Határozatlansági relációk származtatása az
|
|
|
- Gizella Kozma
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 az állapottér BME TTK Matematikus MSc. 1. évf november 14.
2 Vázlat: Történeti áttekintés Nemkommutatív (kvantum) valószín ségelmélet Az állapottér geometriája: Az állapottér mint Riemann-sokaság Kvantum Fisher információk A kvantum kovariancia mint lehetséges alsó becslés Szimmetrizált és antiszimmetrizált f-kovariancia Az általános határozatlansági reláció
3 Werner Heisenberg (1927). x p h x [m] a hely mérés bizonytalansága. [ ] p kg m s az impulzus mérés bizonytalansága. h 6, J s a Planck-állandó. -elv Képek forrása:
4 Werner Heisenberg (1927). x p h x [m] a hely mérés bizonytalansága. [ ] p kg m s az impulzus mérés bizonytalansága. h 6, J s a Planck-állandó. -elv Képek forrása:
5 E. H. Kennard, Hermann Weyl (1927). Alsó becslés a hely és az impulzus szórásának (σ x, σ p ) szorzatára. Robertson (1929). σ x σ p h 4π = 2 Ez már korrekt tétel! Általánosítás tetsz leges zikai mennyiségekre. Ervin Schrödinger (1930). Nemkommutatív valószín ségelmélet.
6 E. H. Kennard, Hermann Weyl (1927). Alsó becslés a hely és az impulzus szórásának (σ x, σ p ) szorzatára. Robertson (1929). σ x σ p h 4π = 2 Ez már korrekt tétel! Általánosítás tetsz leges zikai mennyiségekre. Ervin Schrödinger (1930). Nemkommutatív valószín ségelmélet.
7 E. H. Kennard, Hermann Weyl (1927). Alsó becslés a hely és az impulzus szórásának (σ x, σ p ) szorzatára. Robertson (1929). σ x σ p h 4π = 2 Ez már korrekt tétel! Általánosítás tetsz leges zikai mennyiségekre. Ervin Schrödinger (1930). Nemkommutatív valószín ségelmélet.
8 E. H. Kennard, Hermann Weyl (1927). Alsó becslés a hely és az impulzus szórásának (σ x, σ p ) szorzatára. Robertson (1929). σ x σ p h 4π = 2 Ez már korrekt tétel! Általánosítás tetsz leges zikai mennyiségekre. Ervin Schrödinger (1930). Nemkommutatív valószín ségelmélet.
9 H n egy rögzített, n-dimenziós Hilbert-tér. 1. Az állapottér (s r ség mátrixok) M (1) n,sa := { D D Lin(Hn ), D 0, D = D +, Tr(D) = 1 }. 2. Fizikai menynyiségek avagy obszervábilisek M n,sa := { D D Lin(H n ), D = D + }. 3. Extremális pontok: tiszta állapotok. 4. Skaláris szorzat en (A, B) Tr(DAB).
10 H n egy rögzített, n-dimenziós Hilbert-tér. 1. Az állapottér (s r ség mátrixok) M (1) n,sa := { D D Lin(Hn ), D 0, D = D +, Tr(D) = 1 }. 2. Fizikai menynyiségek avagy obszervábilisek M n,sa := { D D Lin(H n ), D = D + }. 3. Extremális pontok: tiszta állapotok. 4. Skaláris szorzat en (A, B) Tr(DAB).
11 H n egy rögzített, n-dimenziós Hilbert-tér. 1. Az állapottér (s r ség mátrixok) M (1) n,sa := { D D Lin(Hn ), D 0, D = D +, Tr(D) = 1 }. 2. Fizikai menynyiségek avagy obszervábilisek M n,sa := { D D Lin(H n ), D = D + }. 3. Extremális pontok: tiszta állapotok. 4. Skaláris szorzat en (A, B) Tr(DAB).
12 H n egy rögzített, n-dimenziós Hilbert-tér. 1. Az állapottér (s r ség mátrixok) M (1) n,sa := { D D Lin(Hn ), D 0, D = D +, Tr(D) = 1 }. 2. Fizikai menynyiségek avagy obszervábilisek M n,sa := { D D Lin(H n ), D = D + }. 3. Extremális pontok: tiszta állapotok. 4. Skaláris szorzat en (A, B) Tr(DAB).
13 Az A zikai mennyiség várható értéke a D állapotban E D A := Tr(DA). Cov(X, Y ) = E(XY ) EXEY Deníció: Az A és B zikai mennyiségek kovarianciája a D állapotban Cov s D(A, B) := Tr(DAB) + Tr(DBA) 2 Tr(DA) Tr(DB). Az A zikai mennyiség varianciája a D állapotban Var D (A) := Cov s D(A, A).
14 Az A zikai mennyiség várható értéke a D állapotban E D A := Tr(DA). Cov(X, Y ) = E(XY ) EXEY Deníció: Az A és B zikai mennyiségek kovarianciája a D állapotban Cov s D(A, B) := Tr(DAB) + Tr(DBA) 2 Tr(DA) Tr(DB). Az A zikai mennyiség varianciája a D állapotban Var D (A) := Cov s D(A, A).
15 Az A zikai mennyiség várható értéke a D állapotban E D A := Tr(DA). Cov(X, Y ) = E(XY ) EXEY Deníció: Az A és B zikai mennyiségek kovarianciája a D állapotban Cov s D(A, B) := Tr(DAB) + Tr(DBA) 2 Tr(DA) Tr(DB). Az A zikai mennyiség varianciája a D állapotban Var D (A) := Cov s D(A, A).
16 A Schrödinger-egyenl tlenség (1930). A és B zikai mennyiségek, D pedig egy állapot Var D (A)Var D (B) 1 4 Tr(D[A, B]) 2 + Cov D (A, B) 2. Egy általánosításra alkalmasabb forma ( Cov s det D (A, A) Cov s ) D (A, B) Cov s D (B, A) Covs D (B, B) ( i det 2 Tr(D[A, A]) i 2 Tr(D[B, A]) i 2 i 2 Tr(D[A, B]) Tr(D[B, B]) ).
17 A Schrödinger-egyenl tlenség (1930). A és B zikai mennyiségek, D pedig egy állapot Var D (A)Var D (B) 1 4 Tr(D[A, B]) 2 + Cov D (A, B) 2. Egy általánosításra alkalmasabb forma ( Cov s det D (A, A) Cov s ) D (A, B) Cov s D (B, A) Covs D (B, B) ( i det 2 Tr(D[A, A]) i 2 Tr(D[B, A]) i 2 i 2 Tr(D[A, B]) Tr(D[B, B]) ).
18 A Robertson-féle általánosítás (1934). {A k } N k=1 véges sok zikai mennyiség, D állapot ) det ([Cov s D(A k, A l )] k,l=1...,n ( [ det i ] 2 Tr(D[A k, A l ]) k,l=1...,n ).
19 M (1) n,sa R n2 Az állapottér belseje ( ) M (1)+ n,sa := Int M (1) n,sa. Nyílt halmaz az R n2 Sima sokasággá tehet. térben. Érint tere egy D pontban T D M (1)+ n,sa = M (0) n,sa := {A A M n,sa, Tr(A) = 0}.
20 Az f : R + R operátormonoton függvény szimmetrikus, ha normált, ha f(1) = 1. Két fontos részhalmaz: f(x) = xf ( ) 1 x F (r) op = {f F op f(0) 0} F (n) op = {f F op f(0) = 0}.
21 Deníció: Egy m : Lin(H n ) + Lin(H n ) + Lin(H n ) + folytonos függvény mátrixközép, ha i. m(a, A) = A, ii. m(a, B) = m(b, A), iii. A B A m(a, B) B, iv. ( P Lin(H n )) P m(a, B)P (P AP, P BP ). Jelölés: M op A B := 1 2 (A + B) A#B := A 1 2 (A 1 2 BA 1 2 )B 1 2 A!B := 2(A 1 + B 1 ) 1
22 Deníció: Egy m : Lin(H n ) + Lin(H n ) + Lin(H n ) + folytonos függvény mátrixközép, ha i. m(a, A) = A, ii. m(a, B) = m(b, A), iii. A B A m(a, B) B, iv. ( P Lin(H n )) P m(a, B)P (P AP, P BP ). Jelölés: M op A B := 1 2 (A + B) A#B := A 1 2 (A 1 2 BA 1 2 )B 1 2 A!B := 2(A 1 + B 1 ) 1
23 Petz osztályozási tétele A Monoton metrikacsaládok és a szimmetrikus, normált operátormonoton függvények 1-1 megfeleltetésben állnak egymással. ( D M (1)+ n,sa )( A M (0) n,sa) A, B D,f = Tr [ A L n,d (A) := DA R n,d := AD ( ) ] 1 R 1 2 n,d f(l n,d R 1 n,d )R 1 2 n,d B, D,f radiálisan kiterjed a M (1) n,sa peremre f(0) 0
24 Petz osztályozási tétele A Monoton metrikacsaládok és a szimmetrikus, normált operátormonoton függvények 1-1 megfeleltetésben állnak egymással. ( D M (1)+ n,sa )( A M (0) n,sa) A, B D,f = Tr [ A L n,d (A) := DA R n,d := AD ( ) ] 1 R 1 2 n,d f(l n,d R 1 n,d )R 1 2 n,d B, D,f radiálisan kiterjed a M (1) n,sa peremre f(0) 0
25 Deníció: Ha f F (r) op függvény, akkor Cov as f(0) D,f (A, B) := 2 i[d, A], i[d, B] D,f. Tétel (Gibilisco): Ha {A k } N k=1 M n,sa obszervábilisek, D M (1) n,sa egy állapot, f F op (r) függvény, akkor det ([Cov s D(A k, A l )] k,l=1,...,n ) ( [Cov as det D,f (A k, A l ) ] ). k,l=1,...,n Luo, Zhang (2004), N = 2, Wigner-Yanase metrika. Gibilisco, Imparato, Isola (2007), N = 3, általános f.
26 Deníció: Ha f F (r) op függvény, akkor Cov as f(0) D,f (A, B) := 2 i[d, A], i[d, B] D,f. Tétel (Gibilisco): Ha {A k } N k=1 M n,sa obszervábilisek, D M (1) n,sa egy állapot, f F op (r) függvény, akkor det ([Cov s D(A k, A l )] k,l=1,...,n ) ( [Cov as det D,f (A k, A l ) ] ). k,l=1,...,n Luo, Zhang (2004), N = 2, Wigner-Yanase metrika. Gibilisco, Imparato, Isola (2007), N = 3, általános f.
27 Deníció: Ha f F (r) op függvény, akkor Cov as f(0) D,f (A, B) := 2 i[d, A], i[d, B] D,f. Tétel (Gibilisco): Ha {A k } N k=1 M n,sa obszervábilisek, D M (1) n,sa egy állapot, f F op (r) függvény, akkor det ([Cov s D(A k, A l )] k,l=1,...,n ) ( [Cov as det D,f (A k, A l ) ] ). k,l=1,...,n Luo, Zhang (2004), N = 2, Wigner-Yanase metrika. Gibilisco, Imparato, Isola (2007), N = 3, általános f.
28 Tétel (Gibilisco): Ha {A k } N k=1 M n,sa obszervábilisek, D M (1) n,sa egy állapot és f, g F op (r) operátormonoton függvények, akkor ( x R + ) f(0) f(x) g(0) g(x) det ( [Cov as D,f (A k, A l )] k,l=1,...,n ) det ( [Cov as D,g(A k, A l )] k,l=1,...,n ).
29 Számolást könnyít feltevések: I. Fizikai mennyiségek centráltak: E D A = 0. II.A D s r ségoperátor mátrixa diagonális. Jelölések: 1. {λ k } k=1,...,n a D M (1) n,sa s r ségoperátor mátrixának sajátértékei. 2. Az {e k } k=1,...,n vektorrendszer a λ 1,..., λ n sajátértékhez tartozó sajátvektorokból képzett ortonormált bázis a H n Hilbert-téren.
30 Tétel: Ha A, B M n,sa zikai mennyiségek, D M (1) n,sa pedig egy állapot, f F op (r) függvény, akkor A, B D,f = Bizonyítás (vázlat): n k,l=1 A kl B lk 1 m f (λ k, λ l ). 1. Legyen (1 k, l n) [e i e j ] kl := δ ik δ jl. e k e l := 1 2 (e k e l +e l e k ) e k e l := 1 2i (e k e l e l e k ) 2. RieszDunford-féle operátorkalkulus e i e j, e k e l D,f e i e j, e k e l D,f e i e j, e k e l D,f. 3. A metrika bilineáris.
31 Tétel: Ha A, B M n,sa zikai mennyiségek, D M (1) n,sa pedig egy állapot, f F op (r) függvény, akkor A, B D,f = Bizonyítás (vázlat): n k,l=1 A kl B lk 1 m f (λ k, λ l ). 1. Legyen (1 k, l n) [e i e j ] kl := δ ik δ jl. e k e l := 1 2 (e k e l +e l e k ) e k e l := 1 2i (e k e l e l e k ) 2. RieszDunford-féle operátorkalkulus e i e j, e k e l D,f e i e j, e k e l D,f e i e j, e k e l D,f. 3. A metrika bilineáris.
32 Tétel: Ha A, B M n,sa zikai mennyiségek, D M (1) n,sa pedig egy állapot, f F op (r) függvény, akkor A, B D,f = Bizonyítás (vázlat): n k,l=1 A kl B lk 1 m f (λ k, λ l ). 1. Legyen (1 k, l n) [e i e j ] kl := δ ik δ jl. e k e l := 1 2 (e k e l +e l e k ) e k e l := 1 2i (e k e l e l e k ) 2. RieszDunford-féle operátorkalkulus e i e j, e k e l D,f e i e j, e k e l D,f e i e j, e k e l D,f. 3. A metrika bilineáris.
33 Tétel: Ha A, B M n,sa zikai mennyiségek, D M (1) n,sa pedig egy állapot, f F op (r) függvény, akkor A, B D,f = Bizonyítás (vázlat): n k,l=1 A kl B lk 1 m f (λ k, λ l ). 1. Legyen (1 k, l n) [e i e j ] kl := δ ik δ jl. e k e l := 1 2 (e k e l +e l e k ) e k e l := 1 2i (e k e l e l e k ) 2. RieszDunford-féle operátorkalkulus e i e j, e k e l D,f e i e j, e k e l D,f e i e j, e k e l D,f. 3. A metrika bilineáris.
34 Alkalmazások I. Az antiszimmetrizált (kvantum) f-kovariancia Cov as f(0) D,f (A, B) = 2 i[d, A], i[d, B] D,f = = n k,l=1 II. A szimmetrizált f-kovariancia f(0)(λ k λ l ) 2 2m f (λ k, λ l ) A klb lk. Cov s f(0) D,f (A, B) = 2 {D, A}, {D, B} D,f = = n k,l=1 f(0)(λ k + λ l ) 2 2m f (λ k, λ l ) A klb lk. {X, Y } := XY + Y X az antikommutátor.
35 Alkalmazások I. Az antiszimmetrizált (kvantum) f-kovariancia Cov as f(0) D,f (A, B) = 2 i[d, A], i[d, B] D,f = = n k,l=1 II. A szimmetrizált f-kovariancia f(0)(λ k λ l ) 2 2m f (λ k, λ l ) A klb lk. Cov s f(0) D,f (A, B) = 2 {D, A}, {D, B} D,f = = n k,l=1 f(0)(λ k + λ l ) 2 2m f (λ k, λ l ) A klb lk. {X, Y } := XY + Y X az antikommutátor.
36 Alkalmazások I. Az antiszimmetrizált (kvantum) f-kovariancia Cov as f(0) D,f (A, B) = 2 i[d, A], i[d, B] D,f = = n k,l=1 II. A szimmetrizált f-kovariancia f(0)(λ k λ l ) 2 2m f (λ k, λ l ) A klb lk. Cov s f(0) D,f (A, B) = 2 {D, A}, {D, B} D,f = = n k,l=1 f(0)(λ k + λ l ) 2 2m f (λ k, λ l ) A klb lk. {X, Y } := XY + Y X az antikommutátor.
37 A szimmetrizált f -kovariancia az speciális esetben Cov s D,f(A, B) = f = 1 + x 2 n k,l=1 λ k + λ l A kl B lk. 2 Ez nem más, mint Cov s D(A, B)!
38 Állítás: Ha g : R + R + R + szimmetrikus sima függvény, akkor n (D, A, B) Cov D,g (A, B) := g(λ k, λ l )A kl B lk k,l=1 Riemann-metrika. Lemma: Ha A, B R n n, szimmetrikus és pozitív denit, akkor det (A + B) n det (A) n + det (B) n. Az ún. BrunnMinkowski-egyenl tlenség.
39 Állítás: Ha g : R + R + R + szimmetrikus sima függvény, akkor n (D, A, B) Cov D,g (A, B) := g(λ k, λ l )A kl B lk k,l=1 Riemann-metrika. Lemma: Ha A, B R n n, szimmetrikus és pozitív denit, akkor det (A + B) n det (A) n + det (B) n. Az ún. BrunnMinkowski-egyenl tlenség.
40 Az általános határozatlansági reláció Deníció: Ha {A k } k=1,...,n M n,sa zikai mennyiségek véges rendszere és g : R + R + R + szimmetrikus sima függvény, akkor ( 1 i, j N) [Cov D,g ] ij := Cov D,g (A i, A j ). Tétel: Ha g 1, g 2 : R + R + R + szimmetrikus sima függvények, akkor ( (x, y) R + R + ) g 1 (x, y) g 2 (x, y) det(cov D,g1 ) det(cov D,g2 )
41 Az általános határozatlansági reláció Deníció: Ha {A k } k=1,...,n M n,sa zikai mennyiségek véges rendszere és g : R + R + R + szimmetrikus sima függvény, akkor ( 1 i, j N) [Cov D,g ] ij := Cov D,g (A i, A j ). Tétel: Ha g 1, g 2 : R + R + R + szimmetrikus sima függvények, akkor ( (x, y) R + R + ) g 1 (x, y) g 2 (x, y) det(cov D,g1 ) det(cov D,g2 )
42 Mikor áll egyenl ség? Ha ( x R + ) g 1 (x, x) = g 2 (x, x), akkor det(cov D,g1 ) = det(cov D,g2 ) {A k } k=1,...,n M n,sa lineárisan összefügg. Bizonyítás: Alkalmazzuk a BrunnMinkowski-egyenl séget.
43 Alkalmazás Deníció: Az A és B zikai mennyiségek kevert f-kovarianciája a D állapotban Cov mix D,f (A, B) := if(0) [AD + ida], [BD + idb] 2 D,f. Állítás: n Cov mix D,f (A, B) = k,l=1 A kl B lk f(0)(λ 2 k + λ2 l ) 2m f (λ k, λ l )
44 Új becslést konstruálunk: Legyen f szimmetrikus, normált, operátormonoton és f(0) x 2 ( x [0, 1]) 1 + x f(x) f(0) Cov s D(A, B) Cov mix D,f (A, B) Covas D,f (A, B) Tetsz leges A, B zikai mennyiségekre és D állapotra.
45 El állítottuk a kovarianciát egy adott bázisban. Megmutattuk, hogy a közönséges kovariancia is metrikából származtatható. Általánosítottuk a közönséges kovarianciát. Bizonyítottuk az általános határozatlansági relációt Ennek segítségével egy élesebb határozatlansági relációt konstruáltunk. Világos geometriai tartalmat kapcsoltunk a határozatlansági hoz.
46 További nyitott kérdések Az A és B zikai mennyiségek komplex f-kovarianciája a D állapotban a θ [0, 2π] paraméter érték mellett Cov C D,f (A, B) := = f(0)eiθ 2 [AD + e iθ DA], [BD + e iθ DB]. D,f D függés? Asszimptotika? Jobb oldal mint kommutátorok alkalmas polinomja: kommutációs sor..
47 Köszönöm a gyelmet!
48 F. Hiai, D. Petz and G. Toth. Curvature in the geometry of canonical correlation. Studia Scientiarium Mathematicarum Hungarica 32, , S. Luo and Q. Zhang, Correction to On skew information. IEEE Trans. Inform. Theory 51, 4432, P. Gibilisco, D. Imparato and T. Isola. A volume inequality for quantum Fisher information and the uncertainty principle. arxiv:math-ph/ v1, P. Gibilisco, D. Imparato and T. Isola. Uncertainty principle and quantum Fisher information II. arxiv:math-ph/ v3, Attila Andai. Uncertainty principle with quantum Fisher information. JMP 49, , 2008.
BME Matematika Intézet Analízis Tanszék. Lovas Attila. Az információgeometria alkalmazása kvantummechanikai rendszerekre PhD értekezés tézisei
BME Matematika Intézet Analízis Tanszék Lovas Attila Az információgeometria alkalmazása kvantummechanikai rendszerekre PhD értekezés tézisei Témavezető: Dr. Andai Attila egyetemi docens 2017 1. Bevezetés
1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
Riemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések
A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések Az R m euklideszi tér természetes bázisának az e 1 = (1, 0,..., 0),..., e m = (0,..., 0, 1) vektorokból álló bázist mondjuk. Legyen M egy összefügg nyílt
Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
3. FELADATSOR. n(n 1) Meggondolható, hogy B képtere az összes alternáló 4-lineáris függvény tere, magja pedig R. Hesse(f)(X, Y ) = X(Y (f)) X Y (f).
011/1 I. félév 3. FELADATSOR 3-1: Legyen R T 0,4 V az algebrai görbületi tenzorok tere az n-dimenziós V vektortér felett. Mennyi R dimenziója? Mennyi a 0 Ricci-tenzorú görbületi tenzorok terének dimenziója?
Wigner tétele kvantummechanikai szimmetriákról
Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet és MTA-DE "Lendület" Funkcionálanalízis Kutatócsoport, Debreceni Egyetem 2014. Október 30. Elméleti Fizika Szeminárium A tétel története Wigner tétele Tétel Legyen
Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
HALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata
Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Bucz Gábor Témavezet : Dr. Fehér László Dr. Lévay Péter Szeged, 2015.04.23. Bucz Gábor Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Szeged, 2015.04.23. 1 / 27 Tartalom
Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek
Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek MaFiHe TDK és Szakdolgozat Hét Szalay Szilárd MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont, Szilárdtest Fizikai és Optikai Intézet, Erősen Korrelált Rendszerek Lendület
Line aris f uggv enyilleszt es m arcius 19.
Lineáris függvényillesztés 2018. március 19. Illesztett paraméterek hibája Eddig azt néztük, hogy a mérési hiba hogyan propagál az illesztett paraméterekbe, ha van egy konkrét függvényünk. a hibaterjedés
Az Információgeometria a kvantummechanikában
BME Matematikai Intézet Analízis Tanszék Andai Attila: Az Információgeometria a kvantummechanikában című doktori értekezés tézisei Témavezető: Petz Dénes matematikai tudományok doktora, egyetemi tanár
Principal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.
1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége
= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s
3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy
Matematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Lagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
Valószín ségelmélet. Pap Gyula
Valószín ségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet, Sztochasztika Tanszék papgy@math.u-szeged.hu 1 Mértékelméleti el készítés 1.1 Deníció. Legyen Ω nemüres halmaz. Az Ω bizonyos részhalmazaiból
Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
Konvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Klasszikus és kvantum fizika
Klasszikus és kvantum fizika valamint a Wigner függvény T.S. Biró MTA Fizikai Kutatóközpont, Budapest 2017. november 13. T.S.Biró Wigner 115, Budapest, 2017. Nov. 15. Biró Klassz kvantum 1 / 22 Abstract
Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition
Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition Borbély Gábor 7. április... Tétel (teljes SVD. Legyen A C m n mátrix (valósra is jó, ekkor léteznek U C m m és V C n n unitér mátrixok (valósban
1. FELADATSOR. x = u + v 2, y = v + z 2, z = z. u y + z. u x + y. v x + y. v y + z. w x + y. w y + z
1. FELADATSOR 1-0: Írjuk le az R3 euklideszi tér Riemann-metrikáját az u, v, z koordináták használatával, ahol x = u + v, y = v + z, z = z. Megoldás. (L. Gy.) 1. változat: Az eredeti metrika a x, x x,
1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje
Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +....
Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra
Ivanyos Gábor MTA SZTAKI Debrecen, 20 január 2. Tartalom és kvantum-áramkörök 2 A diszkrét log probléma Kvantum bit Állapot: a B = C 2 komplex euklideszi tér egy egységvektora: az a 0 + b szuperpozíció
Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
Szemidenit optimalizálás és az S-lemma
Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok
Véletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
A kémiai kötés eredete; viriál tétel 1
A kémiai kötés ereete; viriál tétel 1 Probléma felvetés Ha egy molekula atommagjai közötti távolság csökken, akkor a közöttük fellép elektrosztatikus taszításhoz tartozó energia n. Ugyanez igaz az elektronokra
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 13. Előadás
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 13. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2009. december 7. Gráfok sajátértékei Definíció. Egy G egyszerű gráf sajátértékei az A G
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák
Matematikai statisztika szorgalmi feladatok
Matematikai statisztika szorgalmi feladatok 1. Feltételes várható érték és konvolúció 1. Legyen X és Y független és azonos eloszlású valószín ségi változó véges második momentummal. Mutassuk meg, hogy
Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )
MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend
Gazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
Lineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix
Gyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 2 4. Oktatási módszer 2 5. Követelmények, pótlások 2 6. Tematika 2 6.1. Alapfogalmak, matematikai
LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer
Markov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
DiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
A különböz lerajzolásokhoz különböz metszési szám tartozik: x(k 5, λ) = 5,
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Gráfok metszési paramétere és alkalmazásai 2013. El adó: Hajnal Péter 1. Gráfok metszési száma Az el adás a metszési szám nev gráfparaméterr l szól.
Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
Opkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
Julia halmazok, Mandelbrot halmaz
2011. október 21. Tartalom 1 Julia halmazokról általánosan 2 Mandelbrot halmaz 3 Kvadratikus függvények Julia halmazai Pár deníció Legyen f egy legalább másodfokú komplex polinom. Ha f (ω) = ω, akkor ω
Eloszlások jellemzése. Momentumok. Medián és kvantilis. Karakterisztikus függvény
Karakterisztikus függvény Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Hogyan lehetne általánosítani a generátorfüggvényt folytonos okra? Karakterisztikus
Az impulzusnyomatékok általános elmélete
Az impulzusnyomatékok általános elmélete November 27, 2006 Az elemi kvantummechanika keretében tárgyaltuk már az impulzusnyomatékot. A továbbiakban általánosítjuk az impulzusnyomaték fogalmát a kvantummechanikában
Fluktuáló terű transzverz Ising-lánc dinamikája
2016. szeptember 8. Phys. Rev. B 93, 134305 Modell H(t) = 1 2 L 1 σi x σi+1 x h(t) 2 i=1 h(t)-fluktuáló mágneses tér. Hogyan terjednek jelek a zajos rendszerben? L σi z, i=1 Zajok típusai 1 fehér zaj 2
Mátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
STATISZTIKA. A Föld pályája a Nap körül. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)
STATISZTIKA 10. Előadás Megbízhatósági tartományok (Konfidencia intervallumok) Sir Isaac Newton, 1643-1727 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)
3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
ANOVA,MANOVA. Márkus László március 30. Márkus László ANOVA,MANOVA március / 26
ANOVA,MANOVA Márkus László 2013. március 30. Márkus László ANOVA,MANOVA 2013. március 30. 1 / 26 ANOVA / MANOVA One-Way ANOVA (Egyszeres ) Analysis of Variance (ANOVA) = szóráselemzés A szórásokat elemezzük,
Tartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás
Tartalom Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás 2018 1 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Általánosan egy lineáris, SISO dinamikus rendszer
Lin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011
8 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /. Fourier-elmélet.. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [, ], C Hilbert-teret, ahol a skaláris szorzat definíciója f, g ftgt dt. Tekintsük a [, ] intervallumon
Lineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
A fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
1. A vektor és a vektortér fogalma
1. A vektor és a vektortér fogalma Célunk: a vektor és a vektortér fogalmának minél tágabb értelmezése. Ez azért hasznos, mert így a síkvektorok körében használatos egyes fogalmak és tételek átvihet k
MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Atomok és molekulák elektronszerkezete
Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre
Reciprocitás - kvantumos és hullámjelenségek egy szimmetriája
Reciprocitás - kvantumos és hullámjelenségek egy szimmetriája Fülöp Tamás + Deák László MTA Wigner FK RMI MTA Wigner FK RMI, Budapest, 2012.06.22 Mi a reciprocitás? A fénysugár útja megfordítható G. Stokes,
Parciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
Diszkrét démonok A Borsuk-probléma
A Borsuk-probléma Bessenyei Mihály DE TTK Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör (megnyitó el adás) Debrecen, 2017. október 16. Bevezetés Magyarázat a címhez... Napjainkban
Az elméleti fizika alapjai házi feladat
Az elméleti fizika alapjai házi feladat A jellel ellátott feladatok opcionálisak és plusz pontot érnek. A határidőn túl leadott házi feladatok is pontot érnek, még ha kevesebbet is. Pl. az 1. házi feladat
1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)
A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
Lin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses