VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

Átírás

1 VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

2 Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó. Cél: annak eldöntése, hogy van-e hatása a független változóknak a függő változókra, lletve hogy ez a hatás egyforma vagy különböző. A kapcsolat konkrét függvényszerű feltárása akkor sem cél, ha a független változó ntervallum vagy arányskálájú (ez regresszó-analízssel végezhető el).

3 Varancaanalízs. Ha egyetlen függő és egyetlen független változónk van, egyszempontos ANOVA-ról (one-way, azaz egyszeres osztályozásról), ha a független változók száma egynél nagyobb, többszörös osztályozásról beszélünk. Ha egynél több függő változót egyszerre kezelünk, többváltozós (multvarate) ANOVAról (MANOVA-ról) van szó. Ha pedg a függő változó értéke ugyanazon objektumokra pl. személyekre vonatkoznak, összetartozó mntás (Repeated Measure) ANOVA-ról beszélünk.

4 3 független változó Varancaanalízs 3. Egyszempontos ANOVA (egyszeres osztályozás) függő változó

5 Varancaanalízs 3. Egyetlen függő és egyetlen független változó adott, a független változónak > számú kategórája (értéke, lletve szntje) van függő változó Főátlag (grand mean): az összes csoporton vett valamenny mérés átlaga 3 3 független változó számú értéke van a független változónak, melyek abban az értelemben s függetlenek, hogy más-más objektumokhoz (legtöbbször személyekhez) tartoznak

6 3 független változó Varancaanalízs 4. Egyetlen függő és egyetlen független változó adott, a független változónak > számú kategórája (értéke, lletve szntje) van függő változó Megjegyzés: ha =, akkor az ANOVA egyenértékű a független mntás (két-mntás) t-próbával. Bzonyítható ugyans, hogy ekkor F = t.

7 Varancaanalízs 5. Az -edk mnta j-edk adatára bevezetjük az j jelölést, ahol =,, 3, és j =,, 3, n függő változó 3 n 3 független változó. 3 j n számú adat az -edk mntában az -edk mnta j-edk adata

8 Varancaanalízs 6. Bzonyítjuk, hogy a teljes Q t négyzetösszeg felbontható a mnták között Q k és a mntákon belül Q b négyzetösszegek összegére: Q t = Q k + Q b Q t = = ( j ) = ( + ) [ ] ( ) + ( ) + ( )( ) = Q + Q + 0. j j j = b k ) Mnden taghoz hozzáadtuk és levontuk a mntaátlagot, am az egyenlet érvényességét nem változtatta meg. ) A kétszeres szorzatról pedg mndjárt belátjuk, hogy nullával egyenlő.

9 Varancaanalízs 7. A kétszeres szorzatról a következőképpen látjuk be, hogy nullával egyenlő: mvel az egyk tényezőben nem szerepel a j nde, az a j szernt összegezés szempontjából állandó, amt ezért kemelhetünk a j-s szumma jel elé. ( )( ) = ( ) ( j j Mvel az egyes j mntaelemek saját átlaguktól való eltérésenek összege nulla, a j szernt összegezésben a negatív és poztív tagok összege mnden -re éppen nulla. Ilyen módon az egész vegyesszorzat s csak nulla lehet. j )

10 Varancaanalízs 8. Q t = Q k + Q b n = j= ( ) = j = n ( ) + ( n = j= j ) függő változó 3 n 3 független változó. 3 j n darab adat az -edk mntában az -edk mnta j-edk adata

11 Varancaanalízs 9. n = j= ( ) = j Q t = Q k + Q b = n ( ) + ( A mnták között eltéréseket úgy jellemezzük, hogy az egyes mnták helyzetét az átlagukkal adjuk meg és azok különbségét képezzük a főátlagtól (grand mean); a mnták átlaga közt különbség mértéke az ezekből számított varanca. A mntán belül eltéréseket az egyes mntaelemek saját mntaátlaguktól mért négyzetes eltérésenek az összegével jellemezzük. n = j= j )

12 Varancaanalízs 0. Q t = Q k + Q b n ( j = n ( + = = j= ) ) n ( = j= j ) f t = n- f k = - f b = n- Ha a H 0 gaz, akkor a statsztka F eloszlású f k és f b szabadság fokokkal. Q f Q f k k b b = Q k n Q b

13 Varancaanalízs. Kétszempontos ANOVA (kétszeres osztályozás) Egyetlen függő és két független változó (A és B) adott. Bzonyítható, hogy Q t = Q A + Q B + Q AB + Q b Q A, lletve Q B az A lletve B változónak, Q AB az A és B változók között nterakcónak, Q b pedg a mntákon belül változékonyságnak megfelelő négyzetösszegek. Ha a H 0 gaz, akkor akkor az előbbeknek megfelelő hányadosok F eloszlásúak a nevező f b szabadság foka mellett.

14 Varancaanalízs. Háromszempontos ANOVA (háromszoros osztályozás) Egyetlen függő és három független változó (A, B és C) adott. Bzonyítható, hogy Q t = Q A + Q B + Q C + Q AB + Q AC + Q BC + Q ABC + Q b Q A, Q B lletve Q C az A, B lletve C változónak, Q AB, Q AC, Q BC és Q ABC az nterakcóknak, Q b pedg a mntákon belül változékonyságnak megfelelő négyzetösszegek. Ha a H 0 gaz, akkor akkor az előbbeknek megfelelő hányadosok F eloszlásúak a nevező f b szabadság foka mellett.

15 3 független változó Varancaanalízs 3. Egyszempontos összetartozó mntás ANOVA (Repeated Measure, egyszeres osztályozás) n függő változó 3. 3

16 Varancaanalízs 4. Egyetlen függő és egyetlen független változó adott, a független változónak kettőnél több értéke (szntje) van függő változó 3 3 független változó n. 3 darab értéke van a független változónak (ezek pl. helyzetek). Az darab érték tt nem független, mert ugyanazon n számú objektumhoz (legtöbbször személyhez) tartoznak