Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.
|
|
- Liliána Bogdánné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36
2 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint a, b S. Ekkor dist(a, B) = inf b B (a, b). Legyen: Megjegyzés D 1 (A, B) = max{sup a A dist(a, B), sup dist(b, A)} b B Egy pontból álló halmazra nem igaz, hogy D 1 ({a}, B) = dist(a, B) Bizonyítás D 1 ({e}, C) = max{ sup dist(a, C), sup dist(c, {e})} a {e} c C = max{dist(e, c)), sup ρ(c, e)} c C A Hausdorff távolság 2 of 36
3 Halmazok távolsága MÁSODIK MEGKÖZELÍTÉS Legyen N ε (A) = {y S : x A, hogy ρ(x, y) < ε}. (Azon pontok halmaza, melyek ε-nál közelebb vannak A valamely pontjához.) Nyilvánvaló, hogy Legyen most N ε = x A B ε (x). D 2 (A, B) = inf{ε > 0 : N ε (A) B N ε (B) A}, vagyis azon legkisebb ε, melyre a két halmaz ε-környezete kölcsönösen elnyeli egymást. A Hausdorff távolság 3 of 36
4 Halmazok távolsága D 1 = D 2 Állítás Az előzőekben definiált két mennyiség azonosak Bizonyítás A második definícióból kiindulva, nyilvánvaló, hogy D 2 (A, B) = max{inf{ε > 0 : N ε(a) B}, inf{ε > 0 : N ε(b) A}}. Ha most A N ε(b), akkor A b B {x : ρ(x, b) < ε}, azaz minden a A-hoz van olyan b B, hogy ρ(a, b) < ε. Ugyanez B-re is igaz, így max{inf{ε > 0 : ( a A) inf ρ(a, b) < ε}, inf{ε > 0 : ( b B) inf ρ(a, b) < ε}} b B a A = max{sup a A inf b B ρ(a, b), sup b B ami pont a D 2 definíciója. inf ρ(a, b)}, a A A Hausdorff távolság 4 of 36
5 Halmazok távolsága A HAUSDORFF TÁVOLSÁG Definíció Az előzőekben definiált D = D 1 D 2 a halmazok Hausdorff távolsága. A fenti három feltétel már elegendő, mi azonban egy kicsit többet követelünk, nem üres kompakt halmazokon fogjuk a távolságot vizsgálni.(r n -ben ez ugyanaz.) A Hausdorff távolság 5 of 36
6 Halmazok távolsága A HAUSDORFF TÁVOLSÁG Definíció Az előzőekben definiált D = D 1 D 2 a halmazok Hausdorff távolsága. Megjegyzés A Hausdorff távolság még nem metrika, erre hozunk példákat, illetve elmondjuk az alkalmazandó további feltételeket, amivel metrikát kapunk. Mindegyik példánk R-re vonatkozik a szokásos távolsággal. A fenti három feltétel már elegendő, mi azonban egy kicsit többet követelünk, nem üres kompakt halmazokon fogjuk a távolságot vizsgálni.(r n -ben ez ugyanaz.) A Hausdorff távolság 6 of 36
7 Halmazok távolsága A HAUSDORFF TÁVOLSÁG Definíció Az előzőekben definiált D = D 1 D 2 a halmazok Hausdorff távolsága. Megjegyzés A Hausdorff távolság még nem metrika, erre hozunk példákat, illetve elmondjuk az alkalmazandó további feltételeket, amivel metrikát kapunk. Mindegyik példánk R-re vonatkozik a szokásos távolsággal. 1 A {0} egyelemű halmaz és a [0, ) intervallum távolsága lesz. Ezért csak korlátos halmazokat engedünk meg. A fenti három feltétel már elegendő, mi azonban egy kicsit többet követelünk, nem üres kompakt halmazokon fogjuk a távolságot vizsgálni.(r n -ben ez ugyanaz.) A Hausdorff távolság 7 of 36
8 Halmazok távolsága A HAUSDORFF TÁVOLSÁG Definíció Az előzőekben definiált D = D 1 D 2 a halmazok Hausdorff távolsága. Megjegyzés A Hausdorff távolság még nem metrika, erre hozunk példákat, illetve elmondjuk az alkalmazandó további feltételeket, amivel metrikát kapunk. Mindegyik példánk R-re vonatkozik a szokásos távolsággal. 1 A {0} egyelemű halmaz és a [0, ) intervallum távolsága lesz. Ezért csak korlátos halmazokat engedünk meg. 2 D (, {0}) szintén végtelen, ezért csak nem üres halmazt engedünk meg. A fenti három feltétel már elegendő, mi azonban egy kicsit többet követelünk, nem üres kompakt halmazokon fogjuk a távolságot vizsgálni.(r n -ben ez ugyanaz.) A Hausdorff távolság 8 of 36
9 Halmazok távolsága A HAUSDORFF TÁVOLSÁG Definíció Az előzőekben definiált D = D 1 D 2 a halmazok Hausdorff távolsága. Megjegyzés A Hausdorff távolság még nem metrika, erre hozunk példákat, illetve elmondjuk az alkalmazandó további feltételeket, amivel metrikát kapunk. Mindegyik példánk R-re vonatkozik a szokásos távolsággal. 1 A {0} egyelemű halmaz és a [0, ) intervallum távolsága lesz. Ezért csak korlátos halmazokat engedünk meg. 2 D (, {0}) szintén végtelen, ezért csak nem üres halmazt engedünk meg. 3 D ((0, 1), [0, 1]) = 0, pedig a két halmaz nem azonos; csak zárt halmazokat tekintünk. A fenti három feltétel már elegendő, mi azonban egy kicsit többet követelünk, nem üres kompakt halmazokon fogjuk a távolságot vizsgálni.(r n -ben ez ugyanaz.) A Hausdorff távolság 9 of 36
10 A definíció A HIPERTÉR Definíció A H(S) = {K S : K K kompakt } halmaz az S metrikus tér hipertere. A Hausdorff metrika 10 of 36
11 A definíció A HIPERTÉR Definíció A H(S) = {K S : K K kompakt } halmaz az S metrikus tér hipertere. Tétel (H(S), D metrikus tér. A Hausdorff metrika 11 of 36
12 A Hausdorff metrika 12 of 36 A definíció A HIPERTÉR Bizonyítás. 1 A korlátosság miatt D biztosan véges nemnegatív valós értékű függvény.
13 A Hausdorff metrika 13 of 36 A definíció...a BIZONYÍTÁS FOLYTATÁSA
14 A Hausdorff metrika 14 of 36 A definíció...a BIZONYÍTÁS FOLYTATÁSA
15 A Hausdorff metrika 15 of 36 A definíció...a BIZONYÍTÁS FOLYTATÁSA
16 A Hausdorff metrika 16 of 36 A definíció...a BIZONYÍTÁS FOLYTATÁSA
17 A Hausdorff metrika 17 of 36 A definíció...a BIZONYÍTÁS FOLYTATÁSA 2 Ha most A, B, C H(S) és ε > 0, akkor minden x A-hoz van olyan y B, hogy ρ(x, y) < D(A, B) + ε és ehhez az y-hoz van olyan z C, hogy ρ(y, z) < D(A, B) + ε. A kettőt összeadva a háromszög egyenlőtlenség miatt ρ(x, y) < D(A, C) + 2ε. Ez azt jelenti, hogy A része C ezen környezetének. Hasonlóan belátható C-ről, hogy A ilyen környezetében van.
18 A Hausdorff metrika 18 of 36 A definíció...a BIZONYÍTÁS FOLYTATÁSA 2 Ha A = B, akkor minden ε > 0 esetén A N ε (A), ezért D(A, A) = 0. Fordítva, ha D(A, B) = 0, A, B H(S), akkor x A esetén minden ε > 0-ra x N ε (B), ezért dist(x, B) = 0. Mivel B kompakt, x B, azaz A B. A második irányú tartalmazást ugyanígy láthatjuk be. 3 Ha most A, B, C H(S) és ε > 0, akkor minden x A-hoz van olyan y B, hogy ρ(x, y) < D(A, B) + ε és ehhez az y-hoz van olyan z C, hogy ρ(y, z) < D(A, B) + ε. A kettőt összeadva a háromszög egyenlőtlenség miatt ρ(x, y) < D(A, C) + 2ε. Ez azt jelenti, hogy A része C ezen környezetének. Hasonlóan belátható C-ről, hogy A ilyen környezetében van.
19 A definíció EGY EGYSZERŰ TULAJDONSÁG Állítás D(A B, C D) max{d(a, C), A(B, D)} Bizonyítás Ha ε olyan, hogy A N ε (C) és B N ε (D), akkor A B N ε (C) N ε (D) = N ε (D). A Hausdorff metrika 19 of 36
20 A Hausdorff metrika 20 of 36 A definíció PÉLDÁK Példa
21 A Hausdorff metrika 21 of 36 A definíció PÉLDÁK Példa 1 Legyen A, B R 2, A = {(x, y) : x 2 + y 2 1} és B = {(x, y) : 0 < x 3, 0 y 4}
22 A Hausdorff metrika 22 of 36 A definíció PÉLDÁK Példa 1 Legyen A, B R 2, A = {(x, y) : x 2 + y 2 1} és B = {(x, y) : 0 < x 3, 0 y 4} 2 A = {(x, y) : 0 < x 1, 0 y 1} és B = {(x, y) : 0 < x 5, 0 y 4}
23 A Hausdorff metrika 23 of 36 A definíció PÉLDÁK Példa 1 Legyen A, B R 2, A = {(x, y) : x 2 + y 2 1} és B = {(x, y) : 0 < x 3, 0 y 4} 2 A = {(x, y) : 0 < x 1, 0 y 1} és B = {(x, y) : 0 < x 5, 0 y 4} 3 S = (R, d 0 ) (itt d 0 a diszkrét metrika)
24 Konvergencia, teljesség KONVERGENCIA Tétel Ha (A n ) egy sorozat H(S)-ben és A H(S)-hez konvergál, akkor A = {x : van olyan (x n ) sorozat, hogy x n A n és x n x} Bizonyítás Legyen B = {x : van olyan (x n) sorozat, hogy x n A n és x n x}. Belátjuk a kétoldali tartalmazást. A Hausdorff metrika 24 of 36
25 Konvergencia, teljesség KONVERGENCIA Tétel Ha (A n ) egy sorozat H(S)-ben és A H(S)-hez konvergál, akkor A = {x : van olyan (x n ) sorozat, hogy x n A n és x n x} Bizonyítás Legyen B = {x : van olyan (x n) sorozat, hogy x n A n és x n x}. Belátjuk a kétoldali tartalmazást. 1 Ha x A, akkor A n-ből választható olyan x n, hogy ρ(x, x n) < D(A, A n) + 1. Ekkor xn x, így x B, azaz A B. n A Hausdorff metrika 25 of 36
26 Konvergencia, teljesség KONVERGENCIA Tétel Ha (A n ) egy sorozat H(S)-ben és A H(S)-hez konvergál, akkor A = {x : van olyan (x n ) sorozat, hogy x n A n és x n x} Bizonyítás Legyen B = {x : van olyan (x n) sorozat, hogy x n A n és x n x}. Belátjuk a kétoldali tartalmazást. 1 Ha x A, akkor A n-ből választható olyan x n, hogy ρ(x, x n) < D(A, A n) + 1. Ekkor xn x, így x B, azaz A B. n 2 A B halmaz minden eleme elegendő nagy n-re az A n elemeitől legfeljebb ε távolságra van, ezek az elemek azonban legfeljebb ε távolságra vannak A-tól. De A zárt, ezért x A, mivel 0 távolságra van tőle. A Hausdorff metrika 26 of 36
27 Konvergencia, teljesség TELJESSÉG Tétel Ha (S, ρ) teljes metrikus tér, akkor (H(S), D) is az. A Hausdorff metrika 27 of 36
28 A Hausdorff metrika 28 of 36 Kapcsolat a fraktálokkal MONOTON HALMAZSOROZATOK Tétel Ha (A n) nem üres kompakt halmazok monoton csökkenő sorozata, azaz A 1 A 2 A 3..., akkor (A n) a H(S) térben a k=1a k halmazhoz konvergál. Bizonyítás Legyen ε > 0. Mivel A A n minden n-re, így A N ε(a n). Másrészt N ε(a) nyílt halmaz. Ha most x A 1, akkor vagy x A és akkor x N ε(a), vagy x / A, ekkor pedig x S \ k=1a k = k=1(s \ A k ). De ez egy nyílt lefedése A 1 -nek és A 1 kompakt, kiválasztható véges részlefedés. Az S \ A k halmazsorozat monoton növő, így van olyan N N, hogy n N esetén (S \ A k ) N ε(a) A 1, így A n N ε(a). Vagyis D(A, A n) < ε, tehát A n A.
29 Kapcsolat a fraktálokkal EGYENLETES KONVERGENS FÜGGVÉNYSOROZATOK Tétel Legyen S kompakt metrikus tér, T metrikus tér, (f n ), f : S T folytonos függvények, az (f n ) sorozat egyenletesen konvergál f -hez. Ekkor f n (S) f (S) a (H(T), D)-ben. Bizonyítás D(f (S), f n (S)) ρ u (f, f n ). A Hausdorff metrika 29 of 36
30 A Hausdorff metrika 30 of 36 Következmények KÖVETKEZMÉNYEK Következmény Legyen A 1 A 2 A 3... fogyó kompakt halmasorozat. Ekkor A n a Hausdorff-metrikában az A = n N A n halmazhoz konvergál. Bizonyítás Feladat. Bizonyítás Feladat.
31 A Hausdorff metrika 31 of 36 Következmények KÖVETKEZMÉNYEK Következmény Legyen A 1 A 2 A 3... fogyó kompakt halmasorozat. Ekkor A n a Hausdorff-metrikában az A = n N A n halmazhoz konvergál. Bizonyítás Feladat. Következmény Ha f n, f S T, S kompakt és f n f egyenletesen, akkor f n f (S) a Hausdorff-metrika szerint H(S)-ben. Bizonyítás Feladat.
32 MÉGEGYSZER A SZTRINGTÉRRŐL Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ, τ E ω. Ha σ = ασ, τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ, τ) = k r. Mégegyszer a sztringtérről 32 of 36
33 MÉGEGYSZER A SZTRINGTÉRRŐL Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ, τ E ω. Ha σ = ασ, τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ, τ) = k r. Állítás Mégegyszer a sztringtérről 33 of 36
34 MÉGEGYSZER A SZTRINGTÉRRŐL Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ, τ E ω. Ha σ = ασ, τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ, τ) = k r. Állítás 1 (E ω, ρ r ) kompakt szeparábilis metrikus tér. Mégegyszer a sztringtérről 34 of 36
35 MÉGEGYSZER A SZTRINGTÉRRŐL Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ, τ E ω. Ha σ = ασ, τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ, τ) = k r. Állítás 1 (E ω, ρ r ) kompakt szeparábilis metrikus tér. 2 Az összes (E ω, ρ r ) homeomorf. Mégegyszer a sztringtérről 35 of 36
36 MÉGEGYSZER A SZTRINGTÉRRŐL Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ, τ E ω. Ha σ = ασ, τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ, τ) = k r. Állítás 1 (E ω, ρ r ) kompakt szeparábilis metrikus tér. 2 Az összes (E ω, ρ r ) homeomorf. 3 Ha h : E ω R a Cantor-halmazt címző függvény, azaz h(0σ) = h(σ) h(σ)+2 3, h(1σ) = 3. akkor h lipeomorfizmus ρ 1 -ra, 3 azaz 1 3 ρ 1 (σ, τ) h(σ) h(τ) ρ 1 (σ, τ) 3 3 Mégegyszer a sztringtérről 36 of 36
Folytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor
Metrikus terek, Hausdorff-mérték Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 22. Vázlat 1 Folytonos görbék Affin függvények Definíciók A Koch-görbe A Cantor-halmaz
RészletesebbenFRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található.
FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok Czirbusz Sándor 010. április 16. I. rész Feladatok A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. 1. Példák fraktálokra 1.1. A Cantor - halmaz 1.1.1. Feladat. Igazoljuk,
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenFRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7. Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenAnalízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén
1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenFraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék
Fraktálok Klasszikus fraktálpéldák I Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 86 Bevezetés. 2 of 86 TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés. Az önhasonlóságról intuitív módon Klasszikus
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenFRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
Példák fraktálokra I Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. február 1. Vázlat 1 Mi a fraktál? 2 A konstrukció Egyszerű tulajdonságok Triadikus ábrázolás Transzlációk
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenFunkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenFraktálok. Bevezetés. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék Tavasz
Fraktálok Bevezetés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014-2015 Tavasz TARTALOMJEGYZÉK 1 of 51 Előzetes a bevezetőhöz 2 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem Előzetes a bevezetőhöz
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenMolnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0
Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenA Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán
A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán Besenyei Ádám A következőkben a matematikának több ágában is fontos szerepet betöltő eszközével, a Baire kategória-tétellel és annak néhány alkalmazásával ismertetjük
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
RészletesebbenIntegr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12.
Integrálszámítás. 1. rész. 2018. április 12. Területszámítás f : [a, b] IR + korlátos függvény. Mennyi a függvény grafikonja és az x tengely közti terület? Riemann integrál, ismétlés F: Az összes lehetséges
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás
RészletesebbenFraktálok. A Sierpinski-háromszög
Fraktálok. A Sierpinski-háromszög Írta: Moór István Témavezető: Dr. Buczolich Zoltán egyetemi tanár Analízis Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest, 2013 Tartalomjegyzék 1. A fraktálokról általánosságban
RészletesebbenRekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26
Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenValós függvénytan Elektronikus tananyag
Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenMérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenKiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz
Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenEGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE
EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet
Részletesebben2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
RészletesebbenSorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
Részletesebbend(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.
Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
RészletesebbenA Riemann-integrál intervallumon I.
A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2016.
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenINFORMATIKAI KAR. Funkcionálanalízis a jelfeldolgozás és a szimuláció matematikai alapjai
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Szili László Funkcionálanalízis a jelfeldolgozás és a szimuláció matematikai alapjai Budapest, 2007 A jegyzet a GVOP-3.2.2.-2004-07-0005/3.0 számú ELTE IKKK
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
RészletesebbenNormális függvénycsaládok. Alkalmazások harmonikus függvényekre.
XI. Erdélyi Tudományos Diákköri Konferencia Kolozsvár, 2008. május 23 24. Normális függvénycsaládok. Alkalmazások harmonikus függvényekre. Szerző: Darvas Tamás Matematika-Informatika szak, IV. év Babeş-Bolyai
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenAnalízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonossága
Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f
RészletesebbenSorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenVéletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
RészletesebbenBevezetés az analízisbe. Előadás vázlat ősz
Bevezetés az analízisbe Előadás vázlat. 2009. ősz 1. előadás Téma: A matematika nyelvezetének alapvető sajátosságai, logikai műveletek. Bizonyítási módszerek. A valós számok; axiómák. Topologikus és metrikus
RészletesebbenDebreceni Egyetem Természettudományi Kar. Losonczi László. Funkcionálanalízis
Debreceni Egyetem Természettudományi Kar 1 Losonczi László Funkcionálanalízis 2009 Tartalomjegyzék 0.1. El szó................................. 5 0.2. Jelölések................................ 6 0.3. Ábrák
RészletesebbenSzámsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenVértesy Gáspár Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány. Az Okamoto-függvények
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Vértesy Gáspár Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Az Okamoto-függvények Szakdolgozat Témavezető: Keleti Tamás, tanszékvezető egyetemi
Részletesebben