Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek
|
|
|
- Réka Horváthné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek MaFiHe TDK és Szakdolgozat Hét Szalay Szilárd MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont, Szilárdtest Fizikai és Optikai Intézet, Erősen Korrelált Rendszerek Lendület kutatócsoport 2015 november 9
2 Kvantum korrelációk kvantum szuperpozíció elv: nemklasszikus viselkedés egyetlen rendszer: határozatlansági relációk összetett rendszer: nemklasszikus korrelációk (diszkord, összefonódás) tiszta összetett állapotnak is lehetnek kevert marginálisai Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 2 / 19
3 Kvantum korrelációk kvantum szuperpozíció elv: nemklasszikus viselkedés egyetlen rendszer: határozatlansági relációk összetett rendszer: nemklasszikus korrelációk (diszkord, összefonódás) tiszta összetett állapotnak is lehetnek kevert marginálisai soktest rendszerek: erősen korrelált rendszerek fizikája az (alap)állapot korreláció-szerkezete megjelenik a makroszkopikus fizikai tulajdonságokban is összefonódás felületi törvénye korrelációk és kvantumállapotok leírása (mátrix-szorzat állapotok) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 2 / 19
4 Kvantum korrelációk kvantum szuperpozíció elv: nemklasszikus viselkedés egyetlen rendszer: határozatlansági relációk összetett rendszer: nemklasszikus korrelációk (diszkord, összefonódás) tiszta összetett állapotnak is lehetnek kevert marginálisai soktest rendszerek: erősen korrelált rendszerek fizikája az (alap)állapot korreláció-szerkezete megjelenik a makroszkopikus fizikai tulajdonságokban is összefonódás felületi törvénye korrelációk és kvantumállapotok leírása (mátrix-szorzat állapotok) kevéstest rendszerek: kvantum információ elmélet hatékony kv. algoritmusok, titkos kv. kulcs megosztás, kv. teleportálás a kvantum korreláció egy erőforrás Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 2 / 19
5 A mi megközelítésünk diszkrét véges rendszerek klasszikus: véges sok pontból álló konfig. tér (érme: 2, kocka: 6,... ) kvantum: véges dimenziós Hilbert tér geometriai ránézés a kvantummechanika koncepcionális kérdéseit nem temetik maguk alá nehéz funkanal problémák :) és mégsem játék modell! Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 3 / 19
6 A mi megközelítésünk diszkrét véges rendszerek klasszikus: véges sok pontból álló konfig. tér (érme: 2, kocka: 6,... ) kvantum: véges dimenziós Hilbert tér geometriai ránézés a kvantummechanika koncepcionális kérdéseit nem temetik maguk alá nehéz funkanal problémák :) és mégsem játék modell! kvantum korrelációk, ahogyan én szeretem alapvető jelentőségű, szép, érdekes, mély problémák klasszikus vs. kvantum rendszerek információelméleti nézőpontból működik a laborban is Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 3 / 19
7 Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19
8 Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), mérhető mennyiség ( obszervábilis ): A normális operátor mérési várhatóértékek: A = ψ A ψ Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19
9 Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), mérhető mennyiség ( obszervábilis ): A normális operátor mérési várhatóértékek: A = ψ A ψ időfejlődés (zárt rendszerben): Schrödinger egyenlet Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19
10 Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), mérhető mennyiség ( obszervábilis ): A normális operátor mérési várhatóértékek: A = ψ A ψ időfejlődés (zárt rendszerben): Schrödinger egyenlet azonos rendszerek sokasága: kevert állapotok különböző ψ j H állapotvektorral, p j relatív gyakorisággal mérési várhatóértékek: A = j p j ψ j A ψ j = tr(ϱa) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19
11 Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), titszta állapot: ψ ψ P mérhető mennyiség ( obszervábilis ): A normális operátor mérési várhatóértékek: A = ψ A ψ időfejlődés (zárt rendszerben): Schrödinger egyenlet azonos rendszerek sokasága: kevert állapotok különböző ψ j H állapotvektorral, p j relatív gyakorisággal mérési várhatóértékek: A = j p j ψ j A ψ j = tr(ϱa) sűrűségoperátor ϱ = j p j ψ j ψ j D (kevert) állapotok tere: D = Conv P pozitív szemidefinit (és normált) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19
12 Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), titszta állapot: ψ ψ P mérhető mennyiség ( obszervábilis ): A normális operátor mérési várhatóértékek: A = ψ A ψ időfejlődés (zárt rendszerben): Schrödinger egyenlet azonos rendszerek sokasága: kevert állapotok különböző ψ j H állapotvektorral, p j relatív gyakorisággal mérési várhatóértékek: A = j p j ψ j A ψ j = tr(ϱa) sűrűségoperátor ϱ = j p j ψ j ψ j D (kevert) állapotok tere: D = Conv P pozitív szemidefinit (és normált) időfejlődés (zárt rendszerben): Neumann egyenlet Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19
13 Állapotok Kevertség és megkülönböztethetőség kevertség mértéke: Neumann entrópia: S(ϱ) = tr ϱ ln ϱ konkáv, nemnegatív, nulla pontosan tiszta állapotokra Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 5 / 19
14 Állapotok Kevertség és megkülönböztethetőség kevertség mértéke: Neumann entrópia: S(ϱ) = tr ϱ ln ϱ konkáv, nemnegatív, nulla pontosan tiszta állapotokra Schur-konkáv: entrópia = kevertség Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 5 / 19
15 Állapotok Kevertség és megkülönböztethetőség kevertség mértéke: Neumann entrópia: S(ϱ) = tr ϱ ln ϱ konkáv, nemnegatív, nulla pontosan tiszta állapotokra Schur-konkáv: entrópia = kevertség Schumacher zajmentes kódolási tétel: Neumann entrópia = kvantum információ tartalom Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 5 / 19
16 Állapotok Kevertség és megkülönböztethetőség kevertség mértéke: Neumann entrópia: S(ϱ) = tr ϱ ln ϱ konkáv, nemnegatív, nulla pontosan tiszta állapotokra Schur-konkáv: entrópia = kevertség Schumacher zajmentes kódolási tétel: Neumann entrópia = kvantum információ tartalom megkülönböztethetőség mértéke: (Umegaki) kvantum relatív entrópia: D(ϱ ω) = tr ϱ(ln ϱ ln ω) együtt-konvex, nemnegatív, nulla pontosan ha ϱ = ω Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 5 / 19
17 Állapotok Kevertség és megkülönböztethetőség kevertség mértéke: Neumann entrópia: S(ϱ) = tr ϱ ln ϱ konkáv, nemnegatív, nulla pontosan tiszta állapotokra Schur-konkáv: entrópia = kevertség Schumacher zajmentes kódolási tétel: Neumann entrópia = kvantum információ tartalom megkülönböztethetőség mértéke: (Umegaki) kvantum relatív entrópia: D(ϱ ω) = tr ϱ(ln ϱ ln ω) együtt-konvex, nemnegatív, nulla pontosan ha ϱ = ω kvantum Stein lemma: relatív entrópia = megkülönböztethetőség (tévesztés valószínűségének csökkenési rátája hipotézis tesztelésnél, Hiai & Petz) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 5 / 19
18 Állapotok Kevert állapotok általánosan ϱ D állapot, ϱ = j p j ψ j ψ j, dekompozíció nem e.ért. spec: ϱ = ψ ψ P = CP d 1 tiszta állapot Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 6 / 19
19 Állapotok Kevert állapotok általánosan ϱ D állapot, ϱ = j p j ψ j ψ j, dekompozíció nem e.ért. spec: ϱ = ψ ψ P = CP d 1 tiszta állapot D konvex test, extrém pontjai P D Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 6 / 19
20 Állapotok Kevert állapotok általánosan ϱ D állapot, ϱ = j p j ψ j ψ j, dekompozíció nem e.ért. spec: ϱ = ψ ψ P = CP d 1 tiszta állapot D konvex test, extrém pontjai P D Példa: qubit (d = 2) P = CP 1 = S 2 : Bloch gömb Bloch vektorral: ϱ = 1 2 (I + rσ) tiszta állapotok: r = 1 kevert állapotok: r < 1 középpont: r = 0 fehér zaj kevertség: r -függő Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 6 / 19
21 Állapotok Kevert állapotok általánosan ϱ D állapot, ϱ = j p j ψ j ψ j, dekompozíció nem e.ért. spec: ϱ = ψ ψ P = CP d 1 tiszta állapot D konvex test, extrém pontjai P D D(C 2 ) = D Példa: qubit (d = 2) P = CP 1 = S 2 : Bloch gömb Bloch vektorral: ϱ = 1 2 (I + rσ) tiszta állapotok: r = 1 kevert állapotok: r < 1 középpont: r = 0 fehér zaj kevertség: r -függő Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 6 / 19
22 Állapotok Kevert állapotok II.? qudit (d > 2) tiszta állapotok tere: P = CP d 1 = S 2d 1 /S 1 már nem lesz gömbfelület de egy gömbfelületen lesz egy nullmértékű részhalmaz Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 7 / 19
23 Állapotok Kevert állapotok II.? qudit (d > 2) tiszta állapotok tere: P = CP d 1 = S 2d 1 /S 1 már nem lesz gömbfelület de egy gömbfelületen lesz egy nullmértékű részhalmaz állapotok tere: ennek konvex burka belül: rk ϱ = d a határon: rk ϱ < d (nem csak tiszta állapotok) tiszta állapotok: rk ϱ = 1 (extrém pontok) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 7 / 19
24 Állapotok Tiszta és kevert állapotok II.: mérés? mérés A = i a i α i α i megfigyelhető mennyiség q i = α i ψ 2, vagy q i = tr(ϱ α i α i ) (Born) mérés után α i α i tiszta állapotba beugrik Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 8 / 19
25 Állapotok Tiszta és kevert állapotok II.: mérés? mérés A = i a i α i α i megfigyelhető mennyiség q i = α i ψ 2, vagy q i = tr(ϱ α i α i ) (Born) mérés után α i α i tiszta állapotba beugrik ψ j H állapotvektorok, vagy ψ j ψ j P tiszta állapotok Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 8 / 19
26 Állapotok Tiszta és kevert állapotok II.: mérés? mérés A = i a i α i α i megfigyelhető mennyiség q i = α i ψ 2, vagy q i = tr(ϱ α i α i ) (Born) mérés után α i α i tiszta állapotba beugrik ψ j H állapotvektorok, vagy ψ j ψ j P tiszta állapotok H: lineáris kombináció (szuperpozíció) c j C, c 2 = 1 ψ := j c j ψ j D: konvex kombináció (keverés súlyozott átlag ) p j R, p 1 = 1 ϱ := j p j ψ j ψ j Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 8 / 19
27 Állapotok Tiszta és kevert állapotok II.: mérés? mérés A = i a i α i α i megfigyelhető mennyiség q i = α i ψ 2, vagy q i = tr(ϱ α i α i ) (Born) mérés után α i α i tiszta állapotba beugrik ψ j H állapotvektorok, vagy ψ j ψ j P tiszta állapotok H: lineáris kombináció (szuperpozíció) c j C, c 2 = 1 ψ := j c j ψ j Mérési statisztika: q i = j c j α i ψ j 2 D: konvex kombináció (keverés súlyozott átlag ) p j R, p 1 = 1 ϱ := j p j ψ j ψ j Mérési statisztika: q i = j p j α i ψ j 2 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 8 / 19
28 Állapotok Tiszta és kevert állapotok II.: mérés? mérés A = i a i α i α i megfigyelhető mennyiség q i = α i ψ 2, vagy q i = tr(ϱ α i α i ) (Born) mérés után α i α i tiszta állapotba beugrik ψ j H állapotvektorok, vagy ψ j ψ j P tiszta állapotok H: lineáris kombináció (szuperpozíció) c j C, c 2 = 1 ψ := j c j ψ j Mérési statisztika: q i = j c j α i ψ j 2 interferencia! D: konvex kombináció (keverés súlyozott átlag ) p j R, p 1 = 1 ϱ := j p j ψ j ψ j Mérési statisztika: q i = j p j α i ψ j 2 nincs interferencia! Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 8 / 19
29 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek I.: tiszta állapotok összetett rendszer állapotvektorai Hilbert tér: H = H 1 H 2 ψ H állapotvektor (normált) Ha ψ = ψ 1 ψ 2 akkor szeparálható, különben összefont. Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 9 / 19
30 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek I.: tiszta állapotok összetett rendszer állapotvektorai Hilbert tér: H = H 1 H 2 ψ H állapotvektor (normált) Ha ψ = ψ 1 ψ 2 akkor szeparálható, különben összefont. összefont álapot: mérés az egyiken a másik állapotát is beugrasztja (EPR baja) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 9 / 19
31 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek I.: tiszta állapotok összetett rendszer állapotvektorai Hilbert tér: H = H 1 H 2 ψ H állapotvektor (normált) Ha ψ = ψ 1 ψ 2 akkor szeparálható, különben összefont. összefont álapot: mérés az egyiken a másik állapotát is beugrasztja (EPR baja) a részrendszerek állapota ϱ 1 = tr 2 ( ψ ψ ), ϱ 2 = tr 1 ( ψ ψ ) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 9 / 19
32 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek I.: tiszta állapotok összetett rendszer állapotvektorai Hilbert tér: H = H 1 H 2 ψ H állapotvektor (normált) Ha ψ = ψ 1 ψ 2 akkor szeparálható, különben összefont. összefont álapot: mérés az egyiken a másik állapotát is beugrasztja (EPR baja) a részrendszerek állapota ϱ 1 = tr 2 ( ψ ψ ), ϱ 2 = tr 1 ( ψ ψ ) ψ összefont, akkor (és csak akkor) ϱ 1, ϱ 2 kevert! Schrödinger: az összetett rendszer teljes ismerete nem jelenti a részek teljes ismeretét Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 9 / 19
33 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek I.: tiszta állapotok összetett rendszer állapotvektorai Hilbert tér: H = H 1 H 2 ψ H állapotvektor (normált) Ha ψ = ψ 1 ψ 2 akkor szeparálható, különben összefont. összefont álapot: mérés az egyiken a másik állapotát is beugrasztja (EPR baja) a részrendszerek állapota ϱ 1 = tr 2 ( ψ ψ ), ϱ 2 = tr 1 ( ψ ψ ) ψ összefont, akkor (és csak akkor) ϱ 1, ϱ 2 kevert! Schrödinger: az összetett rendszer teljes ismerete nem jelenti a részek teljes ismeretét ekkor korrelált! (klasszikus tiszta állapot korrelálatlan) összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége (tiszta állapotra!): E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 9 / 19
34 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek II.: tiszta állapotok összefonódása összefonódási entrópia összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége (tiszta állapotra!): E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia), de miért? Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 10 / 19
35 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek II.: tiszta állapotok összefonódása összefonódási entrópia összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége (tiszta állapotra!): E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia), de miért? geometriai korreláció mérték: a leghasonlóbb korrelálatlan állapot statisztikus megkülönböztethetősége a relatív entrópiával számolva: min ω 1,ω 2 D( ϱ ω 1 ω 2) = D ( ϱ ϱ 1 ϱ 2) = S(ϱ 1 ) + S(ϱ 2 ) S(ϱ) = I (ϱ), kölcsönös információ Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 10 / 19
36 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek II.: tiszta állapotok összefonódása összefonódási entrópia összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége (tiszta állapotra!): E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia), de miért? geometriai korreláció mérték: a leghasonlóbb korrelálatlan állapot statisztikus megkülönböztethetősége a relatív entrópiával számolva: min ω 1,ω 2 D( ϱ ω 1 ω 2) = D ( ϱ ϱ 1 ϱ 2) = S(ϱ 1 ) + S(ϱ 2 ) S(ϱ) = I (ϱ), kölcsönös információ klasszikus tiszta állapot korrelálatlan, tiszta kvantumállapot korrelációja: összefonódás (tiszta állapotban S(ϱ) = 0) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 10 / 19
37 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek III. példa: két qubit állapotvektorai H = C 2 C 2, és φ 0, φ 1 C 2 ortonormált szeparálható pl: 00 ( φ 0 φ 0 gyorsírás) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 11 / 19
38 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek III. példa: két qubit állapotvektorai H = C 2 C 2, és φ 0, φ 1 C 2 ortonormált szeparálható pl: 00 ( φ 0 φ 0 gyorsírás) maximálisan összefont pl: Bell állapotok B 0 = 1 2 ( ) B 1 = 1 2 ( ) B 3 = 1 2 ( ) B 2 = i 2 ( ) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 11 / 19
39 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek III. példa: két qubit állapotvektorai H = C 2 C 2, és φ 0, φ 1 C 2 ortonormált szeparálható pl: 00 ( φ 0 φ 0 gyorsírás) maximálisan összefont pl: Bell állapotok B 0 = 1 2 ( ) B 1 = 1 2 ( ) B 3 = 1 2 ( ) B 2 = i 2 ( ) LU-kanonikus alak: ψ α = cos α 00 + sin α 11 ekkor: ϱ 1 = tr 2 ( ψ α ψ α ) = cos 2 α sin 2 α 1 1 megmutatható: sin α jól méri az összefonódást Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 11 / 19
40 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek IV. két részrendszer, kevert állapotok H = H 1 H 2 (kevert) állapotok tere D, pozitív szemidefinit (és normált) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 12 / 19
41 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek IV. két részrendszer, kevert állapotok H = H 1 H 2 (kevert) állapotok tere D, pozitív szemidefinit (és normált) tiszta állapot ϱ = ψ ψ szeparálható, akkor ψ = ψ 1 ψ 2 ekkor kevert állapot ϱ = j p j ψ j ψ j szeparálható, ha létezik dekompozíció ψ j = ψj 1 ψ2 j, különben összefont Werner: klasszikusan korrelált forrásokal létrehozható Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 12 / 19
42 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek IV. két részrendszer, kevert állapotok H = H 1 H 2 (kevert) állapotok tere D, pozitív szemidefinit (és normált) tiszta állapot ϱ = ψ ψ szeparálható, akkor ψ = ψ 1 ψ 2 ekkor kevert állapot ϱ = j p j ψ j ψ j szeparálható, ha létezik dekompozíció ψ j = ψj 1 ψ2 j, különben összefont Werner: klasszikusan korrelált forrásokal létrehozható geometria állatok: D = Conv P tiszta állatok konvex burka extrém pontok: tiszta állapotok, szeparálhatóak és összefontak Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 12 / 19
43 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek IV. két részrendszer, kevert állapotok H = H 1 H 2 (kevert) állapotok tere D, pozitív szemidefinit (és normált) tiszta állapot ϱ = ψ ψ szeparálható, akkor ψ = ψ 1 ψ 2 ekkor kevert állapot ϱ = j p j ψ j ψ j szeparálható, ha létezik dekompozíció ψ j = ψj 1 ψ2 j, különben összefont Werner: klasszikusan korrelált forrásokal létrehozható geometria állatok: D = Conv P tiszta állatok konvex burka extrém pontok: tiszta állapotok, szeparálhatóak és összefontak szeparálható állapotok: D sep D, szep. tiszta állapotok konvex burka összefont állapotok: mindenki más D \ D sep Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 12 / 19
44 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek V.: kevert állapotok összefonódása entanglement of formation tiszta állapotok: összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége, E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia), jelentése: korreláció geometriai mértéke Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 13 / 19
45 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek V.: kevert állapotok összefonódása entanglement of formation tiszta állapotok: összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége, E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia), jelentése: korreláció geometriai mértéke kevert állapotok: az optimális dekompozíció átlagos összefonódása E(ϱ) = min ϱ= p j E( ψ j ) j p j ψ j ψ j entanglement of formation j Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 13 / 19
46 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek VI. példák: két qubit kevert állapotok ϱ = p B 0 B 0 + (1 p) B 3 B 3 p = 1 2 -re szeparálható: ϱ = separable Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 14 / 19
47 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek VI. példák: két qubit kevert állapotok ϱ = p B 0 B 0 + (1 p) B 3 B 3 p = 1 2 -re szeparálható: ϱ = separable megmutatható, hogy szeparálható akkor és csak akkor p = 1 2 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 14 / 19
48 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek VI. példák: két qubit kevert állapotok ϱ = p B 0 B 0 + (1 p) B 3 B 3 p = 1 2 -re szeparálható: ϱ = separable megmutatható, hogy szeparálható akkor és csak akkor p = 1 2 B 3 B 3 B 0 B 0 B 3 B 3 t 3 t 2 B 0 B 0 B 1 B 1 B 1 B 1 t 1 B 2 B 2 B 2 B 2 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 14 / 19
49 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek VI. példák: két qubit kevert állapotok ϱ = p B 0 B 0 + (1 p) B 3 B 3 p = 1 2 -re szeparálható: ϱ = separable megmutatható, hogy szeparálható akkor és csak akkor p = 1 2 másik szeparálható: ϱ = 1 i 4 B i B i = 1 4 I B 3 B 3 B 0 B 0 B 3 B 3 t 3 t 2 B 0 B 0 B 1 B 1 B 1 B 1 t 1 B 2 B 2 B 2 B 2 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 14 / 19
50 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása I. CHSH (Bell) egyenlőtlenségek spinkorrelációs obszervábilis S a,a,b,b = aσ bσ + aσ b σ + a σ bσ a σ b σ Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 15 / 19
51 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása I. CHSH (Bell) egyenlőtlenségek spinkorrelációs obszervábilis S a,a,b,b = aσ bσ + aσ b σ + a σ bσ a σ b σ CHSH egyenlőtlenség: (Clauser-Horne-Shimony-Holt) tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra = LHVM (Local Hidden Variable Model) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 15 / 19
52 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása I. CHSH (Bell) egyenlőtlenségek spinkorrelációs obszervábilis S a,a,b,b = aσ bσ + aσ b σ + a σ bσ a σ b σ CHSH egyenlőtlenség: (Clauser-Horne-Shimony-Holt) tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra = LHVM (Local Hidden Variable Model) tiszta állapotokra: ϱ P sep tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 15 / 19
53 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása I. CHSH (Bell) egyenlőtlenségek spinkorrelációs obszervábilis S a,a,b,b = aσ bσ + aσ b σ + a σ bσ a σ b σ CHSH egyenlőtlenség: (Clauser-Horne-Shimony-Holt) tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra = LHVM (Local Hidden Variable Model) tiszta állapotokra: ϱ P sep tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra általában nem elég: ϱ D sep = tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 15 / 19
54 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása II. D D sep Tanúk Összefonódás tanú : W obszerv., σ D sep : tr(σw ) 0 és ϱ D \ D sep : tr(ϱw ) < 0 σ W > 0 W < 0 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 16 / 19
55 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása II. σ D D sep Tanúk Összefonódás tanú : W obszerv., σ D sep : tr(σw ) 0 és ϱ D \ D sep : tr(ϱw ) < 0 minden összefont állapothoz lehet találni tanút D sep konvex halmaz körbevágása W > 0 W < 0 ϱ D sep W tr W ϱ 0 minden W tanúra, ϱ D sep = W tr W ϱ 0 valamely W tanúkra. Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 16 / 19
56 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása II. D D sep σ W > 0 W < 0 Tanúk Összefonódás tanú : W obszerv., σ D sep : tr(σw ) 0 és ϱ D \ D sep : tr(ϱw ) < 0 minden összefont állapothoz lehet találni tanút D sep konvex halmaz körbevágása W CHSH = 2I I S a,a,b,b Bell-tanú (nem elég) ϱ D sep W tr W ϱ 0 minden W tanúra, ϱ D sep = W tr W ϱ 0 valamely W tanúkra. Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 16 / 19
57 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása II. D D sep σ W > 0 W < 0 Tanúk Összefonódás tanú : W obszerv., σ D sep : tr(σw ) 0 és ϱ D \ D sep : tr(ϱw ) < 0 minden összefont állapothoz lehet találni tanút D sep konvex halmaz körbevágása W CHSH = 2I I S a,a,b,b Bell-tanú (nem elég) vannak nemlineáris kritériumok is, pl. nemlineáris Bell egyenlőtlenségek ϱ D sep W tr W ϱ 0 minden W tanúra, ϱ D sep = W tr W ϱ 0 valamely W tanúkra. Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 16 / 19
58 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása III. entropikus kritériumok szeparálható állapot: az egész rendezetlenebb, mint a részek ϱ D sep = S(ϱ 1 ) S(ϱ) és S(ϱ 2 ) S(ϱ) pl. S(ϱ) = tr(ϱ ln ϱ) Neumann entrópia (Rényi, Tsallis is jó) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 17 / 19
59 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása III. entropikus kritériumok szeparálható állapot: az egész rendezetlenebb, mint a részek ϱ D sep = S(ϱ 1 ) S(ϱ) és S(ϱ 2 ) S(ϱ) pl. S(ϱ) = tr(ϱ ln ϱ) Neumann entrópia (Rényi, Tsallis is jó) spec: ϱ = ψ ψ P tiszta: S(ϱ) = 0 ϱ P sep S(ϱ 1 ) = 0 és S(ϱ 2 ) = 0 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 17 / 19
60 Levezetés Mit láttunk? Mit vigyünk haza? kvantumállapotok konvex halmaza geometriai ránézés Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 18 / 19
61 Levezetés Mit láttunk? Mit vigyünk haza? kvantumállapotok konvex halmaza geometriai ránézés Az összefonódáselmélet problémái kettőnél több részrendszerre Szalay, Phys. Rev. A 92, (arxiv: [quant-ph]) összefonódás osztályozása Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 18 / 19
62 Levezetés Mit láttunk? Mit vigyünk haza? kvantumállapotok konvex halmaza geometriai ránézés Az összefonódáselmélet problémái kettőnél több részrendszerre Szalay, Phys. Rev. A 92, (arxiv: [quant-ph]) összefonódás osztályozása összefonódás detektálása Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 18 / 19
63 Levezetés Mit láttunk? Mit vigyünk haza? kvantumállapotok konvex halmaza geometriai ránézés Az összefonódáselmélet problémái kettőnél több részrendszerre Szalay, Phys. Rev. A 92, (arxiv: [quant-ph]) összefonódás osztályozása összefonódás detektálása összefonódás mennyiségi jellemzése Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 18 / 19
64 Levezetés Mit láttunk? Mit vigyünk haza? kvantumállapotok konvex halmaza geometriai ránézés Az összefonódáselmélet problémái kettőnél több részrendszerre Szalay, Phys. Rev. A 92, (arxiv: [quant-ph]) összefonódás osztályozása összefonódás detektálása összefonódás mennyiségi jellemzése ezek alkalmazásai... Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 18 / 19
65 Levezetés Köszönöm a figyelmet! ősz eleje: összefonódás nap a Wignerben tavaszi félév: bevezető összefonódás speci a BME-n szalay.szilard@wigner.mta.hu Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 19 / 19
Összefonódottság detektálása tanúoperátorokkal
Összefonódottság detektálása tanúoperátorokkal Tóth Géza Max-Plank-Intitute für Quantenoptik, Garching, Németország Budapest, 2005. október 4. Motiváció Miért érdekes a kvantum-informatika? Alapvető problémák
Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata
Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Bucz Gábor Témavezet : Dr. Fehér László Dr. Lévay Péter Szeged, 2015.04.23. Bucz Gábor Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Szeged, 2015.04.23. 1 / 27 Tartalom
Az összefonódás elemi tárgyalása Benedict Mihály
Az összefonódás elemi tárgyalása Benedict Mihály Elméleti Fizikai Iskola Tihany 2010, augusztus 31 Kétrészű rendszerek, tiszta állapotok, Schmidt fölbontás és az összefonódási mértékek Példák a kvantumoptikából
Steven Weinberg: Mi történik egy kvantummechanikai mérés során?
QM és CP Weinberg válasz Steven Weinberg: Mi történik egy kvantummechanikai mérés során? (magyar hangja Vecsernyés Péter) Wigner FK, Budapest CICO, Szeged 2016.01.01. Kivonat QM és CP Weinberg válasz A
Fizikus Vándorgyűlés 2016 Szeged, augusztus 26.
Institut für Theoretische Physik, Freie Universität Berlin Fizikus Vándorgyűlés 2016 Szeged, 2016. augusztus 26. 1 / 30 Neumann-entrópia definíciója A ρ sűrűségmátrix Neumann-entrópiája S(ρ) = Trρ log
Kvantum marginális probléma és összefonódási politópok
Kvantum marginális probléma és összefonódási politópok Vrana Péter Budapesti műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Geometria Tanszék 04. október. / Összetett rendszerek Jelölések k darab részrendszer H,
Határozatlansági relációk származtatása az
az állapottér BME TTK Matematikus MSc. 1. évf. 2012. november 14. Vázlat: Történeti áttekintés Nemkommutatív (kvantum) valószín ségelmélet Az állapottér geometriája: Az állapottér mint Riemann-sokaság
Bell-kísérlet. Máté Mihály, Fizikus MSc I. ELTE. Eötvös Loránd Tudományegyetem. Modern zikai kísérletek szemináriuma, 2016.
Bell-kísérlet Máté Mihály, Fizikus MSc I. ELTE Eötvös Loránd Tudományegyetem Modern zikai kísérletek szemináriuma, 2016. Máté Mihály (ELTE) Bell-kísérlet 1 / 15 Tartalom 1 Elmélet Összefonódás EPR Bell
Modern fejlemények a kvantumelméletben. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3.
Modern fejlemények a kvantumelméletben Bevezetés Ádám Péter, Diósi Lajos Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3. Iskola témája, bevezetés célja Iskola témája kvantumoptika és
Fluktuáló terű transzverz Ising-lánc dinamikája
2016. szeptember 8. Phys. Rev. B 93, 134305 Modell H(t) = 1 2 L 1 σi x σi+1 x h(t) 2 i=1 h(t)-fluktuáló mágneses tér. Hogyan terjednek jelek a zajos rendszerben? L σi z, i=1 Zajok típusai 1 fehér zaj 2
Foton-visszhang alapú optikai kvantum-memóriák: koherens kontroll optikailag sűrű közegben
Foton-visszhang alapú optikai kvantum-memóriák: koherens kontroll optikailag sűrű közegben Demeter Gábor MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont, RMI Demeter Gábor (MTA Wigner RCP... / 4 Bevezetés / Motiváció
[17] L. Molnár, Linear maps on matrices preserving commutativity up to a factor, Linear Multilinear Algebra, megjelenés alatt.
![[17] L. Molnár, Linear maps on matrices preserving commutativity up to a factor, Linear Multilinear Algebra, megjelenés alatt.](/thumbs/98/138934152.jpg "[17] L. Molnár, Linear maps on matrices preserving commutativity up to a factor, Linear Multilinear Algebra, megjelenés alatt.")
Beszámoló a T46023 pályázat zárójelentéséhez A projekt során megőrzési transzformációk szerkezetének a leírásával foglalkoztunk elsősorban kvantumstruktúrákon. Megőrzési transzformációkkal kapcsolatos
az Aharonov-Bohm effektus a vektorpotenciál problémája E = - 1/c A/ t - φ és B = x A csak egy mértéktranszformáció erejéig meghatározott nincs fizikai
az Aharonov-Bohm effektus a vektorpotenciál problémája E = - 1/c A/ t - φ és B = x A csak egy mértéktranszformáció erejéig meghatározott nincs fizikai jelentése? a kvantummechanikában ih m» a hullámfüggvény
A kvantumelmélet és a tulajdonságok metafizikája
A kvantumelmélet és a tulajdonságok metafizikája Szabó Gábor MTA Bölcsészettudományi Központ email: szabo.gabor@btk.mta.hu p. 1 Kvantumelmélet Kialakulása: 1900, Planck: energiakvantum 1905, Einstein:
Kvantum összefonódás véges dimenziós Hilbert terekben Ph.D. tézisfüzet. Szalay Szilárd
Kvantum összefonódás véges dimenziós Hilbert terekben Ph.D. tézisfüzet Szalay Szilárd Témavezető: Dr. Lévay Péter Pál tudományos főmunkatárs Elméleti Fizika Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi
1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
GROVER-algoritmus. Sinkovicz Péter. ELTE, MSc II dec.15.
ELTE, MSc II. 2011.dec.15. Áttekintés Feladat Algoritmus Kvantum keresési algoritmus áttekintése Input: N = 2 n elemű tömb, Ψ 1 = 0 1 kezdőállapot, f x0 (x) orákulum függvény. Output: x 0 keresett elem
Kvantumcsatorna tulajdonságai
LOGO Kvantumcsatorna tulajdonságai Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Informáci cióelméleti leti alapok összefoglalásasa Valószínűségszámítási alapok Egy A és egy B esemény szorzatán
Markov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
A fény és az igazi véletlen
A fény és az igazi véletlen Kiss Tamás Magyar Tudományos Akadémia Wigner Fizikai Kutatóközpont Kvantummérés Lendület csoport Fény A világ teremtése 1 Kezdetben teremtette Isten a mennyet és a földet. 2
Wigner tétele kvantummechanikai szimmetriákról
Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet és MTA-DE "Lendület" Funkcionálanalízis Kutatócsoport, Debreceni Egyetem 2014. Október 30. Elméleti Fizika Szeminárium A tétel története Wigner tétele Tétel Legyen
Az impulzusnyomatékok általános elmélete
Az impulzusnyomatékok általános elmélete November 27, 2006 Az elemi kvantummechanika keretében tárgyaltuk már az impulzusnyomatékot. A továbbiakban általánosítjuk az impulzusnyomaték fogalmát a kvantummechanikában
Az információelmélet alapjai, biológiai alkalmazások. 1. A logaritmusfüggvény és azonosságai
Az információelmélet alapjai, biológiai alkalmazások 1. A logaritmusfüggvény és azonosságai 2 k = N log 2 N = k Például 2 3 = 8 log 2 8 = 3 10 4 = 10000 log 10 10000 = 4 log 2 2 = 1 log 2 1 = 0 log 2 0
BME Matematika Intézet Analízis Tanszék. Lovas Attila. Az információgeometria alkalmazása kvantummechanikai rendszerekre PhD értekezés tézisei
BME Matematika Intézet Analízis Tanszék Lovas Attila Az információgeometria alkalmazása kvantummechanikai rendszerekre PhD értekezés tézisei Témavezető: Dr. Andai Attila egyetemi docens 2017 1. Bevezetés
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Klasszikus és kvantum fizika
Klasszikus és kvantum fizika valamint a Wigner függvény T.S. Biró MTA Fizikai Kutatóközpont, Budapest 2017. november 13. T.S.Biró Wigner 115, Budapest, 2017. Nov. 15. Biró Klassz kvantum 1 / 22 Abstract
Továbblépés. Általános, lineáris modell. Példák. Jellemzık. Matematikai statisztika 12. elıadás,
Matematikai statisztika. elıadás, 9.5.. Továbblépés Ha nem fogadható el a reziduálisok korrelálatlansága: Lehetnek fel nem tárt periódusok De más kapcsolat is fennmaradhat az egymáshoz közeli megfigyelések
Kvantum-tömörítés II.
LOGO Kvantum-tömörítés II. Gyöngyös László BME Vllamosmérnök és Informatka Kar A kvantumcsatorna kapactása Kommunkácó kvantumbtekkel Klasszkus btek előnye Könnyű kezelhetőség Stabl kommunkácó Dszkrét értékek
Kvantumkriptográfia II.
LOGO Kvantumkriptográfia II. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Titkos kommunikáció modellje k 1 k 2 k n k 1 k 2 k n A titkos kommunikáció során Alice és Bob szeretne egymással üzeneteket
Kvantumparadoxonoktól a kvantumtechnikáig. A munkára fogott kísérteties hatás
Kvantumparadoxonoktól a kvantumtechnikáig A munkára fogott kísérteties hatás I. Mi egy részecske? Mérhető tulajdonságok halmaza 1 foton: [k=hullámszám, Ԧe= haladási irány, Ԧε=polarizáció] ԦeԦε = 0 polarizáció
Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
Kvantum mechanikával tunningolt klasszikus kommunikáció. Imre Sándor BME-HIT
Kvantum mechanikával tunningolt klasszikus kommunikáció Imre Sándor BME-HIT A kvantummechanika posztulátumai mérnöki megközelítésben 1. Posztulátum: kvantum bit Hilbert-tér 2. Posztulátum: logikai kapuk
Ahol a kvantum mechanika és az Internet találkozik
Ahol a kvantum mechanika és az Internet találkozik Imre Sándor BME Híradástechnikai Tanszék Imre Sándor "The fastest algorithm can frequently be replaced by one that is almost as fast and much easier to
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Csoportreprezentációk az
Csoportreprezentációk az összefonódottság-elméletben PhD tézisfüzet Vrana Péter Témavezető: Dr. Lévay Péter Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Elméleti Fizika Tanszék (2011) Előzmények Az összefonódottság
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra
Ivanyos Gábor MTA SZTAKI Debrecen, 20 január 2. Tartalom és kvantum-áramkörök 2 A diszkrét log probléma Kvantum bit Állapot: a B = C 2 komplex euklideszi tér egy egységvektora: az a 0 + b szuperpozíció
10. előadás. Konvex halmazok
10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója
Kvantum-hibajavítás III.
LOGO Kvantum-hibaavítás III. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar A kvantum hibaavítási folyamat formális leírása Eredmények formalizálása Legyen A egy x-es komplex mátrix: ahol a,
STATISZTIKA. A Föld pályája a Nap körül. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)
STATISZTIKA 10. Előadás Megbízhatósági tartományok (Konfidencia intervallumok) Sir Isaac Newton, 1643-1727 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)
SZAKDOLGOZAT. Betekintés a kvantum-információelméletbe. Bergmann Júlia. Témavezet :
SZAKDOLGOZAT Betekintés a kvantum-információelméletbe Bergmann Júlia Témavezet : Dr. Tasnádi Tamás Egyetemi adjunktus BME Matematika Intézet, Analízis Tanszék BME 015 El szó Quantum mechanics: Real Black
A Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
kvantumdinamika qubiteken és a káosz megjelenése
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Szakdolgozat Mérésekkel befolyásolt kvantumdinamika qubiteken és a káosz megjelenése Tóth László Dániel III. éves fizika Bsc. Témavezető: Kiss Tamás,
BKT fázisátalakulás és a funkcionális renormálási csoport módszer
BKT fázisátalakulás és a funkcionális renormálási csoport módszer Nándori István MTA-DE Részecskefizikai Kutatócsoport, Debreceni Egyetem MTA-Atomki, Debrecen Wigner FK zilárdtestfizikai és Optikai Intézet,
4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
A lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
Kvantumos információ megosztásának és feldolgozásának fizikai alapjai
Kvantumos információ megosztásának és feldolgozásának fizikai alapjai Kis Zsolt Kvantumoptikai és Kvantuminformatikai Osztály MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont H-1121 Budapest, Konkoly-Thege Miklós út 29-33
A szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
A spin. November 28, 2006
A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport
Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH 2016. október 10. α csoport 1. Feladat. (5 pont) Adja meg az α 1 β szorzatrelációt, amennyiben ahol A {1, 2, 3, 4}. α {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4), (4, 4)}
Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással
pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál
Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév
Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek
Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén
1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,
A kvantum-információelmélet alapjai
Eötvös Loránd Tudományegyetem Matematka Intézet Seres István András A kvantum-nformácóelmélet alapja BSc szakdolgozat Témavezet : dr. Frenkel Péter ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék 2014. Budapest Köszönetnylvánítás
Folytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor
Metrikus terek, Hausdorff-mérték Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 22. Vázlat 1 Folytonos görbék Affin függvények Definíciók A Koch-görbe A Cantor-halmaz
1 A kvantummechanika posztulátumai
A kvantummechanika posztulátumai October 29, 2006 A kvantummechanika posztulátumai Célunk felépíteni a kvantummechanikát posztulátumok segítségével úgy ahogy az elemi hullámmechanika során eljártunk. Arra
Erős terek leírása a Wigner-formalizmussal
Erős terek leírása a Wigner-formalizmussal Berényi Dániel 1, Varró Sándor 1, Vladimir Skokov 2, Lévai Péter 1 1, MTA Wigner FK, Budapest 2, RIKEN/BNL, Upton, USA Wigner 115 2017. November 15. Budapest
Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.
Kvantum statisztika A kvantummechanika előadások során már megtanultuk, hogy az anyagot felépítő részecskék nemklasszikus, hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek aminek következtében viselkedésük sok szempontból
Dekoherencia Markovi Dinamika Diósi Lajos. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, augusztus szeptember 3.
Dekoherencia Markovi Dinamika Diósi Lajos Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3. Tartalomjegyzék 1 Projektív dekoherencia 2 Nyitott rendszer - Lindblad egy. 3 Dekoherencia
Csoporthatások. 1 Alapfogalmak 1 ALAPFOGALMAK. G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül
1 ALAPFOGALMAK Csoporthatások 1 Alapfogalmak G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül és µ(g, µ(h, x)) = µ(gh, x) µ(1 G, x) = x minden g, h G és x X esetén. Multiplikatív
1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA
1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal
Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek
Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p
x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT
Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Mi a véletlen? Determinisztikus vs. Véletlen esemény? Véletlenszám: számok sorozata, ahol véletlenszerűen követik egymást az elemek Pszeudo-véletlenszám
Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.
Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Többváltozós lineáris regressziós
Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása. Anyagvizsgálati módszerek
Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása Anyagvizsgálati módszerek Pannon Egyetem Mérnöki Kar Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 1/ 22 Mérési eredmények felhasználása Tulajdonságok hierarchikus
LINEÁRIS MODELLBEN május. 1. Lineáris modell, legkisebb négyzetek elve
BECSLÉS ÉS HIPOTÉZISVIZSGÁLAT LINEÁRIS MODELLBEN Móri Tamás ELTE TTK Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék 2008 május Lineáris modell, legkisebb négyzetek elve Tegyük fel, hogy egy bizonyos pl fizikai)
Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén
Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén Dombi József Szegedi Tudományegyetem Bevezetés - ID3 (Iterative Dichotomiser 3) Az ID algoritmusok egy elemhalmaz felhasználásával
Kvantummechanikai alapok I.
Kvantummechanikai alapok I. Dr. Berta Miklós bertam@sze.hu 2017. szeptember 21. 1 / 41 Állapotfüggvény. Dinamikai egyenlet. Ψ(r, t) 2 / 41 Állapotfüggvény. Dinamikai egyenlet. Ψ(r, t) Ψ(r, t)-csak a hely
Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat
Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás
Szé12/1/N és Szé12/1/E osztály matematika minimumkérdések a javítóvizsgára
Szé1/1/N és Szé1/1/E osztály matematika minimumkérdések a javítóvizsgára Halmazelmélet Halmaz, részhalmaz, végtelen halmaz, üres halmaz, halmaz megadása, halmazműveletek (metszet, unió, különbség, komplementer),
Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.
Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint
Kvantum infokommunikáció, a titkosítás új lehetőségei
Kvantum infokommunikáció, a titkosítás új lehetőségei A tudós leírja azt, ami van, a mérnök viszont megalkotja azt, ami soha nem volt. Gábor Dénes Imre Sándor, BME-HIT 2016.10.06. 2 Ki tudja, hogy mi ez?
Válaszok Benedict Mihály opponensi véleményére
Válaszok Benedict Mihály opponensi véleményére Először is szeretném megköszönni Dr. Benedict Mihálynak a hosszúra sikerült értekezésem bírálatával kapcsolatos munkáját, kritikai észrevételeit, kérdéseit.
Kvantum-hibajavítás I.
LOGO Kvantum-hibajavítás I. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Ismétléses kódolás Klasszikus hibajavítás Klasszikus modell: BSC (binary symmetric channel) Hibavalószínűség: p p 0.5
Matematika pótvizsga témakörök 9. V
Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
Cramér-Rao típusú becslések a kvantumstatisztikában
Cramér-Rao típusú becslések a kvantumstatisztikában Szakdolgozat Készítette Gröller Ákos Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikus szak 2003. Témavezető Dr. Petz Dénes tanszékvezető
Van-e kapcsolat a változók között? (példák: fizetés-távolság; felvételi pontszám - görgetett átlag)
, rangkorreláció Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu
VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA
VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események
Matematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár Matematika és Informatika Kar Magyar Matematika és Informatika Intézet
/ Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár Matematika és Informatika Kar Magyar Matematika és Informatika Intézet / Tartalom 3/ kernelek segítségével Felügyelt és félig-felügyelt tanulás felügyelt: D =
OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Egyszakos matematikatanár szak (régi képzés)
OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Egyszakos matematikatanár szak (régi képzés) Kötelez tárgyak, szakdolgozat (mindegyik tárgy teljesítend ) M1101 Lineáris és analitikus geometria 1. M1102 Lineáris
Neumann János és a kvantum bitek. Petz Dénes
Neumann János és a kvantum bitek Petz Dénes A téma Neumann János (érdekes történetek) Valószinűség, információ, mátrixok, kvantumelmélet, kvantum-információ,... (sok új és nehéz matematikai fogalom) Neumann
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision
Diszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
Kvantum termodinamika
Kvantum termodinamika Diósi Lajos MTA Wigner FK Budapest 2014. febr. 4. Diósi Lajos (MTA Wigner FKBudapest) Kvantum termodinamika 2014. febr. 4. 1 / 12 1 Miért van 1 qubitnek termodinamikája? 2 QuOszcillátor/Qubit:
Reciprocitás - kvantumos és hullámjelenségek egy szimmetriája
Reciprocitás - kvantumos és hullámjelenségek egy szimmetriája Fülöp Tamás + Deák László MTA Wigner FK RMI MTA Wigner FK RMI, Budapest, 2012.06.22 Mi a reciprocitás? A fénysugár útja megfordítható G. Stokes,
Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz. Diszkrét matematika 2.C szakirány 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 207.