Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Differenciál és integrálszámítás diszkréten"

Átírás

1 Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

2 Differenciál- és integrálszámítás dióhéjban Függvények deriváltja Legyen f : I R esetén f f (x + h) f (x) (x) := lim. h 0 h Függvények határozott integrálja Legyen f : I R esetén b Newton Leibniz-formula Ha [a, b] I, akkor a f (x)dx := lim b a n f (ξ i )(t i t i 1 ). i=1 f (x)dx = f (b) f (a) feltéve, hogy f : I R differenciálható és f korlátos és mm. folytonos (Riemann-integrál); f : I R differenciálható és f korlátos (Lebesgue-integrál); f : I R differenciálható (Kurzweil Hennstock-integrál). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. / 16

3 Differenciál- és integrálszámítás dióhéjban Függvények deriváltja Legyen f : I R esetén f f (x + h) f (x) (x) := lim. h 0 h Függvények határozott integrálja Legyen f : I R esetén b Newton Leibniz-formula Ha [a, b] I, akkor a f (x)dx := lim b a n f (ξ i )(t i t i 1 ). i=1 f (x)dx = f (b) f (a) feltéve, hogy f : I R differenciálható és f korlátos és mm. folytonos (Riemann-integrál); f : I R differenciálható és f korlátos (Lebesgue-integrál); f : I R differenciálható (Kurzweil Hennstock-integrál). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. / 16

4 Differenciál- és integrálszámítás dióhéjban Függvények deriváltja Legyen f : I R esetén f f (x + h) f (x) (x) := lim. h 0 h Függvények határozott integrálja Legyen f : I R esetén b Newton Leibniz-formula Ha [a, b] I, akkor a f (x)dx := lim b a n f (ξ i )(t i t i 1 ). i=1 f (x)dx = f (b) f (a) feltéve, hogy f : I R differenciálható és f korlátos és mm. folytonos (Riemann-integrál); f : I R differenciálható és f korlátos (Lebesgue-integrál); f : I R differenciálható (Kurzweil Hennstock-integrál). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. / 16

5 Sorozatok Számsorozatok Valós (komplex) számsorozat alatt egy a természetes számok halmazán értelmezett valós (komplex) értékű függvényt értünk. Jelölések: Egy a : N R sorozatot szokás (a 1, a,..., a n,... ) módon, illetve (a n ) n N -nel, vagy még egyszerűbben (ha ez nem okozhat félreértést) (a n )-nel jelölni. Pl.: (1,,..., n,... ), (n + 3n), ( n), ( 1 n ). ( 1 ) Szoros értelemben nem sorozat (mert nincs első tagja), ezért n 1 néha sorozat alatt értjük az N halmaz valamely részhalmazán értelmezett függvényeket is. Tehát, tágabb értelemben ( 5 n) is sorozat (holott csak 5 tagja van). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

6 Sorozatok Számsorozatok Valós (komplex) számsorozat alatt egy a természetes számok halmazán értelmezett valós (komplex) értékű függvényt értünk. Jelölések: Egy a : N R sorozatot szokás (a 1, a,..., a n,... ) módon, illetve (a n ) n N -nel, vagy még egyszerűbben (ha ez nem okozhat félreértést) (a n )-nel jelölni. Pl.: (1,,..., n,... ), (n + 3n), ( n), ( 1 n ). ( 1 ) Szoros értelemben nem sorozat (mert nincs első tagja), ezért n 1 néha sorozat alatt értjük az N halmaz valamely részhalmazán értelmezett függvényeket is. Tehát, tágabb értelemben ( 5 n) is sorozat (holott csak 5 tagja van). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

7 Sorozatok Számsorozatok Valós (komplex) számsorozat alatt egy a természetes számok halmazán értelmezett valós (komplex) értékű függvényt értünk. Jelölések: Egy a : N R sorozatot szokás (a 1, a,..., a n,... ) módon, illetve (a n ) n N -nel, vagy még egyszerűbben (ha ez nem okozhat félreértést) (a n )-nel jelölni. Pl.: (1,,..., n,... ), (n + 3n), ( n), ( 1 n ). ( 1 ) Szoros értelemben nem sorozat (mert nincs első tagja), ezért n 1 néha sorozat alatt értjük az N halmaz valamely részhalmazán értelmezett függvényeket is. Tehát, tágabb értelemben ( 5 n) is sorozat (holott csak 5 tagja van). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

8 Nevezetes sorozatok Számtani sorozat Ha egy (a n ) sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 + a n+1, akkor a sorozatot számtani sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 3, 4,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 + (n 1)d. Geometriai sorozat Ha egy (a n ) nemnegatív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 a n+1, akkor a sorozatot geometriai sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 4, 8,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 q n 1 Harmonikus sorozat Ha egy (a n ) pozitív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1a n+1, akkor a sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. a n 1 + a n+1 Pl.: (1, 1, 1 3, 1 4,..., 1 n,... ). Képlete: a n = a 1 1+(n 1)da 1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

9 Nevezetes sorozatok Számtani sorozat Ha egy (a n ) sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 + a n+1, akkor a sorozatot számtani sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 3, 4,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 + (n 1)d. Geometriai sorozat Ha egy (a n ) nemnegatív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 a n+1, akkor a sorozatot geometriai sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 4, 8,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 q n 1 Harmonikus sorozat Ha egy (a n ) pozitív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1a n+1, akkor a sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. a n 1 + a n+1 Pl.: (1, 1, 1 3, 1 4,..., 1 n,... ). Képlete: a n = a 1 1+(n 1)da 1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

10 Nevezetes sorozatok Számtani sorozat Ha egy (a n ) sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 + a n+1, akkor a sorozatot számtani sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 3, 4,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 + (n 1)d. Geometriai sorozat Ha egy (a n ) nemnegatív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 a n+1, akkor a sorozatot geometriai sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 4, 8,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 q n 1 Harmonikus sorozat Ha egy (a n ) pozitív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1a n+1, akkor a sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. a n 1 + a n+1 Pl.: (1, 1, 1 3, 1 4,..., 1 n,... ). Képlete: a n = a 1 1+(n 1)da 1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

11 Összegképletek I. A sor fogalma Adott (a n ) számsorozat esetén képezzük az s 1 := a 1, s := a 1 + a,... s n := a 1 + a + + a n,... sorozatot. Ezt az (a n ) sorozatból képzett sornak nevezzük és ( a n )-nel jelöljük. Számtani sor Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Bizonyítás: ( = n a 1 + (n 1) d ). s n = (a 1 + a + + a n 1 + a n ) + (a n + a n a + a 1 ) = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + + (a n 1 + a ) + (a n + a 1 ) = n(a 1 + a n ). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

12 Összegképletek I. A sor fogalma Adott (a n ) számsorozat esetén képezzük az s 1 := a 1, s := a 1 + a,... s n := a 1 + a + + a n,... sorozatot. Ezt az (a n ) sorozatból képzett sornak nevezzük és ( a n )-nel jelöljük. Számtani sor Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Bizonyítás: ( = n a 1 + (n 1) d ). s n = (a 1 + a + + a n 1 + a n ) + (a n + a n a + a 1 ) = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + + (a n 1 + a ) + (a n + a 1 ) = n(a 1 + a n ). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

13 Összegképletek I. A sor fogalma Adott (a n ) számsorozat esetén képezzük az s 1 := a 1, s := a 1 + a,... s n := a 1 + a + + a n,... sorozatot. Ezt az (a n ) sorozatból képzett sornak nevezzük és ( a n )-nel jelöljük. Számtani sor Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Bizonyítás: ( = n a 1 + (n 1) d ). s n = (a 1 + a + + a n 1 + a n ) + (a n + a n a + a 1 ) = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + + (a n 1 + a ) + (a n + a 1 ) = n(a 1 + a n ). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

14 Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n n(n + 1) = ( 1 = 1 ) 1 ( ( ) n 1 ) n (n + 1) n n(n + 1) = n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

15 Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n n(n + 1) = ( 1 = 1 ) 1 ( ( ) n 1 ) n (n + 1) n n(n + 1) = n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

16 Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n n(n + 1) = ( 1 = 1 ) 1 ( ( ) n 1 ) n (n + 1) n n(n + 1) = n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

17 Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n n(n + 1) = ( 1 = 1 ) 1 ( ( ) n 1 ) n (n + 1) n n(n + 1) = n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

18 A bizonyítások összevetése Melyik bizonyítás az általánosabb? Hogyan lehet általánosabb sorozatok összegképletét meghatározni? Van-e univerzális összegző módszer? Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

19 A bizonyítások összevetése Melyik bizonyítás az általánosabb? Hogyan lehet általánosabb sorozatok összegképletét meghatározni? Van-e univerzális összegző módszer? Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

20 A bizonyítások összevetése Melyik bizonyítás az általánosabb? Hogyan lehet általánosabb sorozatok összegképletét meghatározni? Van-e univerzális összegző módszer? Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

21 A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

22 A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

23 A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

24 A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

25 Differencia-sorozat és primitív sorozat Differencia-sorozat (Diszkrét derivált) Legyen (a n ) egy számsorozat. Ekkor a a n := a n+1 a n (n N) képlettel megadott sorozatot (a n ) (első) differencia sorozatának nevesszük. Primitív sorozat (Diszkrét primitív függvény) Egy (b n ) sorozatot az (a n ) sorozat primitív sorozatának mondunk, ha b n = a n (n N). Diszkrét Newton Leibniz-tétel Ha (b n ) sorozat az (a n ) sorozat egy primitív sorozata, akkor s n = a 1 + a + + a n = (b b 1 ) + (b 3 b ) + + (b n+1 b n ) = b n+1 b 1 (n N). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

26 Differencia-sorozat és primitív sorozat Differencia-sorozat (Diszkrét derivált) Legyen (a n ) egy számsorozat. Ekkor a a n := a n+1 a n (n N) képlettel megadott sorozatot (a n ) (első) differencia sorozatának nevesszük. Primitív sorozat (Diszkrét primitív függvény) Egy (b n ) sorozatot az (a n ) sorozat primitív sorozatának mondunk, ha b n = a n (n N). Diszkrét Newton Leibniz-tétel Ha (b n ) sorozat az (a n ) sorozat egy primitív sorozata, akkor s n = a 1 + a + + a n = (b b 1 ) + (b 3 b ) + + (b n+1 b n ) = b n+1 b 1 (n N). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

27 Differencia-sorozat és primitív sorozat Differencia-sorozat (Diszkrét derivált) Legyen (a n ) egy számsorozat. Ekkor a a n := a n+1 a n (n N) képlettel megadott sorozatot (a n ) (első) differencia sorozatának nevesszük. Primitív sorozat (Diszkrét primitív függvény) Egy (b n ) sorozatot az (a n ) sorozat primitív sorozatának mondunk, ha b n = a n (n N). Diszkrét Newton Leibniz-tétel Ha (b n ) sorozat az (a n ) sorozat egy primitív sorozata, akkor s n = a 1 + a + + a n = (b b 1 ) + (b 3 b ) + + (b n+1 b n ) = b n+1 b 1 (n N). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

28 Sorozatok differenciálása A differencia-operátor tulajdonságai Linearitás: (a n + b n ) = a n + b n, Homogenitás: (ca n ) = c (a n ), Leibniz-szabály: (a n b n ) = a n+1 b n + b n a n. Monomiális és polinomiális sorozatok differenciálása ( ) k n k = (n + 1) k n k = n k + n k ( ) ( ) k k = n k n k 1 ( ) k n + 1 n k k 1 Így egy k-adfokú polinomiális sorozat differenciasorozata k 1-edfokú. Ezért egy k-adfokú polinomiális sorozat primitív sorozata k + 1-edfokú. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

29 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

30 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

31 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

32 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

33 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

34 Exponenciális és exponenciális polinom sorozatok Exponenciális sorozatok differenciálása Legyen q R. Ekkor q n = q n+1 q n = (q 1)q n. Exponenciális polinom sorozatok differenciálása Legyen q 1 és P polinom. Ekkor q n P(n) = q n+1 P(n) + P(n) q n = q n+1 P(n) + P(n)(q 1)q n = q n (q P(n) + (q 1)P(n)) = q n Q(n). Tehát ha P egy k-adfokú polinom, akkor a q n P(n) sorozat mindig q n Q(n) alakú, ahol Q szintén k-adfokú polinom.. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

35 Exponenciális és exponenciális polinom sorozatok Exponenciális sorozatok differenciálása Legyen q R. Ekkor q n = q n+1 q n = (q 1)q n. Exponenciális polinom sorozatok differenciálása Legyen q 1 és P polinom. Ekkor q n P(n) = q n+1 P(n) + P(n) q n = q n+1 P(n) + P(n)(q 1)q n = q n (q P(n) + (q 1)P(n)) = q n Q(n). Tehát ha P egy k-adfokú polinom, akkor a q n P(n) sorozat mindig q n Q(n) alakú, ahol Q szintén k-adfokú polinom.. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

36 Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

37 Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

38 Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

39 Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

40 Trigonometrikus sorozatok Differenciálás sin n = sin(n + 1) sin(n) = sin 1 cos n + cos 1 sin n sin n = sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n, cos n = cos(n + 1) cos(n) = cos 1 cos n sin 1 sin n cos n = (cos 1 1) cos n sin 1 sin n. Tehát a (α sin n + β cos n) sorozat mindig γ sin n + δ cos n alakú. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

41 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

42 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

43 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

44 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

45 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

46 Gyakorló feladatok Példák Határozzuk meg az alábbi sorozatok primitív sorozatait: a n = n sin n, b n = n n cos(n). Útmutatás Keressük a primitív sorozatokat az alábbi alakban: A n = (xn + yn + z) sin n + (un + vn + w) cos n, B n = (xn + y) n sin(n) + (un + v) n cos(n). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

47 Gyakorló feladatok Példák Határozzuk meg az alábbi sorozatok primitív sorozatait: a n = n sin n, b n = n n cos(n). Útmutatás Keressük a primitív sorozatokat az alábbi alakban: A n = (xn + yn + z) sin n + (un + vn + w) cos n, B n = (xn + y) n sin(n) + (un + v) n cos(n). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék

Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS 2015/2016-os tanév I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Gazdasági matematika I. (Analízis) Tanszék: Módszertani

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA)

Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA) Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY ANTIDERIVÁLT FOGALMA). Definíció A differenciálszámítás egyik legfontosabb feladata az hogy

Részletesebben

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

2015, Diszkrét matematika

2015, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? Számtartományok:

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 12 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21 NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán

Részletesebben

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet   nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26 Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő

Részletesebben

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények 6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság.

2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság. Ütemterv az Analízis I. c. tárgyhoz (GEMAN510B, 510-B) Járműmérnöki, logisztikai mérnöki, műszaki menedzser, villamosmérnöki, ipari termék- és formatervező mérnöki alapképzési szak 2019/20. tanév I. félév

Részletesebben

Hatványsorok, Fourier sorok

Hatványsorok, Fourier sorok a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Függvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány

Függvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány Függvénye hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, onvergenciatartomány Taylor-sor, ) Állítsu elő az alábbi függvénye x helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel) éa állapítsu meg a hatványsor

Részletesebben

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen

Részletesebben

ÖSSZEVONT ÓRÁK A MÁSIK CSOPORTTAL. tartósság, megerősítés, visszacsatolás, differenciálás, rendszerezés. SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK (25 óra)

ÖSSZEVONT ÓRÁK A MÁSIK CSOPORTTAL. tartósság, megerősítés, visszacsatolás, differenciálás, rendszerezés. SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK (25 óra) Tantárgy: MATEMATIKA Készítette: KRISTÓF GÁBOR, KÁDÁR JUTKA Osztály: 12. évfolyam, fakultációs csoport Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Heti óraszám: 6 Éves óraszám: 180 Tankönyv: MATEMATIKA 11 és MATEMATIKA

Részletesebben

Matematika G1 és A1a-Analízis tárgyak (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar

Matematika G1 és A1a-Analízis tárgyak (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Matematika G1 és A1a-Analízis tárgyak (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Tárgykódok: BMETE93BG01, BMETE94BG01, BMETE90AX00 Kurzuskódok: G00, G01, G02, H0, H1, HV Követelmény: 4/2/0/V/6;

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Matematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar

Matematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Matematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Kód: BMETE90AX00; Követelmény: 4/2/0/V/6; Félév: 2016/17/2; Nyelv: magyar; Előadó: Dr. Fülöp Ottilia Gyakorlatvezető: Dr. Fülöp

Részletesebben

4. Laplace transzformáció és alkalmazása

4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA ANALÍZIS PÉLDATÁR

MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA ANALÍZIS PÉLDATÁR MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA ANALÍZIS PÉLDATÁR Budapest, 2018 Szerző: SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA főiskolai docens 978-963-638-542-2 Kiadja a SALDO Pénzügyi

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Néhány véges trigonometriai összegről. Határozzuk meg az alábbi véges összegek értékét!, ( 1 ) ( 2 )

Néhány véges trigonometriai összegről. Határozzuk meg az alábbi véges összegek értékét!, ( 1 ) ( 2 ) 1 Néhány véges trigonometriai összegről A Fizika számos területén találkozhatunk véges számú tagból álló trigonometriai össze - gekkel, melyek a számítások során állnak elő. Ezek értékét kinézhetjük matematikai

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

2014. november Dr. Vincze Szilvia

2014. november Dr. Vincze Szilvia 24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a

A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke... Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény

Részletesebben

Matematika példatár 4.

Matematika példatár 4. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 4 MAT4 modul Integrálszámítás szabályai és módszerei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11.

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11. ARANYMETSZÉS - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka 2014. június 11. Zenta TARTALMI ÁTTEKINTÉS Az aranymetszés fogalma eredete és előfordulása

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Közepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán

Közepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör Megnyitója Debrecen, 015. szeptember 7. AGH-egyenl tlenség Tétel Értelmezzük

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.

Részletesebben

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

Fourier sorok február 19.

Fourier sorok február 19. Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

Valós függvénytan Elektronikus tananyag

Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben