MATEMATIKA A 10. évfolyam

Átírás

1 MATEMATIKA A 10 évfolyam modul A négyzetgyök fogalma, azonosságai Készítette: Gidófalvi Zsuzsa

2 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI TANÁRI ÚTMUTATÓ MODULVÁZLAT A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés fókuszai A négyzetgyök fogalmának megismerése A négyzetgyökvonás azonosságainak készségszinten történő alkalmazása feladatok megoldása során óra 10 évfolyam Számhalmazok, négyzetre emelés, hatványozás, nevezetes azonosságok, polinomok szorzattá alakítása A másodfokú és a négyzetgyök függvény Számolás, becslés fejlesztése A matematikai rendszerezés megerősítése a valós számok halmazának megismerésén keresztül Induktív és deduktív következtetések a számfeladatokon felfedezett azonosságok észrevételekor és azok alkalmazása konkrét feladatokban

3 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI TANÁRI ÚTMUTATÓ Támogató rendszer Dominókészlet, kártyakészletek, számológép, mintafeladatok Értékelés: Írásbeli számonkérés: témazáró dolgozat A tananyag javasolt órabeosztása: 1 óra: A négyzetgyök fogalmának megismerése, alkalmazása, a négyzetgyökvonás művelete óra: óra: A négyzetgyökvonás azonosságai Műveletek négyzetgyökökkel ( négyzetgyökök összevonása, kivitel a gyökjel elé, bevitel a gyökjel alá) óra: A nevező gyöktelenítése Érettségi követelmény: Középszint: Ismerje az irracionális szám fogalmát Definiálja és használja a a fogalmát Adott n (n N) esetén tudja eldönteni, hogy n irracionális száme Ismerje és alkalmazza a négyzetgyökvonás azonosságait Emelt szint: Bizonyítsa a négyzetgyökvonás azonosságait Bizonyítsa, hogy irracionális szám

4 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI TANÁRI ÚTMUTATÓ MODULLEÍRÁS Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feladat/ Gyűjtemény I Négyzetgyök fogalma (1 óra) 1 Racionális, irracionális számok Valós számok halmaza A matematikai rendszerezés megerősítése a valós számok halmazának megismerésén keresztül 1 mintapélda, 1 feladat A négyzetgyökvonás és a négyzetgyök fogalmának bevezetése Induktív és deduktív következtetések Számolás, becslés mintapélda konkrét feladaton keresztül Milyen számhalmazon értelmezhető a négyzetgyökvonás művelete? Négyzetgyökös kifejezések értelmezési tartományának vizsgálata mintapélda, feladatok Érdekességek: gyökjel kialakulása, szakaszok összemérhetősége, irracionális számok helye a számegyenesen feladat Számok négyzetgyökének meghatározása számológép segítségével Számolás, becslés Számológép használata feladat Feladatok megoldása Számolás, becslés, mennyiségi következtetés Dominókészlet II Négyzetgyökvonás azonosságai ( 1óra ) 1 Szorzat négyzetgyöke Induktív és deduktív következtetések Számolás, becslés mintapélda Hányados négyzetgyöke mintapélda Hatvány négyzetgyöke 6 9 mintapéldák, feladat

5 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI TANÁRI ÚTMUTATÓ III Műveletek négyzetgyökökkel ( óra ) 1 Négyzetgyökök szorzása, osztása, hatványozása Induktív és deduktív következtetések Számolás, becslés 1 kártyakészlet Négyzetgyökök összevonása: mintapélda, - kivitel a négyzetgyökjel elé, - bevitel a négyzetgyökjel alá 6 8 feladatok Nevező gyöktelenítse 1 1 mintapélda Feladatok megoldása Számolás, becslés kártyakészlet, 1 17 feladatok

6 6 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ I A négyzetgyök fogalma Mintapélda 1 Helyezzük el az alábbi műveletek eredményeit a számhalmazok közötti kapcsolatot kifejező halmazábrán! Q Z a + 7 ; b ( + 7) ; N c 8 ; d 8 ; 1 e ; 180 f 90 Q e d Z N f a c b Azt mondjuk, hogy a természetes számok halmaza az összeadás és a szorzás műveletére nézve zárt A kivonás kivezethet a természetes számok halmazából: pl a d már negatív egész szám Az egész számok halmaza az összeadás, kivonás és szorzás műveletére nézve zárt Az osztás kivezethet az egész számok halmazából, pl e és f már nem egész számok Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, racionális számoknak nevezzük

7 modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI 7 Feladatok 1 Írd fel az alábbi racionális számok tizedes tört alakját: a) ; 10 b) ; 7 c) ; 8 6 d) ; 7 7 e) ; f) 1 a) 1, 10 b), 7 c) 8 0, 87 6 d) 0, e) 1,1 6 f) A feladat megoldása során azt tapasztaltuk, hogy az eredményként kapott számok tizedes tört alakja vagy véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört Ez általánosan is elmondható: A racionális számok tizedes tört alakja vagy véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört Ennek indokolása a modul végén, a kislexikonban található Léteznek olyan tizedes törtek is, amelyek végtelenek, de nem szakaszosak Ez azt jelenti, hogy vannak olyan számok, amelyek nem racionális számok Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük Az irracionális számok tizedes tört alakja végtelen, nem szakaszos tizedes tört Irracionális számot magunk is készíthetünk például a következőképpen: egymás után írjuk a tizedes vessző után a pozitív egész számokat: 0, a hármasok számát mindig eggyel növeljük:, Irracionális számot másképp is előállíthatunk Nézzük a következő feladatot!

8 8 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda Adott egy téglalap, amelynek oldalai 6 és 8 egység hosszúak A téglalapot egy vágással oszszuk két egyenlő területű részre! Határozzuk meg a vágás hosszát! a) Ha valamelyik oldalfelező mentén vágjuk ketté a téglalapot, akkor a vágás hossza valamelyik oldal hosszával egyezik meg b) Ha az átló mentén vágjuk ketté a téglalapot, akkor a vágás a téglalap átlója, hossza a Pitagorasz-tétellel kiszámolható x Az átló hossza egy olyan nemnegatív szám, amelynek a négyzete 100 Ezt a számot a 100 négyzetgyökének nevezzük és a következőképpen jelöljük: x c) Ha a vágás metszi a hosszabbik oldalt, trapézt kapunk A vágás hosszát ekkor is a Pitagorasz-tétel segítségével tudjuk meghatározni A PQR derékszögű háromszögben RQ 8 x, ( 8 x) x y x, y x x + 100, y x x x helyére olyan számok írhatók, nullánál nem kisebbek és négynél nem nagyobbak: 0 x Határozzuk meg az y értékét x néhány lehetséges értéke mellett!

9 modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI 9 x 0 esetén: a vágás pontosan a téglalap átlója lesz, y 10 x 1 esetén: y y 7 x esetén: y y x, esetén: y,, , y 6, x esetén y y 0 x esetén y y 6 6 Ebben az esetben a téglalap egyik középvonalát kapjuk d) Ha a vágás metszi a rövidebb oldalt, szintén két egyenlő területű trapézt kapunk A vágás hosszát ekkor is a Pitagorasz-tétel segítségével tudjuk meghatározni ( 6 x) x y x y x x y x x x helyére olyan számok írhatók, amelyek nullánál nem kisebbek, és háromnál nem nagyobbak: 0 x Határozzuk meg az y értékét x néhány lehetséges értéke mellett! x 0 esetén: a vágás pontosan a téglalap átlója lesz, x 10 x 1 esetén: y , y 80 x 1, esetén: y 1, 1, , 9, y 7,9 x esetén: y , y 68

10 10 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ x esetén y , y 6 8 A vágással most a téglalap másik középvonalát kapjuk Ebben a feladatban a vágás hosszának meghatározása során egy szám négyzetgyökét kaptuk Azt a nemnegatív számot, amelynek a négyzete, négyzetgyök kettőnek, a négyzete három, négyzetgyök háromnak, a négyzete 6, négyzetgyök 6-nek, stb nevezzük Ezeket a következőképpen jelöljük: ; ; 6 ; stb A négyzetgyökök között racionális és irracionális számok is lehetnek Igazolható például, hogy irracionális szám (a bizonyítás a modul végén, a kislexikon után található) További irracionális számok a,, π stb Milyen számhalmazon értelmezhető a négyzetgyök? Mintapélda Határozzuk meg a következő számok négyzetgyökét (ha van): ; 16; 0; ; 1,; 9 esetén két olyan valós szám van, amelynek a négyzete Ezek a és a +, hiszen ( ) és Megállapodás szerint közülük a nem negatívot nevezzük négyzetgyök -nek: 16 esetén nincs olyan valós szám, amelynek a négyzete 16, mivel minden valós szám négyzete nemnegatív szám lesz Így a 16 halmazán nem értelmezhető a valós számok 0 esetén egy olyan valós szám van, amelynek a négyzete 0 0 0, mert 0 0

11 modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI 11 9 esetén két olyan valós szám van, amelynek a négyzete 9 Közülük a nemnegatív a négyzetgyök:, mert 9 9 1, esetén két olyan valós szám van, amelynek a négyzete 1, Közülük a nemnegatív a négyzetgyök:, 1, 1, mert ( 1, ) 1, esetén két olyan valós szám van, amelynek a négyzete Közülük a nemnegatív a négyzetgyök:, mert ( ) Legyen a 0 a jelenti azt a nemnegatív valós számot, amelynek a négyzete a ( a ) a Feladat Határozd meg a következő számok négyzetgyökét: 100; ; 9; 0,01; 0,; 1 1 ; , 01 0,1 0, 0, Vizsgáljuk meg, mivel egyenlő a a kifejezés! A definícióban az áll, hogy a négyzete a, azaz ( a ) a Például értéke, vagyis a esetén a, a a a Mi a helyzet a esetén? Ekkor ( ) Vajon igaz-e, hogy a a? egyenlőség teljesül a, vagyis nem teljesül a a a egyenlőség A négyzetgyök definíciója alapján a négyzetgyökjel alatt csak nemnegatív szám szerepelhet Most az a 0 feltételnek kell teljesülni, ami minden valós számra igaz is

12 1 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Azonban a gyökvonás eredménye a definíció értelmében nem lehet negatív szám Ez azt jelenti, hogy a a a egyenlőség nem teljesülhet, ha a negatív szám Vizsgáljuk meg a következő eseteket, hogy a megoldást megtaláljuk! ( ) ; ( ) ; ( 8) 8 ; ; ; 8 8 A példákból látható, hogy a a teljesül, ha 0 a és a a, ha a 0 Vagyis: Minden a R esetén teljesül a a a összefüggés Feladat Határozd meg a következő négyzetgyökös kifejezések értékét: x ; y ; 6 x ; 8 y x x ; y y ; 6 x x ; 8 y y Megjegyzés: Az ókorban alakult ki a racionális és irracionális szám fogalma A középkori Európában a számok gyökének jelölésére a latin radix (gyökér) szó első betűjét használták A mai gyökjel alkalmazása körülbelül 00 éve vált általánossá Szakaszok összemérhetősége (olvasmány) Két szakaszt összemérhetőnek nevezünk, ha megadható olyan egység, amelynek mind a két szakasz többszöröse 7 1 Például az és a hosszúságú szakaszok összemérhetők, hisz mind a kettő az hosszúságú szakasznak a többszöröse: az első 1-szöröse, a második pedig 8-szorosa 1 Két olyan szakasz, amelyeknek a hossza racionális számmal adható meg, mindig összemérhető Az egység az a tört lesz, amelynek számlálója 1 és a nevezője a két tört nevezőjének legkisebb közös többszöröse

13 modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI 1 A négyzet oldala és átlója már nem összemérhető, hisz ha a négyzet oldalának hossza racionális, az átlóé irracionális Ezt a megállapítást már a görög matematikusok bebizonyították Mi a könyvünkben nem térünk ki a bizonyítására Irracionális számok helyének meghatározása a számegyenesen (olvasmány) A számegyenesen minden eddig megismert szám ábrázolható Vajon hol helyezkednek el az irracionális számok a számegyenesen? A feladatokban kiszámoltuk, hogy léteznek irracionális hosszúságú szakaszok is Vajon hogyan lehet megszerkeszteni a Ezekre a kérdésekre keressük a választ hosszúságú szakaszt? A geometriában találkoztunk már -vel: az egységnyi oldalú négyzet átlójának hossza éppen egység Ha ezt megrajzoljuk, akkor az átlót körzőnyílásba véve a hosszúságú szakasz rámérhető a számegyenesre, amelyen az e szerkesztésben alkalmazott egység szerepel Feladat Hogyan lehet megszerkeszteni a és a hosszúságú szakaszt? Vegyünk fel olyan derékszögű háromszöget, amelynek az egyik befogója 1, a másik befogója pedig Ennek az átfogója lesz Vegyünk fel olyan derékszögű háromszöget, amelynek az egyik befogója 1, a másik pedig Ennek az átfogója lesz n hosszúságú szakasz ( n N ) mindig megszerkeszthető, például az ábrán látható csigavonallal:

14 1 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Ezek a szakaszok körzőnyílásba véve rámérhetőek a számegyenesre Nem minden irracionális számot lehet megszerkeszteni Pl a π nem szerkeszthető meg

15 modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI 1 Számok négyzetgyökének meghatározása zsebszámológéppel a) Egyszerű számológéppel: Beírjuk azt a számot, amelynek a négyzetgyökét szeretnénk meghatározni, majd lenyomjuk a jelű billentyűt Például: 17,,1, vagy 6, 078 1,6 A zsebszámológép típusától függ, hogy a végeredményt hány tizedesjegy pontossággal írja ki Mi most két tizedesjegyre kerekítettük b) Van olyan számológép, amelynél először a négyzetgyökjelet nyomjuk le, és utána kell megadni azt a számot, amelynek a négyzetgyökét akarjuk meghatározni c) Van olyan számológép is, amelynél a sorrend: szám, nd, x lépésekkel történik egy szám négyzetgyökének meghatározása Megjegyzés: A számológépek sokfélék Mindenki ismerje meg a saját gépét, hogy azon miként határozható meg egy szám négyzetgyöke Feladat Zsebszámológép segítségével határozd meg két tizedesjegyre kerekítve a következő számokat:,7 ; 0, 1 ; 0, 007 ; 6 ; 1 6 ; 7 8 ; 7 8 ; ; ; 6 6 ; 8 8

16 16 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ,7 6,61 0, 1, 0, 007 0, , 0,06 7 8, , , ,77 6 6,8,8 8 8 Módszertani megjegyzés: Csoportmunka következik Alakítsunk ki az osztályban négyfős csoportokat! Minden csoportnak adjunk egy-egy dominókészletet! A dominó szabályainak megfelelően a csoport tagjai rakják egymás mellé az egyenlőket modul dominókészlete A kártyákon az alábbi kifejezések szerepelnek: 9 16 a a ( 8) a a a 9 a ( ) a a ( a) a Felhívjuk a tanárok figyelemét, hogy az iskolákba kiküldött kinyomtatott dominókészletben az itt sárgával jelölt szám javítandó!

17 modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI 17 II Négyzetgyökökre vonatkozó azonosságok Mintapélda a) Határozzuk meg 900 négyzetgyökét! 900 0, mert Észrevehetjük, hogy , és 0 10 A szorzat négyzetgyöke egyenlő a tényezők négyzetgyökének szorzatával b) Számítsuk ki a 1 60 szorzat pontos értékét! Előző észrevételünket visszafelé alkalmazva a tényezők szorzatából vonjunk négyzetgyököt Négyzetgyökök szorzata egyenlő a négyzetgyökjel alatti mennyiségek szorzatának négyzetgyökével Ennek alapján általánosan felírhatjuk a következő azonosságot: a b a b, ahol a 0 és b 0 (I) Ezt az azonosságot úgy is fogalmazhatjuk, hogy szorzatból tényezőnként lehet négyzetgyököt vonni, ha mindegyik tényezőnek létezik a négyzetgyöke Mintapélda Határozzuk meg 7 tört pontos értékét! Az I azonosság alapján

18 18 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Ha átírjuk az eredeti törtet alakba, akkor a 6 6 hányadost kapjuk Ennek alapján általánosan felírhatjuk a következő azonosságot: a a, ahol a 0 és b > 0 (II) b b Hányados négyzetgyöke egyenlő a számláló és a nevező négyzetgyökének hányadosával Két négyzetgyök hányadosa egyenlő a gyökjel alatti mennyiségek hányadosának négyzetgyökével Mintapélda 6 a) Határozzuk meg négyzetgyökének harmadik hatványát! ( ) 8 b) Határozzuk meg a 6 8 -nak a négyzetgyökét! A két egyenlet jobb oldala egyenlő, így az egyenlőség tranzitív tulajdonsága miatt felírhatjuk az alábbi egyenletet: ( ) Négyzetgyök hatványa egyenlő a gyökjel alatti mennyiség hatványának négyzetgyökével Hatvány négyzetgyöke egyenlő a hatványalap négyzetgyökének hatványával n n ( ) a a ahol 0 a, n egész szám (III) A megfogalmazott azonosságoknál mindig figyelni kell arra, hogy az összes szereplő kifejezés értelmezhető legyen Alkalmazásuknál a felírt egyenlőségeket mindkét irányba olvasva felhasználhatjuk Az azonosságok bizonyítása a modul végén, a kislexikon után található

19 modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI 19 Módszertani megjegyzés: Alakítsunk ki négyfős csoportokat az osztályban Minden csoport kap egy-egy csomag kártyát, melyben 8 db kártya van Két-két kártya végeredménye megegyezik (1 kártyakészlet) Keresd a párját! A játékszabály a következő: Minden csoport összekeveri a kártyákat és lefordítva elhelyezi az asztalon Mindenki húz kétkét lapot Ha a lapjai között van azonos értékű pár, akkor azt felfelé fordítva maga elé teszi, és húz helyettük újabb két lapot Amennyiben valakinek nincs párja, az középről húz egy lapot, ha párt talál, azt fordítva maga elé teszi, ha nem, akkor a kezében lévő négy lap valamelyikét az asztalon lévő kártyacsomagba helyezi Ez addig folytatódik, amíg minden lapnak nincs meg a párja és az a tanuló győz csoporton belül, akinek a legtöbb párt sikerül összegyűjteni 1 kártyakészlet ( 8) ( 6 + ) / Felhívjuk a tanárok figyelemét, hogy az iskolákba kiküldött kinyomtatott kártyakészletben az itt sárgával jelölt szám javítandó!

20 0 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Feladat 6 A négyzetgyökök szorzatára és osztására vonatkozó azonosságok alapján határozzuk meg a következő négyzetgyököket! a) 81 ; 9 ; ; 6 9 ; b) 7 ; 0 10 ; ; 8 7 ; c) 10 0 ; ; ; 10 0 ; d) 16 ; 8 7 ; 1 ; 7 1 ; e) f) ; ; ; ; ; ; ; 7 ; 8 ; a) ; ; ; ; b) , vagy ; ; ; ; c) ; e) ; ; 6 8 ; ; ;

21 modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI ; 9 9 ; ; d) 16 18; f) ; ; ; ; ; ; ; Mintapélda 7 Melyik szám nagyobb: vagy?,66 és Tehát > Általánosságban elmondható, hogy nagyobb számnak nagyobb a négyzetgyöke Erre egy másik modulban, a függvények tanulásakor még visszatérünk

22 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda 8 Végezzük el a következő műveleteket! a) ( 1 7 ) ( ) ; b) ( ) ; c) ( + ) ( ) Megoldások: a + b a b a b azonosságot! a) Használjuk fel az ( ) ( ) ( 1 7 ) ( ) ( 1) ( 7 ) b) Használjuk fel az ( ) a b a ab + b azonosságot! ( ) ( ) + ( ) c) Használjuk fel a négyzetgyökvonás azonosságait! ( + ) ( ) ( ) ( ) Mintapélda 9 Számítsuk ki a következő kifejezések értékét: a) ; b) Megoldások: + + a) Alkalmazzuk a I azonosságot: ( + 7 ) ( 7 ) b) Alkalmazzuk a négyzetre emelés és a négyzetgyök I azonosságát! ( + ) ( )

23 modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI III Műveletek négyzetgyökökkel Mintapélda 10 Számítsuk ki a következő kifejezés értékét: 0 A tanult azonosságokat alkalmazva kapjuk, hogy , valamint Így a kifejezés értéke A négyzetgyökjel alatti számot úgy alakítottuk szorzattá, hogy a szorzat egyik tényezője négyzetszám legyen, és ezt kiemeltük a négyzetgyökjel alól Feladatok A megoldásokat csoportmunkában végzik a tanulók A csoportok megbízottjai kihúzzák, hogy a feladat mely részét fogja a csoport megoldani, és ezt ismertetik a csoport tagjaival A tanár figyeli a tanulók munkáját, és amikor minden csoport elkészült, közösen megbeszélik a megoldásokat 7 Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét: a) ; b) ; c) ; d) a) A megoldás során felhasználtuk, hogy azok a négyzetgyökök, amelyeknél a gyökjel alatt azonos szám szerepel összevonhatóak b) c) d)

24 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 8 Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét! a) ; b) 1 18 ; c) ( ) ( 1 18) + A megoldások során felhasználjuk a négyzetgyökjel alól történő kiemelést valamint a négyzetgyökök összevonását a) b) c) A megoldás során felhasználjuk az a) és b) feladatrészek eredményeit, valamint az (a b)(a + b) a b azonosságot ( ) ( 1 18) ( + ) ( ) ( ) ( ) Mintapélda 11 Számítsuk ki a kifejezés pontos értékét! A négyzetgyökjel előtt álló számot a négyzetgyök definíciója alapján felírhatjuk gyökös alakban, és alkalmazva a négyzetgyökvonás azonosságait, közös gyökjel alá írhatjuk Feladat 9 Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét: a) ; b) 9 9 ; c) 10 ; d) 1

25 modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI a) ; b) ; c) ; d) 1 9 Mintapélda 1 Számítsuk ki zsebszámológéppel, mennyivel egyenlő a következő két kifejezés értéke: 1 és + 1,167 ; +, 167 Úgy találjuk, hogy a két tört értéke jó közelítéssel megegyezik Az igazság az, hogy a két tört értéke pontosan megegyezik Mivel végtelen, nem szakaszos tizedes törtek (irracionális számok) szerepelnek a feladatban, a pontos egyezést kerekítéssel nem lehet igazolni Helyette olyan műveletet keresünk, amelynek segítségével a két kifejezés azonos alakúra hozható A mintapéldához hasonlóan sok probléma esetén megoldást nyújthat, ha a négyzetgyökös törtes kifejezéseket úgy alakítjuk át, hogy a nevező ne tartalmazzon négyzetgyököt Ezt hívjuk a nevező gyöktelenítésének Jellemző módszere a tört bővítése: olyan kifejezést keresünk, amellyel a nevezőt meg kell szoroznunk, hogy eltűnjön a négyzetgyök Természetesen nemcsak a nevezőt szorozzuk, hanem bővítünk, hogy ne változzon a tört értéke

26 6 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda 1 Gyöktelenítsük a következő kifejezések nevezőjét: a) 1 ; b) 6 ; c) 1 a) 1 1 Azért választottuk a kifejezést, mert egyrészt ennek az értéke 1-gyel egyenlő, vagyis a tört értéke nem változik, ha megszorozzuk vele; másrészt a két tört nevezőjét összeszorozva gyökjelmentes kifejezést, -t kapunk 1 1 A kapott kifejezés nevezőjében négyzetgyök nem szerepel, ez a feladat megoldása b) A most kapott kifejezésből még a nevező is eltűnt, a feladat megoldása c) Azt a kifejezést kellett megkeresni, amellyel a kifejezést megszorozva a kapott eredmény gyökjelmentes kifejezés a + b a b a b Szorzáskor nevezetes azonosságot használunk: ( ) ( ) ( )( + ) ( ) ( ) A gyöktelenítés eredménye + Most már érthető, hogy miért kaptunk a 1 mintapéldában számológéppel egyenlő eredményeket 1 és + esetén

27 modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI 7 Feladat 10 Gyöktelenítsd a következő törtek nevezőjét: a) 1 ; b) ; c) ; b) a) ; b) ; ( ) ( ) ( ) ( ) c) ; + ( + ) ( ) ( ) ( + ) 10( + ) 10( + ) d) ( )( ) ( + ) + ( ) ( ) Módszertani megjegyzés: Alakítsunk ki az osztályban négy csoportot Minden csoport kap három-három kártyát ( kártyakészlet) A kártyák egyik oldalát két részre osztottuk és mindkét részben egy-egy kifejezés szerepel, amelyeknek értéke egyenlő Feladat: keressük meg azt a szabályt, amelyik megadja, hogy a kártya bal oldalán álló kifejezésből hogyan kaptuk meg a jobb oldalon álló kifejezést kártyakészlet I csoport II csoport III csoport IV csoport Körülbelül 10 perc gondolkodási időt adunk a gyerekeknek és utána a csoportok megbízottjai elmondják a csoport által megbeszélt megoldásokat az alkalmazott műveletek: gyökjel alá bevitel, kihozás gyökjel alól, gyöktelenítés

28 8 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda 1 Melyik szám nagyobb? a) 7 vagy ; b) 10 vagy 6 a) Alkalmazzuk a gyökjel alá bevitelt: Mivel a nagyobb számok négyzetgyöke is nagyobb, 7 > b) Most is alkalmazzuk a gyökjel alá történő bevitelt: illetve A gyökjel alatti törteket közös nevezőre kellett hoznunk, hogy össze tudjuk azokat 8 1 hasonlítani Mivel >, a megoldás: > 6 Feladatok 11 Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! a) 8 7 ; b) ; c) ; d) a) ; b) ; c) ; d) Végezd el a következő műveleteket! a) ( + ) ( ) ; b) ( + ) ( ) c) ( + ) ( ) ; d) ( 7 ) ; e) ( ) 7 + ; ;

29 modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI 9 f) ( + ) ; g) ( ) a) ( + ) ( ) ; b) ( + ) ( ) + ( ) ; c) ( + ) ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) ; e) ( ) ( ) + + ( ) ; f) ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ; g) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ; 1 Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! Figyelem! A c) és d) feladatok a nyomtatásban hibásan jelentek meg! a) ; b) ; c) ; d) + 1 ; e) ; f) ; g) a) ; b) ; c) ;

30 0 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ d) ; e) ; f) ; g) Melyik szám nagyobb? a) 6 vagy 8 ; b) vagy ; c) vagy 8 ; d) 1 1 vagy ; 7 e) vagy 7 6 a) egyenlő; b) < ; c) < 8 ; d) 1 1 vagy vagy 9 vagy 7 e) vagy 9 vagy vagy < ; > Adott A 0 1 és B Átalakítjuk a B kifejezést: Melyik állítás igaz? A > B vagy A < B? B

31 modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI A két kifejezés egyenlő, tehát egyik állítás sem igaz 16 Végezd el a következő műveleteket! a) ; b) 7 8; c) ; d) ( ) ( ) a) ; b) ; c) ; d) ( + ) ( + ) ( 6 + ) ( 7 + ) ( + ) ( ) Gyöktelenítsd a következő törtek nevezőjét! a) a) ; b) 8 ; c) ; ; d) ; e) + b) c) ; ( + ) ; d) ( 1) ; + 1 e) ( + )

32 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 18 Számítsd ki a következő kifejezések helyettesítési értékét, ha x 1 : a) + x + ; b) x x x 1 x x +1 a) A kifejezés értelmezési tartománya x és x 0, ami a megadott helyettesítési érték esetén teljesül Behelyettesítve: + x x ( x ) + ( + x ) x 8 x b) A kifejezés értelmezési tartománya x 1 és x 0, ami a megadott helyettesítési érték esetén teljesül x + 1 x + x 1 x Behelyettesítve: ( x + 1 )( x + 1 ) + x ( x 1 ) x 1 8x + 1 x 1

33 modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI Kislexikon Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, racionális számoknak nevezzük Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük Tizedes tört alakjuk végtelen, nem szakaszos tizedes tört A négyzetgyök fogalma Legyen a 0 a jelenti azt a nemnegatív valós számot, amelynek a négyzete a ( a ) a A négyzetgyök azonosságai I azonosság: a b a b, ahol a 0 és b 0 II azonosság: a b a, ahol a 0 és b > 0 b III azonosság: ( ) n a n a, ahol a 0, n egész szám

34 MATEMATIKA A 10 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Tételek és bizonyítások Tétel: A racionális számok tizedes tört alakja véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört Bizonyítás: Legyenek p és q (q 0) egész számok, és osszuk el p-t q-val Amennyiben az osztás során maradékul nullát kapunk, akkor a q p racionális szám tizedes tört alakja véges Ha az osztás során nem nulla a maradék, akkor a lehetséges maradékok 1,,, q 1 Így az osztás közben legfeljebb q lépés után újra olyan maradékot kapunk, ami már szerepelt Egy idő után a maradékok ismétlődnek, tehát a tizedes tört végtelen szakaszos lesz Tétel: A irracionális szám Bizonyítás: A bizonyítás indirekt módszerrel történik Tegyük fel, hogy a felírható két egész szám (p és q) hányadosaként: olyan tört alakba, amelyet tovább már nem tudunk egyszerűsíteni Vagyis létezik olyan p és q Z + p, hogy, és p és q relatív prímek: (, q) 1 q p Négyzetre emelve p, amiből q p Azt kaptuk, hogy p páros Ez csak úgy lehet- q séges, ha p is páros, azaz p Ekkor p, és q miatt q is, végső soron q is páros p Ha q is páros és p is páros, akkor legnagyobb közös osztójuk legalább Ez ellentmond annak a feltételnek, hogy p és q relatív prímek Mivel feltételezésünk ellentmondásra vezetett, az eredeti állítás igaz Megjegyzés: a fenti módszer segítségével belátható, hogy minden olyan a > 0 valós szám esetén, amely nem négyzetszám, a irracionális I azonosság: a b a b, ahol a 0 és b 0 Bizonyítás: Mindkét oldal nemnegatív, ezért a négyzetgyöküket hasonlíthatjuk össze A négyzetgyök definíciója alapján: ( a b ) a b; ( a ) a; ( b ) b; a b ( a ) ( b ) A hatványozás azonossága alapján: ( a ) ( b ) ( a b ) ; a ) ( ) ( b a b

35 modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI Mivel az x 0 esetén az x függvény szigorúan monoton növekvő, így ( a b )( a ) ( b ) II azonosság: Bizonyítás: A négyzetgyök definíciója alapján: a b a b a, ahol a 0 és b > 0 b b a ( a ) a; ( b ) b; a ( a ) b ( b ) a ( a ) Így: b ( b ) A hatványozás azonossága alapján: a b a b Mivel az x 0 esetén az x függvény szigorúan monoton növekvő, így a b a b n n III azonosság: ( a ) n n a, ahol a 0 Bizonyítás: A bal oldalt négyzetre emelve a hatványozás azonosságai és a négyzetgyök definíciója alap- n ján: ( a ) ( a ) ( a ) a n n n A jobb oldalt négyzetre emelve a négyzetgyök definíciója miatt: ( a ) a A két oldal négyzete tehát egyenlő Nemnegatív számok esetén az x függvény szigorúan monoton növekvő, így ( a ) n n a