Kvantum-tömörítés II.

Átírás

1 LOGO Kvantum-tömörítés II. Gyöngyös László BME Vllamosmérnök és Informatka Kar

2 A kvantumcsatorna kapactása

3 Kommunkácó kvantumbtekkel Klasszkus btek előnye Könnyű kezelhetőség Stabl kommunkácó Dszkrét értékek A klasszkus btek és a kvantumbtek jelentősen különböznek, azonban bzonyos feltételek teljesülése esetén felcserélhetőek Alapvető fontosságú kérdések: Kvantumrendszereket hogyan alkalmazhatjuk klasszkus btek helyett? Hogyan változk a kvantumbtekben tárolható nformácó mértéke a klasszkus btekhez képest?

4 Kvantumállapotok alkalmazása r = { j ; p } Forrás: tszta kvantumállapotok Tömörítés: Neumann-entrópa (kvantumbt/szmbólum)

5 Kvantumállapotok alkalmazása r = { j ; p } 2 Forrás: tszta kvantumállapotok Tömörítés: Neumann-entrópa (kvantumbt/szmbólum)

6 Az Forrás : Átvtel görbe ; p, ahol : tszta kvantumállapot, p állapot : az állapot előfordulás valószínűsége. tömörítése a felhasznált klasszkus btek függvényében:,, n : klasszkus nformácó = ortogonáls kvantumállapotok Kvantumcsatorna átvtel kapactása: S Neumann-entrópa Kvantum klasszkus átvtel görbe: r = { j ; p } Optmalzácós görbe: * * R=0 bt/jel esetén: Q 0 S R H( p) bt/jel esetén: Q H( p) 0. * Q R R R * Q S mn.

7 Optmáls átvtel görbe megkonstruálása

8 Kvantumcsatorna leírása A I I n ; p állapotok Neumann-entrópája: S S p, S ahol Tr log. :=,, p : p p. n, p I I, ahol

9 Kvantumcsatorna leírása : tszta kvantumállapotok: F F, : és kevert állapotok azonossága Tr,. 2 Ha tszta állapot, akkor: F, Tr. Tovább jelölések: B n d : d-dmenzós, n állapotú Hlbert-tér n : a belül kevert állapotok halmaza. n d d n

10 Vak kódolás A vak tömörítés tulajdonsága n hosszúságú blokkra, R kvantumbt/jel és - mnőségre: Kódolás (CPTP-leképezés) : E : B Dekódolás Az nr n (CPTP-leképezés) : D : B B. átlagos mnőség: n n n d d nr d Az forrás tömörítése során alkalmazott R kvantumbt/jel kmenetelű tömörítés eljárást vak tömörítésnek nevezzük, ha mnden, 0 és megfelelően nagy n esetén létezk olyan séma, amellyel az I p D E R+ kvantumbt/jel tömörítés legalább - mnőséggel végrehajtható. B d. I I n n I I

11 Látható kódolás A " látható tömörítés" tulajdonsága n hosszúságú blokkra, R kvantumbt/jel és - mnőségre: Kódolás ( tetszőleges): E : B n n d B nr d nr n Dekódolás (CPTP-leképezés) : D n : Bd Bd. Kvantum forráskódolás : Az tszta kvantumállapotokból álló forrás akkor és csak akkor tömöríthető bármlyen tömörítés eljárással kvantumbt/jel arányban, ha S. Vak és látható kódolás: Vak-kódolás: gyengébb, klasszkus értékek nem alkalmazhatóak, bemeneten kvantumállapotok Látható kódolás : klasszkus tárolás megvalósítható

12 Kvantumállapotok tárolása kvantumbtekben r = { j ; p } n 2 Forrás: tszta kvantumállapotok Tömörítés: Neumann-entrópa (kvantumbt/szmbólum)

13 Kvantumállapotok tárolása kvantumbtekben r = { j ; p } I 2 n p I I p p 2 2 n p n r Ä n = { j ; } I pi n Az állapotot n mellett tárolhatjuk jelenként R kv antumbtben, amennyben R S( ).

14 Kódolás a kvantumkrptográfában 4 3 Publkus csatorna 2 Kvantumcsatorna ;/ 4

15 Kódolás a kvantumkrptográfában sn 0 cos 2 cos 0 sn 0 Adott I= 2,,n vagy k 2 k b emenetre : S p, ;, ; ;/ 4 és H

16 Kódolás a kvantumkrptográfában 4 3 ;/ 4 2 H P Z Z 2 ( cos ) 0.6 kvantumbt/ jel P bt/jel Z S S H 2 ( cos ).

17 Kódolás a kvantumkrptográfában 4 3 ;/ 4 2 H P Z Z 2 ( cos ) 0.6 kvantumbt/ jel P bt/jel Z H 2 ( cos ) Q*.

18 Neumann-entrópák kapcsolata AB Bob dő U S( A: B) : S( A) S( B) S( AB) S( A': B) S( A: B) S( A': B)

19 Klasszkus btek felhasználása I 2 n Publkus csatorna: nxr bt Kvantumcsatorna: nxq kvantumbt

20 A kommunkácó általánosított modellje I 2 n Publkus csatorna: nxr bt Kvantumcsatorna: nxq kvantumbt

21 Ortogonáls állapotok: Látható tömörítés,,,, I I 2 n 2 n I 2 Publkus csatorna: nxr bt n Kvantumcsatorna: nxq kvantumbt I

22 Átvtel függvény S( ) ; p * Q 0 H p ) S( ) R (

23 Nem-ortogonáls állapotok vzsgálata 0; p /2, 2 Kvantum 0 ; p /2 A Schumacher-korlát értelmében: Q * RR S max Klasszkus max : 0, S. : H 0.5,0

24 Három kvantumbt 2 0 ; p /3, 2, ; 0; p /3, 3 0 ; p /3. 2 Partconálás :, Kvantum max max : 0, S Klasszkus : H /3,/3,/3,0 Schumacher-kor lát : R H / 3.

25 Alkalmazás: Kvantumkrptográfa, H ( cos : 2 tt a Q* R és a felső korlát azonos. egyetlen klasszkus btet használunk. ) Ekkor / 8 H 2 ( cos ) Q*.

26 Hbrd kódolás E( I) p( j I) j j j B I, j C Regszterek: Állapot címke Kvantum Klasszkus ABC A B I I, j I, j p I I p( j I) j j C,2,3,4 j P Z HI ( : j) SA ( : C) nr

27 Hbrd kódolás Regszterek: Állapot címke Kvantum Klasszkus ABC A B I I, j I, j p I I p( j I) j j C Teljes rendszer: j I, j; qi ( j) j q ( ) S( A: B C) nq j j S( A: B C) S( AC) S( BC) S( ABC) S( C)

28 Az alsó korlát már adódk C j I B j I A I ABC j j I j p I I p,, ) ( A n n A A A I 2 2 n k k A k CA A B A S C B A S 2 ) : ( ) : ( Az ndex regszter felbontásával: Láncszabály: ( : ) nf ( : ) :"kényszer állapotok" S A B C n S A B C

29 Tökéletes állapotkódolás ; p B E() p( j ) j j Másolat Nncs tömörítés j C M (, R) nf S( A: B C): S( A: C) p( ) R Klasszkus csatornára optmalzálva * Állítás : Q ( R) M (, R)

30 Optmáls átvtel kódolás megkonstruálása

31 Optmáls átvtel kódolás A Legyen p p( j ) j j. Ekkor az állapot maxmáls tömöríthetősége: SA ( : C) bt/jel + SA ( : B C) kvantumbt/jel. B j C Tétel : Q * ( R) M(, R)

32 Hogyan tömöríthetünk? A két állapot legyen:, 2 p 2 I p( j ) : 2 p p -p -p 2 J

33 Hogyan tömöríthetünk? A p p( j ) A B-regszterben tszta kvantumállapotok találhatóak B j j j C SA ( : B C) q( ) qs( ) j j j j j j A Neumann entrópák átlaga, a klasszkus C regszter tartalmára alapozottan Adott I= 2 n. Alce előállítja J=j j 2 j n állapotot, a p(j I)=p(j )p(j 2 2 ) p(j n n ) összefüggés fgyelmbevételével. A felosztásban a,2,,n blokkokban ugyanazon a j értékek lesznek. Alce a különálló blokkokat a Schumacher kódolással tömörít. Probléma: Alce hogyan közölje a J állapotokat Bobbal?

34 Shannon-tétel felhasználása I Zajos csatorna E r (I) Zajmentes csatorna p(j ) nh( : j) bt J m megosztott véletlen bt D r (E r (I)) D r ( E r ( I)); J ( I) m 2

35 Véletlenszerűség mplementálása A dekódolás mnősége a megosztott btek függvényében: I p I I m 2 I, r I r Így létezne kell olyan r 0 nak, amelyre: I p I I I, r I Továbbmenve, O(log n) megosztott véletlen bttel mnden tpkus l bemenet sztrng esetén megvalósítható a magas mnőségű kódolás és dekódolás folyamat! 0

36 Ismétlés 0; p /2, 2 Kvantum 0 ; p /2 2 2 p A Schumacher-korlát értelmében: RR S * Q. max Klasszkus max 2 : 0, S : H 0.5,0

37 Az optmáls protokoll Adott R, találjunk olyan p értéket, amellyel megvalósítható a bsc modell 2 p p -p -p Bnárs Szmmetrkus Csatorna - R kapactással. 2 Alce az I sorozat hányos változatát küld Bobnak. Bob ekkor úgy látja, mntha a sorozat már n zajos csatornán keresztülhaladt volna.

38 Egyetlen kvantumbt küldése A görbe sehol sem ér el az Q=0 tengelyt Ennek következtében egy kvantumbt nformácótartalma sem adható meg véges mennységű klasszkus Rmax nformácóval

39 Egy kvantumbt hány klasszkus bttel írható le? Továbbra sem adhatjuk meg pontosan, a bemenetek bzonytalansága következtében! Megoldás: Csökkentsük le a bemenet bzonytalanság mértékét! Tpkus sorozatok

40 Tpkus sorozatok

41 Tpkus üzenetek Általános mnőség követelmény: å I p j j j > -e I I I I j j j = j I 2 n Változó forrásra: ji j I ji > -e mnden I-re j j j = j I 2 n

42 Tpkus üzenetek Egy adott valószínűséghez tpkusan előforduló bemenetek rendelhetőek I 2222 Az I üzenet tpkus a következő valószínűségek mellett: p 8 2 p2 4 2 Bzonyos üzeneteket megjelenését így előzetesen kzárhatjuk, a valószínűségek alapján pedg megjósolhatjuk a tpkus bemenetek halmazát

43 Tpkus üzenetek Ha az előforduló üzenetek lehetséges számára teljesül, hogy ( N( I), N(2 I),, N(m I) ) (n+) m akkor Alce O(log n) bten elküld üzenetét, majd tömörít. A tömörítés feltétele: p = n N ( I).

44 Tpkus üzenetek Legyen a bemenet kvantumállapotok halmaza, és legyen P a felett értelmezett valószínűségeloszlások halmaza. Ekkor az eloszlás felső határa : Q ({ j p } R) * ( R ) sup M ;,. = pîp

45 Egyetlen kvantumbt küldése A görbe sehol sem ér el az Q=0 tengelyt Ennek következtében egy kvantumbt nformácótartalma sem adható meg véges mennységű klasszkus Rmax nformácóval

46 Összefonódott állapotok alkalmazása 0 0 bemérése Alcenek csak a mérés kmenetelét kell közölne Bobbal, amelyhez átlagosan elegendő bt/jel. Az összefonódottság kalakítása és megosztása azonban többletkommunkácóval jár.

47 Mennyre hatékony? Szupersűrűségű tömörítés: EPR megosztása + epr-kvantumbt küldése Teleportácó: epr-kvantumbt + 2 klasszkus bt Elvleg: epr-kvantumbt + klasszkus bt elég Átvtel függvény alapján: R klasszkus bt Q*(R) kvantumbt Q*(R) epr-kvantumbt + Q*(R) klasszkus bt R klasszkus bt * * * E R Q R, ha R R Q R ( ') ( ) ' ( )

48 Átvtel függvény összefonódott állapotok esetén Összefonódott állapot: ; p AB AB S p B * E B ps ( ) B R H p

49 LOGO Köszönöm a fgyelmet! Gyöngyös László BME Vllamosmérnök és Informatka Kar