Diszkrét matematika 1. estis képzés

Átírás

1 Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék tavasz

2 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 2. A komplex számok bevezetése Legyen i az x 2 = 1 egyenlet megoldása. A szokásos számolási szabályok szerint számoljunk az i szimbólummal formálisan, i 2 = 1 helyettesítéssel: Általában: (1 + i) 2 = 1 + 2i + i 2 = 1 + 2i + ( 1) = 2i. (a + bi)(c + di) = ac bd + (ad + bc)i.

3 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 3. A komplex számok definíciója Definíció Az a + bi alakú kifejezéseket, ahol a, b R, komplex számoknak (C) hívjuk, az ilyen formában való feĺırásukat algebrai alaknak nevezzük. Összeadás: (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i. Szorzás: (a + bi)(c + di) = ac bd + (ad + bc)i. A z = a + bi C (a, b R) komplex szám valós része: Re(z) = a R. A z = a + bi C (a, b R) komplex szám képzetes része: Im(z) = b R. Figyelem! Im(z) bi Az a + 0 i alakú komplex számok a valós számok. A 0 + bi alakú komplex számok a tisztán képzetes számok. Az a + bi és a c + di algebrai alakban megadott komplex számok pontosan akkor egyenlőek: a + bi = c + di, ha a = c és b = d.

4 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 4. A komplex számok definíciója Megjegyzés A komplex számok alternatív definíciója: (a, b) R R párok halmaza, ahol az összeadás: (a, b) + (c, d) = (a + c, d + b); a szorzás: (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). A két definíció ekvivalens: i (0, 1) (ez a leképezés művelettartó). Az a + bi formátum kényelmesebb számoláshoz. Az (a, b) formátum kényelmesebb ábrázoláshoz (grafikusan, számítógépen).

5 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 5. A műveletek tulajdonságai Álĺıtás A komplex számok halmazán az előbbi módon definiált összeadás asszociatív, kommutatív és létezik semleges elem, a 0: z 1, z 2, z 3 C : (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) z 1, z 2 C : z 1 + z 2 = z 2 + z 1 z 1 C : z = 0 + z 1 = z 1 Álĺıtás A komplex számok halmazán az előbbi módon definiált szorzás asszociatív, kommutatív és létezik semleges elem, az 1: z 1, z 2, z 3 C : (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) z 1, z 2 C : z 1 z 2 = z 2 z 1 z 1 C : z 1 1 = 1 z 1 = z 1

6 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 6. A műveletek tulajdonságai Álĺıtás Teljesül a szorzás összeadásra vonatkozó mindkét oldali disztributivitása: z 1, z 2, z 3 C : z 1 (z 2 + z 3 ) = (z 1 z 2 ) + (z 1 z 3 ) z 1, z 2, z 3 C : (z 1 + z 2 ) z 3 = (z 1 z 3 ) + (z 2 z 3 ) Definíció Egy x szám ellentettje az az ˆx szám, melyre x + ˆx = 0. Egy r R szám ellentettje: r. Álĺıtás (HF) Egy z = a + bi C algebrai alakban megadott komplex szám ellentettje a z = a bi algebrai alakban megadott komplex szám.

7 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 7. A műveletek tulajdonságai Definíció Egy x szám reciproka az az ˆx szám, melyre x ˆx = 1. 1 Egy r R \ {0} szám reciproka: r. Mi lesz 1 1+i? Ötlet: gyöktelenítés, konjugálttal való bővítés: = = 1 2 (1 + 2)(1 2) = ( 2) 2 Hasonlóan: = = i = 1 1 i 1 + i 1 i = 1 i (1 + i)(1 i) = 1 i 1 2 i 2 = 1 i 1 ( 1) = 1 i 2 = i.

8 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 8. Számolás komplex számokkal Definíció Egy z = a + bi C algebrai alakban megadott komplex szám abszolút értéke: z = a + bi = a 2 + b 2. Valós számok esetében ez a hagyományos abszolút érték: a = a 2. Álĺıtás(HF) z = a + bi 0, z = a + bi = 0 z = a + bi = 0.

9 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 9. Számolás komplex számokkal Definíció Egy z = a + bi algebrai alakban megadott komplex szám konjugáltja a z = a + bi = a bi szám. Álĺıtás(HF) Egy z 0 komplex szám reciproka 1 z = z z z. A definíció értelmes, hiszen a nevező: z z = (a + bi)(a bi) = a 2 (bi) 2 = a 2 + b 2 = z 2. Nullosztómentesség: z w = 0 z = 0 vagy w = 0. Két komplex szám hányadosa: z w = z 1 w.

10 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 10. A műveletek tulajdonságai Álĺıtás A komplex számok halmaza a fent definiált összeadással és szorzással testet alkot. További példák testre: (Q; +, ) és (R; +, ).

11 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 11. Számolás komplex számokkal Tétel (HF) 1 z = z; 2 z + w = z + w; 3 z w = z w; 4 z + z = 2 Re(z); 5 z z = 2 Im(z) i; 6 z z = z 2 ; 7 z 0 esetén z 1 = z z 2 ; 8 0 = 0 és z 0 esetén z > 0; 9 z = z ; 10 z w = z w ; 11 z + w z + w (háromszög egyenlőtlenség).

12 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 12. Számolás komplex számokkal Tétel(HF). z w = z w ;. Bizonyítás z w 2 = z w z w = z w z w = z z w w = z 2 w 2 = ( z w ) 2.

13 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 13. Komplex számok ábrázolása A komplex számok a komplex számsíkon: Im(z) z= r(cos ϕ + i sin ϕ) r ϕ Re(z) Ha z = a + bi C, akkor Re(z) = a, Im(z) = b. A (Re(z), Im(z)) vektor hossza: r = a 2 + b 2 = z 2. A z nemnulla szám argumentuma ϕ = arg(z) [0, 2π) A koordináták trigonometrikus függvényekkel kifejezve: Re(z) = a = r cos ϕ, Im(z) = b = r sin ϕ

14 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 14. Komplex számok trigonometrikus alakja Definíció z C nemnulla szám trigonometrikus alakja a z = r(cos ϕ + i sin ϕ), ahol r > 0 a szám abszolút értéke. Figyelem! A 0-nak nem használjuk a trigonometrikus alakját. A trigonometrikus alak nem egyértelmű: r(cos ϕ + i sin ϕ) = r(cos(ϕ + 2π) + i sin(ϕ + 2π)). Definíció Egy nemnulla z C argumentuma az a ϕ = arg(z) [0, 2π), melyre z = z (cos ϕ + i sin ϕ). z = a + bi algebrai alak; z = r(cos ϕ + i sin ϕ) trigonometrikus alak. Itt a = r cos ϕ, b = r sin ϕ.

15 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 15. Áttérés algebrai alakról trigonometrikus alakra a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ) a = r cos ϕ b = r sin ϕ Ha a 0, akkor tgϕ = b a, és így arctg b a, ha a > 0; ϕ = arctg b a + π, ha a < 0. }

16 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 16. Számolás trigonometrikus alakkal Legyen z, w C nemnulla komplex számok: z = z (cos ϕ + i sin ϕ), w = w (cos ψ + i sin ψ) A szorzatuk: zw = z (cos ϕ + i sin ϕ) w (cos ψ + i sin ψ) = = z w (cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ + i(cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ)) = addíciós képletek: cos(ϕ + ψ) = cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ sin(ϕ + ψ) = cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ = z w (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)) A szorzat abszolút értéke: zw = z w. A szorzat argumentuma: ha 0 arg(z) + arg(w) < 2π, akkor arg(zw) = arg(z) + arg(w); ha 2π arg(z) + arg(w) < 4π, akkor arg(zw) = arg(z) + arg(w) 2π. A sin, cos függvények 2π szerint periodikusak, az argumentum meghatározásánál redukálni kell az argumentumok összegét.

17 Komplex számok Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 17. Moivre-azonosságok Tétel HF Legyen z, w C nemnulla komplex számok: z = z (cos ϕ + i sin ϕ), w = w (cos ψ + i sin ψ), és legyen n N. Ekkor zw = z w (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)); z w = z w (cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ)), ha w 0; z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ). A szögek összeadódnak, kivonódnak, szorzódnak. Az argumentumot ezek után redukcióval kapjuk! Geometriai jelentés Egy z C komplex számmal való szorzás a komplex számsíkon mint nyújtva-forgatás hat. z -vel nyújt, arg(z) szöggel forgat.