Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék.
|
|
- Gergő Veres
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Kriptográfia és Információbiztonság 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia 2015
2 Miről volt szó az elmúlt előadáson? blokk-titkosító rendszerek, DES (Data Encryption Standard), tervezési szempontok, biztonság, támadási módszerek, 3DES, 2DES, XDES, blokk-titkosítási módok (ECB, CBC, CFB, OFB, CTR).
3 Miről lesz szó? Számelméleti alapfogalmak: az euklideszi algoritmus és változatai Véges testek aritmetikája AES (Advanced Encryption Standard) kör-kulcs generálás, titkosítás, visszafejtés, implementáció.
4 Számelméleti alapfogalmak Az euklideszi algoritmus egyike a legrégebbi, napjainkban is alkalmazott eljárásoknak: két egész szám legnagyobb közös osztóját határozza meg. Az a és b egész számok legnagyobb közös osztója, az a legnagyobb szám amely osztja az a-t és b-t is. Jelölése: lnko(a, b), (a, b), vagy gcd(a, b). Az a és b egész számok legnagyobb közös osztója az a d legkisebb egész szám, amely egyenlő az a és b lineáris kombinációjával: d = x a + y b, ahol x, y egész számok. Az a és b egész számok relatív prímek, ha lnko(a, b) = 1. Például: lnko(101, 64) = 1 64 és 101 relatív prímek. Feĺırható: 101 ( 19) = 1. Például: lnko(64, 52) = 4 64 és 52 nem relatív prímek. Feĺırható: 64 ( 4) = 4.
5 Az euklidészi algoritmus és változatai Euklidész algoritmusa: legyenek r 0 = a és r 1 = b egész számok, úgy hogy a b > 0. Ha az osztási algoritmust egymás után többször alkalmazzuk, akkor a következő számsorozatot kapjuk: r 0, r 1,..., r n, r n+1, ahol r j = r j+1 q j+1 + r j+2, 0 < r j+2 < r j+1, j {0, 1,..., n 2} és r n+1 = 0. Ekkor lnko(a, b) = r n. Euklidész kiterjesztett algoritmusa: legyenek a, b pozitív egész számok, akkor feĺırható a következő összefüggés: lnko(a, b) = x n a + y n b, n {0, 1, 2,... }, ahol x n és y n a következő rekurzív számítási sorozat n-ik tagjai: x 0 = 1, y 0 = 0 x 1 = 0, y 1 = 1 x j = x j 2 q j 1 x j 1 y j = y j 1 q j 1 y j 1, ahol q j a megfelelő hányados, amelyet az euklidészi algoritmus során számolunk ki.
6 A kiterjesztett euklidészi algoritmus, példa Határozzuk meg 84 és 35 legnagyobb közös osztóját, majd azokat az x és y egész számokat, melyekre fennáll a következő összefüggés: 84 x + 35 y = d, ahol d = lnko(84, 35). a b r q x 0 x 1 y 0 y Tehát a megoldás: d = 7, x = 2, y = 5, és fennáll a következő összefüggés: 84 ( 2) = 7.
7 A kiterjesztett euklidészi algoritmus, példa Határozzuk meg 45 és 31 legnagyobb közös osztóját, majd azokat az x és y egész számokat, melyekre fennáll a következő összefüggés: 45 x + 31 y = d, ahol d = lnko(45, 31). v a b r q x 0 x 1 y 0 y Tehát a megoldás: d = 1, x = 11, y = 29, és fennáll a következő összefüggés: 45 ( 11) = 1.
8 A kiterjesztett euklidészi algoritmus Az algoritmus bemenete az a és b egész számok, kimenete pedig a d, x, y számok amelyekre fennáll: d = a x + b y. exteuclid (a, b): x0, x1, y0, y1 = 1, 0, 0, 1 while True: r = a % b if r == 0: d, x, y = b, x1, y1 return (d, x, y) q = a / b a = b b = r x = x0 - q * x1 y = y0 - q * y1 x0, x1, y0, y1 = x1, x, y1, y
9 Moduláris inverz meghatározása Az a x 1 (mod m) kongruenciának a megoldását, ahol lnko(a, m) = 1 az a inverzének hívjuk (mod m) szerint és a 1 -el, vagy 1 -val jelöljük. a A kongruencia megoldhatósági feltétele az, hogy lnko(a, m) = 1. Példa: 17 inverze mod 27 szerint 8, mert fennáll: 17 8 = 1 (mod 27). A moduláris inverz meghatározásához a kiterjesztett euklideszi algoritmust használjuk, mert a kongruencia átírható 1 = a x + m y alakba. Ebben az esetben az x az a inverze lesz invmod (a, m): (d, x, y ) = exteuclid (a, b) if (d!= 1) error "inverse undefined" if (x < 0) return x + m else return x (mod m) szerint.
10 Véges-testek aritmetikája Az AES esetében olyan halmazt jelent, amelyben benne vannak a bináris együtthatójú, n 1 fokszámnál kisebb polinomok: f (x) = a n 1x n 1 + a n 2x n a 1x + a 0. egy GF (2 n ) feletti polinom egyedi módon, az együtthatók segítségével leírható, n biten: (a n 1a n 2... a 0). Példa x 6 + x 3 + x -nek megfelelő bináris alak: n-ed fokú irreducibilis polinom: olyan polinom, amely nem bontható fel két n-nél kisebb fokú polinom szorzatára. A műveleteket a szabályos polinomok feletti műveleti szabályok szerint kell végezni, ahol az együtthatók esetében (mod 2) kell számolni. Ha egy művelet elvégzése után nagyobb kitevőt kapunk mint x n 1, akkor meg kell határozni az eredmény m(x) szerinti osztási maradékát, ahol m(x) egy n-ed fokú irreducibilis polinom.
11 Véges-testek aritmetikája Ha n = 3, akkor összesen 2 3 különböző polinom szerkeszthető: 0, 1, x, x + 1, x 2, x 2 + 1, x 2 + x, x 2 + x + 1. GF (2 3 )-ban két irreducibilis polinom van: x 3 + x 2 + 1, x 3 + x + 1. Az alkalmazott műveleteket könnyű implementálni: Az összeadás megfelel a műveletnek. A szorzás visszavezethető az x és hatványaival való szorzásra, ami egy balra shift és egy feltételhez kötött konstanssal való művelet elvégzését jelenti. Az alkalmazott technika a következőn alapszik: x n (mod m(x)) = m(x) x n. A kivonás ekvivalens az összeadással, mert = 1 1 = 0, 1 0 = = 1, = 0 1 = 1, = 0 0 = 0. Az osztáshoz multiplikatív inverzre van szükség, amelyet egy adott irreducibilis polinom szerint kell meghatározni, ez kiterjesztett Euklideszi algoritmussal határozható meg.
12 Véges-testek aritmetikája Példa, összeadás: (x + 1) + x = 2 x + 1 = 1, (011) (010) = 001 Példa, szorzás, m(x) = x 3 + x szerint: (x 2 + x) (x + 1) = x 2 + x + 1, mert (x 2 + x) (x + 1) = x 3 + x 2 + x 2 + x = x 3 + x, ahol az m(x) = x 3 + x szerinti osztási maradék x 2 + x + 1. Példa, szorzásra, 8 biten (mod m(x)) szerint: legyen f (x) = a 7 x 7 + a 6 x 6 + a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0. meghatározzuk: x f (x) = (a 7 x 8 + a 6 x 7 + a 5 x 6 + a 4 x 5 + a 3 x 4 + a 2 x 3 + a 1 x 2 + a 0 x) (mod m(x)). megállapítható: x f (x) = { (a6a 5a 4a 3a 2a 1a 00), ha a 7 = 0 (a 6a 5a 4a 3a 2a 1a 00) (m(x) x 8 ), ha a 7 = 1
13 Véges-testek aritmetikája Határozzuk meg (x 6 + x 3 + x 2 + 1) (x 7 + x 2 + 1) szorzatot m(x) = x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 szerint. Binárisan ez azt jelenti, hogy mennyi: ( ) ( )? tehát: ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) [( ) ( ) ( )] = ( ) ( ) ( ) = ( ) ami megfelel: x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x nek.
14 A kiterjesztett euklidészi algoritmus Az euklidészi algoritmus, a kiterjesztett euklideszi algoritmus alkalmazható a polinomok körében is a legnagyobb közös osztó, illetve a multiplikatív inverz meghatározására. Azt mondjuk, hogy a d(x) polinom az a(x) és b(x) polinomok legnagyobb közös osztója, ha fennáll, hogy d(x) a legnagyobb olyan fokszámú polinom amelyik osztja a(x)-t és b(x)-et is. az euklideszi algoritmus szerint feĺırható: lnko[a(x), b(x)] = lnko[b(x), a(x) (mod b(x))]. Pl: lnko(x 6 + x 5 + x 4 + x 2 + x + 1, x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) = x x 6 + x 3 + x multiplikatív inverze, (mod x 8 + x 4 + x 3 + x + 1) szerint: x 7 + x 5 + x 3 + x + 1, mert (x 6 + x 3 + x) (x 7 + x 5 + x 3 + x + 1) = 1 (mod x 8 + x 4 + x 3 + x + 1).
15 A kiterjesztett euklidészi algoritmus, példa Határozzuk meg a(x) = x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 és b(x) = x 6 + x 3 + x legnagyobb közös osztóját, majd azokat az v(x) és u(x) polinomokat, amelyekre fennáll a következő összefüggés: a(x) v(x) + b(x) u(x) = 1. a b q r x 0 x 1 y 0 y x 8 + x 4 + x 6 + x 2 x 5 + x x 2 x 3 + x + 1 x 3 + x x + 1 x 6 + x 3 + x x 5 + x 4 + x + 1 x 4 + x x + 1 x 2 x 3 + x + 1 x 2 + x + 1 x x 5 + x 4 + x 4 + x 3 + x x 3 + x x + 1 x 2 + x 3 + x 4 + x 3 + x + 1 x 2 + x + 1 x x + 1 x x 2 + x x 4 + x 3 + x 3 + x x x 2 + x + 1 x 3 + x 4 + x 3 + x 5 + x x 2 + x + 1 x x x 2 + x x 3 + x x x + 1 x x 3 + x x 4 x 5 + x x 6 + x 3 + x x x x 1 x 4 + x + 1 x 5 + x 3 + x 6 + x 3 + x 7 + x 5 + x x x 3 + x + 1 Tehát: (x 8 + x 4 + x 3 + x + 1) (x 5 + x 3 + x 2 + 1) + (x 6 + x 3 + x) (x 7 + x 5 + x 3 + x + 1) = 1.
16 AES (Advanced Encryption Standard) Daemen és Rijmen, belga kriptográfusok tervezték 1997-ben, 2001-ben fogadta el a NIST standardként, kulcs-mérete: 128, 192, 256 bit, blokk-mérete: 128 bit, hatékonysága: 109 Mb/sec, az AES-128 esetében: a kétdimenziós tömb, a state oszlop-száma = 4, a körkulcsok és körök száma = 10, nem használja a Feistel-sémát.
17 AES (Advanced Encryption Standard) Helyettesítést és permutációt alkalmaz, véges testek felett alkalmaz aritmetikai és műveletet, motiváció: kriptográfiában egész számokkal dolgozunk, 0 és 2 n 1 közötti értékekkel, és az összes n-bit hosszúságú számra szükség van. Olyan halmazt kell választani, ahol az összeadás, kivonás, szorzás, osztás után is halmazbeli elemet kapunk véges testek, pontosabban GF (2 n ) feletti véges testek.
18 AES az AES minden műveletet 8 biten végez, az összeadás, kivonás, szorzás, osztás a GF (2 8 ) feletti véges testben történik, összesen 30 irreducibilis polinom van, ahol az AES a következővel dolgozik: x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 három algoritmust kell definiálni: kulcsgenerálás, titkosítás, visszafejtés.
19 AES-128, Kulcsgenerálás a kulcsot egy 4 4-es, kétdimenziós tömbbe rendezzük, oszloponként RK 0. minden i = 0,... 9-re: RK i 1 -t felosztjuk oszloponként : w 0, w 1, w 2, w 3, meghat. nw 0, nw 1, nw 2, nw 3 szavakat: nw 0 = temp w 0, ahol temp: rw = RotWord(w 3),, sw = SubWord(rw), rcw = Rcon(i), temp = sw rcw, nw 1 = nw 0 w 1, nw 2 = nw 1 w 2, nw 3 = nw 2 w 3, nw 0 nw 1 nw 2 nw bites értékből álló sor, 4 4-es kétdimenziós tömbbe rendezzük, oszloponként RK i.
20 AES-128, Kulcsgenerálás, példa legyen a kulcs: 2b7e aed2a6 abf cf 4f 3c, 2 dimenziós tömbbe rendezve: w 0 w 1 w 2 w 3 2b 28 ab 09 7e ae f 7 cf 15 d2 15 4f 16 a6 88 3c rw sw rcw temp cf 4f 3c09 8a84eb b84eb01 Az RK 1 szavai: kétdimenziós tömbbe rendezve: nw 0 nw 1 nw 2 nw 3 a0fafe cb1 23a a6c7605 w 0 w 1 w 2 w 3 a a fa 54 a3 6c fe 2c b
21 AES-128, RotWord, SubWord, Rcon RotWord, balra történő ciklikus eltolást hajt végre: RotWord(a 0 a 1 a 2 a 3) = (a 1 a 2 a 3 a 0) SubWord, alkalmazza byte-onként az S-boxot. Ha az átalakítandó byte például a 4a, akkor az S-box táblázat 4-ik sora és a-ik oszlopának kereszteződésénél található byte lesz az új érték: d6. Rcon az első byte-ra az x i 1 (mod x 8 + x 4 + x 3 + x + 1) hatványértéket számolja ki, a GF (2 8 ) véges testben, a további három byte értéke, azaz a 3 legbaloldalibb byte 0x00 lesz. i Rcon(i) 0x01 0x02 0x04 0x08 0x10 0x20 0x40 0x80 0x1b 0x36
22 AES-128, titkosítás a bemenetet egy 4 4-es, kétdimenziós tömbbe rendezzük, oszloponként S. meghatározzuk SS =AddRoundKey(S, RK 0) minden i = 1,... 9-re: S1 = SubBytes(SS), S2 = ShiftRows(S1), S3 = MixColumns(S2), SS = AddRoundKey(S3, RK i ), az 10.körben: S1 = SubBytes(SS), S2 = ShiftRows(S1), a titkosító függvény kimenete: AddRoundKey(S2, RK 10).
23 AES-128, AddRoundKey, SubBytes, ShiftRows AddRoundKey a bemeneti paraméterekre byte-onként alkalmazza a műveletet. SubBytes a 4 4-es tömb byte-jaira alkalmazza az S-boxot, ShiftRows a 4 4-es tömböt byte-jaira alkalmazza a következő ciklikus eltolásokat: s 11 s 12 s 13 s 14 >> s 11 s 12 s 13 s 14 s 21 s 22 s 23 s 24 s 22 s 23 s 24 s 21 s 31 s 32 s 33 s 34 s 33 s 34 s 31 s 32 s 41 s 42 s 43 s 44 s 44 s 41 s 42 s 43
24 AES-128, MixColumns MixColumns a 4 4-es tömb byte-jaira alkalmazza a következő átalakításokat: ahol s 11 s 12 s 13 s 14 >> ns 11 ns 12 ns 13 ns 14 s 21 s 22 s 23 s 24 ns 21 ns 22 ns 23 ns 24 s 31 s 32 s 33 s 34 ns 31 ns 32 ns 33 ns 34 s 41 s 42 s 43 s 44 ns 41 ns 42 ns 43 ns 44 ns 1i = (0x02 s 1i ) (0x03 s 2i ) s 3i s 4i ns 2i = s 1i (0x02 s 2i ) (0x03 s 3i ) s 4i ns 3i = s 1i s 2i (0x02 s 3i ) (0x03 s 4i ) ns 4i = (0x03 s 1i ) s 2i s 3i (0x02 s 4i ). a művelet szorzást jelent (mod x 8 + x 4 + x 3 + x + 1) szerint a GF (2 8 ) véges testben.
25 AES-128, S-box Az S-box bemenetének bitjeit egy polinom együtthatóinak tekintjük, és meghatározzuk a polinom multiplikatív inverzét (mod x 8 + x 4 + x 3 + x + 1) szerint a GF (2 8 ) véges testben, jelöljük ezt: b = (b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0)-vel. Ezután egy affin transzformációt alkalmazunk, megkapva az S-box kimeneti bitjeit: nb = (nb 7 nb 6 nb 5 nb 4 nb 3 nb 2 nb 1 nb 0) nb i = b i b i+4 (mod 8) b i+5 (mod 8) b i+6 (mod 8) b i+7 (mod 8) c i, ahol i = 0,..., 7 és c = (c 7 c 6 c 5 c 4 c 3 c 2 c 1 c 0) = ( ) = 0x63.
26 Példa Határozzuk meg az S-box {4a} = ( ) = x 6 + x 3 + x-ra alkalmazott értékét. {4a} multiplikatív inverze: b = x 7 + x 5 + x 3 + x + 1 = ( ) lesz, mert (x 6 + x 3 + x) (x 7 + x 5 + x 3 + x + 1) = 1 (mod x 8 + x 4 + x 3 + x + 1), a keresett érték nb = ( ) = {d6}, mert: nb 0 = b 0 b 4 b 5 b 6 b 7 c 0 = = 0 nb 1 = b 1 b 5 b 6 b 7 b 0 c 1 = = 1 nb 2 = b 2 b 6 b 7 b 0 b 1 c 2 = = 1 nb 3 = b 3 b 7 b 0 b 1 b 2 c 3 = = 0 nb 4 = b 4 b 0 b 1 b 2 b 3 c 4 = = 1 nb 5 = b 5 b 1 b 2 b 3 b 4 c 5 = = 0 nb 6 = b 6 b 2 b 3 b 4 b 5 c 6 = = 1 nb 7 = b 7 b 3 b 4 b 5 b 6 c 7 = = 1
27 AES-128, S-box a b c d e f c 77 7b f 2 6b 6f c b fe d7 ab 76 1 ca 82 c9 7d fa f 0 ad d4 a2 af 9c a4 72 c0 2 b7 fd f f 7 cc 34 a5 e5 f 1 71 d c7 23 c a e2 eb 27 b c 1a 1b 6e 5a a0 52 3b d6 b3 29 e3 2f d1 00 ed 20 fc b1 5b 6a cb be 39 4a 4c 58 cf 6 d0 ef aa fb 43 4d f f 50 3c 9f a a3 40 8f 92 9d 38 f 5 bc b6 da ff f 3 d2 8 cd 0c 13 ec 5f c4 a7 7e 3d 64 5d f dc 22 2a ee b8 14 de 5e 0b db a e0 32 3a 0a c c2 d3 ac e4 79 b e7 c8 37 6d 8d d5 4e a9 6c 56 f 4 ea 65 7a ae 08 c ba e 1c a6 b4 c6 e8 dd 74 1f 4b bd 8b 8a d 70 3e b f 6 0e b9 86 c1 1d 9e e e1 f d9 8e 94 9b 1e 87 e9 ce df f 8c a1 89 0d bf e d 0f b0 54 bb 16
28 AES-128, visszafejtés a blokk titkosítókra jellemzően a kör-kulcsokat fordított sorrendbe alkalmazza, az alkalmazott függvényeket fordított sorrendben veszi a titkosításnál alkalmazott sorrendhez képest, a SubBytes, ShiftRows, MixColumns, S-box függvények inverzeit használja a titkosítás nem ugyanaz, mint a visszafejtés, titkosítási sorrend: SubBytes, ShiftRows, MixColumns, AddRoundkey, visszafejtési sorrend: InvShiftRows, InvSubBytes, AddRoundkey, InvMixColumns, meg kell külön írni a titkosító és visszafejtő függvényt hátrány, de lehet ezt optimalizálni.
29 AES-128, S-box Az inverz S-box bemenetének bitjeit szintén egy polinom együtthatóinak tekintjük, ezen alkalmazzuk a következő affin transzformációt, ami után meghatározzuk a multiplikatív inverzet: nb i = b i+2 (mod 8) b i+5 (mod 8) b i+7 (mod 8) d i, ahol i = 0,..., 7 és d = (d 7 d 6 d 5 d 4 d 3 d 2 d 1 d 0) = ( ) = 0x05.
AES kriptográfiai algoritmus
AES kriptográfiai algoritmus Smidla József Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem 2012. 2. 28. Smidla József (RSZT) AES 2012. 2. 28. 1 / 65 Tartalom 1 Bevezetés 2 Alapműveletek Összeadás,
Részletesebben2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s
Diszkre t matematika 10. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,
RészletesebbenKriptográfia I. Kriptorendszerek
Kriptográfia I Szimmetrikus kulcsú titkosítás Kriptorendszerek Nyíltszöveg üzenettér: M Titkosított üzenettér: C Kulcs tér: K, K Kulcsgeneráló algoritmus: Titkosító algoritmus: Visszafejt algoritmus: Titkosítás
RészletesebbenSapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro
Kriptográfia és Információbiztonság 10. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015 Vizsgatematika 1 Klasszikus kriptográfiai rendszerek
Részletesebben2018, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 3. előadás mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia 2018, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? számtartományok: természetes
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
RészletesebbenSapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék.
Kriptográfia és Információbiztonság 8. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2018 Miről volt szó az elmúlt előadáson? az RSA titkosító
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
RészletesebbenSapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék.
Kriptográfia és Információbiztonság 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2017 Miről volt szó az elmúlt előadáson? A Crypto++
Részletesebben2016, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 11. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? legnagyobb közös
RészletesebbenSapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék.
Kriptográfia és Információbiztonság 2 előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@mssapientiaro 2016 Miről volt szó az elmúlt előadáson? Félévi áttekintő
Részletesebben2016, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 2. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? Követelmények,
Részletesebben2016, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat
Részletesebben2017, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 10. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2017, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a prímszámtétel prímszámok,
Részletesebben1. Egészítsük ki az alábbi Python függvényt úgy, hogy a függvény meghatározza, egy listába, az első n szám faktoriális értékét:
Az írásbeli vizsgán, az alábbiakhoz hasonló, 8 kérdésre kell választ adni. Hasonló kérdésekre lehet számítani (azaz mi a hiba, egészítsük ki, mi a függvény kimeneti értéke, adjuk meg a függvényhívást,
Részletesebben2015, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? Számtartományok:
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenSapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék.
Kriptográfia és Információbiztonság 7. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2018 Miről volt szó az elmúlt előadáson? Kriptográfiai
RészletesebbenBest of Criptography Slides
Best of Criptography Slides Adatbiztonság és Kriptográfia PPKE-ITK 2008. Top szlájdok egy helyen 1 Szimmetrikus kulcsú rejtjelezés Általában a rejtjelező kulcs és a dekódoló kulcs megegyezik, de nem feltétlenül.
RészletesebbenA B C D EF C D EF C C BF A BC DE F D A E E E E D C C E DC C E E DC C C E D D E A D A E A
A B C D EF C D EF C C BF BA A A BC DE F D A E E E E D C C E DC C E E DC C C E D D E D E C E ED E D D C A D A A A D A A D A A A A D A E A C E A A D A A D A A A A D A A D C A A A C A A D A A A D A E DC E
RészletesebbenSapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro
Kriptográfia és Információbiztonság 5. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015 Miről volt szó az elmúlt előadáson? AES (Advanced
RészletesebbenSapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék.
Kriptográfia és Információbiztonság 2. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2018 Miről volt szó az elmúlt előadáson? Követelmények,
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenMás szavakkal formálisan:, ahol olyan egész szám, hogy. Más szavakkal formálisan:, ahol olyan egész szám, hogy.
Bevezetés 1. Definíció. Az alsó egészrész függvény minden valós számhoz egy egész számot rendel hozzá, éppen azt, amely a tőle nem nagyobb egészek közül a legnagyobb. Az alsó egészrész függvény jele:,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenAlapvető polinomalgoritmusok
Alapvető polinomalgoritmusok Maradékos osztás Euklideszi algoritmus Bővített euklideszi algoritmus Alkalmazás: Véges testek konstrukciója Irodalom: Iványi Antal: Informatikai algoritmusok II, 18. fejezet.
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben2018, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 5. előadás mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia 2018, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? Python alapfogalmak:
Részletesebbena védelmi feladatokban részt vevő elektronikus hírközlési szolgáltatók kijelöléséről és felkészülési feladataik meghatározásáról
1./2009. (.) MeHVM rendelet a védelmi feladatokban részt vevő elektronikus hírközlési szolgáltatók kijelöléséről és felkészülési feladataik meghatározásáról Az elektronikus hírközlésről szóló 2003. évi
RészletesebbenSapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék.
Kriptográfia és Információbiztonság 3. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2019 Miről volt szó az elmúlt előadáson? Klasszikus kriptográfiai
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
RészletesebbenA Magyar Nemzeti Bank elnökének 19/2012. (X. 4.) MNB rendelete
A Magyar Nemzeti Bank elnökének 19/2012. (X. 4.) MNB rendelete a jegybanki információs rendszerhez szolgáltatandó információk és az információt szolgáltatók köréről, a szolgáltatás módjáról és határidejéről
RészletesebbenSzámítógépes Hálózatok 2012
Számítógépes Hálózatok 22 4. Adatkapcsolati réteg CRC, utólagos hibajavítás Hálózatok, 22 Hibafelismerés: CRC Hatékony hibafelismerés: Cyclic Redundancy Check (CRC) A gyakorlatban gyakran használt kód
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenRSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. A szakirány 11. előadás Ligeti Péter turul@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ turul Nagy hálózatok Nagy hálózatok jellemzése Internet, kapcsolati hálók, biológiai hálózatok,... globális
Részletesebben2018, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 12. előadás mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, ománia 2018, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a diszkrét logaritmus,
RészletesebbenFelvételi tematika INFORMATIKA
Felvételi tematika INFORMATIKA 2016 FEJEZETEK 1. Természetes számok feldolgozása számjegyenként. 2. Számsorozatok feldolgozása elemenként. Egydimenziós tömbök. 3. Mátrixok feldolgozása elemenként/soronként/oszloponként.
RészletesebbenFFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok
RészletesebbenAlgoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenSzámelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
RészletesebbenMatematikai alapismeretek. Huszti Andrea
Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá
RészletesebbenSzámelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok
Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben2018, Diszkre t matematika. 8. elo ada s
Diszkre t matematika 8. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
Részletesebben2018, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 4. előadás mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia 2018, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? számtartományok: racionális
RészletesebbenA félév során előkerülő témakörök
A félév során előkerülő témakörök rekurzív algoritmusok rendező algoritmusok alapvető adattípusok, adatszerkezetek, és kapcsolódó algoritmusok dinamikus programozás mohó algoritmusok gráf algoritmusok
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben2016, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 7. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? az ord, chr függvények
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 11. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenData Security: Public key
Nyilvános kulcsú rejtjelezés RSA rejtjelező El-Gamal rejtjelező : Elliptikus görbe kriptográfia RSA 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2 2. m= p1p2 φ ( ) = ( p -1)( p -1) m 1 2 3.
RészletesebbenHibadetektáló és javító kódolások
Hibadetektáló és javító kódolások Számítógépes adatbiztonság Hibadetektálás és javítás Zajos csatornák ARQ adatblokk meghibásodási valószínségének csökkentése blokk bvítése redundáns információval Hálózati
RészletesebbenDiszkrét matematika II. feladatok
Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok
Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok 2
Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december
RészletesebbenAlgebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság
Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenCélterület adatlap. Szolgáltatáscsomag: azonos tevékenység, téma köré szerveződő szolgáltatások összekapcsolt halmaza.
Célterület adatlap Célterület azonosító: 1 015 786 Helyi Akciócsoport: Abaúj Leader Egyesület Jogcím: Vállalkozási alapú fejlesztés Célterület megnevezése: Térségi szolgáltatásszervező központ létrehozása
RészletesebbenEnnek két lépéssel balra történõ ciklikus eltolása az alábbi.
CIKLIKUS KÓDOK (Az alábbiak feltételezik a "Hiradástechnika" c. könyv "7. Hibakorlátozó kódolás" fejezetének és a modulo-2 algebra alapjainak ismeretét.) 1. Alapfogalmak Definíció: egy lineáris kód ciklikus,
RészletesebbenMinden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.
1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz
Részletesebben1. Egész együtthatós polinomok
1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Polinomok Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 80 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Egyváltozós polinomok Alapfogalmak
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
Részletesebben0 ; a k ; :::) = ( 0: x = (0; 1; 0; 0; :::; 0; :::) = (0; 1)
3. EGYVÁLTOZÓS POLINOMOK 3.A.De níció. Komplex számok egy f = (a 0 ; a 1 ; :::; a k ; :::) végtelen sorozatáról azt mondjuk, hogy polinom, ha létezik olyan m 0 egész, hogy minden k m indexre a k = 0. Az
Részletesebben2. Fejezet : Számrendszerek
2. Fejezet : Számrendszerek The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An Information Technology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson Wong, Bentley College
Részletesebben2. Tétel (Az oszthatóság tulajdonságai). : 2. Nullát minden elem osztja, de. 3. a nulla csak a nullának osztója.
Számelmélet és rejtjelezési eljárások. (Számelméleti alapok. RSA és alkalmazásai, Die- Hellman-Merkle kulcscsere.) A számelméletben speciálisan az egész számok, általánosan a egységelemes integritási tartomány
Részletesebben1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
RészletesebbenINFORMATIKA javítókulcs 2016
INFORMATIKA javítókulcs 2016 ELMÉLETI TÉTEL: Járd körbe a tömb fogalmát (Pascal vagy C/C++): definíció, egy-, két-, több-dimenziós tömbök, kezdőértékadás definíciókor, tömb típusú paraméterek átadása alprogramoknak.
RészletesebbenShor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra
Ivanyos Gábor MTA SZTAKI Debrecen, 20 január 2. Tartalom és kvantum-áramkörök 2 A diszkrét log probléma Kvantum bit Állapot: a B = C 2 komplex euklideszi tér egy egységvektora: az a 0 + b szuperpozíció
RészletesebbenThe Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003
. Fejezet : Számrendszerek The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons Wilson Wong, Bentley College Linda Senne,
RészletesebbenWaldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...
1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................
RészletesebbenÁltalános Szerződési Feltételek. a Pick-Up Kft.
Általános Szerződési Feltételek a Pick-Up Kft. Internet hozzáférés szolgáltatásának igénybevételéhez. Az ügyfélszolgálat elérhetősége: 2900 Komárom, Táncsics M. u. 3/b Tel./Fax.: 34/222-222, 34/342-888,
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
Részletesebbenmegtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:
Az RSA módszer Az RSA módszer titkossága a prímtényezős felbontás nehézségén, a prímtényezők megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:
RészletesebbenKomputeralgebrai Algoritmusok
Komputeralgebrai Algoritmusok Adatábrázolás Czirbusz Sándor, Komputeralgebra Tanszék 2015-2016 Ősz Többszörös pontosságú egészek Helyiértékes tárolás: l 1 s d i B i i=0 ahol B a számrendszer alapszáma,
RészletesebbenHibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós
Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenMATLAB gyakorlat. Fájlműveletek folytatás, gyakorlás
MATLAB 2015 10. gyakorlat Fájlműveletek folytatás, gyakorlás Kis ZH A megoldás egyetlen fájlba készüljön, melynek a neve az alábbi legyen: zh9_[digitusosazonosito].m Az elkészült megoldást másoljuk be
RészletesebbenVektoralgebra feladatlap 2018 január 20.
1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd
RészletesebbenCélterület adatlap. I. Fogalom magyarázat. II. Támogatás vehető igénybe. III. Támogatás mértéke. növelése
Célterület adatlap Célterület azonosító: 1 017 320 Helyi Akciócsoport: Vértes-Gerecse Vidékfejlesztési Közösség UMVP intézkedés: Versenyképesség Jogcím: Vállalkozás alapú fejlesztés Célterület megnevezése:
RészletesebbenMatematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenV. Koordinátageometria
oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón
RészletesebbenKÓDOLÁSTECHNIKA PZH. 2006. december 18.
KÓDOLÁSTECHNIKA PZH 2006. december 18. 1. Hibajavító kódolást tekintünk. Egy lineáris bináris blokk kód generátormátrixa G 10110 01101 a.) Adja meg a kód kódszavait és paramétereit (n, k,d). (3 p) b.)
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenFELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest
FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest 2007-07-25 A 2. és a 4. fejezet feladatai megoldva megtalálhatók a Testb vítés, véges testek;
Részletesebben