Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra

Átírás

1 Ivanyos Gábor MTA SZTAKI Debrecen, 20 január 2.

2 Tartalom és kvantum-áramkörök 2 A diszkrét log probléma

3 Kvantum bit Állapot: a B = C 2 komplex euklideszi tér egy egységvektora: az a 0 + b szuperpozíció (lineáris kombináció), ahol a 2 + b 2 = Kitüntetett bázis: 0, Mérés után: 0: a 2 valószín séggel, : b 2 valószín séggel.

4 n kvantum bites rendszer Állapot: a B n = C 2n egységvektora: komplex euklideszi tér egy a s S a s s szuperpozíció, ahol S = {0, } n és s S a s 2 =. Kitüntetett bázis: s, ahol s S: , ,.... Mérés után: az s bitsorozat: a s 2 valószín séggel.

5 d bites kvantum kapu: egy 2 d transzformáció dimenziós unitér Példák: Hadamard-kapu: H : 0 2 ( 0 + ), Kontrollált fáziseltolás: 0x 0x, 0 0, 2 ( 0 ). ω, ahol ω =.

6 Kvantum példa-kapuk mátrixa Hadamard-kapu: Kontrollált fáziseltolás: ( ) 2 ω

7 Kvantum-áramkör: számolás n kvantum bites rendszeren egy- és kétbites kvantum kapuk sorozata megadva az is, hogy mely kvantum bit(ek)en hatnak ("drótozás", sorrend is számít) formálisan: a megfelel transzformáció identitás M velet: a kapuknak megfelel transzformációk szorzata Id igény (lépésszám): a sorozat hossza Megjegyzés: konstans d > 2-re legfeljebb d bites kapukból álló áramkörök: az -2 bitessel polinomiálisan ekvivalens modell.

8 Kvantum-párhozamosság Tfh. s S = {0, } n -re s f (s) {0, } n2 T id ben számolható. Ekkor a s s y a s s f (s)xory s S s S O(T ) lépésben számolható kvantumgéppel

9 Kvantum-áramkör: mérés/m ködés a kapuk szorzata az input bitsorozatnak megfelel báziselemre végül mérés randomizált algoritmushoz hasonló jelleg a megfelel nyelvosztály: BPQ Megjegyzés: Véges ún. univerzális kapukészlettel a kapuk közelítése segítségével szintén polinomiálisan ekvivalens modell kapható.

10 Részleges mérés és kvantum-áramkörök Kétrészes állapot (két "regiszter"): s S s 2 S 2 a s s 2 s s 2 Tfh. a második regisztert tovább nem használjuk Kényelmes "megmérni és eldobni" s 2 eredmény valószín sége s S a s s 2 2 maradék állapot s 2 mérése esetén s S a ss2 2 disztributivitás alkalmazása s S a s s 2 s

11 QFT modulo N: x {0,..., N }-re ahol ω = N. x N ω x y y, N y=0 Báziscsere a ciklikus léptetés sajátvektoraira Hatékonyan (azaz (log N) O() méret kvantum-áramkörrel) implementálható, ha N = 2 k Tetsz leges N-re hatékonyan (azaz (log N log ɛ )O() méret kvantum-áramkörrel) közelíthet ɛ hibával.

12 A diszkrét log probléma Tartalom és kvantum-áramkörök 2 A diszkrét log probléma

13 A diszkrét log probléma Diszkrét log A feladat: A (kommutatív) csoport, a, b A, keresend a legkisebb z 0 egész, amelyre a z = b. Egyszer sít feltevés: a és b rendje ismert p prímszám. Ekkor 0 < z < p. Eszköz: f : Z p Z p A f (z, z 2 ) = a z b z 2 f (z, z2) gyors hatványozással hatékonyan számolható Fontos tulajdonság: f (z, z 2 ) = a z b z 2 = a z 2z z a z 2z b z 2 = a z 2z z

14 A diszkrét log probléma p z Z p z 2 Z z p z 2 0 QFT mod p az els két regiszterre f számítása p z Z p z 2 Z z p z 2 a z b z 2 = = p = p z Z p u Z p f tulajdonsága z 2 Z p z z 2 a z 2z z = z z 2 z + u, ahol u = z z 2 z z 2 Z p z 2 z + u z 2 a u

15 A diszkrét log probléma Diszkrét log algoritmus -második lépések p u Z p z 2 Z z p 2 z + u z 2 a u harmadik regiszter mérése és eldobása p z 2 Z z p 2 z + u z 2 valamely véletlen u Z p-re egyenletes valószín séggel Az (z, )-gyel történ ciklikus léptetésre invariáns vektor A léptetések közös sajátaltereit érdemes nézni (QFT)

16 A diszkrét log probléma p z 2 Z z p 2 z + u z 2 QFT mod p a két regiszterre p 3/2 y Z p y 2 Z p z 2 Z p ω (z 2z+u)y ω z 2y 2 y y 2 y y 2 együtthatója: ( ) ω zy +y 2 z2. p 3/2 p 3/2 z 2 Z p z 2 Z p ω (z2z+u)y+z2y2 = ωuy

17 A diszkrét log probléma Diszkrét log algoritmus - befejez mérés Együtthatók: y y 2 együtthatója: ω uy p 3/2 z 2 Z p ( ω zy +y 2 ) z2 = { ω uy p /2 ha zy + y 2 = 0 0 egyébként Mérés eredménye: olyan (y, y 2 ) Z 2 p, hogy zy + y 2 = 0, ezek egyforma ( p ) valószín séggel. Siker: p valószín séggel y 0 és ekkor z = y 2 y.