Analízis elo adások. Vajda István szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Átírás

1 Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36

2 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két mu veletet: A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti mu veleteket más színnel jelöljük, mint az azonos nevu valós számok közötti mu veleteket. Összeadás: (a, b )+(c, d ) : (a + c, b + d ) Szorzás: (a, b ) (c, d ) : (ac bd, ad + bc ) Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknak nevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést. A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a második elemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük. Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valós és a képzetes részük is megegyezik. 2 / 36

3 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két mu veletet: A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti mu veleteket más színnel jelöljük, mint az azonos nevu valós számok közötti mu veleteket. Összeadás: (a, b )+(c, d ) : (a + c, b + d ) Szorzás: (a, b ) (c, d ) : (ac bd, ad + bc ) Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknak nevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést. A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a második elemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük. Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valós és a képzetes részük is megegyezik. 2 / 36

4 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két mu veletet: A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti mu veleteket más színnel jelöljük, mint az azonos nevu valós számok közötti mu veleteket. Összeadás: (a, b )+(c, d ) : (a + c, b + d ) Szorzás: (a, b ) (c, d ) : (ac bd, ad + bc ) Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknak nevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést. A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a második elemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük. Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valós és a képzetes részük is megegyezik. 2 / 36

5 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két mu veletet: A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti mu veleteket más színnel jelöljük, mint az azonos nevu valós számok közötti mu veleteket. Összeadás: (a, b )+(c, d ) : (a + c, b + d ) Szorzás: (a, b ) (c, d ) : (ac bd, ad + bc ) Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknak nevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést. A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a második elemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük. Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valós és a képzetes részük is megegyezik. 2 / 36

6 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok halmaza mindkét mu veletre zárt, hiszen ha a, b, c, d valós számok, akkor a + c és b + d, illetve ac bd és ad + bc is valós számok. A komplex számokon értelmezett összeadás kommutatív (a, b )+(c, d ) (a + c, b + d ) (c + a, d + b ) (c, d )+(a, b ) asszociatív (a, b )+(c, d ) +(e, f ) (a + c, b + d )+(e, f ) (a + c ) + e, (b + d ) + f a + (c + e ), b + (d + f ) (a, b )+(c + e, d + f ) (a, b )+ (c, d )+(e, f ) 3 / 36

7 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok halmaza mindkét mu veletre zárt, hiszen ha a, b, c, d valós számok, akkor a + c és b + d, illetve ac bd és ad + bc is valós számok. A komplex számokon értelmezett összeadás kommutatív (a, b )+(c, d ) (a + c, b + d ) (c + a, d + b ) (c, d )+(a, b ) asszociatív (a, b )+(c, d ) +(e, f ) (a + c, b + d )+(e, f ) (a + c ) + e, (b + d ) + f a + (c + e ), b + (d + f ) (a, b )+(c + e, d + f ) (a, b )+ (c, d )+(e, f ) 3 / 36

8 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok összeadásának létezik neutrális eleme (zéruselem), mégpedig a (0, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b )+(0, 0) (a + 0, b + 0) (a, b ) Minden komplex számnak létezik additív inverze, mert a, b R esetén: (a, b )+( a, b ) a + ( a ), b + ( b ) (0, 0) 4 / 36

9 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok összeadásának létezik neutrális eleme (zéruselem), mégpedig a (0, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b )+(0, 0) (a + 0, b + 0) (a, b ) Minden komplex számnak létezik additív inverze, mert a, b R esetén: (a, b )+( a, b ) a + ( a ), b + ( b ) (0, 0) 4 / 36

10 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számokon értelmezett szorzás kommutatív (a, b ) (c, d ) (ac bd, ad + bc ) (ca db, cb + da ) (c, d ) (a, b ) asszociatív (a, b ) (c, d ) (e, f ) (ac bd, ad + bc ) (e, f ) (ac bd )e (ad + bc )f, (ac bd )f + (ad + bc )e (ace bde adf bcf, acf bdf + ade + bce ) (ace adf bcf bde, acf + ade + bce bdf ) a (ce df ) b (cf + de ), a (cf + de ) + b (ce df ) (a, b ) ce df, cf + de (a, b ) (c, d ) (e, f ) 5 / 36

11 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok szorzásának létezik neutrális eleme (egységelem), mégpedig az (1, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b ) (1, 0) (a 1 b 0, a 0 + b 1) (a, b ) Minden a (0, 0) számtól különbözo komplex számnak létezik multiplikatív inverze, mert a, b R esetén: (a, b ) a a2 + b2,! b (1, 0) a2 + b2 Bizonyítás: (a, b ) a a2 + b, 2 a2 + b2 a2 a2! b + b2 + a b2 a2 + b2 a a2 + b2, b ab a2 + b2 + a2 + b2! ab a2! b + b2,a! b a2 + b2 +b a a2 + b2! a 2 + b 2 ab + ab, (1, 0) a2 + b2 a2 + b2! 6 / 36

12 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok szorzásának létezik neutrális eleme (egységelem), mégpedig az (1, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b ) (1, 0) (a 1 b 0, a 0 + b 1) (a, b ) Minden a (0, 0) számtól különbözo komplex számnak létezik multiplikatív inverze, mert a, b R esetén: (a, b ) a a2 + b2,! b (1, 0) a2 + b2 Bizonyítás: (a, b ) a a2 + b, 2 a2 + b2 a2 a2! b + b2 + a b2 a2 + b2 a a2 + b2, b ab a2 + b2 + a2 + b2! ab a2! b + b2,a! b a2 + b2 +b a a2 + b2! a 2 + b 2 ab + ab, (1, 0) a2 + b2 a2 + b2! 6 / 36

13 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok szorzásának létezik neutrális eleme (egységelem), mégpedig az (1, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b ) (1, 0) (a 1 b 0, a 0 + b 1) (a, b ) Minden a (0, 0) számtól különbözo komplex számnak létezik multiplikatív inverze, mert a, b R esetén: (a, b ) a a2 + b2,! b (1, 0) a2 + b2 Bizonyítás: (a, b ) a a2 + b, 2 a2 + b2 a2 a2! b + b2 + a b2 a2 + b2 a a2 + b2, b ab a2 + b2 + a2 + b2! ab a2! b + b2,a! b a2 + b2 +b a a2 + b2! a 2 + b 2 ab + ab, (1, 0) a2 + b2 a2 + b2! 6 / 36

14 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok szorzására és összeadására érvényes a következo disztributív szabály: (a, b ) (c, d )+(e, f ) (a, b ) (c, d )+(a, b ) (e, f ) Bizonyítás: A bal és jobboldal egyenlo, mert: (a, b ) (c, d )+(e, f ) (a, b ) (c + e, d + f ) a (c +e ) b (d +f ), a (d +f )+b (c +e ) (ac +ae bd bf, ad +af +bc +be ) és (a, b ) (c, d )+(a, b ) (e, f ) (ac bd, ad + bc )+(ae bf, af + be ) (ac bd + ae bf, ad + bc + af + be ) (ac + ae bd bf, ad + af + bc + be ) 7 / 36

15 Bevezetés Ábrázolás A valós számpároknak megfeleltethetjük a koordinátasík egy-egy pontját, illetve az ahhoz tartozó helyvektort. A komplex számot gyakran jelölik zvel. A komplex szám valós része egyenlo az ábrázoló vektor, illetve pont elso koordinátájával, képzetes része pedig azok második koordinátájával. képzetes tengely képzetes rész z (a, b ) b a valós tengely valós rész 8 / 36

16 Bevezetés Ábrázolás A valós számpároknak megfeleltethetjük a koordinátasík egy-egy pontját, illetve az ahhoz tartozó helyvektort. A komplex számot gyakran jelölik zvel. A komplex szám valós része egyenlo az ábrázoló vektor, illetve pont elso koordinátájával, képzetes része pedig azok második koordinátájával. képzetes tengely képzetes rész z (a, b ) b a valós tengely valós rész 8 / 36

17 Bevezetés A komplex szám abszolút értéke és irányszöge A komplex számot ábrázoló vektor hosszát a komplex szám abszolút értékének nevezzük. A z (a, b ) komplex szám abszolút értéke Pithagorasz tétele alapján: z képzetes tengely z (a, b ) b ϕ p a2 + b2 valós tengely a A valós tengely pozitív fele és a komplex számot ábrázoló vektor által meghatározott irányított szöget a komplex szám irányszögének, (argumentumának) nevezzük. A komplex szám irányszöge nem egyértelmu, a lehetséges irányszögek a teljesszög egész számú többszörösével térnek el egymástól. 9 / 36

18 Bevezetés A komplex szám abszolút értéke és irányszöge A komplex számot ábrázoló vektor hosszát a komplex szám abszolút értékének nevezzük. A z (a, b ) komplex szám abszolút értéke Pithagorasz tétele alapján: z képzetes tengely z (a, b ) b ϕ p a2 + b2 valós tengely a A valós tengely pozitív fele és a komplex számot ábrázoló vektor által meghatározott irányított szöget a komplex szám irányszögének, (argumentumának) nevezzük. A komplex szám irányszöge nem egyértelmu, a lehetséges irányszögek a teljesszög egész számú többszörösével térnek el egymástól. 9 / 36

19 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Tekintsük a komplex számok halmazának S {z z C, Im(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (a, 0) alakúak, ahol a R. Mivel (a, 0)+(b, 0) (a + b, 0 + 0) (a + b, 0) és (a, 0) (b, 0) (ab 0 0, a b ) (ab, 0), ezért a ϕ : S R, (a, 0) 7 a függvény egy mu velettartó, kölcsönösen egyértelmu leképezés S és R között. A továbbiakban S elemeit (a, 0) helyett egyszeru en a-val jelöljük. 10 / 36

20 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Jelölés: Vezessük be a j (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes (imaginárius) egységnek nevezni. Könnyen elleno rizheto, hogy j 2 1. Valóban: (0, 1) (0, 1) ( , ) ( 1, 0) Tekintsük a komplex számok halmazának T {z z C, Re(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (0, b ) alakúak, ahol b R. Mivel (b, 0) (0, 1) (b 0 0 1, b ) (0, b ), ezért (0, b ) helyett használhatjuk a bj jelölést. Figyeljük meg, hogy bj +dj (0, b )+(0, d ) (0, b + d ) (b + d )j és a +bj (a, 0)+(0, b ) (a, b ) 11 / 36

21 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Jelölés: Vezessük be a j (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes (imaginárius) egységnek nevezni. Könnyen elleno rizheto, hogy j 2 1. Valóban: (0, 1) (0, 1) ( , ) ( 1, 0) Tekintsük a komplex számok halmazának T {z z C, Re(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (0, b ) alakúak, ahol b R. Mivel (b, 0) (0, 1) (b 0 0 1, b ) (0, b ), ezért (0, b ) helyett használhatjuk a bj jelölést. Figyeljük meg, hogy bj +dj (0, b )+(0, d ) (0, b + d ) (b + d )j és a +bj (a, 0)+(0, b ) (a, b ) 11 / 36

22 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Jelölés: Vezessük be a j (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes (imaginárius) egységnek nevezni. Könnyen elleno rizheto, hogy j 2 1. Valóban: (0, 1) (0, 1) ( , ) ( 1, 0) Tekintsük a komplex számok halmazának T {z z C, Re(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (0, b ) alakúak, ahol b R. Mivel (b, 0) (0, 1) (b 0 0 1, b ) (0, b ), ezért (0, b ) helyett használhatjuk a bj jelölést. Figyeljük meg, hogy bj +dj (0, b )+(0, d ) (0, b + d ) (b + d )j és a +bj (a, 0)+(0, b ) (a, b ) 11 / 36

23 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Jelölés: Vezessük be a j (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes (imaginárius) egységnek nevezni. Könnyen elleno rizheto, hogy j 2 1. Valóban: (0, 1) (0, 1) ( , ) ( 1, 0) Tekintsük a komplex számok halmazának T {z z C, Re(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (0, b ) alakúak, ahol b R. Mivel (b, 0) (0, 1) (b 0 0 1, b ) (0, b ), ezért (0, b ) helyett használhatjuk a bj jelölést. Figyeljük meg, hogy bj +dj (0, b )+(0, d ) (0, b + d ) (b + d )j és a +bj (a, 0)+(0, b ) (a, b ) 11 / 36

24 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak Az (a, b ) komplex szám algebrai (kanonikus) alakján az a + bj kifejezést értjük. Ebben a a komplex szám valós része, b a komplex szám képzetes része és j az imaginárius egység. Az algebrai alak elo nye, hogy az algebrai kifejezéseknél megszokott szabályoknak megfelelo en számolhatunk vele. 12 / 36

25 A komplex számok algebrai alakja Összeadás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) + (c + dj ) (a + c ) + (b + d )j Azaz az összeadás során a valós és a képzetes részek is összeadódnak. képzetes tengely A komplex számok összeadását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok összeadásával. z1 + z2 z2 Példa: z1 (3 + j ) + ( 2 + 3j ) 1 + 4j valós tengely 13 / 36

26 A komplex számok algebrai alakja Összeadás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) + (c + dj ) (a + c ) + (b + d )j Azaz az összeadás során a valós és a képzetes részek is összeadódnak. képzetes tengely A komplex számok összeadását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok összeadásával. z1 + z2 z2 Példa: z1 (3 + j ) + ( 2 + 3j ) 1 + 4j valós tengely 13 / 36

27 A komplex számok algebrai alakja Összeadás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) + (c + dj ) (a + c ) + (b + d )j Azaz az összeadás során a valós és a képzetes részek is összeadódnak. képzetes tengely A komplex számok összeadását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok összeadásával. z1 + z2 z2 Példa: z1 (3 + j ) + ( 2 + 3j ) 1 + 4j valós tengely 13 / 36

28 A komplex számok algebrai alakja Kivonás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) (c + dj ) (a c ) + (b d )j A komplex számok kivonását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok kivonásával. képzetes tengely z2 z2 z1 Példa: z1 ( 2 + 3j ) (3 + j ) 5 + 2j valós tengely 14 / 36

29 A komplex számok algebrai alakja Kivonás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) (c + dj ) (a c ) + (b d )j A komplex számok kivonását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok kivonásával. képzetes tengely z2 z2 z1 Példa: z1 ( 2 + 3j ) (3 + j ) 5 + 2j valós tengely 14 / 36

30 A komplex számok algebrai alakja Kivonás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) (c + dj ) (a c ) + (b d )j A komplex számok kivonását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok kivonásával. képzetes tengely z2 z2 z1 Példa: z1 ( 2 + 3j ) (3 + j ) 5 + 2j valós tengely 14 / 36

31 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal ac bd (a + bj )(c + dj ) (ac bd ) + (ad + bc )j bcj adj Példa: (6 5j )( 1 + 3j ) j + 5j j Figyeljük meg, hogy: 6 5j 1 + 3j p j 15 / 36

32 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal ac bd (a + bj )(c + dj ) (ac bd ) + (ad + bc )j bcj adj Példa: (6 5j )( 1 + 3j ) j + 5j j Figyeljük meg, hogy: 6 5j 1 + 3j p j 15 / 36

33 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal ac bd (a + bj )(c + dj ) (ac bd ) + (ad + bc )j bcj adj Példa: (6 5j )( 1 + 3j ) j + 5j j Figyeljük meg, hogy: 6 5j 1 + 3j p j 15 / 36

34 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo valós (képzetes része 0): a (c + dj ) ac + adj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból a arányú középpontos hasonlósági transzformációval nyerjük. kt 2z 2d z d c c z 2c vt d 16 / 36

35 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo valós (képzetes része 0): a (c + dj ) ac + adj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból a arányú középpontos hasonlósági transzformációval nyerjük. kt 2z 2d z d c c z 2c vt d 16 / 36

36 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo j: j (c + dj ) cj + dj 2 d + cj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból 90 -os forgatással nyerjük. kt c jz d d z c vt Megjegyzés: Ha az egyik tényezo bj alakú (b R), akkor a szorzás asszociatív tulajdonsága miatt (bj )z b (jz ), tehát a szorzathoz tartozó vektort a z-t ábrázoló vektorból egy 90 -os elforgatás és egy b arányú középpontos hasonlóság egymásután alkalmazásával nyerjük. 17 / 36

37 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo j: j (c + dj ) cj + dj 2 d + cj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból 90 -os forgatással nyerjük. kt c jz d d z c vt Megjegyzés: Ha az egyik tényezo bj alakú (b R), akkor a szorzás asszociatív tulajdonsága miatt (bj )z b (jz ), tehát a szorzathoz tartozó vektort a z-t ábrázoló vektorból egy 90 -os elforgatás és egy b arányú középpontos hasonlóság egymásután alkalmazásával nyerjük. 17 / 36

38 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo j: j (c + dj ) cj + dj 2 d + cj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból 90 -os forgatással nyerjük. kt c jz d d z c vt Megjegyzés: Ha az egyik tényezo bj alakú (b R), akkor a szorzás asszociatív tulajdonsága miatt (bj )z b (jz ), tehát a szorzathoz tartozó vektort a z-t ábrázoló vektorból egy 90 -os elforgatás és egy b arányú középpontos hasonlóság egymásután alkalmazásával nyerjük. 17 / 36

39 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése: (a + bj ) z az + bjz bjz kt (a + bj )z az Az ábrán árnyalással jelzett két háromszög hasonló, mert mindegyiknek van egy derékszöge, z a + bj α a derékszögeket közrefogó oldalak aránya a két háromszögben megegyezik. A két háromszög hasonlósági aránya z. β α vt 18 / 36

40 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése: (a + bj ) z az + bjz bjz kt Ezzel azt mutattuk meg, hogy (a + bj )z az két komplex szám szorzatának abszolút értéke megegyezik az eredeti komplex számok abszolút értékeinek szorzatával, két komplex szám szorzatának irányszöge megegyezik az eredeti komplex számok irányszögeinek összegével. z a + bj α β α vt Megjegyzés: Ha a szorzó irányszöge nem hegyesszög, akkor a bizonyítás menete kis mértékben módosul. 18 / 36

41 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal Az elo bbi eredmények a következo algebrai formában is leírhatók: z1, z2 C : z1 z2 z1 z2, illetve z1, z2 C : arg(z1 z2 ) arg(z1 ) + arg(z2 ) (a teljesszög egész számú többszöröseito l eltekintve). 19 / 36

42 A komplex számok algebrai alakja Osztás algebrai alakban megadott komplex számokkal Osztás: Ha az osztó 0-tól külöbözo valós szám, akkor az osztás tagonként elvégezheto : a b a + bj + j c c c Ha az osztó képzetes része nem 0, akkor a törtet elo ször alkalmas kifejezéssel bo vítjük, így visszavezetjük az elo zo esetre: a + bj a + bj c dj ac adj + bcj + bd c + dj c + dj c dj c 2 (dj )2 (ac + bd ) + (bc ad )j ac + bd c2 + d2 c2 + d2 + bc ad j c2 + d2 Példa: 4 + 3j 4 + 3j 2 5j 8 20j + 6j j j 2 + 5j 2 5j 29 4 (5j ) 20 / 36

43 A komplex számok algebrai alakja Osztás algebrai alakban megadott komplex számokkal Osztás: Ha az osztó 0-tól külöbözo valós szám, akkor az osztás tagonként elvégezheto : a b a + bj + j c c c Ha az osztó képzetes része nem 0, akkor a törtet elo ször alkalmas kifejezéssel bo vítjük, így visszavezetjük az elo zo esetre: a + bj a + bj c dj ac adj + bcj + bd c + dj c + dj c dj c 2 (dj )2 (ac + bd ) + (bc ad )j ac + bd c2 + d2 c2 + d2 + bc ad j c2 + d2 Példa: 4 + 3j 4 + 3j 2 5j 8 20j + 6j j j 2 + 5j 2 5j 29 4 (5j ) 20 / 36

44 A komplex számok algebrai alakja A komplex konjugált Definíció: Az a bj komplex számot a z a + bj komplex szám konjugáltjának nevezzük és z -vel jelöljük. Megjegyzések: kt z b ϕ ϕ b a vt z Az algebrai alakban megadott komplex szám konjugáltját tehát úgy kapjuk, hogy a képzetes részét az ellentettjére változtatjuk. A komplex szám konjugáltjának abszolút értéke megegyezik az eredeti szám abszolút értékével: z z. A komplex szám konjugáltjának irányszöge az eredeti komplex szám irányszögének ellentettje (a teljesszög egész számú többszöröseito l eltekintve). 21 / 36

45 A komplex számok algebrai alakja A komplex konjugált Definíció: Az a bj komplex számot a z a + bj komplex szám konjugáltjának nevezzük és z -vel jelöljük. Megjegyzések: kt z b ϕ ϕ b a vt z Az algebrai alakban megadott komplex szám konjugáltját tehát úgy kapjuk, hogy a képzetes részét az ellentettjére változtatjuk. A komplex szám konjugáltjának abszolút értéke megegyezik az eredeti szám abszolút értékével: z z. A komplex szám konjugáltjának irányszöge az eredeti komplex szám irányszögének ellentettje (a teljesszög egész számú többszöröseito l eltekintve). 21 / 36

46 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Definíció: Ha n Z és n 1, akkor a z C szám n-edik hatványán a z z... z szorzatot értjük, amely pontosan n tényezo t tartalmaz és minden tényezo je z-vel egyenlo. Jelölés: Az így értelmezett hatványt z n -nel jelöljük. Definíció: z 0 : 1 A j szám hatványai: j 0 1, j 3 j 2 j ( 1) j j, j 5 j 4 j 1 j j, j1 j, j 2 1 j 4 j 2 j 2 ( 1) ( 1) 1 j 6 j 4 j 2 1 ( 1) 1,... Látható, hogy a j hatványai periodikusan ismétlo dnek: 1 j jn 1 j ha ha ha ha n n n n osztható 4-gyel, 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 4-gyel osztva 2 maradékot ad, 4-gyel osztva 3 maradékot ad. 22 / 36

47 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Definíció: Ha n Z és n 1, akkor a z C szám n-edik hatványán a z z... z szorzatot értjük, amely pontosan n tényezo t tartalmaz és minden tényezo je z-vel egyenlo. Jelölés: Az így értelmezett hatványt z n -nel jelöljük. Definíció: z 0 : 1 A j szám hatványai: j 0 1, j 3 j 2 j ( 1) j j, j 5 j 4 j 1 j j, j1 j, j 2 1 j 4 j 2 j 2 ( 1) ( 1) 1 j 6 j 4 j 2 1 ( 1) 1,... Látható, hogy a j hatványai periodikusan ismétlo dnek: 1 j jn 1 j ha ha ha ha n n n n osztható 4-gyel, 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 4-gyel osztva 2 maradékot ad, 4-gyel osztva 3 maradékot ad. 22 / 36

48 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Definíció: Ha n Z és n 1, akkor a z C szám n-edik hatványán a z z... z szorzatot értjük, amely pontosan n tényezo t tartalmaz és minden tényezo je z-vel egyenlo. Jelölés: Az így értelmezett hatványt z n -nel jelöljük. Definíció: z 0 : 1 A j szám hatványai: j 0 1, j 3 j 2 j ( 1) j j, j 5 j 4 j 1 j j, j1 j, j 2 1 j 4 j 2 j 2 ( 1) ( 1) 1 j 6 j 4 j 2 1 ( 1) 1,... Látható, hogy a j hatványai periodikusan ismétlo dnek: 1 j jn 1 j ha ha ha ha n n n n osztható 4-gyel, 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 4-gyel osztva 2 maradékot ad, 4-gyel osztva 3 maradékot ad. 22 / 36

49 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Tétel: Binomiális tétel!!!! n n n n 1 n n 2 2 n n (a + b ) a + a b+ a b b n n ahol n k -t binomiális együtthatónak nevezzük. Jelentése: hány k -elemu részhalmaza van egy n-elemu halmaznak? Kiszámítása pl. az! n! n k k!(n k )! összefüggés segítségével történhet, ahol n! : n 23 / 36

50 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Példák: (2 + 3j ) j + (3j ) j j (3 2j ) j (2j )2 (2j ) j j 9 46j!!!!! (1 + j ) + j+ j + j j 0! 1! 2!!3!! ! 4! 6! 8! 10!! j 32j / 36

51 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Példák: (2 + 3j ) j + (3j ) j j (3 2j ) j (2j )2 (2j ) j j 9 46j!!!!! (1 + j ) + j+ j + j j 0! 1! 2!!3!! ! 4! 6! 8! 10!! j 32j / 36

52 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Példák: (2 + 3j ) j + (3j ) j j (3 2j ) j (2j )2 (2j ) j j 9 46j!!!!! (1 + j ) + j+ j + j j 0! 1! 2!!3!! ! 4! 6! 8! 10!! j 32j / 36

53 A komplex számok trigonometrikus alakja A trigonometrikus alak kt A szögfüggvények definíciója alapján a z a + bj komplex szám valós része a r cos(ϕ), képzetes része pedig b r sin(ϕ), ahol r z a komplex szám abszolút értéke, ϕ pedig az irányszöge. z a + bj b r ϕ a vt Tehát z r cos(ϕ) + r sin(ϕ)j, azaz z r cos(ϕ) + j sin(ϕ) Az utóbbit a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a trigonometrikus alak felírásához a komplex számot ábrázoló vektor polárkoordinátáira van szükség! 25 / 36

54 A komplex számok trigonometrikus alakja A trigonometrikus alak kt A szögfüggvények definíciója alapján a z a + bj komplex szám valós része a r cos(ϕ), képzetes része pedig b r sin(ϕ), ahol r z a komplex szám abszolút értéke, ϕ pedig az irányszöge. z a + bj b r ϕ a vt Tehát z r cos(ϕ) + r sin(ϕ)j, azaz z r cos(ϕ) + j sin(ϕ) Az utóbbit a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a trigonometrikus alak felírásához a komplex számot ábrázoló vektor polárkoordinátáira van szükség! 25 / 36

55 A komplex számok trigonometrikus alakja A trigonometrikus alak kt A szögfüggvények definíciója alapján a z a + bj komplex szám valós része a r cos(ϕ), képzetes része pedig b r sin(ϕ), ahol r z a komplex szám abszolút értéke, ϕ pedig az irányszöge. z a + bj b r ϕ a vt Tehát z r cos(ϕ) + r sin(ϕ)j, azaz z r cos(ϕ) + j sin(ϕ) Az utóbbit a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a trigonometrikus alak felírásához a komplex számot ábrázoló vektor polárkoordinátáira van szükség! 25 / 36

56 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

57 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

58 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

59 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

60 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

61 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: kt 4 z ϕ vt 1 27 / 36

62 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: kt 4 z Legyen z 1 + 4j Ekkor z abszolút értéke: z ϕ p q a2 + b2 ( 1) vt 1 27 / 36

63 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: Az irányszög: kt 4 z tg(ϕ) Innen: ϕ vt ϕ 76 + k 180 ahol k Z 1 27 / 36

64 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: Megjegyzés: A számológép a 76 alapmegoldást adja meg, de tudjuk, hogy végtelen sok megoldás van, hiszen a tangensfüggvény periodikus. kt 4 z ϕ vt 1 A 76 nem lehet a komplex számnak irányszöge, hiszen a komplex számot ábrázoló vektor a II. síknegyedbe esik. A k helyébe 1-et írva azonban a kapott 104 már helyes. 27 / 36

65 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: kt 4 z A trigonometrikus alak tehát: z 4.12 cos(104 ) + j sin(104 ) ϕ vt 1 27 / 36

66 A komplex számok trigonometrikus alakja Összeadás és kivonás Trigonometrikus alakban nem végezheto k el. Két ilyen szám összeadásához (kivonásához) elo ször át kell írni o ket algebrai alakba: Példa: z1 3 cos(40 ) + j sin(40 ), z2 5 cos(154 ) + j sin(154 ) z1 3 cos(40 ) + j sin(40 ) 3 ( j ) j z2 5 cos(154 ) + j sin(154 ) 5 ( j ) j z1 + z2 ( ) + ( )j j z1 z2 ( ) ( )j j 28 / 36