Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef."

Átírás

1 Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Feladatok

2 Gazdaságstatisztika 7. Statisztikai becslések (folyt.); 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

3 Intervallumbecslés A pontbecslés (szinte) sohasem pontos Mennyire pontatlan? Milyen határok között lehet a pontos érték? - általában rossz kérdés Milyen határok között van nagy valószínűséggel? A sokaság várható értékét becsüljük; 4 eset: Normális eloszlás, szórás ismert Normális eloszlás, szórás ismeretlen Nem normális, de ismert eloszlás, nagy minta Ismert eloszlás, kis minta, vagy ismeretlen eloszlás

4 Normális eloszlás, szórás ismert 1/3. Normális eloszlás a mintaátlag ( µ), és a minta elemei is normális eloszlásúak A sokaság szórása (σ) ismert. Új valószínűségi változót definiálunk: Z = µ µ σ n Miért? Ha x N(µ, σ) µ σ N(µ, ) n µ µ N(0, σ n ) Z = µ µ σ n N(0, 1)

5 Normális eloszlás, szórás ismert 2/3. α a hiba. Mivel Z N(0, 1) és ha szimmetrikus 1 α = P( z < Z < z) = Φ(z) Φ( z) = 2Φ(z) 1 Φ(z) = 1 α 2 z p =... Tehát z p < µ µ σ n < z p µ z p σ n < µ < µ + z p σ n

6 Normális eloszlás, szórás ismert 3/3. A konfidenciaintervallum: ( µ z p σ n ; µ + z p σ n ) Konkrét mintára (x z p σ n ; x + z p σ n ) = z p σ n a hibahatár, v. maximális hiba hibahatár, v. maximális hiba ( ) A becslés során 1 α valószínűséggel ennél kisebbet tévedünk.

7 Student és a Student-féle eloszlás William Sealy Gosset alias Student ( ) (t helyett z = t/ n 1)

8 Fischer és a Student-féle t-eloszlás Sir Ronald Aylmer Fischer ( ) Felfedezte és továbbfejlesztette Student munkáját (valódi t-statisztika)

9 Normális eloszlás, szórás ismeretlen σ ismeretlen = becsüljük: Z = µ µ σ helyett t = µ µ σ n n t Student-féle t-eloszlású szf = n 1 szabadságfokkal: szimmetrikus aszimptotikusan standard normális A konfidenciaintervallum: ( ) µ t p (szf ) σ ; µ + t (szf ) σ n n p Konkrét mintára ( x t (szf ) p ) s ; x + t (szf ) s n n p

10 Eloszlás nem normális, de ismert, nagy minta A mintaátlag eloszlása közel normális. Ha a szórás ismert, a konfidenciaintervallum (x z p σ n ; x + z p σ n ) Ha nem ( x t (szf ) p ) s ; x + t (szf ) s n n p

11 Eloszlás nem normális, nem ismert, vagy kis minta ( Semmit sem tudunk ) Csebisev: P( ξ M(ξ) < k D(ξ)) 1 1 k 2, azaz P( µ kσ µ < µ < µ kσ µ ) 1 1 k 2 Itt: ξ = µ (és M(ξ) = µ) k = 1 α Ha a szórás nem ismert: σ µ helyett s x = s n Pafnutyij L. Csebisev ( )

12 Értékösszeg becslése A sokasági értékösszeg (X = N X = N i=1 X i) becslése a mintaátlag N-szereséből. A becslőfüggvény: µ = N µ = N n i=1 ξ i n A standard hiba négyzete N 2 -szerese az átlagbecslésének. Konfidenciaintervallum: az átlagbecslő intervallum határai szorozva N-nel.

13 Sokasági arány becslése Aránybecslés A két csoportra osztott sokaságban az egyes csoportokba esés valószínűségét (P) becsüljük. Feltételezés: Független, azonos eloszlású minta A tulajdonsággal rendelkező mintaelemek száma k n binomiális eloszlású: M(k n ) = np, illetve D 2 (k n ) = np(1 P) p = kn n a P torzítatlan becslése. σ 2 p = D2 ( p) = D2 (k n) n 2 = P(1 P) n Konkrét mintában s p = Vagy: ξ i = p(1 p) n (a hiba a könyvben van!) { 1 ha megvan a tulajdonság, 0 ha nincs. Konfidenciaintervallum: (p z p s p ; p + z p s p ), ahol z p Φ(z) = 1 α 2 megoldása.

14 Sokasági szórásnégyzet (σ 2 ) becslése A korrigált tapasztalati szórásnégyzet ( σ 2 ) torzítatlan. ξ 1 µ σ, ξ 2 µ σ várható értéke 0, szórása 1. Négyzetösszegük ( (n 1) σ2 ) χ 2 eloszlású n 1 szabadságfokkal. σ 2 χ 2 eloszlás Standard normális változók négyzetösszegének eloszlása.

15 Intervallumbecslés rétegzett mintavétellel (Egyszerű véletlen mintavétel rétegenként.) M j=1 Véges sokaságra µ = x = N j X j M j=1 N j ahol µ (R) = M j=1 N j µ j N és σ µ(r) = µ (R) ± z p σ µ(r) M j=1 ( ) Nj 2 σ 2 ( ) j N n j 1 n j N j Értékösszegbecslés: mint egyszerű mintavételre: beszorozni N-nel Aránybecslés: a becslőfüggvény a megfelelő súlyozott átlag.

16 Minta elemszámának meghatározása Feladat: Mekkora elemszámra van szükség ahhoz, hogy adott α mellett egy kívánt pontosságot elérjek? = zp σ n, amiből n = ( z p σ Egyszerű véletlen mintavételnél: = zp σ n 1 n N, ebből n = N z2 p σ2 N 2 +z p σ 2 Itt kisebb a szükséges elemek száma ( ( z p σ Más mintavételi eljárás: függ az eljárástól! ) 2 ) 2 > z 2 p σ zp σ2 N )

17 Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő értéket adunk meg Hipotézisvizsgálat Feltételezett paraméter Álĺıtás helyességét igazoljuk Hipotézis Egy v több sokaságra vonatkozó álĺıtás. Vonatkozhat eloszlásra, v az eloszlás egyes paramétereire.

18 Null- és alternatív hipotézis Nullhipotézis (H 0 ) és alternatív- (v. ellen-) hipotézis (H 1 ): Kölcsönösen kizárják egymást A nullhipotézis rendszerint egyszerű Egy hipotézis lehet Egyszerű: egyenlőség Összetett: több hipotézis összessége Példák: H 0 : µ = m 0 H 1 : µ m 0 H 0 : µ = m 0 H 1 : µ < m 0 Alapvetően a nullhipotézisről döntünk Az ellenhipotézis segítségével Pontosan 1 hipotézist fogadunk el (Ha a nullhipotézist elutasítjuk, az ellenhipotézist elfogadjuk)

19 Statisztikai próba 1/3 Statisztikai próba Eljárás, mely során a minta alapján döntünk a nullhipotézis elfogadásáról, vagy elutasításáról. Próbafüggvény A mintaelemek olyan függvénye melynek valószínűségeloszlása megadható biz adatok ismeretében ha elfogadjuk a nullhipotézist.

20 Statisztikai próba 2/3 Példa: z-próbafüggvény Ha H 0 : µ = m 0 az alapsokaság normális eloszlású a minta független, azonos eloszlású a sokaság szórása ismert, σ standard normális eloszlású. z = µ m 0 σ n

21 Statisztikai próba 3/3 A próbafüggvény konkrét mintára kiszámított értéke eshet a [c a ; c f ] elfogadási tartományba (ekkor H 0 -t elfogadjuk), vagy a komplementer elutasítási (v kritikus) tartományba (ekkor H 0 -t elutasítjuk). Szignifikanciaszint A próbafüggvény kritikus tartományba esésének valószínűsége A kritikus tartomány elhelyezkedése szerint lehet bal oldali kétoldali jobb oldali

22 Kritikus tartományok és értékek

23 Kritikus tartományok és értékek 2

24 Vizsgálati hibák A döntés valószínűségi kockázattal jár Ha H 0 igaz, mégis elvetjük ez az elsőfajú hiba. Valószínűsége α a próba szignifikanciaszintje. Ha H 0 nem igaz mégsem vetjük el ez a másodfajú hiba. Valószínűsége β. igaz elfogadott hipotézis hipotézis H 0 H 1 H 0 helyes döntés elsőfajú hiba 1 α α H 1 másodfajú hiba helyes döntés β 1 β A másodfajú hiba súlyosabb, hiszen ekkor a hibás eredmény korrigálására nincs lehetőség. Erőfüggvény 1 β (másodfajú hiba elkerülésének valószínűsége) az egyszerű alternatív hipotézishez tartozó ismérvértékek függvényében.

25 Vizsgálati hibák 2

26 A statisztikai hipotézisvizsgálat menete 1 A H 0 null- és H 1 alternatív hipotézis megfogalmazása. 2 A megfelelő próbafüggvény megkeresése. 3 A szignifikanciaszint megválasztása. 4 Az elfogadási és visszautasítási tartományok meghatározása. 5 Mintavétel, a mintajellemzők és ebből a próbafüggvény értékének meghatározása 6 Döntünk a H 0 és H 1 hipotézisekről.

27 Egymintás z-próba H 0 : µ = m 0 H 1 : µ < m 0 vagy H 1 : µ > m 0 vagy H 1 : µ m 0 A sokaság normális eloszlású; a σ szórás ismert. z = µ m 0 σ n Konkrét mintában: z 0 = x m 0 σ n Az elfogadási tartomány határai a következők: Alternatív hipotézis µ < m 0 [ µ m 0 ] µ > m 0 Elfogadási tartomány [z α ; [ z α ; z 1 α ] ; z α ] Használható bármely véges szórású, nagy elemszámú független minta esetén is (becsült szórással).

28 Egymintás t-próba H 0 : µ = m 0 H 1 : µ < m 0 vagy H 1 : µ > m 0 vagy H 1 : µ m 0 A sokaság normális eloszlású; a σ szórás nem ismert. z = µ m 0 σ n Konkrét mintában: z 0 = x m 0 σ n Az elfogadási tartomány határai a következők: Alternatív hipotézis µ < m 0 µ m 0 µ > m 0 [ Elfogadási tartomány t szf α ; [ [ ] t szf α ; t1 szf ] ] α ; t szf 1 α 2 2

29 Szórásra vonatkozó próba H 0 : σ = σ 0 H 1 : σ < σ 0 vagy H 1 : σ > σ 0 vagy H 1 : σ σ 0 A sokaság normális eloszlású. χ 2 = (n 1) σ2 σ 2 0 Konkrét mintában: χ 2 = (n 1) s2 σ0 2, mely szf = n 1 szabadságfokú χ 2 eloszlást követ. Az elfogadási tartomány határai a következők: Alternatív hipotézis σ < σ 0 [ [ σ σ 0 ] σ > σ 0 ] Elfogadási tartomány [χ 2 α,szf ; χ 2 α 2,szf ; χ2 1 [0; α 2,szf χ 2 1 α,szf

30 Sokasági arányszámmal (valószínűséggel) kapcs próba P meghatározott típusú egyedek előfordulásának valószínűsége. Azt vizsgáljuk, hogy ez az arány megfelel-e egy feltételezett P 0 aránynak (azaz H 0 : P = P 0 ). Legyen { 1 ha megvan a tulajdonság, ξ i = 0 ha nincs. Ekkor M(ξ i ) = P 0 és D(ξ) = P 0 (1 P 0 ), illetve p = ξi n, M( p) = P P 0, D( p) = 0 (1 P 0 ) n. Ebből: z P0 = p P 0 P 0 (1 P 0 ) n standardizált; nagy n esetén pedig közel normális.

31 Kétmintás statisztikai próbák Két sokaság összehasonĺıtása a hipotézis a két ismérv összehasonĺıtására vonatkozik. Pl: két technológia, férfiak/nők, falu/város összehasonĺıtása A két sokaságot két véletlen, független minta képviseli

32 Várható értékek különbségének vizsgálata Két sokaság: µ 1, σ 1 és µ 2, σ 2 ; véletlen független minták. H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 < µ 2 vagy H 1 : µ 1 µ 2 vagy H 1 : µ 1 > µ 2 Ha mindkét sokaság normális eloszlású és a szórások ismertek: M( µ 1 µ 2 ) = 0, és D( µ 1 µ 2 ) = D( µ 1 ) + D( µ 2 ) = σ2 1 (függetlenség), így n 1 + σ2 2 n 2 z = µ 1 µ 2, konkrét mintára: z σ 2 0 = 1 n 1 + σ2 2 n 2 x 1 x 2 σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 standard normális eloszlást követnek. Ha a szórás nem ismert, de a minta nagy, σ helyett σ, ill. σ helyett s használatos.

33 Várható értékek különbségének vizsgálata kis minta (kétmintás t-próba) Kis minta esetén, ha normális eloszlású sokaságok az ismeretlen szórások egyenlősége feltételezhető Ekkor t = (n1 1) σ 2 1 +(n 2 1) σ 2 2 n 1 +n 2 2 µ 1 µ 2, n1 n2 ill.: t 0 = (n1 1)s 2 1 +(n 2 1)s 2 2 n 1 +n 2 2 x 1 x n1 n2 szf = n 1 + n 2 2 szabadságfokú Student t-eloszlást követ.

34 Két sokasági arányra vonatkozó próba H 0 : P 1 P 2 = ε 0 Két nagy minta esetén a próbafüggvény: z p = ˆp 1 ˆp 2 ε 0 ˆp1 (1 ˆp 1 ) n 1 + ˆp 2(1 ˆp 2 ) n 2, ill.: z 0(p) = p 1 p 2 ε 0 p1 (1 p 1 ) n 1 + p 2(1 p 2 ) n 2

35 Két sokasági szórás egyezőségére vonatkozó (F -) próba A szórások egyezését kétmintás t-próbánál feltételezzük itt ellenőrizzük. A sokaság eloszlása (jó közeĺıtéssel) normális H 0 : σ 1 = σ 2 A próbafüggvény: F = σ 1 σ 2 szf 1 = n 1 1 és szf 2 = n 2 1 szabadságfokú F eloszlást alkot. Táblázatból c f olvasható ki, F szf 1 szf 2 (p) = 1 F szf 2 szf 1 (1 p) Alt. hipotézis: [ σ 1 < σ 2 [ [ σ 1 σ 2 ] [ σ 1 < σ 2 ] Elfogadási tart. F szf 1 szf 2 (α) ; F szf 1 szf 2 ( α ); F szf 1 szf 2 2 (1 α 2 ) 0; F szf 1 szf 2 (1 α)

36 Egyéb vizsgálatok Eddig: paraméterek helyességét vizsgáltuk. Most: magát az eloszlást Illeszkedésvizsgálat Egy valószínűségi változó eloszlására vonatkozó hipotézis vizsgálata. 1 Ha az eloszlás paramétereire is van feltételezés: tiszta illeszkedésvizsgálat. 2 Ha csak az eloszlás típusára: becsléses illeszkedésvizsgálat.

37 Illeszkedésvizsgálat 1 Kategóriák Előfordulási gyakoriság Előfordulási ismérvértéke a mintában a konkrét mintában valószínűség X 1 v 1 n 1 P X i v i n i P i.... X k v k n k P k Összesen n n 1 H 0 : P(X i ) = P i minden i-re H 1 : létezik olyan i, hogyp(x i ) P i Ekkor M(v i ) = np i, az eltérés kifejezhető mint (v i np i ) 2.

38 Illeszkedésvizsgálat 2 χ 2 = k i=1 (v i np i ) 2 np i = k (v i v i=1 v i i )2 ami szf = k b 1 szabadságfokú χ 2 -eloszlást követ b = becsült paraméterek száma a P i -k meghatározásánál k = a kategóriák száma. H 1 esetén a próbafüggvény nagyobb jobb oldali kritikus tartomány. [ ] Az elfogadási tartomány 0, χ 2 1 α(szf ). Konkrét minta esetén, χ 2 0 = k (n i v i=1 v i i )2,

39 Függetlenségvizsgálat Függetlenségvizsgálat Azon nullhipotézis vizsgálata, hogy két ismérv független egymástól. Ha a teljes sokaságot ismerjük Statisztika I. Itt: mintából. H 0 : P ij = P i P j minden i, j-re H 1 : létezik olyan i, j, hogyp ij P i P j χ 2 = s t i=1 j=1 (v ij np i P j ) 2 np i P j = konkrét mintára: = s t i=1 j=1 s i=1 j=1 (v ij v ij )2 v ij t (n ij nij )2 n ij ami χ 2 eloszlás s t 1 szabadságfokkal. Elfogadás, ha a [0; χ 2 1 α(p) ] tartományba esik.

40 Varianciaanaĺızis Varianciaanaĺızis Több azonos szórású normális eloszlású mintát vizsgál várható érték egyezésre. A sokaságot M részsokaságra bontjuk nominális skála alapján, ezekből mintát veszünk. ξ ij = µ + β j + ε ij ξ ij : j-edik sokaságból jövő i-edik megfigyelés µ: az egész sokaság várható értéke β j : sokasági hatás; a j részsokaságra jellemző konstans ε ij : véletlen ingadozás N(0, σ) szerint.

41 Varianciaanaĺızis 2 H 0 : µ i = µ j minden i, j-re H 1 : létezik olyan i, j, hogyµ i µ j M j=1 nj i=1 (ξ ij ˆµ) 2 alapján a próbafüggvény F = ˆ σ 2 K M j=1 (n j 1)ˆσ 2 j n M ami szf 1 = M 1 és szf 2 = n M szabadságfokú F -eloszlás, ha H 0 igaz. H 1 esetén az érték nagyobb jobb oldali kritikus tartomány.

42 Összefoglalás próba H 0 próbafüggvény pf. eloszl. elfogadási tartomány ] Egymintás z µ = m 0 z = µ m 0 N(0, 1) [z α2 ; z σ 1 α2 n [ ] Egymintás t µ = m 0 z = µ m 0 t (n 1) t (n 1) α ; t (n 1) σ 1 α n 2 2 ] Szórásra v. σ = σ 0 χ 2 = (n 1) σ2 σ 0 2 χ 2 α,(n 1) [χ 2 α2,szf ; χ21 α2 ],szf p P Arány P = P 0 z P0 = 0 N(0, 1) [z α2 ; z P0 (1 P 0 ) 1 α2 Kétmintás z µ 1 = µ 2 n ] z = µ 1 µ 2 σ 1 2 N(0, 1) [z α2 ; z 1 α2 + σ2 2 n 1 n 2 [ ] Kétmintás t µ 1 = µ 2 µ 1 µ 2 t (n 1 +n 2 2) t (n 1 +n 2 α 2) ; t (n 1 +n 2 2) 1 α arány v. P 1 P 2 = ε 0 z p = (n 1 1) σ 2 1 +(n 2 1) σ2 2 n 1 +n n1 + 1 n 2 ˆp 1 ˆp 2 ε 0 ˆp1 (1 ˆp 1 ) n 1 + ˆp 2 (1 ˆp 2 ) n 2 N(0, 1) F -próba σ 1 = σ 2 F = σ 1 σ 2 Illeszkedés P(X i ) = P i i χ 2 = k (v i np i ) 2 i=1 np i Függetlenség P ij = P i P j i, j χ 2 = s tj=1 (v ij np i P j ) 2 i=1 Varianciaa. µ i = µ j i, j F = np i P j ˆσ 2 K Mj=1 (n j 1) ˆσ 2 j n M F n 1 1 n 2 1(p) χ 2 α,(k b 1) χ 2 α,(s t 1) F M 1 n M(p) [z α2 ; z 1 α2 ] [ F n 1 1 n 2 1( α 2 ); F n 1 1 n 2 1(1 α 2 [ ] ) 0; χ 2 1 α(szf ) [ ] 0; χ 2 1 α(p) [ 0; F M 1 n M(1 α 2 ) ]

43 8.1. Gyakorlófeladat A zacskóba csomagolt 1 kg-os kristálycukor tömegének ellenőrzésére 10 elemű véletlen mintát vettünk. Feltételezhető, hogy a csomagolóautomata normális eloszlással tölt. Mérési eredmények dkg-ban: 96; 96; 97; 100; 98; 98; 96; 99; 101; 102. A töltősúly szórásának megengedett mértéke 1 dkg. Feladat: (a) Ellenőrizzük, hogy a kristálycukor töltési tömege megfelel-e a szabványnak! (α = 1%.) (b) Ellenőrizzük 5%-os szignifikanciaszinten azt a feltevést, hogy a csomagolási tömeg szórása meghaladja az 1 dkg-os mértéket!

44 8.1. Gyakorlófeladat (a) Összefoglalás + (a) feladat µ 0 = 100, x i = 96; 96; 97; 100; 98; 98; 96; 99; 101; 102 (i = 1,..., 10). H 0 : µ = 100 H 1 : µ 100 Kétoldali próba z 0 = x m 0 σ n = = 1, [ ] Az elfogadási tartomány z α ; z 1 α = [ 2, 58; 2, 58]. 2 2 z 0 nem esik az elfogadási tartományba, H 0 -t elvetjük. 3,16 = 5, 38

45 8.1. Gyakorlófeladat (b) Egymintás szóráspróba H 0 : σ = 1 H 1 : σ > 1 Egyoldali próba, jobboldali kritikus tart. (xi x) 2 χ 2 0 = (n 1)s2 s 2 = σ0 2 n 1 x = 98, 3 s 2 = (96 98,3)2 (102 98,3) = 42,1 9 = 4, 68 Ebből χ 2 0 = 42,1 1 = 42, 1. α = 5%, szf= n 1 = 9, a jobbo.-i kritikus érték χ 2 0,95(9) = 16, 9. 42, 1 > 16, 9, tehát a (jobb oldali) kritikus tartományba esik. A feltevés helytelen, a szórás nagyobb.

46 8.13. Gyakorlófeladat Egy marketinggel foglalkozó cég vezetője arra kiváncsi, hogy jól képzett munkatársainak ügynöki teljesítménye független-e az életkortól. Az adatokat úgy gyűjtötték, hogy egy hónap alatt hány darabot sikerült az ügynöknek eladni. A 600 elemű minta alapján: Eladások száma Kor összesen összesen Befolyásolja-e az életkor az ügynökök munkájának eredményességét? (α = 5%)

47 8.13. Gyakorlófeladat: Függetlenségvizsgálat H 0 : függetlenség: P ij = P i P j i, j, H 1 : i, j : P ij P i P j Eladások száma Kor összesen , , , ,3 176,89 6,7 44,89 6,7 44, , , , ,3 5,29-5,3 28,09 7,7 59, , , , ,7 246,49-1,3 1,69-14,3 204,49 összesen χ 2 0 = s i=1 t j=1 (n ij n i n n n ) 2 n i n n n = s t (n ij nij) 2 i=1 j=1 nij A szf száma (s 1)(t 1), így a kritikus érték χ 2 1 α(szf ) = χ2 0,95(4) = 9, 49. Mivel 812 > 9, 49, a nullhipotézist elutasítjuk. = 812.

48

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris

Részletesebben

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás STATISZTIKA Hipotézis, sejtés 11. Előadás Hipotézisvizsgálatok, nem paraméteres próbák Tudományos hipotézis Nullhipotézis felállítása (H 0 ): Kétmintás hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H

Részletesebben

Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58

Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58 u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás 2018. szeptember 10. 1/58 u- t- 2/58 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ

Részletesebben

Statisztika elméleti összefoglaló

Statisztika elméleti összefoglaló 1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl Statisztika Elıadások letölthetık a http://www.cs.elte.hu/~arato/stat*.pdf címrıl Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább 1-α valószínőséggel

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

földtudományi BSc (geológus szakirány) Matematikai statisztika elıadás, 2014/ félév 6. elıadás

földtudományi BSc (geológus szakirány) Matematikai statisztika elıadás, 2014/ félév 6. elıadás Matematikai statisztika elıadás, földtudományi BSc (geológus szakirány) 2014/2015 2. félév 6. elıadás Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább

Részletesebben

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba Egymintás u-próba STATISZTIKA 2. Előadás Középérték-összehasonlító tesztek Tesztelhetjük, hogy a valószínűségi változónk értéke megegyezik-e egy konkrét értékkel. Megválaszthatjuk a konfidencia intervallum

Részletesebben

Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba

Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Nullhipotézis: pl. az átlag egy adott µ becslése : M ( x -µ ) = 0 Alternatív hipotézis: : M ( x -µ ) 0 Szignifikancia: - teljes bizonyosság csak teljes enumerációra -

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis Hipotézis BIOMETRIA 5. Előad adás Hipotézisvizsg zisvizsgálatok Tudományos hipotézis Nullhipotézis feláll llítása (H ): Kétmintás s hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H ) > = 1 Statisztikai

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia

Részletesebben

Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák

Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Az alábbi próbák akkor használhatók, ha a meggyelések függetlenek, és feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak a meggyelések függetlenek, véges szórású

Részletesebben

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely. Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak

Részletesebben

2013 ŐSZ. 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét!

2013 ŐSZ. 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! GAZDASÁGSTATISZTIKA KIDOLGOZOTT ELMÉLETI KÉRDÉSEK A 3. ZH-HOZ 2013 ŐSZ Elméleti kérdések összegzése 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! 2. Mutassa be az

Részletesebben

STATISZTIKA. A Föld pályája a Nap körül. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)

STATISZTIKA. A Föld pályája a Nap körül. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687) STATISZTIKA 10. Előadás Megbízhatósági tartományok (Konfidencia intervallumok) Sir Isaac Newton, 1643-1727 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II.

GVMST22GNC Statisztika II. GVMST22GNC Statisztika II. 4. előadás: 9. Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Korrelációszámítás

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 TARTALOMJEGYZÉK 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin).... 7 2. téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 3. téma Összefüggések vizsgálata, korrelációanalízis (Dr. Molnár Tamás)... 73 4. téma Összefüggések

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij

y ij = µ + α i + e ij Elmélet STATISZTIKA 3. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek A magyarázat a függő változó teljes heterogenitásának két részre bontását jelenti. A teljes heterogenitás egyik része az, amelynek okai

Részletesebben

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision

Részletesebben

Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév

Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 4.

Matematikai statisztikai elemzések 4. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzések 4. MSTE4 modul Hipotézisvizsgálat: alapfogalmak, egymintás és kétmintás próbák. Illeszkedés-

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 4.

Matematikai statisztikai elemzések 4. Matematikai statisztikai elemzések 4. Hipotézisvizsgálat: alapfogalmak, egymintás és kétmintás próbák. Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 4.: Hipotézisvizsgálat: alapfogalmak,

Részletesebben

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 9. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztikai hipotézis vizsgálatok elsősorban a biometriában alkalmazzák, újabban reprezentatív jellegű ökonómiai vizsgálatoknál, üzemi szinten élelmiszeripari

Részletesebben

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. : Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Többváltozós lineáris regressziós

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

VIZSGADOLGOZAT. I. PÉLDÁK (60 pont)

VIZSGADOLGOZAT. I. PÉLDÁK (60 pont) VIZSGADOLGOZAT (100 pont) A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékűek! I. PÉLDÁK (60 pont) 1. példa (13 pont) Az egyik budapesti könyvtárban az olvasókból vett 400 elemű minta alapján a következőket

Részletesebben

K oz ep ert ek es variancia azonoss ag anak pr ob ai: t-pr oba, F -pr oba m arcius 21.

K oz ep ert ek es variancia azonoss ag anak pr ob ai: t-pr oba, F -pr oba m arcius 21. Középérték és variancia azonosságának próbái: t-próba, F -próba 2012. március 21. Hipotézis álĺıtása Feltételezés: a minta egy adott szempont alapján más populációhoz tartozik, mint b minta. Nullhipotézis

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

Egymintás próbák. Alapkérdés: populáció <paramétere/tulajdonsága> megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal?

Egymintás próbák. Alapkérdés: populáció <paramétere/tulajdonsága> megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal? Egymintás próbák σ s μ m Alapkérdés: A populáció egy adott megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal? egymintás t-próba Wilcoxon-féle előjeles

Részletesebben

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék 2013-2014 tanév 1. félév Miskolci Egyetem 2013. november 11-18 - 25. Dr. Karácsony

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

Normális eloszlás tesztje

Normális eloszlás tesztje Valószínűség, pontbecslés, konfidenciaintervallum Normális eloszlás tesztje Kolmogorov-Szmirnov vagy Wilk-Shapiro próba. R-funkció: shapiro.test(vektor) balra ferde eloszlás jobbra ferde eloszlás balra

Részletesebben

Nemparaméteres próbák

Nemparaméteres próbák Nemparaméteres próbák Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Mőegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu

Részletesebben

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma: Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi

Részletesebben

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom Statisztika I., 5. alkalom Számos t-próba versus variancia analízis Kreativitás vizsgálata -nık -férfiak ->kétmintás t-próba I. Fajú hiba=α Kreativitás vizsgálata -informatikusok -építészek -színészek

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika

Részletesebben

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor Kettőnél több csoport vizsgálata Makara B. Gábor Három gyógytápszer elemzéséből az alábbi energia tartalom adatok származtak (kilokalória/adag egységben) Három gyógytápszer elemzésébô A B C 30 5 00 10

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás (7-8. lecke) Illeszkedés-vizsgálat 7. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok elemzésére Illeszkedés-vizsgálat Gyakorisági sorok

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet Hipotézis Állítás a populációról (vagy annak paraméteréről) Példák H1: p=0.5 (a pénzérme

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Függetlenségvizsgálat, Illeszkedésvizsgálat

Függetlenségvizsgálat, Illeszkedésvizsgálat Varga Beatrix, Horváthné Csolák Erika Függetlenségvizsgálat, Illeszkedésvizsgálat 4. előadás Üzleti statisztika A sokaság/minta több ismérv szerinti vizsgálata A statisztikai elemzés egyik ontos eladata

Részletesebben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Biomatematika 2 Orvosi biometria Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)

Részletesebben

Kísérlettervezés alapfogalmak

Kísérlettervezés alapfogalmak Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Kísérlettervezés Cél: a modell paraméterezése a valóság alapján

Részletesebben

Statisztika I. 10. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 10. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 10. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Varianciaanalízis A különböző tényezők okozta szórás illetőleg szórásnégyzet összetevőire bontásán alapszik Segítségével egyszerre több mintát hasonlíthatunk

Részletesebben

Korreláció és lineáris regresszió

Korreláció és lineáris regresszió Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.

Részletesebben

ANOVA,MANOVA. Márkus László március 30. Márkus László ANOVA,MANOVA március / 26

ANOVA,MANOVA. Márkus László március 30. Márkus László ANOVA,MANOVA március / 26 ANOVA,MANOVA Márkus László 2013. március 30. Márkus László ANOVA,MANOVA 2013. március 30. 1 / 26 ANOVA / MANOVA One-Way ANOVA (Egyszeres ) Analysis of Variance (ANOVA) = szóráselemzés A szórásokat elemezzük,

Részletesebben

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df )

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df ) 1. feladat. Egy erdőben az egy fészekben levő tojásszámokat vizsgáltuk egy madárfajnál. A következő tojásszámokat találtuk: 1, 1, 1,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7. Mi a mintának a minimuma, maximuma,

Részletesebben

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Mintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás

Mintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás STATISZTIKA, BIOMETRIA. Előadás Mintavétel, mintavételi technikák, adatbázis Mintavétel fogalmai A mintavételt meg kell tervezni A sokaság elemei: X, X X N, lehet véges és végtelen Mintaelemek: x, x x

Részletesebben

A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra

A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra Vörös Zsuzsanna NÉBIH RFI tervezési referens 2013. április 17. Egy kis felmérés nem kor Következtetések: 1. a jelenlevők nemi megoszlása:

Részletesebben

Hipotézisvizsgálat az Excel adatelemző eljárásaival. Dr. Nyéki Lajos 2018

Hipotézisvizsgálat az Excel adatelemző eljárásaival. Dr. Nyéki Lajos 2018 Hipotézisvizsgálat az Excel adatelemző eljárásaival Dr. Nyéki Lajos 2018 Egymintás t-próba Az egymintás T-próba azt vizsgálja, hogy különbözik-e a változó M átlaga egy megadott m konstanstól. Az a feltételezés,

Részletesebben

Kiváltott agyi jelek informatikai feldolgozása Statisztika - Gyakorlat Kiss Gábor IB.157.

Kiváltott agyi jelek informatikai feldolgozása Statisztika - Gyakorlat Kiss Gábor IB.157. Kiváltott agyi jelek informatikai feldolgozása 2018 Statisztika - Gyakorlat Kiss Gábor IB.157. kiss.gabor@tmit.bme.hu Példa I (Vonat probléma) Aladár 25 éves és mindkét nagymamája él még: Borbála és Cecília.

Részletesebben

s.s. Bere Anikó Zsuzsanna

s.s. Bere Anikó Zsuzsanna s.s. Bere Anikó Zsuzsanna Statisztikai módszerek a fizikában statisztika: adatokon alapuló kísérlettervezési, gyűjtési, rendezési, összesítési, ábrázolási, analizálási, értelmezési és következtetési módszerek

Részletesebben

Tartalomjegyzék I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE

Tartalomjegyzék I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE Tartalomjegyzék 5 Tartalomjegyzék Előszó I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE 1. fejezet: Kontrollált kísérletek 21 1. A Salk-oltás kipróbálása 21 2. A porta-cava sönt 25 3. Történeti kontrollok 27 4. Összefoglalás

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet Hipotézisvizsgálatok A hipotézisvizsgálat során a rendelkezésre álló adatok (statisztikai

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria. Visegrády Balázs

[Biomatematika 2] Orvosi biometria. Visegrády Balázs [Biomatematika 2] Orvosi biometria Visegrády Balázs 2016. 03. 27. Probléma: Klinikai vizsgálatban három különböző antiaritmiás gyógyszert (ß-blokkoló) alkalmaznak, hogy kipróbálják hatásukat a szívműködés

Részletesebben

Eloszlás-független módszerek 13. elıadás ( lecke)

Eloszlás-független módszerek 13. elıadás ( lecke) Eloszlás-független módszerek 13. elıadás (25-26. lecke) Rangszámokon alapuló korrelációs együttható A t-próbák és a VA eloszlásmentes megfelelıi 25. lecke A Spearman-féle rangkorrelációs együttható A Kendall-féle

Részletesebben

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 3.

Matematikai statisztikai elemzések 3. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzek 3. MSTE3 modul Becslelmélet: alapfogalmak, nevezetes statisztikák, intervallum-becsl SZÉKESFEHÉRVÁR

Részletesebben

4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis

4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis 1. feladat Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve 2. feladat Az iskola egy évfolyamába tartozó diákok átlagéletkora 15,8 év, standard deviációja 0,6 év. A 625 fős évfolyamból hány diák fiatalabb

Részletesebben

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum) Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa

Részletesebben

STATISZTIKA. ( x) 2. Eloszlásf. 9. gyakorlat. Konfidencia intervallumok. átlag. 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% (cm)

STATISZTIKA. ( x) 2. Eloszlásf. 9. gyakorlat. Konfidencia intervallumok. átlag. 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% (cm) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye STATISZTIKA 9. gyakorlat Konfidencia intervallumok f σ π ( µ ) σ ( ) = e /56 p 45% 4% 35% 3% 5% % 5% % 5% Normális eloszlás sűrűségfüggvénye % 46 47 48 49 5 5 5 53 54

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

Az első számjegyek Benford törvénye

Az első számjegyek Benford törvénye Az első számjegyek Benford törvénye Frank Benford (1883-1948) A General Electric fizikusa Simon Newcomb (1835 1909) asztronómus 1. oldal 2. oldal A híres arizonai csekk sikkasztási eset http://www.aicpa.org/pubs/jofa/may1999/nigrini.htm

Részletesebben

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Kettőnél több csoport vizsgálata Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Gyógytápszerek (kilokalória/adag) Három gyógytápszer A B C 30 5 00 10 05 08 40 45 03 50 35 190 Kérdések: 1. Van-e

Részletesebben

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet

Részletesebben