Szakdolgozat. Hatványsorok és alkalmazásaik

Átírás

1 Szakdolgozat Hatványsorok és alkalmazásaik Heimbuch Zita Matematikai elemz szakirány Témavezet : Bátkai András, adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 200

2 Tartalomjegyzék. Bevezetés 4.. Rövid bevezetés a dolgozat témájáról Elméleti bevezetés Dierenciálszámítás alkalmazásai Dierenciálszámítás alapfogalmai Elemi függvények Taylor-sorba fejtése Végtelen sorok Konvergens sor deníciója, a konvergencia és a divergencia szükséges feltétele Egyszer bb konvergenciakritériumok M veletek konvergens sorokkal Függvénysorok A függvénysor fogalma Hatványsorok 2 6. Végtelen sorok és hatványsorok alkalmazásai Mértani sor segítségével megoldható példa Harmonikus sor segítségével megoldható példa Hatványsorok alkalmazása a számelmélet témakörében Néhány ismert függvény Taylor-sora, azaz hatványsora Dierenciálegyenlet megoldása hatványsorokkal

3 6.5.. Az els rend dierenciálegyenletek megoldása általános hatványsorok segítségével Az els rend dierenciálegyenletek megoldása Taylorsorokkal Másodrend dierenciálegyenletek megoldása hatványsorok segítségével Összegzés

4 . fejezet Bevezetés.. Rövid bevezetés a dolgozat témájáról Jelen dolgozat a hatványsorokba és azok alkalmazásaiba, alkalmazási módszereibe ad betekintést. Az elején bevezetjük az alapfogalmakat, tételeket, amik kapcsolódnak a hatványsorok témájához vagy amiket a kés bbiek során használni fogunk. A célom az, hogy a szakdolgozatban - az alkalmazások során - bemutassam a hatványsorok segítségével megoldható problémákat, feladatokat. Bepillantást nyerünk a mértani- és a harmonikus sorok világába, a számelmélet témaköréb l is ismertetek egy alkalmazási módot, majd megmutatom, hogy hogyan lehet Taylor-sorba fejteni egy hatványsort. A dolgozat végén rátérek arra, hogy hogyan tudok megoldani dierenciálegyenleteket hatványsorok segítségével. Ebben a részben többféle módszert is ismertetek majd..2. Elméleti bevezetés Ebben a fejezetben bevezetjük azokat a deníciókat, jelöléseket, amiket a kés bbiek során használni fogunk a különböz számításokhoz. Deníció: Valós számsorozatnak nevezünk minden olyan függvényt, amely- 4

5 nek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza, értékkészlete pedig a valós számok egy részhalmaza. Ebb l a denícióból következik, hogy egy számsorozatot akkor tekintünk adottnak, ha minden n N számra ismerjük a sorozat n-edik tagját, azaz a sorozatot jelent függvénynek az n helyen felvett értékét. Jelölés: Egy számsorozatot (a n )-nel, a sorozat n-edik tagját pedig a n -nel jelöljük. Egy számsorozatot többféleképpen is megadhatunk. Gyakran használjuk azt a fajta megadási módot, amikor egy képlettel fejezzük ki, hogy hogyan függ az n-t l a sorozat n-edik tagja. ) n n+ Példa: n 3 +n, n + ( n, + n Megadhatjuk utasítással és rekurzív denícióval is. A sorozat gyakori megadás módja a rekurzív deníció, amikor megadjuk a sorozat els néhány tagját, majd az a n -et az el z tagok függvényeként fejezzük ki. Mindkét módra mutatok példát. Példa: Utasítással: a sorozat páratlan index tagjai legyenek -gyel egyenl k, a páros index tagok pedig 2-vel. Példa: Rekurzív formulával: a = 0, a n = 2a n, ha n 2. Deníció: Egy a valós szám ɛ > 0 sugarú környezetének nevezzük az (a ɛ,a + ɛ) nyílt intervallumot. Deníció: Az (a n ) valós számsorozatról akkor mondjuk, hogy konvergens és határértéke A, ha minden ɛ > 0 számhoz van olyan N természetes szám, hogy a sorozat minden N-nél nagyobb index tagja az a szám ɛ sugarú környezetébe esik. Jelölés: Az (a n ) sorozat konvergens és határértéke A: lim a n = A. n Számításaink során a következ, sorozatok határértékére vonatkozó tételeket használjuk fel: 5

6 . Tétel:. A lim n n = 0. Ha lim n a n = A, és lim n b n = B, akkor lim (a n ± b n ) = A ± B n ha B 0, akkor ahol k =, 2,... lim a n b n = A B n ( an lim n b n ) k = ( ) k A, B Deníció: Az (a n ) valós számsorozatról akkor mondjuk, hogy divergens, ha nem konvergens. A sorozatoknak egy fontos osztályát alkotják az úgynevezett monoton sorozatok. Deníció: Egy (a n ) sorozatról akkor mondjuk, hogy monoton növ (vagy fogyó), ha minden n N-re fennáll, hogy a n a n+ (vagy a n a n+ ). Ha az egyenl séget nem engedjük meg, akkor szigorúan monoton növ /fogyó sorozatokról beszélünk. Monoton sorozatok konvergenciaviselkedését viszonylag egyszer en el tudjuk majd dönteni, de ehhez még egy segédeszközre lesz szükségünk: Deníció: Egy H V nem üres halmazról akkor mondjuk, hogy felülr l (vagy alulról) korlátos számhalmaz, ha van olyan f szám, hogy H minden x elemére x f (vagy x f). A számhalmazról akkor mondjuk, hogy korlátos, ha alulról és felülr l is korlátos. 2. Tétel:. (Korlátos, monoton sorozatok konvergenciája) a.) Ha az a n sorozat monoton növeked és felülr l korlátos, akkor konvergens. b.) Ha az a n sorozat monoton csökken és alulról korlátos, akkor konvergens. 6

7 2. fejezet Dierenciálszámítás alkalmazásai Ebben a fejezetben bevezetjük a dierenciálszámítás alapfogalmait, szabályait, amire szükségünk lesz az alkalmazások során. 2.. Dierenciálszámítás alapfogalmai El ször kezdjük azzal, hogy mit is jelent az, hogy ha egy függvény dierenciálható az a pont környezetében. Deníció: Legyen f értelmezve az a D(f) pont egy környezetében. Azt mondjuk, hogy az f függvény az a pontban dierenciálható, ha a f(x) f(a) lim x a x a = A R véges határérték létezik, ekkor itt a dierenciálhányadosa f (a) = A. Jelölés: f (a) = df df (a) = dx dx x=a Deníció: Azt mondjuk, hogy az f függvény kétszer dierenciálható az a helyen, ha az a hely egy környezetében dierenciálható és az f derivált függvény dierenciálható az a helyen. Jelölés: Az (f (x) ) x=a dierenciálhányadost az f függvény a helyen vett második dierenciálhányadosának vagy második deriváltjának nevezzük és f (a)-val jelöljük. 7

8 Deníció: Tetsz leges n > természetes számra akkor mondjuk, hogy az f függvény az a helyen n-szer dierenciálható, ha az a hely egy környezetében (n )-szer dierenciálható és a függvény (n )-edik derivált függvénye, f (n ) (x) az a helyen dierenciálható. A következ kben a függvények m veleti azonosságait fogjuk megvizsgálni. 3. Tétel:. Legyen D(f) = D(g) = I intervallum, a I bels pont, melyben f és g dierenciálható. Ekkor f ± g; α f, ahol α R; f g és ha g(a) 0, akkor f g dierenciálható a-ban és (f ± g) (a) = f (a) ± g (a) (α f) (a) = α f (a) (f g) (a) = f (a) g(a) + f(a) g (a) ( ) f (a) = f (a) g(a) f(a) g (a) g g 2 (a) 2.2. Elemi függvények Taylor-sorba fejtése Ebben a részben bevezetjük a Taylor-sorhoz tartozó elnevezéseket, a Taylorpolinom és a Taylor-sor konstrukcióját. Az y = f(x) függvény legyen az x = a helyen megfelel en sokszor dierenciálható függvény. Azt a T n (x) legfeljebb n-ed fokú polinomot, amely és amelynek els n darab deriváltja az x = a helyen megegyezik az f(x) függvénnyel, illetve ennek els n deriváltjával, hívjuk az x = a helyen az f(x) függvényhez rendelt n-ed fokú Taylor polinomnak. Ennek tehát a következ egyenl séget kell kiegyenlíteni: T n (a) = f(a) T n (k) (a) = f (k) (a), 8

9 ahol k =, 2,..., n. Ha az x = a hely speciálisan az origó, azaz a = 0, akkor a polinomot Maclaurin polinomnak nevezzük. Ha az f(x) függvény az x = a helyen végtelen sokszor dierenciálható, és formálisan felírjuk azt a hatványsort, amelynek formálisan számított dierenciálhányadosai az a helyen megegyeznek f(x) megfelel deriváltjával, akkor el állítjuk az f(x) Taylor sorát az x = a helyen. A hatványsort Maclaurin sornak hívjuk, ha speciálisan a = 0. A Taylor-polinomot, illetve a Taylor-sort lépésr l lépésre igen könnyen képezhetjük. A polinom, illetve hatványsor célszer általános alakja ez: n a k (x a) k, k= illetve a k (x a) k. k= Az f(a) = T n (a) követelményb l azonnal adódik, hogy a 0 = f(a). Az f (a) = T n(a) követelményb l is rögtön teljesíthet, mert - a deriválás szabályát alkalmazva - a következ t kapjuk: T n(x) = na n (x a) n k= és így T n(a) = a, tehát a = f (a). Ugyanígy adódik: T n (a) = 2 a 2 és így a 2 = f (a) 2! 9

10 azaz. T n (k) (a) = k! a k a k = f (k) (a) k! Ezekután a Taylor-sort T (x)-szel, a Maclaurin-sort pedig M(x)-szel jelölve a következ ket kapjuk: T n (x) = n f k (x a)k (a) ; T (x) = k! k=0 f k (a) k=0 (x a)k ; k! M n (x) = n f (k) (0) xk k! ; M(x) = f (k) (0) xk k! ; k=0 k=0 Természetesen felvet dik bennünk az a kérdés, hogy minden függvényt el állít-e a Taylor-sor valamilyen ( R, R) intervallumban? Nyilván nem, azokat biztosan nem, amik nem dierenciálhatóak akárhányszor. És mi a helyzet azokkal, amik akárhányszor dierenciálhatóak 0-ban? Azokkal két baj is lehet:.) lehet, hogy a konvergenciasugár 0, azaz csak a 0-ban konvergens. 2.) konvergens, de mégsem állítja el a függvényt. Erre példa a következ függvény: f(x) = { e x 2, ha x 0, 0, ha x = 0. Most rátérnénk az úgynevezett maradéktag jelent ségére, ami a függvény és az t approximáló Taylor-polinom eltérését adja meg. El ször kimondunk egy tételt, melyben deniáljuk, hogy mit is értünk maradéktag alatt: 0

11 4. Tétel:. (Taylor-tétel) Ha az f(x) függvény az a I intervallumon akárhányszor dierenciálható, akkor minden n pozitív egész és x A esetén f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! (x a) f (n) (a) (x a) n + R n (x), n! ahol R n (x) az úgynevezett maradéktag. Ennek Lagrange-féle alakja egy a és x közötti c-vel. R n (x) = f (n+) (c) (x a)n+ (n + )! 5. Tétel:. Ha létezik M konstans, amellyel x és a közötti valamennyi t esetén f (n+) (t) M, akkor a Taylor-tételben szerepl R n (x) maradéktag kielégíti az x a n+ R n (x) M (n + )! egyenl tlenséget. Amennyiben ez a feltétel teljesül minden n-re, akkor f(x) Taylor-sora f(x)-et állítja el. A maradéktag vizsgálata arra is felvilágosítást ad, hogy mennyire tér el a függvény és a Taylor-sor egymástól. El z ekben már felírt képletekb l ugyanis az derül ki, hogy a Taylor-sor n-edik része épp az n-edik Taylor-polinom, azaz a Taylor-sor a Taylor-polinomokból alkotott sorozat határfüggvénye. A Taylor-sor és a sorbafejett függvény eltérését tehát a polinomok maradéktagjaiból alkotott sorozat határfüggvénye jellemzi.

12 3. fejezet Végtelen sorok Formálisan egy (a n ) sorozat tagjait + jellel összekapcsolva egy (a n ) = a 0 + a a n +... n=0 végtelen sort kapunk. Az s n = a a n denícióval megadott sorozatot a n=0 (a n) = a 0 + a a n +... végtelen sor részletösszegei sorozatának nevezzük. Deníció: Az (a n ) számsorozatból képezett végtelen soron azt a rendezett párt értjük, amelynek els komponense az (a n ) sorozat, második komponense pedig az az (s n ) sorozat, melyre minden n esetén s n = n k= a k. Az (a n ) sorozatból képezett végtelen sornak - melynek jelölésére a (a n ) szimbólumot használjuk - az n-edik tagja az a n szám, n-edik részletösszege az s n szám, részletösszegsorozata az (s n ) sorozat. 3.. Konvergens sor deníciója, a konvergencia és a divergencia szükséges feltétele Deníció: Egy végtelen sort attól függ en nevezünk konvergensnek, illetve divergensnek, hogy részletösszeg-sorozata konvergens vagy divergens. Deníció: Egy n=0 a n sort abszolút konvergensnek mondjuk, ha a tagok 2

13 abszolút értékeib l alkotott n= a n sor konvergens. Ha egy sor konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor feltételesen konvergensnek mondjuk. Deníció: Ha a (a n ) végtelen sor részletösszeg-sorozatának van (véges vagy végtelen) határértéke, akkor ezt a határértéket a végtelen sor összegének nevezzük, és a n= a n szimbólummal jelöljük Egyszer bb konvergenciakritériumok Sok esetben egy a n konvergens-e vagy nem. 0 (n =, 2,...) sorról kell eldöntenünk, hogy Ezt könnyen el tudjuk dönteni a különböz konvergenciakritériumok segítségével. 6. Tétel:. Ha az (a n ) és (b n ) sorozatokra teljesül a következ két feltétel: (a.) Valamely ɛ küszöbindex fölötti minden egyes n egészre a n b n (b.) a (b n ) végtelen sor konvergens akkor a (a n ) sor abszolút konvergens. 7. Tétel:. (hányados-majoráns kritérium): Ha (c n ) pozitív tagú konvergens végtelen sor, N pedig olyan pozitív egész, amelyt l kezdve minden k egészre a k+ c k+, a k c k akkor a (a n ) végtelen sor abszolút konvergens. 8. Tétel:. Ha az (a n ) és (b n ) sorozatokra teljesül a következ két feltétel: (a.) Valamely ɛ küszöbindex felett minden n egészre a n b n (b.) n= a n = +, akkor n= b n = + 9. Tétel:. (hányados-minoráns kritérium): Ha (c n ) pozitív tagú divergens sor, N pedig olyan pozitív egész, amelyt l kezdve minden k egészre b n > 0, és b k+ b k c k+ c k, akkor a (b n ) végtelen sor is divergens. 3

14 Ezekután mutatunk két példát arra, hogy a hányados-majoráns és a hányadosminoráns kritériumokat hogyan tudjuk alkalmazni:.példa: Konvergens-e vagy divergens-e a következ sor? n 2 0n + 3. n=.példa megoldása: Mivel létezik n 0 úgy, hogy n 2 0n + 3 > n2 2, ha n > n 0. Ekkor a n=n 0 2 n 2 ezért az eredeti sorunk konvergens. konvergens sor majorálja a n=n 0 n 2 0n+3 sort, 2.Példa: Konvergens-e vagy divergens-e a következ sor? 2n +. n= 2.Példa megoldása: Mivel a n= 3 n= n divergens sor minorálja a n= n sor divergens és 3n < 2n+ 2n+. Ekkor az sort, ezért a sor divergens. 0. Tétel:. (Gyökkritérium): Legyen a n 0 minden n esetén, és legyen lim n n an = r. Ekkor n= a n sor r < esetén konvergens, ha r >, akkor divergens, míg ha r =, akkor lehet konvergens is és divergens is.. Tétel:. (Hányados kritérium): Legyen a n > 0 minden n esetén, és legyen a n+ lim = r. n a n Ekkor a n= a n sor r < esetén konvergens, ha r >, akkor divergens, míg ha r =, akkor lehet konvergens is és divergens is. A két kritérium tétel kimondása után is mutatunk egy-egy példát arra, hogy hogyan tudjuk alkalmazni ket. 3.Példa: Konvergens-e vagy divergens-e a következ sor? ( n ) n 3. 2 n= 4

15 3.Példa megoldása: A gyökkritériumot használva: n ( ) n 3 ( ) n = n 2 2 n 2 e <, ezért a sor konvergens. 4.Példa: Konvergens-e vagy divergens-e a következ sor? n= (n!) 2 (2n)!. 4.Példa megoldása: Alkalmazzuk a hányados kritériumot: a n+ a n = <, ezért a sor konvergens. [(n+)!] 2 [2(n+)]! (n!) 2 (2n)! = 2n! [(n+)!] 2 = (2n+2)! (n!) 2 (n+) 2 (2n+2)(2n+) 4 A végtelen sorok egy speciális osztályát alkotják azok, amelyeknek tagjai váltakozó el jellel követik egymást. Deníció: A a n sort Leibniz-típusúnak mondjuk, ha (a.) tagjai váltakozó el jel ek (azaz a n a n+ < 0), (b.) az a n számok csökken sorozatot alkotnak, (c.) lim a n = 0. A váltakozó el jel sort alternáló sornak is nevezzük. Egy végtelen sor tehát akkor Leibniz-típusú, ha alternáló és tagjainak abszolút értéke monoton módon tart nullához. 2. Tétel:. (Leibniz kritérium): Minden Leibniz-típusú sor konvergens. Ha a sor alternáló, de lim a n 0, akkor divergens is M veletek konvergens sorokkal A konvergens végtelen sorok a véges összegek általánosításának tekinthet k. Érdemes megvizsgálni, hogy a véges összegek szokásos tulajdonságai érvényben maradnak-e a végtelen sorokra. El ször vizsgáljuk meg a kommutativitás érvényességét. Nézzük a következ váltakozó el jel sorozatot: ( )n n +... = ln 2 5

16 Ezután mutassuk meg, hogy egy átrendezéssel a következ adódik: lim s 3n = n 2 ln 2 Cseréljük fel a sorban a tagok sorrendjét úgy, hogy egy pozitív tag után két negatív tag következzen, azaz vizsgáljuk az sor összegét. A sor s 3n alakú részletösszegei így írhatók fel: s 3n = ( ) + ( ) + ( ) ( ) = n 4n 2 4n = n 2 4n ( n 2n ). Mivel a sor s 3n+ és s 3n+2 alakú részletösszegei s 3n -t l csak 0-hoz tartó tagokban különböznek, ezért ezek határértéke is és így a sor összege is ln 2. 2 Példánk azt mutatja, hogy a végtelen sorokra általában nem érvényes a kommutativitás, tehát nem cserélhet fel a sor tagjainak sorrendje. meg: A disztributív tulajdonság megfelel jét egyszer formában így fogalmazhatjuk ha n= = a n konvergens sor, amelynek összege s és v tetsz leges valós szám, akkor n= = va n is konvergens és összege vs, azaz konvergens sorokra fennáll a következ egyenl ség: v a n = n= va n. Az el z egyenl ség igazolásához azt kell megjegyezni, hogy ha s n = n k= a k, n= akkor nyilván igaz a v lim n s n = lim n vs n egyenl ség. A disztributivitásnak egy általánosabb formáját is vizsgálhatjuk: Két konvergens végtelen sor szorzatáról milyen esetben igaz, hogy konvergens lesz? Két végtelen sor n= a n és n= b n szorzatát úgy értjük itt, hogy minden 6

17 tagot minden taggal megszorzunk, azaz képezzük az összes a k b l alakú tagok szorzatát, amelyeket a következ sémában foglalhatunk össze: a b, a b 2,..., a b n,... a 2 b, a 2 b 2,..., a 2 b n, a n b, a n b 2,..., a n b n,... Az így kapott tagokat valamilyen sorrendben össze kell adni Tétel:. (Riemann-tétel): Ha a k= a k sor konvergens, de a k= a k sor divergens, akkor k= a k sor tagjai átrendezhet k úgy, hogy az új sor összege tetsz leges, el re adott C valós szám legyen, vagy úgy is, hogy divergens legyen. Emiatt a tétel miatt nem mindegy, hogy milyen sorrendet választunk. Az egyik leggyakrabban alkalmazott szorzási szabály a Cauchy-féle szorzás. Deníció: Legyen adott a n=0 a n és n=0 b n végtelen sor. E két sor Cauchy-féle szorzatán értjük azt a n=0 c n sort, ahol c n = (a 0 b n + a b n a n b + a n b 0 ) = n a k b n k. k=0 A kérdés nyiván az, hogy ha az eredeti sorok konvergensek, akkor a szorzat konvergens-e egyeltalán, és ha igen, akkor összege megegyezik-e az eredeti sorok összegeinek szorzatával, azaz ( a n )( b n ) =? c n. n=0 n=0 n=0 4. Tétel:. (Mertens tétele): Ha a (a n ) és (b n ) végtelen sorok konvergensek, és egyikük abszolút konvergens, akkor Cauchy-féle szorzatuk is konvergens, és ennek összege a két sor összegének szorzata. 7

18 E tétel alapján nyilvánvaló, hogy ha mind a két sor abszolút konvergens, akkor a Cauchy-féle sorzatuk is konvergens, s t abszolút konvergens. Megjegyzés: (.) Konvergens (tehát nem abszolút konvergens) sorok Cauchy-féle szorzata lehet divergens is. (2.) Két divergens sor Cauchy-féle szorzata lehet konvergens, s t abszolút konvergens. (3.) Ha két konvergens sor Cauchy-féle szorzata konvergens, akkor összege egyenl a két sor összegének szorzatával. Most pedig mutatunk egy példát arra, hogy az el z eket hogyan is tudjuk alkalmazni: Példa: Állítsuk el az ( )n n +... = ln 2 és az n +... = konvergens sorok Cauchy-féle szorzatát. Megoldása: Az els sor: ( )n n +... = ln 2. Ez egy Leibniz-típusú sor, amib l az következik, hogy nem abszolút konvergens, mert tagjainak abszolút értékeib l képzett sor 2 3 n divergens. A sor tehát csak feltételesen konvergens. A második sor: abszolút konvergens n +... = Ekkor a szorzatsor konvergens lesz, összege pedig ln 2. Nézzük a szorzatsort: +( + ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) +... = + ( ) ( ) + ( + ) +... = ln

19 4. fejezet Függvénysorok 4.. A függvénysor fogalma Ebben a fejezetben deniáljuk a függvénysorok fogalmát, hogy a kés bbiek folyamán használni tudjuk a hatványsorok meghatározása során. Az el z fejezetben olyan végtelen sorokkal foglalkoztunk, amelynek tagjai számok voltak. Most legyenek a sor tagjai függvények. Deníció: Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük. Általános alakja f + f 2 + f f n +... = f n. Az f, f 2, f 3,..., f n,... függvények a függvénysor tagjai. Deníció: Ha a függvénysorozat az I intervallum minden pontjában konvergens, akkor a sorozatot az I intervallumon konvergensnek mondjuk, f pedig az (f n ) függvénysorozat határfüggvénye. Az így értelmezett konvergenciát pontonkénti konvergenciának is szokták nevezni. Azok az x számok, amelyeknél a sorozat konvergens, a függvénysorozat konvergenciatartományát alkotják. Jelölés A határfüggvény jelölése: lim n f n = f. Deníció: Az (f n ) függvénysorozat az I intervallumon pontosan akkor konvergens, ha bármely ɛ > 0-hoz és bármely x I helyhez van olyan N ter- n= 9

20 mészetes szám, hogy n > N és m > N esetén: f n (x) f m (x) < ɛ. Deníció: Az (f n ) függvénysorozat az I intervallumon egyenletesen konvergens, vagy más szóval egyenletesen tart az f határfüggvényhez, ha tetsz leges ɛ > 0 számhoz található N = N(ɛ), hogy n > N esetén az I intervallumban lev minden x-re f n (x) f(x) < ɛ. Jelölés: egyenletes konvergencia: f n f. A pontonkénti konvergenciánál láttuk, hogy az N küszöbszám függ ɛ-tól és x-t l is. Az egyenletes konvergenciánál viszont N függetleníthet x-t l, vagyis N minden x H esetén köszöbszám. Könnyen átgondolható az, hogy az egyenletes konvergencia er sebb a pontonkénti konvergenciánál. Ebb l a következ állítást fogalmazhatjuk meg: Állítás: Ha (f n ) egyenletesen tart f-hez, akkor pontonként is. 20

21 5. fejezet Hatványsorok Ebben a fejezetben az x paramétert tartalmazó (a n (x c) n ) alakú sorozatokból képezett végtelen sorokkal foglalkozunk, ezeket nevezzük hatványsoroknak. Itt sorozaton általában a nemnegatív egészek halmazán értelmezett függvényt értünk. Deníció: Az c = 0 hely körüli hatványsornak nevezzük a a n x n = a 0 + a x + a 2 x a n x n +... n=0 alakú függvénysort. Az x = c körüli hatványsor: a n (x c) n = a 0 + a (x c) + a 2 (x c) a n (x c) n +... n=0 Itt a c számot a hatványsor középpontjának, az a 0, a, a 2,..., a n,... valós számokat pedig a hatványsor együtthatóinak nevezzük. 5. Tétel:. Minden n=0 a nx n alakú sorhoz van olyan 0 R érték, amelyre x < R esetén a sor abszolút konvergens, x > R esetén pedig a sor divergens. Ezt az R számot a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. Nézzük meg a következ ábrát, ami a konvergencia illetve a divergencia tartományát próbálja szemléltetni: 2

22 Ezenkívül megjegyezzük még, hogy a konvergenciaintervallum végpontjaiban, vagyis x = R és x = R helyeken külön meg kell vizsgálni, hogy a hatványsor konvergens-e vagy sem. A konvergenciaintervallum középpontját, konvergenciaközéppontnak is nevezhetjük. Ezután térjünk rá arra, hogy egy hatványsor mikor lesz dierenciálható. 6. Tétel:. Ha a n=0 a nx n hatványsor konvergenciasugara R > 0, és összegfüggvénye f(x), akkor minden x ( R, R)-re fennáll, hogy f(x) dierenciálható és f (x) = n a n x n. n= Az el z tételhez még hozzáf zzük, hogy a hatványsor dierenciálását szabad tagonként végezni, mivel az a 0 + a x + a 2 x a n x n +... hatványsor tagonkénti deriválásával nyert sor maga is hatványsor lesz: a + 2 a 2 x n a n x n

23 7. Tétel:. Ha a n=0 a nx n hatványsor konvergenciasugara R > 0, és összegfüggvénye f(x), akkor minden x ( R, R)-re fennáll, hogy f(x) tetsz legesen sokszor dierenciálható és f (k) (x) = f (x) = f (x) = (n + )a n+ x n, n=0 (n + 2)(n + )a n+2 x n, n=0. (n + k)(n + k )...(n + )a n+k x n. n=0 Következmény: Minden hatványsor az összegfüggvényének Taylor-sora, mivel az el z tétel szerint f (k) (x 0 ) = k (k )... a k azaz a k = f k (x 0 ) valamint k! f(x 0 ) = a 0. 23

24 6. fejezet Végtelen sorok és hatványsorok alkalmazásai 6.. Mértani sor segítségével megoldható példa Ez a példa azt próbálja bemutatni, hogy hogyan tudjuk eldönteni egy sor összegét és konvergenciáját. Példa: Határozzuk meg a sor összegét (ha konvergens). n=0. Megoldás: El ször egy olyan geometriai módszert mutatunk be, amely akár általános iskolában is tárgyalható. Vezessük be a geometriai sor denícióját, mert kés bb szükségünk lesz rá. Deníció: A n 2 n a q n n=0 alakú sort mértani (geometriai) sornak nevezzük. 8. Tétel:. Az n=0 a qn alakú mértani sor (a 0 esetén) akkor és csak akkor konvergens, ha q < és ekkor összege a. q 24

25 Az ábra alapján világos, hogy az A, A 2,..., A n,... téglalapok területei éppen 2, 2 2, 2 n,..., a B, B 2,...B n,... téglalapoké pedig, 2,..., 2 n,... Viszont a bal oldali síkidomot eltolva a jobb oldaliba éppen az adódik, hogy a két síkidom területe megegyezik, azaz n +... = n +... Viszont a jobb oldali sor egy a =, q = 2 paraméter geometriai sor, így összege 2, tehát a példában lev sornak is 2 az összege. 2. Megoldás: Írjuk fel a sort részletesen: Bontsuk fel a sort a következ képpen: n 2 n n +... = n +... = n +... =

26 A fenti sorok mind mértani sorok, így könnyen adódtak az eddigiek alapján az egyenl ségek jobb oldalán szerepl számok. Ha tekintjük a jobb oldali oszlop elemeit, azok a következ végtelen sort adják: n +... = 2 = 2, hiszen ez egy a =, q = paraméterekkel rendelkez mértani sor. Tehát a 2 kérdéses sor konvergens, és összege Harmonikus sor segítségével megoldható példa Ezekután a harmonikus sorral kapcsolatban adok egy motiváló példát. Deníció: Harmonikus sornak nevezzük a következ sort: n +... = n= n. Valamint kimondok egy tételt, mert a következ példa megoldásához szükségünk lesz rá. 9. Tétel:. A n= n harmonikus sor divergens. Ez a következ képletb l következik: ( lim a n = lim + n n ) n =. A képlet ugyanis azt fejezi ki, hogy a harmonikus sor n-edik részletösszege a -be tart, ha n. Ezekután oldjuk meg a következ példát. Példa: Egy autóval át akarunk kelni a sivatagon. A sivatag szélén korlátlan mennyiség üzemanyag van, a sivatagban jelenleg nincs. Egy tankolással nem tudunk átkelni, de lerakatokat készíthetünk. 26 Adjunk meg egy olyan

27 eljárást, mellyel át tudunk kelni bármilyen széles sivatagon! Megoldás: egységnek vegyünk tankolásnyi benzint, és ezzel megtehet utat is vegyünk egységnek. Világos, hogy egységnyi benzinnel egység mélyen jutunk be a sivatagba. Mit csináljunk 2 egység benzinnel? Tegyen meg egység utat az autó, ott 3 rakjon le egység benzint és menjen vissza a maradékkal a kiindulópontra, 3 vegye fel a második egység benzint és ismét induljon, vegye fel az el bbi egységnyi lerakatot, így még egységgel távolabb tud jutni. Azaz 2 egységgel + egység mélyen hatol be a sivatagba. 3 Nézzük, 3 egységgel hogy járhat el. egység felvételével egység út megtételével 3 egység benzint rakjon le és menjen vissza, majd ezt ismételje meg a má- 5 5 sodik egység benzinnel, majd a harmadik egységgel indulva eljut a lerakatig, a tankban 4 5 és az ott lev 6 egység benzinnel összesen 2 egység van a 5 lerakatnál, ahonnan az el z módszerrel + egységgel mélyebbre tud hatolni, azaz így 3 egység benzinnel + + egységnyi utat tesz meg Így folytatva, n egység benzinnel egységnyi távolságra 3 5 2n juthat el, és mivel a harmonikus sor divergenciája miatt az sor is divergens, amib l az következik, hogy bármilyen nagy M számot is adunk meg, tudjuk n-et úgy választani, hogy > M 3 5 2n 2n legyen, így bármilyen széles a sivatag, át tud rajta kelni. Be lehet látni, hogy az el bb kapott egység a legnagyobb távolság, ameddig 3 5 2n az autó n egységnyi benzinnel eljuthat Hatványsorok alkalmazása a számelmélet témakörében Most egy szép alkalmazását mutajuk meg a hatványsoroknak. Ez az ún. analitikus számelmélet témakörébe tartozik és lineáris felbontásnak (vagy pénzváltási problémának) nevezik. Azt a kérdést vetjük fel, hányféleképpen oldható meg a c x + c 2 x c k x k = n 27

28 egyenlet, ahol c i, x i (i =, 2,..., k) és n természetes számok? Más szavakkal az a kérdés, hogy hányféleképpen lehet egy n forintost felváltani c, c 2,..., c k címlet bankjegyekre? Vagy n forintból hányféleképpen tudunk vásárolni c, c 2,..., c k címlet bélyegeket. A következ példában ennek egy speciális esetét oldjuk meg. Példa: Hány (x, x 2 ) megoldása van az x + 2x 2 = n egyenleteknek, ahol x, x 2, n természetes számok? Megoldás: Mivel a megoldások száma csak n-t l függ, így jelölhetjük t(n)- nel. Induljunk ki az alábbi hatványsorokból ( x < ): x n = + x + x x n +... = x = f (x), n=0 (*) n=0 x 2n = + x 2 + x x 2n +... = x 2 = f 2(x), ahol a kitev k a c = és c 2 = 2 együtthatók többszörösei. Jelölje f(x) a fenti két függvény szorzatát, azaz legyen f(x) = f (x) f 2 (x) = Az f(x) hatványsor kifejtésében minden tag ( x)( x 2 ). x x x 2x 2 = x x +2x 2 = x n alakú lesz, hiszen (*)-ban a bal oldalak összeszorzásából ilyen tagok adódnak, és ilyen tag éppen annyi lesz, ahányféleképpen el áll az x + 2x 2 = n eset, azaz ahány megoldása van a kérdéses egyenletnek, más szóval, x n együtthatója minden n-re megadja az t(n) értéket. Tehát f(x) hatványsor kifejtése f(x) = t(n)x n. n=0 28

29 Feladatunk a t(n) értékek meghatározása. El ször az f(x) = ( x)( x 2 ) törtet bontsuk fel elemi törtekre az ismert módon, azaz adjuk meg az A, B, C számokat úgy, hogy ( x)( x 2 ) = ( x 2 )( + x) = A ( x) + B 2 ( x) teljesüljön. oldal nevez jével: C + x Hogy meghatározzuk az együtthatókat, szorozzuk végig a bal = A( + x) + B( x)( + x) + C( x) 2. Itt, ha x helyébe rendre a, és 0 értékeket helyettesítjük, akkor A = 2, C = 4, B = 4 f(x) = 2 adódik. Tehát ( x) ( x) + 4 ( + x). Most feladatunk az x n együtthatóinak meghatározása. Ezért ( x) 2 helyett írjunk ( x ) -t, hogy majd a megfelel hatványsor tagonkénti deriváltjával könnyen meg tudjuk határozni az x n együtthatóit. Így f(x) a következ alakban írható fel: f(x) = 2 ( ) + x 4 x x. Mivel x = + x + x x n +... ( ) = + 2x (n + )x n +... x + x = + x + x ( ) n x n +..., ezért az x n együtthatóit összegy jtve, gyelembe véve az f(x) kifejezésében szerepl együtthatókat is, t(n)-re a következ t kapjuk: t(n) = 2 (n + ) ( )n 4. Ez a t(n) érték adja a példa megoldását. Például, ha n = 0, akkor t(n) = 6, ami azt jelenti, hogy 0 forintot 6 féleképpen tudunk kizetni és 2 forintos érmékkel. 29

30 6.4. Néhány ismert függvény Taylor-sora, azaz hatványsora Els ként megjegyeznénk, hogy ha egy függvény el áll egy hatványsor összegeként, akkor az csak a függvény Taylor-sora lehet, mert ha egy f(x) függvény hatványsorba fejthet, akkor abból az következik, hogy akárhányszor dierenciálható. Továbbá a hatványsor n-edik együtthatója c n a következ alakban áll el : c n = f (n) (a) n!. Ez pedig a Taylor-sor deníciója szerint azt jelenti, hogy az f(x) függvényt el állító hatványsor nem más, mint az f(x) Taylor-sora. Ezek után írjuk fel néhány ismert függvény Taylor-sorát, azaz hatványsorát. e x = + x! + x2 2! xn n! +... = n=0 n=0 x n n!, x R. cos x = x2 2! + x4 x2n ( )n 4! (2n)! +... = ( ) n x2n (2n)!, x R. sin x = x x3 x 2n+ 3! +x5 5! +...+( )n (2n + )! +... = ( ) n x 2n+ (2n + )!, x R. Ezek közül a sin x = n=0 formulával foglalkozunk részletesebben. Példa: Bizonyítsuk be, hogy a minden valós x-re fennáll. sin x = n=0 n=0 ( ) n x 2n+ (2n + )! ( ) n x 2n+ (2n + )! Megoldás: Legyen f(x) = sin x és számítsuk ki az f (n) (0) deriváltakat. Mivel (sin x) 0 = cos x 0 =, (sin x) 0 = sin x 0 = 0, 30

31 (sin x) 0 = cos x 0 =, (sin x) iv 0 = sin x 0 = 0, ezért ezekkel az együtthatókkal valóban a sin x = n=0 sor konstruálható meg, azaz a Taylor-sor: ( ) n x 2n+ (2n + )! x x3 3! + x5 5! x7 7! ( )n x 2n+ (2n + )! Dierenciálegyenlet megoldása hatványsorokkal A következ alkalmazásként dierenciálegyenletek megoldását fogjuk tárgyalni. Nagyon sok olyan dierenciálegyenlet van, amely a szokásos integrálással nem oldható meg olyan módon, hogy elemi függvények segítségével felírható legyen a megoldás Az els rend dierenciálegyenletek megoldása általános hatványsorok segítségével El ször az els rend dierenciálegyenletek megoldásával foglalkozunk. Rögtön mutatunk is egy példát, hogy hogyan tudjuk megoldani hatványsorok segítségével. Példa: Határozzuk meg az y = 2x y x dierenciálegyenlet megoldását hatványsorok segítségével. Megoldás: Az f(x, y) = 2x y x értelmezve, legyen tehát x. Tegyük fel, hogy az egyenlet megoldása függvény az x = egyenes mentén nincs y(x) = a 0 + a x + a 2 x a n x n

32 alakú. Ekkor y (x) = a + 2a 2 x + 3a 3 x na n x n +... Visszahelyettesítve a dierenciálegyenletbe ( x)(a + 2a 2 x + 3a 3 x na n x n +...) = = 2x (a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n +...). A szorzást elvégezve és az egyenl fokszámú tagok együtthatóit összehasonlítva: a = a 0 2a 2 a = 2 a, a 2 =, 3a 3 2a 2 = a 2, a 3 = a 2 3 = 3, 4a 4 3a 3 = a 3, a 4 = a 3 2 = 6, és így. na n (n )a n = a n a n = n 2 n a n, a n = n 2 n a n = = = (n 2)(n 3) a n 2 = n(n ) (n 2)(n 3)(n 4) a n 3 =... = n(n )(n 2) (n 2)(n 3)(n 4)... 2 a 2 = n(n )(n 2) = 2, ha n 2. n(n ) Így a keresett hatványsor y(x) = a 0 a 0 x + x 2 + x3 3 + x4 6 + x n(n ) xn +... = a 0 ( x) + n= n(n ) xn.

33 Nézzük meg, milyen x értékekre konvergens ez a sor. A Cauchy-féle hányadoskritériumot alkalmazva lim a n+ n a n = lim 2x n+ n (n + )n = x lim n n(n ) (n + )n = x A sor tehát akkor konvergens, ha x q <. n(n ) 2x n = Ezután a példa után mutatunk egy olyat, aminek a megoldását megkeressük hatványsor alakban és Taylor-sor alakban is. Példa: Határozzuk meg az y = x + y dierenciálegyenlet általános megoldását hatványsor alakban. Megoldás: Feltételezzük, hogy a megoldás el áll y = a 0 + a x + a 2 x a n x n +... hatványsor alakban. Tagonkénti deriválás után: y = a + 2a 2 x + 3a 3 x na n x n Helyettesítsük be ezeket a dierenciálegyenletbe: a + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + 4a 4 x 3... = x + a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x , vagy másképp: a + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + 4a 4 x = a 0 + (a + )x + a 2 x 2 + a 3 x Ez pedig x-ben identikusan csak akkor állhat fenn, ha x megfelel hatványainak együtthatói mindkét oldalról megegyeznek, azaz a = a 0, 2a 2 = a +, 33

34 3a 3 = a 2, 4a 4 = a 3,. Ebb l következik, hogy a = a 0, a 2 = a 0 + 2, a 3 = a , a 4 = a ,. Tehát y = a 0 + a 0 x + a 0 + 2! = (a 0 + ) x 2 + a 0 + 3! ( + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! +... = (a 0 + )e x x. x 3 + a 0 + x = 4! ) x = Az els rend dierenciálegyenletek megoldása Taylorsorokkal El ször mutatunk egy példát, amely segítségével megoldunk egy els rend dierenciálegyenletet. Majd a második példában az el z alfejezet második feladatát oldjuk meg Taylor-sor módszerével. Megmutatjuk, hogy mindkét módszer során ugyanazt az eredményt kapjuk a dierenciálegyenletre. Példa: Határozzuk meg Taylor-sor segítségével az y = 3x + y 2 dierenciálegyenletnek az y(0) = feltételnek eleget tev partikuláris megoldását! Megoldás: Esetünkben x 0 = 0, y 0 =, f(x 0 ) = y 0 =. y = f (x) = 3x + y 2, g (x 0 ) =, 34

35 y = f (x) = 3 + 2yy, g (x 0 ) = 5, y = f (x) = 2(y ) 2 + 2yy, g (x 0 ) = 2, y IV = f (4) (x) = 6y y + 2yy, g (4) (x 0 ) = 54, y V = f (5) (x) = 6(y ) 2 + 8y y + 2yy (4), g (5) (x 0 ) = 354, és így tovább. A megoldás tehát y = +! (x 0) + 5 2! (x 0) ! (x 0) ! (x 0) ! (x 0)5 +..., illetve y = + x x2 + 2x x x Most pedig nézzük a már hatványsorral megoldott feladat levezetését Taylor-sorral. Példa: Határozzuk meg az y = x + y dierenciálegyenlet általános megoldását Taylor-sor alakjában. Megoldás: Feltesszük azt, hogy ha x = 0, akkor y(0) = a 0. Ekkor az adott dierenciálegyenlet szerint y (0) = a 0. Képezzük az ismeretlen függvény magasabb rend deriváltjait: y = + y, y = y, y (4) = y, y (5) = y 4,. 35

36 Behelyettesítve az x = 0, y(0) = y (0) = a 0 értékeket: Mivel y = y(x) Taylor-sora y(x) = y(0) + y (0)! ezért a mi esetünkben: y (0) = a 0 +, y (0) = a 0 +, y (4) (0) = a 0 +, y (5) (0) = a 0 +,. x + y (0) 2! x 2 + y (0) x 3 + y(4) 3! 4! x4 +..., y = a 0 + a 0 x + a 0 + x 2 + a 0 + x 3 + a 0 + x = 2! 3! 4! ) = (a 0 + ) ( + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! +... x = (a 0 + )e x x Másodrend dierenciálegyenletek megoldása hatványsorok segítségével Az els rend dierenciálegyenletek megoldását megadó módszerek közül a hatványsorokkal történ megoldás, a másodrend dierenciálegyenletre is alkalmazható egyes esetekben. Erre mutatunk most példát. Példa: Oldjuk meg a következ másodrend dierenciálegyenletet a mellékelt kezdeti feltételek mellett: y + xy = 0, y(0) = 0, y (0) =. Megoldás: El ször azt hangsúlyozzuk, hogy itt nem foglalkozunk azzal, 36

37 hogy egyáltalán létezik-e megoldás, hány megoldás van és a megoldás milyen intervallumon elégíti ki az egyenletet, csupán egy formális módszert mutatunk meg. Keressük tehát a megoldást az y = a 0 + a x + a 2 x a n x n +... hatványsor alakban. Tagonkénti deriválással az adódik, hogy y = 2 a a 3 x n(n )a n x n Írjunk fel egy egyenletet is ezen hatványsorok segítségével: (2 a a 3 x+...+n(n )a n x n )+x(a 0 +a x+a 2 x a n x n +...) = 0. Egyenl vé téve a megfelel fokszámú tagok együtthatóit 0-val, az alábbi egyenl ségek adódnak: 2 a 2 = a 3 + a 0 = a 4 + a = 0. n(n )a n + a n 3 = 0 Ezekb l az egyenletekb l az együtthatókra az alábbi adódik:. a 2 = 0, a 3 = a 0 2 3, a 4 = a 3 4, a 5 = a = 0, általában a 6 = a = a , a 7 = a = a , a 3k = 0, a 3k = ( ) k a (3k )3k, 37

38 a 3k+ = ( ) k a k(3k + ). Az a 0 és a együtthatókat a kijelölt kezdeti feltételek határozzák meg. Nevezetesen y(0) = 0 a 0 = 0, y (0) = a =. Tehát ebben a konkrét megoldásban akkor az együtthatók a következ k lesznek: a 3k = 0, Így a megoldás: a 3k+ = a 3k = 0, ( ) k k(3k + ). y = x x x ( )k x 3k k(3k + ) +... Könnyen igazolható egyébként, hogy ennek a hatványsornak a konvergenciasugara végtelen, tehát minden x esetén abszolút konvergens a sor. Differenciálással igazolható, hogy ez a függvény valóban megoldása az adott egyenletnek Összegzés A dolgozat során bepillantást nyertünk a hatványsorokba és alkalmazásaikba. Az elején bevezettünk számos deníciót, tételt, amiket a dolgozat során felhasználtunk. Ezekután foglalkoztunk a dierenciálszámítással, és a függvények Taylor-sorba fejtésével, majd bevezettük a sorokat és kimondtuk a különböz konvergenciakritériumokat. Foglalkoztunk a függvénysorokkal, mert enélkül nem tudtuk volna deniálni a hatványsorokat. A hatványsorok áttekintése után tértünk át az alkalmazásokra, ahol a megértést segít feladatokat mutattunk be. Itt láthattuk, hogy a hatványsoroknak milyen 38

39 szerteágazó lehet a használata. Láttunk példát arra, hogy hogyan tudjuk kiszámítani egy sor konvergenciáját mértani sor segítségével, majd hogy hogyan tudunk a sivatagban eljutni A-ból B-be, úgy hogy benzin lerakatokat készítünk. Bepillantást nyertünk a számelmélet témekörébe is. Ebben a fejezetben azt néztük meg, hogy egy adott egyenletnek hány különböz megoldása lehet. A következ példa során áttekintettük azt, hogy hogyan tudjuk megadni egy függvény hatványsorát, azaz Taylor sorát. Az utolsó alfejezetben foglalkoztunk a dierenciálegyenletekkel. Áttekintettük az els és másodrend dierenciálegyenleteket. Néztünk olyan megoldást is, amit hatványsor-módszerrel és néztünk olyat is, amit Taylor-sor módszerrel is meg tudunk oldani. A dolgozat célja az volt, hogy bemutassa a hatványsorok széleskör alkalmazását, nem kihagyva az alapfogalmakat, alaptételeket. 39

40 Irodalomjegyzék [] Bárczy Barnabás Dierenciálszámítás M szaki Könyvkiadó, Budapest (2005) [2] Dr. Frey Tamás: M szaki Matematikai Gyakorlatok Tankönyvkiadó, Budapest (965) [3] Bátkai András: Hatványsorok, függvénysorok ELTE kézirat [4] Bátkai András: Egyváltozós függvények dierenciálszámítása ELTE kézirat [5] Szilágyi Tivadar: Végtelen sorok, hatványsorok ELTE kézirat [6] Császár Ákos Végtelen sorok Tankönyvkiadó, Budapest (988) [7] Németh József El adások a végtelen sorokról Poligon, Szeged (2002) [8] Obádovics J. Gyula,Szarka Zoltán Fels bb matematika Scolar kiadó, Budapest (2002) [9] Denkinger Géza Analízis Tankönyvkiadó, Budapest (987) [0] Urbán János Határértékszámítás M szaki Könyvkiadó, Budapest (2004) [] Dr. Bajcsay Pál Közönséges dierenciálegyenletek I-II. Tankönyvkiadó, Budapest (965) 40

41 [2] Scharnitzky Viktor Dierenciálegyenletek M szaki Könyvkiadó, Budapest (2003) 4