Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!

Átírás

1 Megoldások. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 8 8 ( ) ( ) ( ) Használjuk a gyökvonás azonosságait ( ) ( ) ( ) 0 8

2 . Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát! x + x (x + ) (x ) x + 0 x 8 x + x x x + x + x + Az értelmezési tartomány során meg kell vizsgálnunk, hogy az x milyen értékeket vehet fel. x x 0 x + x Mivel a gyök kitevője páratlan szám, így x tetszőleges valós szám lehet. (x + ) Mivel egy szám négyzete mindenképp pozitív szám, így x R. (x ) Mivel egy negatív és egy pozitív szám szorzata mindig negatív szám, így x 0 lehet csak, amiből x adódik. x+ Mivel a tört számlálója pozitív szám, így a nevező is csak pozitív szám lehet, vagyis x + > 0, amiből x > adódik. 0 x 8 Mivel a tört nevezője negatív szám, így a számláló is csak negatív szám lehet (vagy 0), azaz x 0, amiből x adódik. x + Mivel a gyök kitevője páratlan szám, így x R. x x 0 x x + x + Az első gyök miatt x R, a második miatt x + 0, vagyis x. A kettőt összevetve azt kapjuk, hogy x.

3 x x + Egy tört értéke akkor pozitív, ha a számlálója és nevezője is pozitív szám, vagy a számlálója és nevezője is negatív szám. Az első esetben x és x > adódik, vagyis < x. A második esetben x és x < adódik, vagyis nincs ilyen szám. Az értelmezési tartomány a két ág megoldása, vagyis < x.. Írd fel hatványok segítségével a következő kifejezéseket! x x x Használjuk a gyökvonás hatványalakját. A gyökvonás tört hatványt helyettesít, melynek nevezőjét a gyök kitevője határozza meg. x x x x x x. Írd fel egyetlen hatvány, illetve egyetlen gyök segítségével a következő kifejezéseket! ( ) () ( ) Használjuk a hatványozás azonosságait, majd az eredménynél a gyökvonás hatványalakját. ( ) ( ) () ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ()

4 . Hozd ki a gyökjel alól, amit lehetséges! Először bontsuk fel a számokat prímtényezőkre. Ezt követően azokat a tagokat vihetjük ki a gyökök elé, melyek hatványát el tudjuk osztani a gyökkitevővel úgy, hogy ne legyen maradék Hozd ki a gyökjel alól, amit lehetséges! a a 8 a 0 a 0 b 0 c 0 a a + a b c a b 8c A műveletek elvégzése előtt el kell döntenünk, hogy a változók milyen értékeket vehetnek fel. Amennyiben a gyökkitevő páros és a változó negatív értéket is felvehet, akkor kivitelnél az ismeretlent abszolútértékbe kell tennünk. Ezek alapján a megoldások: a a Pl.: ( ) a a Mivel a gyökkitevő páratlan, így a változó bármilyen értéket felvehet. 8 a a a Páros kitevő esetén a szám pozitív, így az abszolútérték jel elhagyható. 0 a 0 b 0 c 0 a b c a b c a a + (a ) a

5 a b a b c c b c a b c b c a b 8c c ab c. Vidd be a gyökjel alá a gyök előtti tényezőket! A tényezőket úgy tudjuk bevinni a gyökök alá, hogy azokat arra a hatványra emeljük, amennyi a gyökök kitevője ( ) 0 0 ( ) 0 8. Vidd be a gyökjel alá a gyök előtti tényezőket! a b a b b a a b Mivel a gyökkitevő páros és az a - ról nem tudjuk, hogy pozitív, vagy negatív, így két megoldás lesz. a b, ha a 0 a b { a b, ha a < 0

6 a b b a Mivel a gyökkitevő páratlan, így a gyök alatti mennyiség pozitív és negatív is lehet, tehát egy megoldás lesz. a b b a a b b a a b. Melyik nagyobb az alábbi számpárok közül? vagy vagy vagy vagy vagy Ahhoz, hogy el tudjuk dönteni melyik szám a nagyobb, előtte úgy kell alakítanunk a kifejezéseket, hogy azonos gyökkitevő alatt álljon egyetlen egy szám. vagy vagy < 8 vagy vagy 0 < vagy vagy > vagy vagy > vagy vagy < 0. A gyökök átalakítása után vond össze az összevonható tagokat! Először prímtényezőkre kell bontanunk a számokat, majd amit lehet, ki kell vinni a gyökök elé

7 Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! A szorzattá alakításhoz ki kell emelnünk az azonos tagokat ( + ) 0 ( ) ( ) ( + ). Egyszerűsítsd a következő törteket! Az egyszerűsítés előtt szorzattá kell alakítanunk a számlálót és nevezőt is. ( ) ( ) ( + ) + + ( + ) ( + ) + ( )

8 . Végezd el a következő szorzásokat! ( + 8 0) ( + 8 ) ( + ) + + ( 0 ) ( ( + + ) + ) ( + ) A szorzásoknál több tag esetén minden tagot minden taggal szorzunk, illetve alkalmazzuk a nevezetes azonosságokat. ( + 8 0) ( + ) ( ) ( + 8 ) ( + ) ( 0 ) ( ) ( + ) ( ) 8 ( + + ) + ( ) ( + )

9 ( + ) + ( + ) ( ) +. Gyöktelenítsd a törtek nevezőit! a b + x x + y (x y) A gyöktelenítéshez szorzást alkalmazunk, amit úgy kell elvégeznünk, hogy a kifejezés értéke ne változzon. Ez azt jelenti, hogy az eredeti törteket - gyel kell szoroznunk, vagyis annak a törtnek, amivel szorzunk, a nevezője és számlálója meg kell, hogy egyezzen. a b a b a b a b a b a b ( ) ( ) ( ) + + ( ) ( ) x x x x x x x x (x + y) x + y x + y (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) x + y (x y) (x y) (x y) (x y) (x y) (x y) 8 (x y) (x y)

10 . Gyöktelenítsd a törtek nevezőit! 8 x + y x + 8 x + y 8 x x x + y xy + y xy + y 8 ( x xy x + y + y ) x x + ( x x + ) x x x x + x ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( ) ( + + ) ( 0) Írd fel egyetlen gyökjel segítségével a következő kifejezéseket! a b c abc a b b c ac bc a b a c Lépésről lépésre kell bevinnünk a tagokat a gyökök alá, majd össze kell vonnunk a gyököket és az azonos alapú hatványokat. a b c abc (a ) (b ) c abc a b c a b b c ac a b (b ) c ac a b ab 0 c 8 (a ) b ab 0 c 8 0 a b c 8 bc a b a c bc (a ) b a c bc a b c b (c ) a b c a b c 0

11 . Végezd el a gyökvonásokat, az adott feltételeknek megfelelően! a) x y (x 0; y < 0) b) x x + (x ) c) x + 8x + (x < ) d) y xy + x (0 > x > y) e) y + x x xy + y (x > y 0) f) (x y) + x (y < x < 0) A gyökök elhagyása után vegyük figyelembe, hogy az adott feltételeknek megfelelően az abszolútértéken belül negatív, vagy pozitív szám szerepel e. a) a b a b a b a b ha x 0; y < 0 b) x x + (x ) x x ha x c) a + 8a + (x + ) x + x ha x < d) y xy + x (y x) y x x y ha 0 > x > y e) y + x x xy + y y + x (x y) y + x x y y + x (x y) y + x x + y y ha x > y 0 f) (x y) + x x y + x x y x y ha y < x < 0

12 8. Végezd el a gyökvonásokat! a) b) c) 8 + d) + a) ( + ) + + b) + ( ) c) ( + ) + + d) + ( + ) ( ) +. Végezd el a műveleteket! a) + b) + + c) ( + + ) ( + ) d) ( ) ( ) e) f) ( + ) ( ) + + a) ( ) ( + ) +

13 b) Másik módszer: Legyen + + x és számoljuk ki az x értékét. x ( + + ) + ( ) ( + ) Ebből azt kapjuk, hogy x és x. Mivel az eredeti kifejezés két pozitív szám összege, így az x nem felel meg a feladatnak. Ezek alapján a megoldás: + +. c) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ( + ) ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( ) ( + ) d) ( ) ( ) ( + + ) ( + 0 ) ( + ) ( ) 0

14 e) ( + ) ( ) ( + ) ( ) + + ( + ) ( ) ( + ) ( ) 8 f) ( ) ( ) ( ) ( + ) + ( + ) ( ) ( ) ( +) 0. Mely valós számokra igaz a következő összefüggés? a) (x 8) x 8 b) (x ) x c) (x ) x a) (x 8) x 8 x 8 x 8 x 8 0 x 8 b) (x ) x x x x 0 x c) (x ) x x R