Összefonódottság detektálása tanúoperátorokkal
|
|
- Mihály Pintér
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Összefonódottság detektálása tanúoperátorokkal Tóth Géza Max-Plank-Intitute für Quantenoptik, Garching, Németország Budapest, október 4.
2 Motiváció Miért érdekes a kvantum-informatika? Alapvető problémák még mindig megoldatlanok kvantummechanikában A kvantumkontrol fejlődésével szükség van arra, hogy a többrészecskés kvatumállapotokról valamit mondjunk Kvantumkommunikáció, kvantum-szimuláció, kvantum-számítógép (keresés, prím faktorizáció)
3 Vázlat Bell egyenlőtlenségek, nonlokalitás Összefonódottság és detekciója Összefonódottság tanúoperátorok (entanglement witness) Többrészecskés összefonódottság
4 Bell egyenlőtlenségek, nonlokalitás Összefonódottság és detekciója Összefonódottság tanúoperátorok (entanglement witness) Többrészecskés összefonódottság
5 Bell egyenlőtlenségek Miben más a kvantum mechanika, mint a klasszikus fizika? Mely kvantumállapotok esetén mutatkoznak meg legikább a kvantummechanikai effektusok? Válasz (Bell, 60-as évek): Ha feltételezzük, hogy minden mérési eredmény már létezett a mérés előtt, akkor a korrelációk lehetséges értékeire egy korlátot kapunk. Vannak olyan kvantummechanikai állapotok, amelyeken végzett mérés ezt a korlátot sérti. Ezeket hívjuk nemlokális állapotoknak.
6 A CHSH Bell egyenlőtlenség Mérjünk egy kétrészű rendszereben 2-2 változót +1/-1 értékkel A CHSH egyenlőtlenség x1 y x xx 1 2+ xy 1 2+ yy 1 2 yx A kvantum maximum a bal oldalra. y 2 2
7 Bell egyenlőtlenségek, nonlokalitás Összefonódottság és detekciója Összefonódottság tanúoperátorok (entanglement witness) Többrészecskés összefonódottság
8 Összefonódottság Definíció: Egy kétrészű kvantumrendszer szeparálható (nem összefonódott) állapotban van, ha a sűrűségmátrixa felírható alakban. (1) (2) pk k k k Werner, PRA ρ = ρ ρ Értelmezés: * szorzat állapotból nem lehet korrelált állapotot létrehozni lokális, csak ez egyik vagy csak a másik részecskén végzett műveletekkel, illetve ezek kombinácójával. * szorzat állapotból nem lehet összefonódott állapotot létrehozni lokális, csak ez egyik vagy csak a másik részecskén végzett műveletekkel, illetve ezek kombinácójával akkor sem ha kommunikáció a két részrendszer között megengedett.
9 Összefonódottság detekciója A sűrűségmátrixszal szükséges és elégséges feltételek ismertek összefonódottságra a következő esetekben: -2x2, 2x3 rendszerek -Többmódusú rendszerek Gauss-i állpotokban Igen sok esetben csupán elégséges feltétel ismert. (pl. NxM-es rendszerek)
10 Pozitív definit parciális transzponált Definíció: Parciális transzponálás: transzponálás az egyik részrendszer szerint. Ha a rendszer szeparálható, akkor a sűrűségmátrix parciális transzonáltja pozitívdefinit (ilyenkor parciális transzponált is lehetne egy fizikai sűrűségmátrix) 1 ( (1)) T T (2) = pk k k k ρ ρ ρ Ez szükséges és elégséges feltétel szeparálhatóságra 2x2-es és 2x3-as esetekben rendszerekre, míg nagyobb rendszereknél csupán szükséges feltétel. A. Peres, PRL 77, 1413 (1996).
11 Kétmódusú Gauss-i állapotok γ A korrelációs mátrix teljesen jellemez egy kétmódusú Gauss-i állapotot = xx 2 1 xx xp xp xp px px 2 1 A rendszer összefonódott, ha γ corr ij nem pozítívszemidefinit. Itt γ corr a parciális transzponálthoz tartozó korrelációs mátrix, J az operátorok kommutátorait tartalmazza. γ = γ + γ T corr L.-M. Duan et. al., PRL 84, 2722 (2000). R. Simon, PRL 84, 2726 (2000).
12 Bell egyenlőtlenségek, nonlokalitás Összefonódottság és detekciója Összefonódottság tanúoperátorok (entanglement witness) Többrészecskés összefonódottság
13 Összefonódottság kísérleti detektálása Egy tényleges kísérletben nem lehet az egész sűrűségmátrixot meghatározni. Csupán néhány mennyiséget lehet mérni. Ezekkel a mérési eredményekkel kell összefonódottságot detektaló elégséges feltételeket konstruálni. Egy lehetséges eljárás: Összefonódottság tanúoperátor (Entanglement witness)
14 Összefonódottság detektálása tanúoperátorral Definíció: egy kétrészű rendszerben egy W hermitikus mátrix tanúoperátor, ha (i) Minden ρ szeparálható állapotra Tr( ρw ) 0. (ii) Van olyan ρ összefonódott állapot, amelyre Tr( ρ ' W) < 0. M. Horodecki, P. Horodecki, and R. Horodecki, Phys. Lett. A 223, 1 (1996); B.M. Terhal, Phys. Lett. A 271, 319 (2000); M. Lewenstein, B. Kraus, J.I. Cirac, and P. Horodecki, Phys. Rev. A 62, (2000).
15 Konvex halmazok Tanúoperátor Tr( ρ ' W) < 0. Detektált állapotok S Szeparálható állapotok Összefonódott állapotok
16 Tanúoperátor optimalizálása Ha van két tanúoperátor, amelyekre W 1 W2 0 akkor W 2 minden állapotot detektál amit W 1. Ezen felül detektál olyan állapotokat is, amelyeket W 1 nem detektál, mivel minden ρ-ra Tr( ρw ) Tr( ρw ) 1 2 M. Lewenstein, B. Kraus, J.I. Cirac, and P.Horodecki, Phys. Rev. A 62, (2000).
17 Tanúoperátor előállítása ρ e Ha van egy állapot és ekörül szeretnénk összefonódottságot detektálni, akkor ezt a következő tanúoperátorral tehetjük meg ahol W = ( Ψ Ψ) T 1 és ρ T1 Ψ = λ Ψ e λ < 0.
18 Tanúoperátor előállítása II. Bizonyítás: (i) szorzat állapotra nem-negatív W Tr ( ) ρ ρ T1 = Ψ Ψ 1 2 * = Tr ( ) Ψ Ψ ρ1 ρ2 0 ρ e (ii) a összefonódott állapotra negatív W = Tr ( Ψ Ψ) T1 ρ e T1 = Tr ( Ψ Ψ ) ρe = λ< 0.
19 Bell egyenlőtlenségek, nonlokalitás Összefonódottság és detekciója Összefonódottság tanúoperátorok (entanglement witness) Többrészecskés összefonódottság
20 Háromtest összefonódotság Teljesen szeparálható három-részecske állapot (1) (2) (3) pk k k k k ρ = ρ ρ ρ Tiszta biszeparálható állapot: szeparálható valamilyen partícióra; lehet összefonódott. Ψ (12)(3) =Ψ12 Ψ 3 Ψ (1)(23) =Ψ1 Ψ23 Kevert biszeparálható állapot: tiszta biszeparálható állapotok keveréke. Akár olyanoké is, amelyek különböző partíciók szerint biszeparálhatóak. Igazi három-részecske összefonódott állapot: nem biszeparalható.
21 Háromtest összefonódotság Igazi háromtest összefonódottságot detektáló tanúoperátor Detektált állapotok Szeparálható S állapotok Biszeparálható összefonódott állapotok Igazi háromtest összefonódott állapotok
22 Tanúoperátorok igazi háromtest összefonódottságra ( ) Tanúoperátor GHZ = állapotra: W = 1 GHZ GHZ 2 1 ( ) Tanúoperátor a W = állapotra: 3 W 2 = 1 3 W W A. Acin, D. Bruß, M. Lewenstein, and A. Sanpera, Phys. Rev. Lett. 87, (2001). M. Bourennane et al. PRL 92, (2004).
23 Tanúoperátor igazi többrészecskés összefonódottságra Tanúoperátor N-qbites GHZ állapotra: GHZ N 1 = + 2 ( ) 1 W = 1 GHZN GHZN 2
24 Tanúoperátorok mérése Az tanúoperátort lokálisan mérhető operátrokra kell dekomponálni. Példa három qbitre: 1 (1 (1) (2) (2) (3) (1) (3) 2 (1) (2) (3) ) GHZ3 GHZ3 = + Z Z + Z Z + Z Z X X X (1) (1) (2) (2) (3) (3) (1) (1) (2) (2) (3) (3) ( X Y )( X Y )( X Y ) ( X Y )( X Y )( X Y ) Probléma: a tagok száma gyorsan nő a qubit számmal. Ez nem csupán gyakorlati, a méréssel kapcsolatos probléma, hanem elméleti is. Kérdés: mit tudhatunk meg az előállított kvantumállapotról? Gühne, Hyllus et. al. quant-ph/
25 Tanúoperátor kéttest korrelációkból Példa két qubitre. Szeparálható állpotokra σσ + σσ x x z z Összefonódott állapotkra a bal oldal maximuma 2. Ezt a 00> + 11> állapotra veszi fel (=EPR pár). Ebből a következö tanúoperátor szerkeszthető W = 1 σ σ σ σ x x z z A W-ben szereplő korrelációs operátorok az 00> + 11> állapot stabilizáló operátorai.
26 Tanúoperátor kéttest korrelációkból II. Bizonyítás. Szorzat állapotra σσ + σσ = x x z z σ σ σ σ x x + z z = nn Itt n 1 és n 2 1-nél nem hosszabb vektorok. k 2 k 2 k 2 x y z σ + σ + σ 1 Szeparálható állapotra is igaz, mivel a kifejezés lineáris operátor várható értékekben. Q.E.D.
27 N k= 1 1. Példa: Spinláncok Hamilton operátor Pauli mátrixokkal H = J σ σ + σ σ + σ σ + B σ ( k) ( k+ 1) ( k) ( k+ 1) ( k) ( k+ 1) ( k) x x y y z z z k Klasszkus spin lánc valós változókkal N ( ) ( + 1) ( ) ( + 1) ( ) ( + 1) ( ) = k k k k k k k H J sx sx sy sy sz sz B sz k= 1 k Egyszerű ötlet: szeparálható állapotkra az energiaminimum egyenlő a klasszikus spin lánc energiaminimuvával. Tr( ρ H ) min H sep ( k ) s, s= 1 G. Tóth, "Entanglement Witnesses in Spin Models", PRA 71, (R) (2005).
28 1. Példa: Összefonódottság és energia Heisenberg lánc B külső térben és T hőmérsékleten Két qbites keltési összefonódottság A klasszikus lánc alapállapotbeli energiajánál kisebb energiajú állapot G. Tóth, "Entanglement Witnesses in Spin Models", PRA 71, (R) (2005).
29 2. Példa: Tanú stabilizáló operátorokkal GHZ állapot Stabilizáló operátorok S X X X ( GHZ N ) (1) (2) ( N ) 1 =, S Z Z ( GHZ N ) (1) (2) 2 =, S Z Z ( GHZ N ) (2) (3) 3 =, S Z Z ( GHZN ) ( N 1) ( N ) N =. 1 GHZ N = ( ) S GHZ = GHZ ( GHZ N ) k N N Ezek a generátorai a stabilizáló (stabilizer) nevű csoportnak.
30 2. Példa: 3 qubites példa Három qbites példa Generátorok: (1) (2) (3) X X X Z Z Z (1) (2) Z (2) (3) Operátorok a generátorok egymással való szorzásából (1) (2) (3) Y X Y (1) (2) (3) Y Y X (1) (2) (3) X Y Y Z Z (1) (3) Általában: 1 N 2 1 GHZ GHZ = S N 2 k = 1 ( GHZ ) k
31 2. Példa: Tanúoperátor GHZ állapotra Egyszerű tanú GHZ állapot-ra, többtest összefonódottság detektására W = 1 Z Z X X X (1) (2) (1) (2) ( N ) Also határ a GHZ állapottal való átlapolásra ( ) ( ) ( GHZ ρ ρ k k ) k Tr GHZ GHZ Tr c S Be lehet látni, hogy alkalmas c k -kal nagyon kevés mérés elegendő. Tanú GHZ állapotra, igazi többtest összefonódottság detektálására stabilizáló operátorkkal. G. Tóth and O. Gühne, PRL 94, (2005). G. Tóth and O. Gühne, PRA 2005
32 Összefoglalás Bell egyenlőtlenségek, CHSH egyenlőtlenség Összefonódottság detektálása a sűrűségmátrix alapján Pozitív parciális transzponált Korrelációs mátrix Összefonódottság detektálása méréssel, tanúoperátorok Többtest összefonódottság Összefonódottság detektálása kevés többtest korrelációval Spinlánc Hamiltonoperátor Tanú stabilizáló operátorokkal Honlap:
Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek
Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek MaFiHe TDK és Szakdolgozat Hét Szalay Szilárd MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont, Szilárdtest Fizikai és Optikai Intézet, Erősen Korrelált Rendszerek Lendület
RészletesebbenKevert állapoti anholonómiák vizsgálata
Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Bucz Gábor Témavezet : Dr. Fehér László Dr. Lévay Péter Szeged, 2015.04.23. Bucz Gábor Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Szeged, 2015.04.23. 1 / 27 Tartalom
RészletesebbenHasznos korrelációk kötötten összefonódott állapotokból
Hasznos korrelációk kötötten összefonódott állapotokból Vértesi Tamás Atomki, Debrecen Nicolas Brunnerrel, Pál Károllal és Tóth Gézával közös munkák alapján SZTE Elméleti Fizikai Tanszék, 2019. március
Részletesebbenaz Aharonov-Bohm effektus a vektorpotenciál problémája E = - 1/c A/ t - φ és B = x A csak egy mértéktranszformáció erejéig meghatározott nincs fizikai
az Aharonov-Bohm effektus a vektorpotenciál problémája E = - 1/c A/ t - φ és B = x A csak egy mértéktranszformáció erejéig meghatározott nincs fizikai jelentése? a kvantummechanikában ih m» a hullámfüggvény
RészletesebbenBell-kísérlet. Máté Mihály, Fizikus MSc I. ELTE. Eötvös Loránd Tudományegyetem. Modern zikai kísérletek szemináriuma, 2016.
Bell-kísérlet Máté Mihály, Fizikus MSc I. ELTE Eötvös Loránd Tudományegyetem Modern zikai kísérletek szemináriuma, 2016. Máté Mihály (ELTE) Bell-kísérlet 1 / 15 Tartalom 1 Elmélet Összefonódás EPR Bell
RészletesebbenAz összefonódás elemi tárgyalása Benedict Mihály
Az összefonódás elemi tárgyalása Benedict Mihály Elméleti Fizikai Iskola Tihany 2010, augusztus 31 Kétrészű rendszerek, tiszta állapotok, Schmidt fölbontás és az összefonódási mértékek Példák a kvantumoptikából
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenA spin. November 28, 2006
A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,
RészletesebbenFizikus Vándorgyűlés 2016 Szeged, augusztus 26.
Institut für Theoretische Physik, Freie Universität Berlin Fizikus Vándorgyűlés 2016 Szeged, 2016. augusztus 26. 1 / 30 Neumann-entrópia definíciója A ρ sűrűségmátrix Neumann-entrópiája S(ρ) = Trρ log
RészletesebbenKvantum összefonódás véges dimenziós Hilbert terekben Ph.D. tézisfüzet. Szalay Szilárd
Kvantum összefonódás véges dimenziós Hilbert terekben Ph.D. tézisfüzet Szalay Szilárd Témavezető: Dr. Lévay Péter Pál tudományos főmunkatárs Elméleti Fizika Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi
RészletesebbenCsoportreprezentációk az
Csoportreprezentációk az összefonódottság-elméletben PhD tézisfüzet Vrana Péter Témavezető: Dr. Lévay Péter Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Elméleti Fizika Tanszék (2011) Előzmények Az összefonódottság
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenAzonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.
Kvantum statisztika A kvantummechanika előadások során már megtanultuk, hogy az anyagot felépítő részecskék nemklasszikus, hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek aminek következtében viselkedésük sok szempontból
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenKvantum marginális probléma és összefonódási politópok
Kvantum marginális probléma és összefonódási politópok Vrana Péter Budapesti műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Geometria Tanszék 04. október. / Összetett rendszerek Jelölések k darab részrendszer H,
RészletesebbenKét 1/2-es spinből álló rendszer teljes spinje (spinek összeadása)
Két /-es spinből álló rendszer teljes spinje spinek összeadása Két darab / spinű részecskéből álló rendszert írunk le. Ezek lehetnek elektronok, vagy protonok, vagy akármilyen elemi vagy nem elemi részecskék.
RészletesebbenTotális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
RészletesebbenA kvantumelmélet és a tulajdonságok metafizikája
A kvantumelmélet és a tulajdonságok metafizikája Szabó Gábor MTA Bölcsészettudományi Központ email: szabo.gabor@btk.mta.hu p. 1 Kvantumelmélet Kialakulása: 1900, Planck: energiakvantum 1905, Einstein:
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenSzemidenit optimalizálás és az S-lemma
Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok
RészletesebbenSzélsőérték-számítás
Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenDiszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (
FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.
RészletesebbenModern fejlemények a kvantumelméletben. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3.
Modern fejlemények a kvantumelméletben Bevezetés Ádám Péter, Diósi Lajos Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3. Iskola témája, bevezetés célja Iskola témája kvantumoptika és
RészletesebbenVan-e kapcsolat a változók között? (példák: fizetés-távolság; felvételi pontszám - görgetett átlag)
, rangkorreláció Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenBME Matematika Intézet Analízis Tanszék. Lovas Attila. Az információgeometria alkalmazása kvantummechanikai rendszerekre PhD értekezés tézisei
BME Matematika Intézet Analízis Tanszék Lovas Attila Az információgeometria alkalmazása kvantummechanikai rendszerekre PhD értekezés tézisei Témavezető: Dr. Andai Attila egyetemi docens 2017 1. Bevezetés
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
RészletesebbenKvantum-kommunikáció komplexitása I.
LOGO Kvantum-kommunikáció komplexitása I. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Klasszikus információ n kvantumbitben Hány klasszikus bitnyi információ nyerhető ki n kvantumbitből? Egy
RészletesebbenLineáris algebra (10A103)
Lineáris algebra (10A103) Dr. Hartmann Miklós Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~hartm Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat teljesítése.
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:
Részletesebben1 A kvantummechanika posztulátumai
A kvantummechanika posztulátumai October 29, 2006 A kvantummechanika posztulátumai Célunk felépíteni a kvantummechanikát posztulátumok segítségével úgy ahogy az elemi hullámmechanika során eljártunk. Arra
RészletesebbenBabeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár Matematika és Informatika Kar Magyar Matematika és Informatika Intézet
/ Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár Matematika és Informatika Kar Magyar Matematika és Informatika Intézet / Tartalom 3/ kernelek segítségével Felügyelt és félig-felügyelt tanulás felügyelt: D =
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenEloszlások jellemzése. Momentumok. Medián és kvantilis. Karakterisztikus függvény
Karakterisztikus függvény Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Hogyan lehetne általánosítani a generátorfüggvényt folytonos okra? Karakterisztikus
RészletesebbenA Relativisztikus kvantummechanika alapjai
A Relativisztikus kvantummechanika alapjai January 25, 2005 A kvantummechanika Schrödinger egyenletének a felírása után azonnal kiderül, hogy ez az egyenlet nem relativisztikusan kovariáns. (Aránylag könnyen
RészletesebbenA lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
RészletesebbenUniverzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza
Univerzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza odor@mfa.kfki.hu 1. Bevezetõ, dinamikus skálázás, kritikus exponensek, térelmélet formalizmus, renormalizáció, topológius fázis diagrammok,
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenSZAKDOLGOZAT. Betekintés a kvantum-információelméletbe. Bergmann Júlia. Témavezet :
SZAKDOLGOZAT Betekintés a kvantum-információelméletbe Bergmann Júlia Témavezet : Dr. Tasnádi Tamás Egyetemi adjunktus BME Matematika Intézet, Analízis Tanszék BME 015 El szó Quantum mechanics: Real Black
RészletesebbenTárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,
Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus
RészletesebbenLineáris algebra (10A103)
Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenLineáris algebra (10A103)
Lineáris algebra (10A103) Kátai-Urbán Kamilla (1. előadás) Mátrixok 2019. február 6. 1 / 35 Bevezetés Előadás Tudnivalók (I.) Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Az előadáson készített
RészletesebbenJanuary 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,
Közelítő módszerek January 16, 27 1 A variációs módszer A variációs módszer szintén egy analitikus közelítő módszer. Olyan esetekben alkalmazzuk mikor ismert az analitikus alak amelyben keressük a sajátfüggvényt,
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik
1. Bevezetés A félév anyaga. Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad-
RészletesebbenDinamikus modellek szerkezete, SDG modellek
Diagnosztika - 3. p. 1/2 Modell Alapú Diagnosztika Diszkrét Módszerekkel Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Diagnosztika - 3.
RészletesebbenKvantum termodinamika
Kvantum termodinamika Diósi Lajos MTA Wigner FK Budapest 2014. febr. 4. Diósi Lajos (MTA Wigner FKBudapest) Kvantum termodinamika 2014. febr. 4. 1 / 12 1 Miért van 1 qubitnek termodinamikája? 2 QuOszcillátor/Qubit:
RészletesebbenHatározatlansági relációk származtatása az
az állapottér BME TTK Matematikus MSc. 1. évf. 2012. november 14. Vázlat: Történeti áttekintés Nemkommutatív (kvantum) valószín ségelmélet Az állapottér geometriája: Az állapottér mint Riemann-sokaság
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
RészletesebbenOptimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben
Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges
RészletesebbenÖsszefonódás, koherens állapotok; kvantumos rotor áthaladása apertúrán
Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Elméleti Fizikai Tanszék Fizika Doktori Iskola Összefonódás, koherens állapotok; kvantumos rotor áthaladása apertúrán Doktori (Ph.D.) értekezés
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenI. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebben1. Geometria a komplex számsíkon
1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenA szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
Részletesebbenkvantumdinamika qubiteken és a káosz megjelenése
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Szakdolgozat Mérésekkel befolyásolt kvantumdinamika qubiteken és a káosz megjelenése Tóth László Dániel III. éves fizika Bsc. Témavezető: Kiss Tamás,
RészletesebbenLine aris f uggv enyilleszt es m arcius 19.
Lineáris függvényillesztés 2018. március 19. Illesztett paraméterek hibája Eddig azt néztük, hogy a mérési hiba hogyan propagál az illesztett paraméterekbe, ha van egy konkrét függvényünk. a hibaterjedés
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
RészletesebbenMatematikai logika és halmazelmélet
Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenA.Einstein, B. Podolsky, N. Rosen (EPR) 1935, bizonyítják(?), hogy a kvantummechanika nem teljes D. Bohm Fotonpár forrás Kalcit.
EPR paradoxon, Bell egyenlőtlenség Teljesnek tekinthető-e a fizikai valóság kvantummechanikai leírása, teszik föl a kérdést híres cikkükben A. Einstein, B. Podolsky és N. Rosen 1935-ben. Egzakt definíciót
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Részletesebben2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH
2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH 2015. december 10. Információk 0. A ZH ideje minimum 90 perc, maximum 180 perc. 1. Az összesen elérhet pontszám 270 pont. 2. A jeles érdemjegy eléréséhez nem szükséges
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenKvantumszámítógép a munkára fogott kvantummechanika
Kvantumszámítógép a munkára fogott kvantummechanika Széchenyi Gábor ELTE, Anyagfizikai Tanszék Atomoktól a csillagokig, 2019. április 25. Kvantumszámítógép a hírekben Egy új technológia 1940-es 1980-as
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenNem-lineáris programozási feladatok
Nem-lineáris programozási feladatok S - lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 1 Elég egyszerű példa: nemlineáris célfüggvény + lineáris feltételek Lehetséges halmaz x 1 *x 2 =6.75 Gradiens
RészletesebbenKvantum-tömörítés II.
LOGO Kvantum-tömörítés II. Gyöngyös László BME Vllamosmérnök és Informatka Kar A kvantumcsatorna kapactása Kommunkácó kvantumbtekkel Klasszkus btek előnye Könnyű kezelhetőség Stabl kommunkácó Dszkrét értékek
RészletesebbenKvantumos jelenségek lézertérben
Kvantumos jelenségek lézertérben Atomfizika Benedict Mihály SZTE Elméleti Fizikai Tanszék Az előadást támogatta a TÁMOP-4.2.1/B-09/1/KONV-2010-0005 sz. Kutatóegyetemi Kiválósági Központ létrehozása a Szegedi
RészletesebbenKvantumszimulátorok. Szirmai Gergely MTA SZFKI. Graphics: Harald Ritsch / Rainer Blatt, IQOQI
Kvantumszimulátorok Szirmai Gergely MTA SZFKI Graphics: Harald Ritsch / Rainer Blatt, IQOQI A kvantummechanika körülvesz tranzisztor számítógép, mobiltelefon A kvantummechanika körülvesz tranzisztor számítógép,
RészletesebbenA keveredési réteg magasságának detektálása visszaszóródási idősorok alapján
ORSZÁGOS METEOROLÓGIAI SZOLGÁLAT A keveredési réteg magasságának detektálása visszaszóródási idősorok alapján Timár Ágnes Alapítva: 1870 A planetáris határréteg (PHR) Mechanikus és termikus turbulencia
RészletesebbenA Lederman-Steinberger-Schwartz-f ele k et neutrn o ks erlet
A Lederman-Steinberger-Schwartz-f ele k et neutrn o ks erlet Modern zikai ks erletek szemin arium Kincses D aniel E otv os Lor and Tudom anyegyetem 2017. február 21. Kincses Dániel (ELTE) A két neutrínó
RészletesebbenFuzzy halmazok jellemzői
A Fuzzy rendszerek, számítási intelligencia gyakorló feladatok megoldása Fuzzy halmazok jellemzői A fuzzy halmaz tartója az alaphalmaz azon elemeket tartalmazó részhalmaza, melyek tagsági értéke 0-nál
RészletesebbenAhol a kvantum mechanika és az Internet találkozik
Ahol a kvantum mechanika és az Internet találkozik Imre Sándor BME Híradástechnikai Tanszék Imre Sándor "The fastest algorithm can frequently be replaced by one that is almost as fast and much easier to
RészletesebbenAz impulzusnyomatékok általános elmélete
Az impulzusnyomatékok általános elmélete November 27, 2006 Az elemi kvantummechanika keretében tárgyaltuk már az impulzusnyomatékot. A továbbiakban általánosítjuk az impulzusnyomaték fogalmát a kvantummechanikában
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
Részletesebben2. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Mátrixok Mátrixműveletek Speciális mátrixok, vektorok Norma
Mátrixok Definíció Az m n típusú (méretű) valós A mátrixon valós a ij számok alábbi táblázatát értjük: a 11 a 12... a 1j... a 1n.......... A = a i1 a i2... a ij... a in........... a m1 a m2... a mj...
Részletesebben4. Előadás: Erős dualitás
Optimalizálási eljárások/operációkutatás MSc hallgatók számára 4. Előadás: Erős dualitás Előadó: Hajnal Péter 2018. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét d
Részletesebben