4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
|
|
- Ervin Hegedüs
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a vagy (röviden ) összeget (szám)sornak (vagy numerikus sornak) nevezzük. a sor n-edik (vagy általános) tagja, pedig a sor n-edik részletösszege. s n := a + a = n a k (n N) A sort konvergensnek nevezzük, ha részletösszegeinek (s n ) sorozata konvergens, a s n = s határértéket a sor összegének nevezzük és azt irjuk, hogy := k= k A sort divergensnek nevezzük, hem konvergens. = s, azaz k. Megjegyzések.. Az összegezés kezdődhet n = 0-val is. Kissé zavaró, hogy a sort és (konvergens sor esetén) az összegét is ugyanazzal a szimbólummal jelöltük. Ezt elkerülendő a sorokra inkább a (ill. ha az összegzés n = 0-val kezdődik a ) jelölést használjuk, a sor összegét pedig inkább -nel jelöljük majd Ha egy sorban véges sok tagot megváltoztatunk, a sorból véges sok tagot elhagyunk, vagy véges sok tagot a sorhoz hozzáveszünk, akkor a sor konvergenciája/divergenciájem változik, az összege viszont változhat! Ez abból következik, hogy ha az eredeti sor részletösszegeinek sorozata (s n ), akkor a fenti változtatások után kapott sor (S n ) részletösszegeire S n = s n + A h > n 0 teljesül, valamilyen A R és n 0 N mellett, ahol A az új (megváltoztatott) tagok és a régiek különbsége. Innen látható, hogy (s n ) és (S n ) vagy mindketten konvergensek vagy divergensek, konvergencia esetén viszont azaz az összegek eltérése A. S n = s n + A Divergens sornak természetesen nincs összege (bár, ha s n ( ) akkor szokás azt mondani, hogy a sor összege ( ). sort, ahol a 0, a R, q R geometriai sornak nevezzük. a a sor első tagja, q a sor hányadosa, vagy kvociense. Vizsgáljuk meg e sor konvergenciáját. A részletösszegek sorozata s n = a + aq + + aq n (n N)
2 2 amit q-val megszorozva így kivonással s n q = aq + + aq n + aq n, s n s n q = a aq n vagy s n ( q) = a( q n ), amiből (a q és q = eseteket szétválasztva kapjuk, hogy a( q n ), ha q, s n = q na, ha q =. Figyelembevéve a (q n ) sorozat viselkedését kapjuk, hogy a, ha q <, q s n divergens, ha q >, vagy q, divergens, ha q =. Ezzel igazolást nyert a következő Állítás. [geometriai sor konvergenciája] A aq n = a + aq + aq , (a 0, a, q R) geometiai sor akkor és csakis akkor konvergens, ha q < és akkor a sor összege s = a első tag = q kvociens. 2. Harmónikus sor. A n = sort harmónikus sornak nevezzük. 3 Állítás. [harmónikus sor divergenciája] A harmónikus sor divergens. Bizonyítás. Vegyük észre, hogy a sor s 2 n alakú részletösszegeire s 2 = + 2 = 3 2 s 2 2 = s 2 + ( 3 + ) 4 > = 4 2 s 2 3 = s ( ) 8 > = 5 2 s 2 4 = s ( ) 6 > = 6 2 áll fenn, és indukcióval könnyen igazolható, hogy s 2 n > n + 2 (n = 2, 3,... ) 2 így s 2 n (n ) amiből (s n ) szigorú monoton növekedése miatt s n (n ), igazolva állításunkat. Tétel. [sor konvergenciájának szükséges feltétele] Konvergens sor általános tagjullához konvergál. Azaz, ha a sor konvergens, akkor = 0. Így, ha ( ) divergens, vagy ha ( ) konvergens, de határértéke nem 0, akkor a sor divergens. Bizonyítás. Világos, hogy = s n s n így konvergens sor esetén s n s, s n s miatt s s = 0 amint állítottuk. Ha 0 akkor a sor lehet konvergens is és divergens is, utóbbira példa a harmónikus sor. A továbbiakban a sorokat tagjaik előjele szerint osztályozzuk, és vizsgáljuk.
3 3 Definíciók. Egy sort alternáló sornak nevezzünk, ha tagjainak előjele váltakozik (pozitív tagot negatív tag követ vagy fordítva). Egy sort pozitív (negatív) tagú sornak nevezzünk, ha tagjai pozitívok (negatívok). Tetszőleges előjelű tagok esetén a sor tagjainak az abszolút értékeiből alkotott sort vizsgáljuk. Alternáló sorokra vonatkozik Leibniz tétele. [elegendő feltétel alternáló sorok konvergenciájára] A ( ) n+ ( 0, n N) alternáló sor konvergens, ha ( ) monoton csökkenően tart nullához, és ekkor a sor s összegére, és részletösszegeinek (s n ) sorozatára érvényes az s s n + (n N) becslés. Bizonyítás. ( ) monoton csökkenése miatt s 2n+ = s 2n + ( ) 2n+ a 2n + ( ) 2n+2 a 2n+ = s 2n + ( a 2n + a 2n+ ) s 2n s 2n+2 = s 2n + ( ) 2n+2 a 2n+ + ( ) 2n+3 a 2n+2 = s 2n + (a 2n+ a 2n+2 ) s 2n s 2n = s 2n + ( ) 2n+ a 2n = s 2n a 2n s 2n azaz (s 2n ) monoton csökkenő, (s 2n ) monoton növekvő, és s 2n s 2n, amiből egy [s 2, s ] [s 4, s 3 ] [s 6, s 5 ]... intervallumskatulyázást kapunk, ahol az intervallumok (Cantor tétele szerint nemüres) metszete csak egy pontból állhat, mert az intervallumok s 2n s 2n = ( ) 2n+ a 2n = a 2n 0 (n ) hosszullához tart. Legyen s a fenti intervallumok egyetlen közös pontja, akkor s 2n s, s 2n s (n ) ezért s n s (n ) igazolva a konvergenciára vonatkozó állítást. A becslés igazolása: s s n = ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n = (+ +2 ) + (+3 +4 ) + (+5 +6 ) +... = (+ +2 ) + (+3 +4 ) + (+5 +6 ) +... = + [(+2 +3 ) + (+4 +5 ) +... ] +. Itt a második sorban az abszolút érték elhagyható, mivel a tagok összege nemnegatív, az utolsó sorban levő egyenlőtlenség pedig azért igaz, mert a szögletes zárójelben levő összeg nemnegatív. Példa. A ( ) n+ n = sor konvergens, mert = n 0 (n ) (csökkenően). Érdekes megjegyezni, hogy e sor összege ln Pozitív tagú sorok A sort akkor neveztük pozitív tagúnak, ha > 0 (n N) teljesül. Ilyen sorok részletösszegeire s n+ = s n + + > s n (n N), azaz a részletösszegek sorozata monoton növekvő, ezért (s n ) akkor és csakis akkor konvergens ha felülről korlátos. Ezért pozitív tagú sor akkor és csakis akkor konvergens ha részletösszegeinek a sorozata felülről korlátos. Ez a megállapítás az alapja a konvergenciakritériumok (vagy konvergenciatesztek) bizonyításának.
4 4 és Tétel. [majoráns- minoráns teszt] Ha 0 < b n (k N) () bn sor konvergens, akkor a sor is konvergens, (2) ha a sor divergens, akkor a b n sor is divergens. Megjegyzés. Azt mondjuk, hogy a b n sor majorálja a sort (vagy ami ugyanaz, a sor minorálja a b n sort) ha b n (n N). Bizonyítás. Jelölje (s n (a)) a sor részletösszegeinek sorozatát, (s n (b)) pedig a b n sor részletösszegeinek sorozatát, akkor (3) s n (a) s n (b) (n N). Az () esetben a b n sor konvergens, így (s n (b)) felülről korlátos, (3) miatt (s n (a)) is felülről korlátos, ezért an sor konvergens. A (2) esetben a sor divergens, így (s n (a)) felülről nem korlátos, (3) miatt (s n (b)) sem korlátos felülről, ezért b n sor divergens. Tétel. [hányados vagy D Alembert teszt] Legyen pozitív tagú sor. (4) Ha + q < (n N) akkor a sor konvergens, (5) ha + (n N) akkor a sor divergens. Ezt a tételt egy másik alakban (eszes alak) is kimondjuk. Legyen pozitív tagú sor és tegyük fel, hogy k (i) Ha L < akkor a sor konvergens, (ii) ha L > akkor a sor divergens, + = L (L R b ). (iii) ha L = akkor a sor lehet konvergens, és lehet divergens is. Bizonyítás. Ha (4) teljesül, akkor az a 2 q, a 3 q, a 4 q,..., q a a 2 a 3 egyenlőltlenségeket összeszorozva kapjuk, hogy a q n, amiből a q n (n N). Ez azt jelenti, hogy a sort a a q n konvergens (mert 0 q < miatt q < ) geometriai sor majorálja, így a majoráns teszt alapján a sor konvergens. Ha (5) teljesül, akkor + miatt a konvergencia szükséges feltétele, az 0 (n ) feltétel nem teljesül, a sor divergens.
5 A eszes alak bizonyítása. Ha (i) teljesül akkor legyen r = L > 0. Az L határérték r sugarú környezete ( ) 2 an+ -nél kisebb értékeket tartalmaz, e környezetén kívül az sorozatnak csak véges sok eleme van, így + q (:= L + r < ) h n 0 valamely n 0 mellett, így (4) véges sok index kivételével teljesül, a 4. szakasz 2. megjegyzése alapján következik állításunk. (ii) mellett hasonló gondolatmenettel kapjuk, hogy (5) véges sok index kivételével teljesül, amiből következik, hogy ( ) nem tarthat 0-hoz, a sor divergens. (iii) Végül, a harmónikus sornál L = és e sor divergens, a sor konvergens, és e sornál szintén L =. n2 Utóbbi sor konvergenciája pl. abból következik, hogy n (n ) n így a részletösszegek sorozata korlátos, a sor konvergens. Tétel. [gyök vagy Cauchy teszt] Tegyük fel, hogy 0 (n N). ( = + ) ( ) ( n ) = 2 n n < 2 (6) H q < (n N) akkor a sor konvergens, (7) h (n N) akkor a sor divergens. Ezt a tételt is kimondjuk eszes alakban. Legyen 0 (n N), és tegyük fel, hogy (j) Ha L < akkor a sor konvergens, (jj) ha L > akkor a sor divergens, n an = L (L R b ). (jjj) ha L = akkor a sor lehet konvergens, és lehet divergens is. Bizonyítás. Ha (6) teljesül, akkor az q n, (n N) ami azt jelenti, hogy a sort a q n konvergens geometriai sor majorálja, így a majoráns teszt alapján a sor konvergens. Ha (7) teljesül, akkor miatt a konvergencia szükséges feltétele, az 0 (n ) feltétel, nem teljesül, a sor divergens. A eszes alak bizonyítása. Ha (j) teljesül akkor legyen r = L > 0. Az L határérték r sugarú környezete 2 -nél kisebb értékeket tartalmaz, e környezetén ívül az ( n ) sorozatnak csak véges sok eleme van, így n an q (:= L + r < ) h n 0 valamely n 0 mellett, így (6) véges sok index kivételével teljesül, a 4. szakasz 2. megjegyzése alapján adódik állításunk. (jj) mellett hasonló gondolatmenettel kapjuk, hogy (7) véges sok index kivételével teljesül, amiből következik, hogy ( ) nem tarthat 0-hoz, a sor divergens. (jjj) Végül, a harmónikus sornál L = és e sor divergens, a sor konvergens, és e sornál szintén L =. n2 5
6 6 Igazolható, hogy a gyök teszt erősebb, mint a hányados teszt (azaz, ha a hányados teszt eldönti a konvergenciát/divergenciát akkor ugyanezt teszi a gyök teszt is), a hányados teszt alkalmazása viszont általában egyszerűbb. Példák.. A 2n n! sor konvergens, mert a hányados teszt eszes alakját alkalmazva + = 2n+ (n + )! n! 2 n = 2 n + 0 = L <. 2. A ahol p R (hiperharmonikus) sor divergens, ha p 0, mert ekkor az általános tag nem tart 0-hoz. np p > 0 mellett mind a hányados, mind a gyök teszt eszes alakja L = -et ad, segítségükkel a konvergencia nem dönthető el. A Cauchy-féle kondenzációs teszt segítségével (ld. pl Lajkó jegyzet) kaphatjuk, hogy A (p R) sor akkor és csakis akkor konvergens, ha p >. np Ugyancsak ezzel a teszttel adódik, hogy A (p R) sor akkor és csakis akkor konvergens, ha p >. 2 n(ln n) p kezdenünk, mivel ln = 0. Itt az összegezést n = 2-nél kell 4.3 Abszolút konvergencia, műveletek sorokkal Definíciók. A sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a sor konvergens. A sort feltételesen konvergensnek nevezzük, ha a sor konvergens de nem abszolút konvergens. Igazolható, hogy abszolút konvergens sor konvergens, a fordított állítás viszont nem igaz, amint ezt a ( ) n+ sor mutatja. Utóbbi sor feltételesen konvergens. n Az abszolút konvergencia eldöntésere alkalmazhatók az elő ző szakaszban tárgyalt tesztek. Ha 0 (n N) és + < akkor a sor abszolút konvergens, ha + akkor a sor divergens. Ha n an < akkor a sor abszolút konvergens, ha n ha an akkor a sor divergens. Legyen egy adott sor és ϕ : N N egy bijektív leképezése N-nek önmagára, akkor a a ϕ(n) sort a an sor (ϕ) bijekcióhoz tartozó) átrendezésének nevezzük. Például a
7 7 sor egy átrendezése a sor, ahol két pozitív tagot egy negatív tag követ. Az abszolút konvergens sorok fontos tulajdonsága, az, hogy bármely átrendezésük is konvergens, és az átrendezett sor összege megegyezik az eredeti sor összegével. Feltételesen konvergens sorokra ez nem igaz, sőt, feltételesen konvergens sornak van olyan átrendezése, mely divergens, vagy melynek összege egy tetszőlegesen előírt szám. Könnyű belátni, hogy konvergens sor tetszőlegesen zárójelezhető, és a zárójelezett sor összege egyenlő az eredeti sor összegével. Továbbá (a sorozatokra vonatkozó műveleti tulajdonságok miatt) konvergens sorok összegsora (a tagok összeadásával keletkező sor) és konvergens sor számszorosa is konvergens és összegük a kiinduló sorok összege és számszorosa, azaz, ha, b n konvergensek, c R akkor a ( + b n ), (c ) is konvergensek és ( + b n ) = + b n, (c ) = c. A sorok szorzása lényegesen komplikáltabb. Definíció. A és b n sorok Cauchy-féle szorzatsora a c n sor, melynek tagjai n c n := a 0 b n + a b n + + b 0 = a k b n k. k=0 Abszolút konvergens sorok Cauchy-féle szorzatsora is abszolút konvergens, és összege a tényezősorok összegének szorzata. 4.4 Függvénysorok, hatványsorok Definíciók. Ha egy sor tagjai (azonos halmazon értelmezett) függvények, akkor a sort függvénysornak nevezzük. Legyenek f n : D R R (n N) a valós számok D részhalmazán értelmezett függvények. A f n (x) függvénysor konvergenciahalmazát/divergenciahalmazát azon x D pontok alkotják melyekre a sor konvergens/divergens. A konvergenciahalmaz pontjaiban értelmezhető a sor összegfüggvénye (mint a részletösszegek határértéke). Definíció. A (x a) n alakú függvénysort hatványsornak nevezzük. az n-edik együttható, a pedig 0 a sorfejtés középpontja. Vizsgáljuk meg a (x a) n hatványsor abszolút konvergenciáját a gyökteszttel. Ha n an (x a) n = x a n () x a L 0 < a hatványsor abszolút konvergens, > a hatványsor divergens, ahol feltételeztük, hogy az ( n ) sorozatnak létezik az L határértéke, 0 L.
8 8. L = 0 esetén x a L = 0(<,) így a hatványsor minden x R mellett abszolút ( konvergens. ) 2. 0 < L < esetén x a L < (> ) akkor és csakis akkor, ha x a < L > L, ezért x a < L esetén a sor abszolút konvergens, míg x a > L mellett a sor divergens. 3. L = esetén x a L = > ha x a, így ekkor a sor divergens, míg x = a esetén a sor nyilván konvergens (ugyanis ulladik tag kivételével az összes tag nulla). Definíció. Az bővített valós számot a 0 r := L = n an ( ) 0 :=, := 0 (x a) n hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. Az előbbiek alapján állíthatjuk: Ha x a < r, akkor hatványsorunk abszolút konvergens, ha x a > r, akkor hatványsorunk divergens. Példa. A geometriai sor esetén a konvergenciasugár r =. + x + x 2 + = x ha x <
Analízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenSorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21
NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 17.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor
RészletesebbenKozma L aszl o Matematikai alapok 2. kieg esz ıtett kiad as Debrecen, 2004
Kozma László Matematikai alapok 2. kiegészített kiadás Debrecen, 2004 Egyetemi jegyzet, kézirat, 2004 2. kiegészített kiadás Kiadó: Studium 96 Bt., Debrecen Nyomda: Alföldi Nyomda Rt., Debrecen Az összeállítás
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
RészletesebbenII. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés
II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak
Részletesebbenismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
RészletesebbenKalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK
Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,
RészletesebbenFritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék
Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenSzámsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenSzakdolgozat. Hatványsorok és alkalmazásaik
Szakdolgozat Hatványsorok és alkalmazásaik Heimbuch Zita Matematikai elemz szakirány Témavezet : Bátkai András, adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,
RészletesebbenMATEMATIKA 1. GYAKORLATOK
Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz
Részletesebben1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
RészletesebbenVégtelen sorok konvergencia kritériumai
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Végtelen sorok konvergencia kritériumai BSc szakdolgozat Készítette: Témavezeto : Bogye Tamara Bátkai András Matematika BSc egyetemi docens Matematika
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenSorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
RészletesebbenAnalízis ZH konzultáció
Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenKalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK
Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,
RészletesebbenValós függvénytan Elektronikus tananyag
Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Érdekes összegek. Szakdolgozat. Matematika BSc Tanár
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Érdekes összegek Szakdolgozat Készítette: Pressing Dániel Matematika BSc Tanár Témavezető: dr Besenyei Ádám Adjunktus Budapest, 4 Tartalomjegyzék Bevezetés
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenFeladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
RészletesebbenVIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.
VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenM. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!
Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
RészletesebbenKövetkezik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
RészletesebbenHatárértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.
Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Részletesebben2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
RészletesebbenGazdasági Matematika I.
Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. jegyzet az alapképzéshez NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenFolytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor
Metrikus terek, Hausdorff-mérték Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 22. Vázlat 1 Folytonos görbék Affin függvények Definíciók A Koch-görbe A Cantor-halmaz
RészletesebbenFüggvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.
Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5
RészletesebbenGyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenDifferenciál és integrálszámítás diszkréten
Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten
RészletesebbenVégtelen sorok konvergencia kritériumai
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Végtelen sorok konvergencia kritériumai BSc szakdolgozat Készítette: Témavezeto : Bogye Tamara Szentmiklóssy Zoltán Matematika BSc adjunktus Matematika
RészletesebbenEger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet
Tartalomjegyzék Előszó................................. 5. Függvénytani alapismeretek..................... 7. Valós számsorozatok......................... 9 3. Valós számsorok............................
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenPécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK
Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék Kalkulus Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécs, 206 Tartalomjegyzék. Bevezető 4.. Az abszolút érték........................... 4.2. Halmazok, intervallumok,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben