Differenciál és integrálszámítás diszkréten
|
|
|
- Henrik Pap
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
2 Differenciál- és integrálszámítás dióhéjban Függvények deriváltja Legyen f : I R esetén f f (x + h) f (x) (x) := lim. h 0 h Függvények határozott integrálja Legyen f : I R esetén b Newton Leibniz-formula Ha [a, b] I, akkor a f (x)dx := lim b a n f (ξ i )(t i t i 1 ). i=1 f (x)dx = f (b) f (a) feltéve, hogy f : I R differenciálható és f korlátos és mm. folytonos (Riemann-integrál); f : I R differenciálható és f korlátos (Lebesgue-integrál); f : I R differenciálható (Kurzweil Hennstock-integrál). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. / 16
3 Differenciál- és integrálszámítás dióhéjban Függvények deriváltja Legyen f : I R esetén f f (x + h) f (x) (x) := lim. h 0 h Függvények határozott integrálja Legyen f : I R esetén b Newton Leibniz-formula Ha [a, b] I, akkor a f (x)dx := lim b a n f (ξ i )(t i t i 1 ). i=1 f (x)dx = f (b) f (a) feltéve, hogy f : I R differenciálható és f korlátos és mm. folytonos (Riemann-integrál); f : I R differenciálható és f korlátos (Lebesgue-integrál); f : I R differenciálható (Kurzweil Hennstock-integrál). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. / 16
4 Differenciál- és integrálszámítás dióhéjban Függvények deriváltja Legyen f : I R esetén f f (x + h) f (x) (x) := lim. h 0 h Függvények határozott integrálja Legyen f : I R esetén b Newton Leibniz-formula Ha [a, b] I, akkor a f (x)dx := lim b a n f (ξ i )(t i t i 1 ). i=1 f (x)dx = f (b) f (a) feltéve, hogy f : I R differenciálható és f korlátos és mm. folytonos (Riemann-integrál); f : I R differenciálható és f korlátos (Lebesgue-integrál); f : I R differenciálható (Kurzweil Hennstock-integrál). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. / 16
5 Sorozatok Számsorozatok Valós (komplex) számsorozat alatt egy a természetes számok halmazán értelmezett valós (komplex) értékű függvényt értünk. Jelölések: Egy a : N R sorozatot szokás (a 1, a,..., a n,... ) módon, illetve (a n ) n N -nel, vagy még egyszerűbben (ha ez nem okozhat félreértést) (a n )-nel jelölni. Pl.: (1,,..., n,... ), (n + 3n), ( n), ( 1 n ). ( 1 ) Szoros értelemben nem sorozat (mert nincs első tagja), ezért n 1 néha sorozat alatt értjük az N halmaz valamely részhalmazán értelmezett függvényeket is. Tehát, tágabb értelemben ( 5 n) is sorozat (holott csak 5 tagja van). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
6 Sorozatok Számsorozatok Valós (komplex) számsorozat alatt egy a természetes számok halmazán értelmezett valós (komplex) értékű függvényt értünk. Jelölések: Egy a : N R sorozatot szokás (a 1, a,..., a n,... ) módon, illetve (a n ) n N -nel, vagy még egyszerűbben (ha ez nem okozhat félreértést) (a n )-nel jelölni. Pl.: (1,,..., n,... ), (n + 3n), ( n), ( 1 n ). ( 1 ) Szoros értelemben nem sorozat (mert nincs első tagja), ezért n 1 néha sorozat alatt értjük az N halmaz valamely részhalmazán értelmezett függvényeket is. Tehát, tágabb értelemben ( 5 n) is sorozat (holott csak 5 tagja van). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
7 Sorozatok Számsorozatok Valós (komplex) számsorozat alatt egy a természetes számok halmazán értelmezett valós (komplex) értékű függvényt értünk. Jelölések: Egy a : N R sorozatot szokás (a 1, a,..., a n,... ) módon, illetve (a n ) n N -nel, vagy még egyszerűbben (ha ez nem okozhat félreértést) (a n )-nel jelölni. Pl.: (1,,..., n,... ), (n + 3n), ( n), ( 1 n ). ( 1 ) Szoros értelemben nem sorozat (mert nincs első tagja), ezért n 1 néha sorozat alatt értjük az N halmaz valamely részhalmazán értelmezett függvényeket is. Tehát, tágabb értelemben ( 5 n) is sorozat (holott csak 5 tagja van). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
8 Nevezetes sorozatok Számtani sorozat Ha egy (a n ) sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 + a n+1, akkor a sorozatot számtani sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 3, 4,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 + (n 1)d. Geometriai sorozat Ha egy (a n ) nemnegatív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 a n+1, akkor a sorozatot geometriai sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 4, 8,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 q n 1 Harmonikus sorozat Ha egy (a n ) pozitív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1a n+1, akkor a sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. a n 1 + a n+1 Pl.: (1, 1, 1 3, 1 4,..., 1 n,... ). Képlete: a n = a 1 1+(n 1)da 1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
9 Nevezetes sorozatok Számtani sorozat Ha egy (a n ) sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 + a n+1, akkor a sorozatot számtani sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 3, 4,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 + (n 1)d. Geometriai sorozat Ha egy (a n ) nemnegatív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 a n+1, akkor a sorozatot geometriai sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 4, 8,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 q n 1 Harmonikus sorozat Ha egy (a n ) pozitív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1a n+1, akkor a sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. a n 1 + a n+1 Pl.: (1, 1, 1 3, 1 4,..., 1 n,... ). Képlete: a n = a 1 1+(n 1)da 1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
10 Nevezetes sorozatok Számtani sorozat Ha egy (a n ) sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 + a n+1, akkor a sorozatot számtani sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 3, 4,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 + (n 1)d. Geometriai sorozat Ha egy (a n ) nemnegatív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 a n+1, akkor a sorozatot geometriai sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 4, 8,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 q n 1 Harmonikus sorozat Ha egy (a n ) pozitív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1a n+1, akkor a sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. a n 1 + a n+1 Pl.: (1, 1, 1 3, 1 4,..., 1 n,... ). Képlete: a n = a 1 1+(n 1)da 1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
11 Összegképletek I. A sor fogalma Adott (a n ) számsorozat esetén képezzük az s 1 := a 1, s := a 1 + a,... s n := a 1 + a + + a n,... sorozatot. Ezt az (a n ) sorozatból képzett sornak nevezzük és ( a n )-nel jelöljük. Számtani sor Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Bizonyítás: ( = n a 1 + (n 1) d ). s n = (a 1 + a + + a n 1 + a n ) + (a n + a n a + a 1 ) = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + + (a n 1 + a ) + (a n + a 1 ) = n(a 1 + a n ). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
12 Összegképletek I. A sor fogalma Adott (a n ) számsorozat esetén képezzük az s 1 := a 1, s := a 1 + a,... s n := a 1 + a + + a n,... sorozatot. Ezt az (a n ) sorozatból képzett sornak nevezzük és ( a n )-nel jelöljük. Számtani sor Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Bizonyítás: ( = n a 1 + (n 1) d ). s n = (a 1 + a + + a n 1 + a n ) + (a n + a n a + a 1 ) = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + + (a n 1 + a ) + (a n + a 1 ) = n(a 1 + a n ). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
13 Összegképletek I. A sor fogalma Adott (a n ) számsorozat esetén képezzük az s 1 := a 1, s := a 1 + a,... s n := a 1 + a + + a n,... sorozatot. Ezt az (a n ) sorozatból képzett sornak nevezzük és ( a n )-nel jelöljük. Számtani sor Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Bizonyítás: ( = n a 1 + (n 1) d ). s n = (a 1 + a + + a n 1 + a n ) + (a n + a n a + a 1 ) = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + + (a n 1 + a ) + (a n + a 1 ) = n(a 1 + a n ). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
14 Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n n(n + 1) = ( 1 = 1 ) 1 ( ( ) n 1 ) n (n + 1) n n(n + 1) = n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
15 Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n n(n + 1) = ( 1 = 1 ) 1 ( ( ) n 1 ) n (n + 1) n n(n + 1) = n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
16 Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n n(n + 1) = ( 1 = 1 ) 1 ( ( ) n 1 ) n (n + 1) n n(n + 1) = n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
17 Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n n(n + 1) = ( 1 = 1 ) 1 ( ( ) n 1 ) n (n + 1) n n(n + 1) = n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
18 A bizonyítások összevetése Melyik bizonyítás az általánosabb? Hogyan lehet általánosabb sorozatok összegképletét meghatározni? Van-e univerzális összegző módszer? Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
19 A bizonyítások összevetése Melyik bizonyítás az általánosabb? Hogyan lehet általánosabb sorozatok összegképletét meghatározni? Van-e univerzális összegző módszer? Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
20 A bizonyítások összevetése Melyik bizonyítás az általánosabb? Hogyan lehet általánosabb sorozatok összegképletét meghatározni? Van-e univerzális összegző módszer? Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
21 A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
22 A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
23 A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
24 A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
25 Differencia-sorozat és primitív sorozat Differencia-sorozat (Diszkrét derivált) Legyen (a n ) egy számsorozat. Ekkor a a n := a n+1 a n (n N) képlettel megadott sorozatot (a n ) (első) differencia sorozatának nevesszük. Primitív sorozat (Diszkrét primitív függvény) Egy (b n ) sorozatot az (a n ) sorozat primitív sorozatának mondunk, ha b n = a n (n N). Diszkrét Newton Leibniz-tétel Ha (b n ) sorozat az (a n ) sorozat egy primitív sorozata, akkor s n = a 1 + a + + a n = (b b 1 ) + (b 3 b ) + + (b n+1 b n ) = b n+1 b 1 (n N). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
26 Differencia-sorozat és primitív sorozat Differencia-sorozat (Diszkrét derivált) Legyen (a n ) egy számsorozat. Ekkor a a n := a n+1 a n (n N) képlettel megadott sorozatot (a n ) (első) differencia sorozatának nevesszük. Primitív sorozat (Diszkrét primitív függvény) Egy (b n ) sorozatot az (a n ) sorozat primitív sorozatának mondunk, ha b n = a n (n N). Diszkrét Newton Leibniz-tétel Ha (b n ) sorozat az (a n ) sorozat egy primitív sorozata, akkor s n = a 1 + a + + a n = (b b 1 ) + (b 3 b ) + + (b n+1 b n ) = b n+1 b 1 (n N). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
27 Differencia-sorozat és primitív sorozat Differencia-sorozat (Diszkrét derivált) Legyen (a n ) egy számsorozat. Ekkor a a n := a n+1 a n (n N) képlettel megadott sorozatot (a n ) (első) differencia sorozatának nevesszük. Primitív sorozat (Diszkrét primitív függvény) Egy (b n ) sorozatot az (a n ) sorozat primitív sorozatának mondunk, ha b n = a n (n N). Diszkrét Newton Leibniz-tétel Ha (b n ) sorozat az (a n ) sorozat egy primitív sorozata, akkor s n = a 1 + a + + a n = (b b 1 ) + (b 3 b ) + + (b n+1 b n ) = b n+1 b 1 (n N). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
28 Sorozatok differenciálása A differencia-operátor tulajdonságai Linearitás: (a n + b n ) = a n + b n, Homogenitás: (ca n ) = c (a n ), Leibniz-szabály: (a n b n ) = a n+1 b n + b n a n. Monomiális és polinomiális sorozatok differenciálása ( ) k n k = (n + 1) k n k = n k + n k ( ) ( ) k k = n k n k 1 ( ) k n + 1 n k k 1 Így egy k-adfokú polinomiális sorozat differenciasorozata k 1-edfokú. Ezért egy k-adfokú polinomiális sorozat primitív sorozata k + 1-edfokú. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
29 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
30 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
31 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
32 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
33 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
34 Exponenciális és exponenciális polinom sorozatok Exponenciális sorozatok differenciálása Legyen q R. Ekkor q n = q n+1 q n = (q 1)q n. Exponenciális polinom sorozatok differenciálása Legyen q 1 és P polinom. Ekkor q n P(n) = q n+1 P(n) + P(n) q n = q n+1 P(n) + P(n)(q 1)q n = q n (q P(n) + (q 1)P(n)) = q n Q(n). Tehát ha P egy k-adfokú polinom, akkor a q n P(n) sorozat mindig q n Q(n) alakú, ahol Q szintén k-adfokú polinom.. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
35 Exponenciális és exponenciális polinom sorozatok Exponenciális sorozatok differenciálása Legyen q R. Ekkor q n = q n+1 q n = (q 1)q n. Exponenciális polinom sorozatok differenciálása Legyen q 1 és P polinom. Ekkor q n P(n) = q n+1 P(n) + P(n) q n = q n+1 P(n) + P(n)(q 1)q n = q n (q P(n) + (q 1)P(n)) = q n Q(n). Tehát ha P egy k-adfokú polinom, akkor a q n P(n) sorozat mindig q n Q(n) alakú, ahol Q szintén k-adfokú polinom.. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
36 Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
37 Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
38 Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
39 Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
40 Trigonometrikus sorozatok Differenciálás sin n = sin(n + 1) sin(n) = sin 1 cos n + cos 1 sin n sin n = sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n, cos n = cos(n + 1) cos(n) = cos 1 cos n sin 1 sin n cos n = (cos 1 1) cos n sin 1 sin n. Tehát a (α sin n + β cos n) sorozat mindig γ sin n + δ cos n alakú. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
41 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
42 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
43 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
44 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
45 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
46 Gyakorló feladatok Példák Határozzuk meg az alábbi sorozatok primitív sorozatait: a n = n sin n, b n = n n cos(n). Útmutatás Keressük a primitív sorozatokat az alábbi alakban: A n = (xn + yn + z) sin n + (un + vn + w) cos n, B n = (xn + y) n sin(n) + (un + v) n cos(n). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
47 Gyakorló feladatok Példák Határozzuk meg az alábbi sorozatok primitív sorozatait: a n = n sin n, b n = n n cos(n). Útmutatás Keressük a primitív sorozatokat az alábbi alakban: A n = (xn + yn + z) sin n + (un + vn + w) cos n, B n = (xn + y) n sin(n) + (un + v) n cos(n). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16
Analízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!
1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,
12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen
TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok
Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék
Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és
TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok
Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:
TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz
I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS 2015/2016-os tanév I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Gazdasági matematika I. (Analízis) Tanszék: Módszertani
A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA)
Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY ANTIDERIVÁLT FOGALMA). Definíció A differenciálszámítás egyik legfontosabb feladata az hogy
JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.
Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja
Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve
Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Sorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
Analízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
Határozatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
2015, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? Számtartományok:
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Osztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 12 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt
1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21
NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán
Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26
Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő
6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
A Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés
2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság.
Ütemterv az Analízis I. c. tárgyhoz (GEMAN510B, 510-B) Járműmérnöki, logisztikai mérnöki, műszaki menedzser, villamosmérnöki, ipari termék- és formatervező mérnöki alapképzési szak 2019/20. tanév I. félév
Hatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
Valószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
Függvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány
Függvénye hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, onvergenciatartomány Taylor-sor, ) Állítsu elő az alábbi függvénye x helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel) éa állapítsu meg a hatványsor
Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév
Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen
ÖSSZEVONT ÓRÁK A MÁSIK CSOPORTTAL. tartósság, megerősítés, visszacsatolás, differenciálás, rendszerezés. SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK (25 óra)
Tantárgy: MATEMATIKA Készítette: KRISTÓF GÁBOR, KÁDÁR JUTKA Osztály: 12. évfolyam, fakultációs csoport Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Heti óraszám: 6 Éves óraszám: 180 Tankönyv: MATEMATIKA 11 és MATEMATIKA
Matematika G1 és A1a-Analízis tárgyak (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar
Matematika G1 és A1a-Analízis tárgyak (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Tárgykódok: BMETE93BG01, BMETE94BG01, BMETE90AX00 Kurzuskódok: G00, G01, G02, H0, H1, HV Követelmény: 4/2/0/V/6;
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
Matematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar
Matematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Kód: BMETE90AX00; Követelmény: 4/2/0/V/6; Félév: 2016/17/2; Nyelv: magyar; Előadó: Dr. Fülöp Ottilia Gyakorlatvezető: Dr. Fülöp
4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Boros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)
Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA ANALÍZIS PÉLDATÁR
MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA ANALÍZIS PÉLDATÁR Budapest, 2018 Szerző: SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA főiskolai docens 978-963-638-542-2 Kiadja a SALDO Pénzügyi
17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben
Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.
A fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
Analízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
Néhány véges trigonometriai összegről. Határozzuk meg az alábbi véges összegek értékét!, ( 1 ) ( 2 )
1 Néhány véges trigonometriai összegről A Fizika számos területén találkozhatunk véges számú tagból álló trigonometriai össze - gekkel, melyek a számítások során állnak elő. Ezek értékét kinézhetjük matematikai
Készítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8
4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten
Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK
Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.
A gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény
Matematika példatár 4.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 4 MAT4 modul Integrálszámítás szabályai és módszerei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról
minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11.
ARANYMETSZÉS - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka 2014. június 11. Zenta TARTALMI ÁTTEKINTÉS Az aranymetszés fogalma eredete és előfordulása
Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Közepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán
Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör Megnyitója Debrecen, 015. szeptember 7. AGH-egyenl tlenség Tétel Értelmezzük
Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?
Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.
Többváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
Fourier sorok február 19.
Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható
1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény
Valós függvénytan Elektronikus tananyag
Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció: