Teljes eseményrendszer. Valószínőségszámítás. Példák. Teljes valószínőség tétele. Példa. Bayes tétele

Átírás

1 Teljes eseményrendszer Valószínőségszámítás 3. elıadás Defnícó. Események A 1, A 2,..., sorozata teljes eseményrendszer, ha egymást páronként kzárják és egyesítésük Ω. Tulajdonság: P A ) + A ) ( 1 2 = Legtöbbször véges sok elembıl álló teljes eseményrendszereket vzsgálunk. Teljes valószínőség tétele. Legyen B 1, B 2,..., poztív valószínőségő eseményekbıl álló teljes eseményrendszer, A A tetszıleges. Ekkor P A) = B ) + B )... ( Bzonyítás. A = ( A B1) ( A B 2)... dszjunkt tagokra bontás, tehát A) = A B1 ) + A B2) +... és P A B ) = B ) adja a tételt. ( Összetett modellek (nemtıl függı valószínőségek): a színvakság valószínősége a férfaknál 0.01, a nıknél (Tfh. ugyananny a férf, mnt a nı.) M a valószínősége, hogy egy találomra válaszott ember színvak? A teljes eseményrendszer: {férf} {nı}. p=0.01/ /2= Bayes tétele Legyen B 1, B 2,..., poztív valószínőségő eseményekbıl álló teljes eseményrendszer, A A poztív valószínőségő. Ekkor A Bk ) Bk ) Bk A) = B ) (Vsszakövetkeztetés az elsı lépés eredményére.) Bzonyítás. A nevezı éppen P (A) a teljes valószínőség tétele matt. A számláló pedg P (A B), defnícó szernt. Példa Ha egy találomra válaszott ember színvak, m a valószínősége, hogy férf? p=0.005/( )=10/11. Ha egy, az egészségesekre 5% eséllyel téves dagnózst adó szőrıvzsgálatnál betegnek tőnünk, akkor a betegség tényleges valószínősége (p a betegség vszge, {B=beteg, E=egészséges} a teljes eseményrendszer): B poz)=poz B)B)/(poz B)B)+ poz E)E)=p/(p+0.05(1-p)) vszg. poztív teszteredménynél Betegség valószínusége vszg az adott populácóban 1

2 Események függetlensége Ha a B esemény bekövetkezése nem befolyásolja az A valószínőségét, azaz A B)=A), akkor azt mondjuk, hogy az A és B függetlenek. Ez így nem deáls defnícó (nem szmmetrkus, P (B)>0 kell hozzá), ezért Defnícó. Az A és B események függetlenek, ha A B)=A)B). Húzunk egy lapot egy magyarkártyacsomagból. A: pros B: ász. P (A)=1/4, P (B)=1/8, P (A B)=1/32, tehát függetlenek. A függetlenség nagyon rtka azonos kísérletbıl meghatározott eseményeknél! Tpkus eset függetlenségre: A az elsı, B a másodk kísérlet eredménye. Tulajdonságok Ha A és B dszjunktak, akkor csak trváls (P (A)=0 vagy P (B)=0) esetben függetlenek. Ha A és B függetlenek, akkor komplementerek s függetlenek. Önmaguktól csak a trváls események függetlenek. A B esetén csak akkor függetlenek, ha legalább az egyk trváls. Független kísérletek A (Ω 1, A 1,P 1 ) az egyk kísérlethez kapcsolódk, B (Ω 2, A 2,P 2 ) pedg a másk kísérlethez kapcsolódk. Függetlenségük értelmezéséhez kell a valószínőség mezık szorzata: (Ω 1 Ω 2, A 1 A 2,P 1 P 2 ) am szntén valószínőség mezı. A 1 A 2 eleme az A B alakú események (A A 1 megfelelıje az A Ω 2,így már értelmezhetı A B= A B ). P 1 P 2 (A B )= P 1 (A)P 2 (B), am éppen a függetlenséget jelent. Véges esetben Ω 1 =n, Ω 2 =m mellett Ω 1 Ω 2 =nm, amt már sokszor használtunk s. Általánosítás Két eseményrendszer független, ha az elsı tetszıleges eleme független a másodk tetszıleges elemétıl. n esemény független, ha P A A... A ) = A ) A )... A ) ( 1 2 k 1 2 k teljesül tetszıleges 1 1 < 2 < < k n ndexsorozatra és mnden 2 k n számra. Megjegyzések Nem elég a fent szorzat-tulajdonságot k=2- re megköveteln. Ha csak ez teljesül: páronként függetlenségrıl beszélünk. A szorzat-elıállítás segítségével n független kísérlethez tartozó valószínőség mezı s értelmezhetı. Ha A az -edk kísérlethez tartozk, akkor A 1,A 2,, A n független. (A gyakorlatban ez a tpkus, fontos elıfordulása ennek a függetlenségnek.) 2

3 Tovább általánosítás Végtelen sok eseményt függetlennek nevezünk, ha tetszılegesen kválasztva közülük véges sokat, független eseményeket kapunk. A szorzat-elıállítás segítségével végtelen sok független kísérlethez tartozó valószínőség mezı s értelmezhetı. Ha A az -edk kísérlethez tartozk, akkor A 1,A 2,, A n, független. Valószínőség változók 1. A legtöbbször nem maga a kísérlet kmenetele (a realzálódott elem esemény) hanem egy számszerősíthetı eredmény az érdekes. Példa: par termelés mnıségellenırzés: a kérdés az esetleges selejtesek száma, nem pedg az, hogy pontosan melyk elemeket s választottuk. Sok gyakorlat esetben nem s adódk természetesen az Ω halmaz (pl. dıjárás megfgyelés). Valószínőség változók 2. Mntavétel példa (folytatás). N termék, n elemő mnta. Ω elemszáma: N n Selejtesek száma (X): 0 és n között szám. Matematkalag: X : Ω R függvény Feltétel: legyen értelme pl. annak a valószínőségérıl beszéln, hogy X<a. Azaz {ω: X(ω)<a} A kell, hogy teljesüljön mnden a ra. Hasonlóképpen más természetes feltételnek s legyen valószínősége. Borel halmazok A feltétel precíz felírásához: Defnícó. A valós számegyenes Borel halmaza : az a legszőkebb σ-algebra, amely tartalmazza a félegyeneseket (ntervallumokat, nyílt halmazokat...). Gyakorlatlag: mnden olyan halmaz, amt legfeljebb megszámlálhatóan sok halmazmővelettel az ntervallumokból elı tudunk állítan. Jelölés : B (R). Valószínőség változók 3. Precíz defnícó: X : Ω R függvény valószínőség változó, ha {ω: X(ω) B} A mnden B Borel halmazra. Ha A= P (Ω), akkor mnden Ω R függvény valószínőség változó. A feltételek a gyakorlatban: egyértelmő az X értéke az ω-kon (azaz ha csak a színvakságot ellenırzzük, Ω={színvak, egészséges}, akkor a beteg nemét nem tudjuk, a nem kódja tehát ennél az eseménytérnél nem valószínőség változó). Ha többfajta színvakság s elképzelhetı, de ezek valószínőségére nem s vagyunk kíváncsak, akkor ugyan Ω={színvak_1, színvak_2, egészséges}, de A={,színvak, egészséges, Ω} és így az az X, am a színvakság típusát s kódolja, nem valószínőség változó. Kockadobás: X a dobott szám. Ω={1,2,,6}, X ()=. Értékkészlete: {1,2,,6}. X az elsı olyan dobás sorszáma, amkor 6 jön k. Ω={1,2,,6} {1,2,,6} {1,2,,6}... X értékkészlete: {1,2, } Ipar termelés: X az elsı selejt gyártásának dıpontja. X értékkészlete: R +. X egy adott termék hossza. X értékkészlete: R + részhalmaza (nem szükséges elızetesen korlátozn). 3

4 Valószínőség változók eloszlása Mvel a gyakorlat problémáknál Ω nem mndg adható meg egyértelmően, és absztrakt halmazok helyett szívesebben dolgozunk a valós számokkal, a kulcsfogalom a valószínőség változók eloszlása. Legyen B tetszıleges Borel halmaz. Q X (B):=P {ω: X(ω) B} valószínőséget ad meg R Borel halmazan. Ez az X eloszlása. Dszkrét valószínőség változók Defnícó: az X dszkrét valószínőség változó, ha értékkészlete (x 1,, x n ) legfeljebb megszámlálható. A valószínőség változó defnícójából adódóan {ω:x(ω)= x }={X=x }= A azaz p :=P (X=x ) értelmes. Ezek meg s határozzák X eloszlását. Véges vagy megszámlálható valószínőség mezın mnden valószínőség változó dszkrét. Általában nem célszerő a természetszerően folytonos értékkészlető X dszkretzálása (egyszerőbbek a folytonos modellek). X(ω)=c mnden ω-ra. Elnevezés: elfajult eloszlás. X=c)=1. X akkor 1, ha egy adott, p valószínőségő A esemény bekövetkezk és 0 különben (elnevezés: az A esemény ndkátora). P (X=0)=1-p P (X=1)=p Q X Q X 0 hac B ( B) = 1ha c B 0, ha 0 B és1 B p, ha 0 B és1 B ( B) = 1-p, ha 0 B és1 B 1, ha 0 B és1 B 2. Mntavételnél legyen X a mntában levı selejtesek száma. Vsszatevéses esetben (bnomáls eloszlás): k n k n M M X = k) = 1 ( k = 0,..., n) k N N Vsszatevés nélkül esetben: M N M (hpergeometra eloszlás) k n k P ( X k) = = ( k = 0,..., n) N n A bnomáls és a hpergeom. elo. összehasonlítása Tulajdonságok p 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, k Hp.geom (N=20,M=10) Bnomáls (p=0.5) Ha X dszkrét valószínőség változó, f :R R tetszıleges függvény, akkor f (X) s dszkrét valószínőség változó. Példa: X a gyártott termék hossza mm-ben. Tegyük fel, hogy P (X=18)= = =P (X=22)=1/5. T.f.h. az deáls a 20 mm. Ekkor a d= X-20 eloszlása: P (d=0)=1/5, P (d=1) = P (d=2) = 2/5. 4

5 Teljes eseményrendszer Ha X dszkrét valószínőség változó, akkor az A ={ω:x(ω)= x } események teljes eseményrendszert alkotnak. Feltételes eloszlás X feltételes eloszlása A eseményre vonatkozóan: q :=P (X=x A). Ez s eloszlás: ( ( ) ) P X = x A q = P X = x A = = 1 A) Példa: X a magyarkártya-csomagból 2 húzásból kapott prosak száma. a/ A={az elsı lap ász} b/ A={az elsı lap zöld} Valószínőség változók függetlensége X és Y dszkrét valószínőség változók függetlenek, ha P ({X = x } {Y = y k })=P (X = x )P (Y = y k ) teljesül mnden,k értékre. (Azaz az X-hez és az Y-hoz tartozó teljes eseményrendszerek függetlenek.) Megjegyzések: az elfajult eloszlású valószínőség változó mnden valószínőség változótól független. Önmagától csak az elfajult eloszlású valószínőség változó független. Összefüggı valószínőség változók Bvarate Hstogram (ART95.STA 23v*578c) (Közelítıleg) független megfgyelések Bvarate Hstogram (ART95.STA 25v*578c) Függetlenek-e? A nap középhımérséklet Budapesten az dén szeptember 22-én és jövıre lyenkor A sajtóhbák száma egy könyv két különbözı oldalán Két háztartás áramfogyasztása ugyanazon a napon Két beteg vérnyomása Egy beteg vérnyomása két különbözı vzsgálatnál 5

6 Bnomáls eloszlás alkalmazása Vsszatevéses mntavétel más realzácója: független kísérletek azonos körülmények között. A)=p esemény, végezzünk n (rögzített számú) független kísérletet. X: az A bekövetkezésének gyakorsága (pontosan hányszor jött k az A). X eloszlása bnomáls (n,p). X= X 1 + X 2 + X n ahol X az -edk kísérletnél az A esemény ndkátora. Ezek az ndkátorok függetlenek s! 6