2015, Diszkrét matematika

Átírás

1 Diszkrét matematika 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia 2015, őszi félév

2 Miről volt szó az elmúlt előadáson? Számtartományok: valós számok, komplex számok, Algoritmusok Python-ban. híresebb irracionális számok számjegyeinek a kigenerálása, n-ik gyök meghatározása: Newton módszerrel. logaritmus maghatározása másodfokú egyenlet komplex gyökei fraktálok: Mandelbrot, Julia

3 Miről lesz szó? számtani, mértani, harmonikus számsorozatok sajátos számsorozatok: a faktoriális függvény Stirling számok Fibonacci számok Lucas számok Catalan számok algoritmusok Python-ban

4 Számsorozatok, haladványok Számtani sorozat: a, a + d, a + 2d,..., a + nd,..., ahol az a kezdő tag és a d különbség (differencia) valós számok. A számtani sorozat az f (x) = d x + a lineáris függvény diszkrét analógja. Mértani sorozat: a, ar, ar 2,..., ar n,..., ahol az a kezdő tag és az r hányados valós számok. A mértani sorozat az f (x) = a r x exponenciális függvény diszkrét analógja. Harmonikus sorozat: olyan 1 a n sorozat, ahol a tagok inverzei számtani sorozatot alkotnak. Pl. a n = 1 n, ahol a sorozat első 4 tagja a következő: 1, 1 2, 1 3, 1 4,...

5 1.feladat: Az a kezdő tagú, d különbségű számtani sorozat első n tagjának kíırása: def aseq (a, d, n): i = 0 s = a while i < n: print s, s += d i += 1 Kérdések: Milyen bemenetre kell meghívni a fenti függvényt, hogy a következő sorozatokat kapjuk? 1, 3, 7, 11, 15,... 7, 4, 1, 2, 5,... 1, 2, 3, 4, 5,... 0, 2, 4, 6, 8,... 5, 3, 1, 1, 3,...

6 Számtani sorozat, rekurziós képlet: def aseq_r2 (s, d, i): if i == 0: return s print s return aseq_r2 (s+d, d, i-1) meghívás: aseq_r2(7, -3, 10) x 0 = a, x n = d + x n 1

7 2.feladat: Az a kezdő tagú, r hányadosú mértani sorozat első n tagjának kíırása: def gseq (a, r, n): i = 0 p = a while i < n: print p, p *= r i += 1 Kérdések: Milyen bemenetre kell meghívni a fenti függvényt, hogy a következő sorozatokat kapjuk? 1, 1, 1, 1, 1,... 1, 2, 4, 8, 16,... 1, 3, 9, 27, 81,... 1, 0.5, 0.25, 0.125, ,... 2, 10, 50, 250, 1250,...

8 Mértani sorozat, rekurziós képlet: def gseq_r2 (p, r, i): if i == 0 : return p print p return gseq_r2 (r*p, r, i-1) meghívás: gseq_r2(1, 1/2.0, 10) x 0 = a, x n = r x n 1

9 Számtani sorozatok Rekurziós képlet: A sorozat n-ik tagjának kiszámítása: A sorozat első n tagjának összege: s n = x 1 = a, x n = d + x n 1 x n = x 1 + d (n 1) 2 x1 + d (n 1) 2 n

10 Mértani sorozatok Rekurziós képlet: A sorozat n-ik tagjának kiszámítása: A sorozat első n tagjának összege: x 1 = a, x n = r x n 1 x n = x 1 r n 1 s n = x 1 r n 1 r 1, r 1

11 3.feladat: Egy személy S euro összeget tett be egy bankba, k%-os évi kamatra. N év után mennyi pénzt tud felvenni a bankból: ( ciklussal és képlettel: S 1 + k ) N 100 def bank (S, k, N): msum = S for i in range(0, N): msum += msum * (k/100.0) return msum, S * ((1 + k/100.0) ** N)

12 4.feladat: Egy személy N éven keresztül minden év elején S euro összeget tett be egy bankba, k%-os évi kamatra. N év után mennyi pénzt tud felvenni a bankból: ( ( ciklussal és képlettel: s n = S 1 + k ) k ) n ( 1 + k ) def bank1 (S, k, N): msumv = 0 for j in range (1, N + 1): msum = S for i in range(0, j): msum += msum * (k/100.0) msumv += msum k1 = 1 + k/100.0 return msumv, S * k1 * (k1 ** N - 1) / (k1-1)

13 5.feladat: Határozzuk meg az n-ik Harmonikus számot a képlet: H n = n k=1 1 k az első harmonikus számok: 1, 3 2, 11 6, 25 12, ,... def osszeg (x, y, a, b): sz = x * b + y * a n = y * b g = lnko (sz, n) return sz/g, n/g def harmonikus (n): s1, s2 = 1, 1 for i in range (2, n+1): a, b = 1, i s1, s2 = osszeg(s1, s2, a, b) return s1, s2

14 Sajátos számsorozatok A faktoriális függvény: n! = 1 2 (n 1) n A számsorozat: 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720,..., F 0 = 1, F 1 = 1, F 2 = 2,... A rekurziós képlet: F n = n F n 1, A Catalan számok: A számsorozat: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132,..., C 0 = 1, C 1 = 1, C 2 = 2,... A számítási képlet: C n = 1 n + 1 ( 2n n 2(2n + 1) A rekurziós képlet: C n+1 = C n, n + 2 alkalmazási terület: kombinatorika ) = (2n)! (n + 1)! n!,

15 6.feladat: A faktoriális függvény, iteratív változat: def fakti (n): p = 1 for i in range (1, n+1): p *= i return p 7.feladat: A faktoriális függvény, az összes érték kiiratása: def fakti1 (n): p = 1 print p, for i in range (1, n+1): p *= i print p,

16 8.feladat: A faktoriális függvény, listába: def fakti2 (n): p = 1 L = [] for i in range (1, n+1): p *= i L += [p] return L

17 9.feladat: A faktoriális függvény, rekurzív változat I: def faktr (n): if n == 0: return 1 return n * faktr (n-1) 10.feladat: A faktoriális függvény, rekurzív változat II: def faktr1 (n, res): if n == 0: return res return faktr1 (n-1, n * res) Meghívás: faktr1 (10, 1)

18 Sajátos számsorozatok A Stirling számok Elsőfajú Stirling számok: az [ x (x 1) (x 2)... (x n + 1) együtthatója n k] = s(n, k) = s(n 1, k 1) (n 1) s(n 1, k), n k, Másodfajú Stirling számok: meghatározza, hogy egy n elemű halmaz hány k elemű nem üres részhalmazra { bontható n } k = s(n, k) = s(n 1, k 1) + k s(n 1, k), n k, ha k == 0, akkor s(n, 0) = 0 ha n == k, akkor s(n, k) = 1 [ ] kapcsolat a Harmonikus számokkal: H n = 1 n! n + 1 2

19 Stirling számok 11.feladat: kapcsolat a harmonikus számok és Stirling számok között: def stirling1 (n, k): if k == 0: return 0 if n == k: return 1 return stirling1(n-1, k-1) - (n-1) * stirling1(n-1, k) def harmonikus(n): return stirling1(n+1, 2), fakti(n)

20 Sajátos számsorozatok A Fibonacci számok: A számsorozat: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., A rekurziós képlet: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n 1 + F n 2, léteznek hatékonyabb rekurziós összefüggések, alkalmazásuk: A Lucas számok: kombinatorika, algoritmusok futási idejének elemzése, minden pozitív egész szám feĺırható Fibonacci számok összegeként, aranymetszés, zene, művészetek, természet. A számsorozat: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47,..., A rekurziós képlet: L 0 = 2, L 1 = 1, L n = L n 1 + L n 2,

21 12.feladat: Fibonacci számok, klasszikus rekurzív megoldás, nem hatékony: def fibr (n): if n == 0: return 0 if n == 1: return 1 return fibr (n-1) + fibr (n-2) 13.feladat: Fibonacci számok listába, iteratív megoldás, lineáris futási idő: def fibl (n): a, b = 0, 1 L = [a, b] for i in range (1, n): L += [a + b] temp = a + b a = b b = temp return L

22 14.feladat: Fibonacci számok, rekurzív megoldás hatékony, logaritmikus futási idő: a feladat visszavezethető a gyorshatványozás algoritmusára: F n = [ ] n 1, F 5 = [ ] 4 = [ és 2 2 mátrixszorzásokra, ahol a mátrix speciális alakú: [ ] [ ] [ ] a b a b a 2 + b 2 b (a + c) = b c b c b (a + c) b 2 + c 2 a mátrixot egy számhármassal tudjuk reprezentálni: (a, b, c) ]

23 A gyors-hatványozás másképp: def my_pow (x, n): if n == 0: return 1 temp = my_pow (x, n/2) if n % 2 == 1: return x * temp * temp else: return temp * temp Fibonacci számok, gyors-hatványozásra visszavezetve: def fibr1 (n): (a, b, c) = sfib (n) return b def sfib (n): if n == 0: return (1, 0, 1) (a, b, c) = sfib (n / 2) (a, b, c) = (a*a + b*b, b*(a+c), b*b + c*c) if n % 2 == 1: return (a+b, a, b) else: return (a, b, c)