példa (13 pont) Az egyik budapesti könyvtárban az olvasókból vett 400 elemű minta alapján a következőket

Részletesebben

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó június GAZDASÁGSTATISZTIKA GAZDASÁGSTATISZTIKA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Többváltozós Regresszió-számítás

Többváltozós Regresszió-számítás Töváltozós Regresszió-számítás 3. előadás Döntéselőkészítés módszertana Dr. Szilágyi Roland Korreláció Célja a kacsolat szorosságának mérése. Regresszió Célja a kacsolatan megfigyelhető törvényszerűség

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

Kvantitatív statisztikai módszerek

Kvantitatív statisztikai módszerek Kvantitatív statisztikai módszerek 1. konzultáció tárgyjegyző Dr. Szilágyi Roland Mérési skálák Számok meghatározott szabályok szerinti hozzárendelése jelenségekhez, bizonyos tulajdonságokhoz. 4 féle szabály

Részletesebben

Gyakorló feladatok a kétváltozós regresszióhoz 2. Nemlineáris regresszió

Gyakorló feladatok a kétváltozós regresszióhoz 2. Nemlineáris regresszió Gyakorló feladatok a kétváltozós regresszióhoz 2. Nemlineáris regresszió 1. A fizetés (Y, órabér dollárban) és iskolázottság (X, elvégzett iskolai év) közti kapcsolatot vizsgáljuk az Y t α + β X 2 t +

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 6. MGS6 modul Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

Regressziós vizsgálatok

Regressziós vizsgálatok Regressziós vizsgálatok Regresszió (regression) Általános jelentése: visszaesés, hanyatlás, visszafelé mozgás, visszavezetés. Orvosi területen: visszafejlődés, involúció. A betegség tünetei, vagy maga

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető! BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria Bódis Emőke 2016. 04. 25. J J 9 Korrelációanalízis Regresszióanalízis: hogyan változik egy vizsgált változó értéke egy másik változó változásának függvényében. Korrelációs

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

Függetlenségvizsgálat, Illeszkedésvizsgálat

Függetlenségvizsgálat, Illeszkedésvizsgálat Varga Beatrix, Horváthné Csolák Erika Függetlenségvizsgálat, Illeszkedésvizsgálat 4. előadás Üzleti statisztika A sokaság/minta több ismérv szerinti vizsgálata A statisztikai elemzés egyik ontos eladata

Részletesebben

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás STATISZTIKA Hipotézis, sejtés 11. Előadás Hipotézisvizsgálatok, nem paraméteres próbák Tudományos hipotézis Nullhipotézis felállítása (H 0 ): Kétmintás hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H

Részletesebben

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

A leíró statisztikák

A leíró statisztikák A leíró statisztikák A leíró statisztikák fogalma, haszna Gyakori igény az, hogy egy adathalmazt elemei egyenkénti felsorolása helyett néhány jellemző tulajdonságának megadásával jellemezzünk. Ezeket az

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Korreláció számítás az SPSSben

Korreláció számítás az SPSSben Korreláció számítás az SPSSben Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Statisztikai kapcsolatok Asszociáció 2 minőségi/területi ismérv között Vegyes kapcsolat minőségi/területi és egy mennyiségi

Részletesebben

Tartalomjegyzék I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE

Tartalomjegyzék I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE Tartalomjegyzék 5 Tartalomjegyzék Előszó I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE 1. fejezet: Kontrollált kísérletek 21 1. A Salk-oltás kipróbálása 21 2. A porta-cava sönt 25 3. Történeti kontrollok 27 4. Összefoglalás

Részletesebben

(Independence, dependence, random variables)

(Independence, dependence, random variables) Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,

Részletesebben

Mintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás

Mintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás STATISZTIKA, BIOMETRIA. Előadás Mintavétel, mintavételi technikák, adatbázis Mintavétel fogalmai A mintavételt meg kell tervezni A sokaság elemei: X, X X N, lehet véges és végtelen Mintaelemek: x, x x

Részletesebben

Az idősorok összetevői Trendszámítás Szezonalitás Prognosztika ZH

Az idősorok összetevői Trendszámítás Szezonalitás Prognosztika ZH Idősorok Idősor Statisztikai szempontból: az egyes időpontokhoz rendelt valószínűségi változók összessége. Speciális sztochasztikus kapcsolat; a magyarázóváltozó az idő Determinisztikus idősorelemzés esetén

Részletesebben

Statisztika II előadáslapok. 2003/4. tanév, II. félév

Statisztika II előadáslapok. 2003/4. tanév, II. félév Statisztika II előadáslapok 3/4 tanév, II félév BECSLÉS ÉS HIPOTÉZISVIZSGÁLAT Egyik konzervgyár vágott zöldbabot exportál A szabvány szerint az üvegek nettó töltősúlyának az átlaga 3 g, a szórása 5 g Az

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10 Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév

Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 9. Együttes eloszlás, kovarianca, nevezetes eloszlások Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, definíciók Együttes eloszlás Függetlenség

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

A többváltozós lineáris regresszió 1.

A többváltozós lineáris regresszió 1. 2018. szeptember 17. Lakásár adatbázis - részlet eredmény- és magyarázó jellegű változók Cél: egy eredményváltozó alakulásának jellemzése a magyarázó változók segítségével Legegyszerűbb eset - kétváltozós

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Fogalom STATISZTIKA. Alkalmazhatósági feltételek. A standard lineáris modell. Projekciós mátrix, P

Fogalom STATISZTIKA. Alkalmazhatósági feltételek. A standard lineáris modell. Projekciós mátrix, P Fogalom STATISZTIKA 8 Előadás Többszörös lineáris regresszió Egy jelenség vizsgálata során általában az adott jelenséget több tényező befolyásolja, vagyis többnyire nem elegendő a kétváltozós modell elemzése

Részletesebben

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba Egymintás u-próba STATISZTIKA 2. Előadás Középérték-összehasonlító tesztek Tesztelhetjük, hogy a valószínűségi változónk értéke megegyezik-e egy konkrét értékkel. Megválaszthatjuk a konfidencia intervallum

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58

Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58 u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás 2018. szeptember 10. 1/58 u- t- 2/58 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij

y ij = µ + α i + e ij Elmélet STATISZTIKA 3. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek A magyarázat a függő változó teljes heterogenitásának két részre bontását jelenti. A teljes heterogenitás egyik része az, amelynek okai

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör Korreláció- és regresszió-analízis Az X és Y véletlen változók között az alábbi ábrákon pozitív összefüggés nem lineáris összefüggés negatív összefüggés van Előfordulhat, hogy X és Y között van kapcsolat,

Részletesebben

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % Dolgozók száma 60-80 30 81-90 70 91-100 90

Részletesebben

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott

Részletesebben

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció

Részletesebben

Normális eloszlás tesztje

Normális eloszlás tesztje Valószínűség, pontbecslés, konfidenciaintervallum Normális eloszlás tesztje Kolmogorov-Szmirnov vagy Wilk-Shapiro próba. R-funkció: shapiro.test(vektor) balra ferde eloszlás jobbra ferde eloszlás balra

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia

Részletesebben

Statisztika I. 10. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 10. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 10. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Varianciaanalízis A különböző tényezők okozta szórás illetőleg szórásnégyzet összetevőire bontásán alapszik Segítségével egyszerre több mintát hasonlíthatunk

Részletesebben

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel

Részletesebben

Diagnosztika és előrejelzés

Diagnosztika és előrejelzés 2018. november 28. A diagnosztika feladata A modelldiagnosztika alapfeladatai: A modellillesztés jóságának vizsgálata (idősoros adatok esetén, a regressziónál már tanultuk), a reziduumok fehérzaj voltának

Részletesebben

GYAKORLÓ FELADATOK KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESSZIÓ-SZÁMÍTÁS

GYAKORLÓ FELADATOK KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESSZIÓ-SZÁMÍTÁS GYAKORLÓ FELADATOK KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESSZIÓ-SZÁMÍTÁS 44. feladat Egy strandbüfében úgy találták, hogy összefüggés van az üdítőital fogyasztás mennyisége és az átlagos napi hőmérséklet között. Ezért 20

Részletesebben

TÖBBVÁLTOZÓS KORRELÁCIÓ- ÉS

TÖBBVÁLTOZÓS KORRELÁCIÓ- ÉS Miskolci Egyetem GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet TÖBBVÁLTOZÓS KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESSZIÓSZÁMÍTÁS Oktatási segédlet Készítette: Domán Csaba egyetemi tanársegéd

Részletesebben

STATISZTIKA. Fogalom. A standard lineáris regressziós modell mátrixalgebrai jelölése. A standard lineáris modell. Eredménytáblázat

STATISZTIKA. Fogalom. A standard lineáris regressziós modell mátrixalgebrai jelölése. A standard lineáris modell. Eredménytáblázat Fogalom STATISZTIKA 8 Előadás Többszörös lineáris regresszió Egy jelenség vizsgálata során általában az adott jelenséget több tényező befolyásolja, vagyis többnyire nem elegendő a kétváltozós modell elemzése

Részletesebben

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Ökonometriai modellek paraméterei: számítás és értelmezés

Ökonometriai modellek paraméterei: számítás és értelmezés Ökonometriai modellek paraméterei: számítás és értelmezés Írta: Werger Adrienn, Renczes Nóra, Pereszta Júlia, Vörösházi Ágota, Őzse Adrienn Javította és szerkesztette: Ferenci Tamás (tamas.ferenci@medstat.hu)

Részletesebben

STATISZTIKA. A Föld pályája a Nap körül. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)

STATISZTIKA. A Föld pályája a Nap körül. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687) STATISZTIKA 10. Előadás Megbízhatósági tartományok (Konfidencia intervallumok) Sir Isaac Newton, 1643-1727 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

földtudományi BSc (geológus szakirány) Matematikai statisztika elıadás, 2014/ félév 6. elıadás

földtudományi BSc (geológus szakirány) Matematikai statisztika elıadás, 2014/ félév 6. elıadás Matematikai statisztika elıadás, földtudományi BSc (geológus szakirány) 2014/2015 2. félév 6. elıadás Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma: Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben