MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Átírás

1 MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 0. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV

2 A kiadvány KHF/464-/008. engedélyszámon időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program... központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a sulinova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: címen. Matematika szakmai vezető: Oláh Vera Szakmai tanácsadók: Csatár Katalin, Somfai Zsuzsa Alkotószerkesztők: Ratkó Istvánné, Oláh Judit, Vidra Gábor Grafika: Csákvári Ágnes, dr. Fried Katalin, Lénárt István, Vidra Gábor Lektor: Pálmay Lóránt Felelős szerkesztő: Teszár Edit H-AMAT00 Szerzők: Csákvári Ágnes, Darabos Noémi Ágnes, Gidófalvi Zsuzsa, Lénárt István, Vidra Gábor Educatio Kht Tömeg: 90 gramm Terjedelem: 9,8 (A/5 ív) A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgypedagógiai szakértő: Kónya István Tudományos-szakmai szakértő: dr.marosváry Erika Technológiai szakértő: Zarubay Attila

3 tartalom. modul: Logika (Vidra Gábor) modul: A négyzetgyök fogalma, azonosságai (Gidófalvi Zsuzsa) modul: Algebrai azonosságok és másodfokú egyenletek (Darabos Noémi Ágnes) modul: Körrel kapcsolatos fogalmak (Lénárt István és Vidra Gábor) modul: Függvények (Csákvári Ágnes) modul: Másodfokúra visszavezethető problémák (Darabos Noémi Ágnes) modul: Négyzetgyökös egyenletek (Gidófalvi Zsuzsa) A könyvben kidolgozott MINTAPÉLDÁK segítenek a tananyag megértésében. A FELADATOK szintjét a sorszám előtti házikó mutatja: alapszintű feladatok: középszintű feladatok: emelt szintű feladatok: Ahol nincs ilyen jelzés, azt a példát mindenkinek ajánljuk.

4 Mire jó a matematika? Te mit gondolsz? Minek tanuljon Pitagoraszról meg egyenletekről olyasvalaki, akinek az iskolán kívül nem lesz dolga velük? Az interneten minden adatot megtalálhatunk, amit csak akarunk! Mi, akik ezt a tananyagot írtuk, szeretünk beszélgetni, utazni, jó zenét, szép verseket hallgatni, virágot adni és kapni, szépen öltözni, finom ebédet enni és szeretjük a matematikát. Ezekben a munkatankönyvekben arra a kérdésre próbálunk felelni: Mi szeretni való van a matematikában? Kétezer-háromszáz évvel ezelőtt Arkhimédész köröket meg négyzeteket rajzolt a homokba, és megpróbálta megszámolni a homokszemeket egy akkora gömbben, mint az egész Világmindenség. Sokan mondhatták akkor: Hát ennek mi haszna? Homokszemek számolása és négyzetek rajzolása közben az Ember megtanulta a matematikai gondolkodást, a matematika nyelvét. Ez a gondolkodásmód, ez a nyelv segítette abban, hogy utakat, gépeket, városokat építsen, néhány óra alatt átrepülje az óceánt, fényképezzen, mobilon beszélgessen, vagy a másodperc tört része alatt könyvtárra való tudnivalót gyűjtsön össze a számítógépen. Az igazi matematika csoda. Olyan, mint a költészet. Csokonai írta a költőről: teremt új dolgokat, S a semmiből világokat. Majdnem szóról szóra ugyanígy fejezte ki magát Bolyai János, a matematikus, amikor felfedezéséről írt édesapjának: Semmiből egy új, más világot teremtettem. * Gondold el: soha, senki nem látott még igazi pontot, egyenest, kört vagy párhuzamost. Mindezek csak a mi képzeletünkben léteznek. S ezekből a képzelet szülte fogalmakból teremtett a matematika meg a fantázia, bátorság, tapasztalat és józan ész valóságos, kézzelfogható csodákat, amelyek hozzátartoznak mindennapi életünkhöz. Ezt a szépséget, ezt a kalandot szeretnénk megmutatni a matematikában. Vannak olyan részek is, amiket gyakorolni kell, éppen azért, hogy a lényeget érteni, élvezni tudd. Ha focizni, táncolni, gördeszkázni, úszni, sakkozni vagy főzni tanulsz, akkor is időt kell szánnod a gyakorlásra. Mit szeretnénk még mondani Neked a könyveinkkel? Szeretnénk, ha bíznál magadban! Ha azt mondanád: Okos, ügyes vagyok. Tudok gondolkozni, dönteni, ha barátot, társat, életpályát kell választanom. Cselekedeteimért, döntéseimért én vagyok felelős, senki más. Örülnénk, ha hinnél abban, hogy meg tudod változtatni a dolgokat magad körül, meg tudod javítani a világot! Szeretnénk, ha tudnád: minden ember számára a legfontosabb a többi ember. Magadat gazdagítod, ha gondolataiddal, alkotóképességeddel másokat gazdagítasz. Használd arra a matematikát, meg minden más tudásodat, tehetségedet, hogy szeretetben, szerelemben, örömben élj az emberek között! Ehhez kívánnak Neked sok szerencsét: a 0. osztályos matematika munkatankönyvek szerzői * A Csokonai- és Bolyai-idézetek közti kapcsolatra egy egyetemi hallgató, azóta már tanár, Szmerka Gergely hívta fel a figyelmünket.

5 . MODUL logika Készítette: Vidra Gábor

6 6 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A természettudományok felépítése (olvasmány) A természettudományok alapját alapállítások, igaznak vett alaptételek alkotják, és ezekre épül fel a tudományterület (az alaptételek a fizikában modellek formájában is előfordulhatnak). Ezek az alaptételek nem alkotnak véglegesített, zárt rendszert, mert a tudományok fejlődésével változhatnak. A fizikában akkor jó egy modell, ha minél pontosabban leírja a valóságot. Például a Merkúr Nap körüli keringésének pályája a Kepler óta fennálló ellipszis pályaelmélettől kissé eltért, és ennek magyarázata a térről alkotott elképzelésünk forradalmian új leírásával, a relativitáselmélettel vált megmagyarázhatóvá. A matematika egzakt (pontos) tudomány: minden állítást be kell bizonyítani. Ameddig nem bizonyítunk egy állítást, addig sejtésnek nevezzük. Egy állítást bizonyított tételnek nevezünk, ha logikai úton vissza tudjuk vezetni más állításokra, amiket már elfogadtunk akár azért, mert ismerjük a bizonyításukat (korábban bizonyított tételek), akár azért, mert annyira egyszerűnek, nyilvánvalónak tűnnek, hogy nem tartjuk érdemesnek vesződni a bizonyításukkal (ezeket aiómáknak, alaptételeknek nevezzük). Az egyik leghíresebb sejtés a Fermat-sejtés. Pierre de Fermat (60-665) toulouse-i gondolkodó (főállásban jogász, egyébként műkedvelő matematikus) volt, és 67 táján Diofantosz: Aritmetika című könyvének latin nyelvű kiadásának margójára írt egy megjegyzést: az n +y n z n egyenletnek n> esetén nincsen olyan nullától különböző megoldása, ahol, y és z egész számok. (Ha n, akkor az egyenlet megoldásai az úgynevezett pitagorászi számhármasok, például jó megoldás.) Azt állította, hogy "Ennek igazán bámulatos bizonyítását találtam meg, azonban a könyv margója túlságosan keskeny, hogy ide írjam." Nos, a tételt csak 995-ben (majdnem 70 évvel Fermat bejegyzése után!) tudták bebizonyítani: Andrew Wiles és Richard Taylor brit matematikusok több száz oldalon keresztül. Sokszor mondjuk egy állításról, hogy triviális. A triviális szó eredete a római korba nyúlik vissza: a szabad embereknek tanított közismereti tárgyak nyelvtanból, logikából és retorikából, vagyis a triviumból álltak. Más értelmezések szerint a kifejezés görög iskolákból ered, ahol séta közben beszélgettek matematikáról. A triviális állítás azt jelenti, hogy három úton (tri három, via út) menve is igazolni lehet, vagyis könnyű a bizonyítása. Hogy kinek mi a könnyű, és mit lehet elfogadni bizonyítás nélkül, az függ az egyéntől. A természettudományokban aiomatikus felépítést alkalmaznak: alaptételeket (aiómákat, posztulátumokat) fogadnak el igaznak, és ezekből kiindulva bizonyítják a különböző tételeket. Az aiomatikus felépítésnek óriási jelentősége volt a különböző geometriák megszületésekor. Az aiómáktól elvárjuk a következő feltételeket: nem lehetnek egymásnak ellentmondók; ne legyen sok aióma (bonyolítaná a rendszer felépítését); egymástól függetleneknek kell lenniük (vagyis egyik sem bizonyítható a többi aióma segítségével);

7 . modul: LOGIKA 7 rendszerük teljes legyen, azaz minden olyan aióma kéznél legyen, ami a felsorolt tételek bebizonyításához szükséges; illeszkedjenek a valósághoz, vagyis az aiómákból levezethető tételeknek jól kell leírnia a bennünket körülvevő világot. Az első ránk maradt aiómarendszer Eukleidész: Elemek c. könyvében található (i. e. 0 körül). Eukleidész szétválasztotta az aiómákat és a posztulátumokat. Az aiómák nála általános jellegű kijelentések, a posztulátumok kifejezetten a geometria témakörére vonatkozó alapállítások. Ma ezeket összefoglaló néven aiómáknak nevezzük. Az aiómarendszerek a tudományterületek fejlődésével együtt fejlődnek. Egy-egy új felfedezés vagy korszakalkotó gondolat kapcsán előfordul, hogy a valóság leírását módosítani kell (gondolj a Naprendszer modelljének, vagy az atommodelleknek a fejlődésére). A fizika változásával kiderült, hogy nagyon nagy (kozmikus) méretekben az euklideszi geometria fogalmait nem tudjuk megfelelően használni. Eddigi tanulmányaink során is találkoztunk már olyan felülettel, amelyen nincs párhuzamosság: a gömbfelülettel. Ez azt jelenti, hogy a gömbi geometria eltér az euklideszi geometriától. Egy másik példa: megszoktuk, hogy a párhuzamosok nem találkoznak, azonban ennek a perspektíva törvényei látszólag ellentmondanak. Ha a sínek közé állunk, a párhuzamos sínek öszszetartónak látszanak. Létezik az euklideszi geometriának olyan kibővítése (projektív geometria), amely alkalmas az ehhez hasonló jelenségek leírására. Mindezekből leszűrhetjük, hogy az aiómarendszereknek illeszkednie kell a valóság leírásához. Ha valaki másképp látja a valóságot, akkor változtathat az aiómákon, viszont ekkor a korábbihoz hasonlóan fel kell építenie az új rendszer szerint az adott tudományterületet. Ezt tette Bolyai János (80 860) is. Az aiómák mellett a matematika felépítésében alapfogalmak (azaz nem definiált fogalmak) is vannak. (Ilyen például a pont, az egyenes, a sík, a tér.) Matematikai szakterületek felépítése Alapfogalmak Definíciók Aiómák Bizonyított tételek

8 8 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Ismétlés Kijelentés (vagy állítás, ítélet): olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz, vagy hamis. Egy kijelentésnek kétféle logikai értéke (vagy igazságértéke) lehet: igaz, vagy hamis. Logikai értékek igaz hamis Logikai műveletek: Logikai műveletek Tagadás (NEM) Konjunkció (ÉS) Diszjunkció (VAGY) Tagadás (negáció): az a logikai művelet, amely egy kijelentés igazságértékét ellentettjére változtatja: az igazból hamisat, a hamisból igazat csinál. Konjunkció: két kijelentés ÉS-sel összekapcsolva. Az új kijelentés akkor igaz, ha mindkét kijelentés logikai értéke igaz, minden más esetben hamis. A konjunkció tagadása: NEM (A ÉS B) NEM A VAGY NEM B Diszjunkció (megengedő vagy): két kijelentés VAGY-gyal összekapcsolva. Az új kijelentés akkor igaz, ha bármelyik vagy mindkét kijelentés logikai értéke igaz. Akkor hamis, ha mindkét kijelentés hamis. A diszjunkció tagadása: NEM (A VAGY B) NEM A ÉS NEM B Feladatok. Döntsd el, hogy kijelentések-e az alábbi mondatok! Amelyik kijelentés, annak add meg a tagadását is! a) Szépen süt a nap. b) A matematika mindenki kedvenc tantárgya. c) Az angolt könnyű megtanulni. d) Havazik. e) <. f) 5 5.

9 . modul: LOGIKA 9. Mi a logikai értéke a következő kijelentéseknek? a) Az < 0 ( Z) egyenlőtlenségnek megoldása az 5. b) Az + < 5 ( N) egyenlőtlenségnek megoldása az 5. c) Az y 4 egyenes zérushelye. d) A ( ; 0) pont rajta van az y egyenletű egyenesen. e) A ; 5; 8; ; 4 adatsor mediánja 8 és átlaga is 8. f) A ; ; 5; 5; 8; ; 6; ; 6 adatsor mediánja vagy módusza 5. g) Van olyan háromszög, amelynél a köré írt kör középpontja a háromszög egyik oldalán van. h) Nincs olyan rombusz, amelynek az átlói egyenlő hosszúak. i) 4-nek a négyzete 6, és csak 4-nek a négyzete 6. j) Egy 9 fős osztályban 8 tanuló furulyázik, 7 zongorázik, tanuló mindkét hangszeren játszik. Ekkor igaz az, hogy 6 tanuló se nem furulyázik, se nem zongorázik.. Tagadd a következő kijelentéseket: a) Holnap esni fog. b) > 4. c) 97 áprilisában nagy esőzések voltak. d) Elmegyek, és veszek mozijegyet. e) A széf kombinációja -gyel és 5-tel is osztható szám. f) A szemtanú vagy nem látta az esetet, vagy elfutott. g) Az étkezési hozzájárulást kifizetik, vagy egy részét természetben térítik. 4. Adj meg olyan feltétel(eke)t, hogy az alábbi állítások igaz kijelentéssé váljanak! a) és 5 legnagyobb közös osztója 5. b) n piros és 0 fehér golyó van egy kalapban. Véletlenszerűen kihúzva egy golyót, a piros valószínűsége 0,6. c) Az e: y 4 egyenes egyik pontja: (, y 0 ). d) Egy s síkidom átlói felezik a szögeket, vagy merőlegesen metszik egymást.

10 0 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. Az implikáció A hétköznapi életben beszélgetéseink során sokszor meg kell védenünk saját álláspontunkat másokéval szemben. Ennek eszközei a következtetés, logikus érvelés, bizonyítás. Az érvelés tudománya kultúránként eltérhet. A retorika, melynek nagy mesterei voltak Empedoklész, Platón, Arisztotelész, Cicero, Tacitus, a középkorban a hét szabad mesterség egyikeként a triviumon belül helyezkedett el. Érdekes a tibeti lámák tanulási stílusa: teológiai vitákon keresztül tanulnak, melynek során az érvelésüket széles tapsmozdulattal kísérik, miközben nagyot dobbantanak a lábukkal. Mintapélda Ha este hideg lesz, akkor kabátot fogok felvenni. Miről nyilatkozik a fenti állítás? Mikor mondhatjuk, hogy a fenti állítás nem igaz? A feltételhez kötött állításokat HA AKKOR kapcsolattal fejezzük ki. A fenti állítás akkor nem teljesül, ha hideg lesz, de mégsem veszek kabátot. Ha nem lesz hideg, arról a mondat nem nyilatkozik, ezért nem mondhatjuk, hogy nem igaz (logikai értéke igaz lesz). hideg lesz kabátot veszek Ha este hideg lesz, akkor kabátot fogok felvenni. igaz igaz igaz igaz hamis hamis hamis igaz igaz hamis hamis igaz Mintapélda Milyen a és b számokra teljesül, hogy ha a < b, akkor a < b? Milyen számok esetén mondhatjuk, hogy nagyobb számnak a négyzete is nagyobb? Ez szintén HA AKKOR kapcsolat, azonban most nem tudjuk előre megmondani, hogy igaz, vagy hamis az állítás. A feltételnek megfelelő számokat nekünk kell megkeresnünk. Ebben az esetben körültekintően kell eljárnunk, ui. mondhatnánk, hogy a feladat megoldása: a>0 és b>0. Azonban találunk más példákat is: például a ; b4. Pontosítva a megoldás: ha a < b, akkor a < b. (Így minden ilyen a-ra és b-re teljesül az állítás.)

11 . modul: LOGIKA Amikor HA AKKOR kapcsolattal két kijelentést összekapcsolunk, akkor új kijelentés keletkezik. Ezt a kapcsolatot implikációnak nevezzük. Általános alakja: HA feltétel, AKKOR következmény. Az implikáció logikai értéke hamis, ha a feltétel igaz, és a következmény hamis. Minden más esetben az implikáció logikai értéke igaz. Az implikáció más nyelvi elemekkel is kifejezhető. Például: hideg esetén kabátot veszek, kabátot veszek, ha hideg lesz stb. A feltételt szokták nevezni az implikáció előtagjának, a következményt az utótagjának. Nem biztos, hogy az előtag és az utótag szerep megegyezik a két állítás mondatbeli sorrendjével. Az implikáció megfordítása az előtag és az utótag cseréjét jelenti. Mintapélda A következő következtetés kicsit furcsára sikeredett: Ha zöld a lámpa, este sötét van. Az ilyen típusú következtetéseknek a hétköznapi életben semmi értelme, de a matematikai logikában van igazságértéke: igaz, hiszen az utótag igazságértéke igaz. Azt mondjuk, hogy nincs kapcsolat az előtag és az utótag között. Feladatok 5. Helyes következtetéseket fogalmaznak-e meg a következő implikációk? a) Ha elmegyünk a butikba, vehetünk zöldséget. b) Ha egy trapéz tengelyesen szimmetrikus, akkor kör írható köré. c) Ha sokat dolgozunk, sok pénzt fogunk keresni. d) Ha egy háromszög tengelyesen szimmetrikus, az biztosan szabályos. 6. Határozd meg, hogy az alábbi implikációk esetén mi a feltétel, és mi a következmény. Fordítsd meg a feltételt és a következményt, és írd le a megfordított implikációt! Fogalmazd át az implikációkat! a) Ha fúj a szél, akkor hajladoznak a virágok. b) Ha éjszaka van, akkor sötét van. c) Derékszögű háromszögben a befogók négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével.

12 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE d) A deltoid átlói merőlegesek egymásra. e) Egy szám 5-tel is osztható, amennyiben -mal és 5-tel is. 7. Keress feltételt, illetve következményt az alábbi implikációkhoz! a) Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal bármely más pontjával, b) Ha bizonyos pontok távolsága a sík egy adott O pontjától ugyanannyi, c) Ha egy négyszögnek egyenlők az átlói, akkor d) Ha egy négyszög deltoid, e) Ha, akkor a < a. f) Ha egy egyenes egyenlete y, akkor 8. Keress összetartozó feltétel következmény párosokat, és írd le az implikációkat. Több feltételt és következményt is összekapcsolhatsz ÉS és VAGY kapcsolattal is. Feltételek Következmények egy szám osztható -mal és -vel a szám osztható -vel és 5-tel egy szám 0-ra végződik a szám osztható -mal egy páros szám számjegyeinek a szám osztható 6-tal összege n (n N + ) alakban írható fel egy szám osztható 0-cal a szám osztható 4-gyel egy szám páros négyzetszám a szám osztható 00-zal 9. Elemezd a következő mondatok feltételét és következményét, majd mondatonként válaszd ki a megfelelő kategóriát! Előtag Utótag Kapcsolat az előtag és az utótag között a) igaz hamis igaz hamis van nincs b) igaz hamis igaz hamis van nincs a) A háromlábú szék sohasem billeg, mert a térben három pont egyértelműen meghatároz egy síkot. b) A tengelyes tükrözés szimmetriát eredményez, ezért a szabályos ötszög tengelyesen szimmetrikus.

13 . modul: LOGIKA III. Az ekvivalencia Vizsgáljuk meg az alábbi kijelentést: Egy természetes szám akkor és csak akkor osztható -mal és -vel, ha osztható 6-tal. A matematikában az akkor és csak akkor azt jelenti, hogy egy állítás megfordítható: Ha egy természetes szám osztható -mal és -vel, akkor osztható 6-tal. Ha egy természetes szám osztható 6-tal, akkor osztható -mal és -vel. Ez két implikáció, amelyek egymás megfordításai. Mindkettő igaz állítás, ezért azt mondjuk, hogy a kijelentések megfordíthatók. Az AKKOR ÉS CSAK AKKOR kapcsolat a megfordíthatóságot fejezi ki. Mintapélda 4 Megfordítható-e az alábbi kijelentés: Ha egy szám osztható 9-cel, akkor nem prím. Ez önmagában igaz állítás, és a megfordítása így hangzik: Ha egy szám nem prím, akkor osztható 9-cel. Ez nyilván hamis állítás, tehát a kijelentés nem megfordítható. A fenti mondat nem ekvivalencia. Ekvivalenciának nevezzük az AKKOR ÉS CSAK AKKOR kapcsolattal kifejezett logikai műveletet. Az ekvivalencia logikai értéke akkor igaz, ha a két állítás logikai értéke megegyezik. Az ekvivalens állítások tehát egymásból következnek. Az akkor és csak akkor tételeknek a matematikában nagy jelentősége van: ha egyik kijelentés teljesül, akkor az automatikusan magával vonja a másik kijelentés tényét. Például ha egy háromszög derékszögű, akkor tudjuk, hogy két befogót ismerve hogyan számítjuk ki az átfogót, mert a háromszög derékszögűsége maga után vonja az oldalakra vonatkozó, jól ismert összefüggést.

14 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Szükséges és elégséges feltétel Vizsgáljuk meg, hogy mit mond ki a Pitagorasz-tétel. A tétel szövege: egy derékszögű háromszög befogóinak négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével. Feltétel: a háromszög derékszögű; következmény: érvényes az a + b c összefüggés. Derékszögű háromszög a + b c Ha a tételt megfordítjuk, másik állítást kapunk: a + b c Derékszögű háromszög Megfogalmazva: Ha egy háromszög oldalaira érvényes az a + b c összefüggés, akkor a háromszög derékszögű. Ez a tétel szintén igazolható. Pitagorasz-tétel Derékszögű háromszög a + b c Pitagorasz-tétel megfordítása A két tétel össze is kapcsolható: egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha oldalaira teljesül az a + b c összefüggés. Más megfogalmazásban: Annak, hogy egy háromszög derékszögű legyen, szükséges és elégséges feltétele az, hogy az oldalaira teljesüljön az a + b c összefüggés. A szükséges és elégséges feltételek használatát jól mutatja a következő mintapélda. Tudjuk, hogy a -mal és a 9-cel való oszthatóság között kapcsolat van: 9-cel oszthatóság -mal oszthatóság -mal oszthatóság 9-cel oszthatóság A -mal való oszthatóság szükséges, de nem elégséges feltétele a 9-cel való oszthatóságnak. A 9-cel való oszthatóság elégséges, de nem szükséges feltétele a -mal való oszthatóságnak.

15 . modul: LOGIKA 5 Mintapélda 5 Fogalmazzuk meg a szükséges és az elégséges felhasználásával a következő kijelentések közötti kapcsolatot: nyerek a lottón, és töltöttem ki szelvényt. Segítségül a kapcsolatot rajzzal szemléltethetjük: kitöltöttem szelvényt nyerek a lottón Kitöltöttem szelvényt: ez szükséges, de nem elégséges feltétele annak, hogy nyerjek. Az akkor az elégséges, a csak akkor a szükséges feltételt fogalmazza meg az ekvivalenciában. Feladatok 0. Gyűjtsetek példákat a hétköznapi élet és a matematika területeiről, amelyekben használhatók a szükséges, illetve az elégséges szavak! Legyenek benne szükséges és elégséges jellegű mondatok is!. Gyűjtsetek példákat a hétköznapi élet és a matematika területeiről ekvivalenciákra!. Mondjatok olyan kijelentéseket, amelyek szükségesek, illetve elégségesek a következő kijelentésekkel kapcsolatban. Fogalmazzatok meg olyan mondatokat is a segítségükkel, amelyekben szerepelnek a nem elégséges, valamint a nem szükséges szókapcsolatok is. Például a kijelentés: leáll az autó. Ehhez megfogalmazhatók a következő implikációk: Ha kifogy a benzin, akkor biztosan leáll az autó. Annak, hogy leálljon az autó, elégséges feltétele, hogy kifogyjon a benzin. Annak, hogy leálljon az autó, nem szükséges feltétele, hogy kifogyjon a benzin. a) Elkaptam az influenzát. b) Egy négyszögnek van párhuzamos oldalpárja. c) Egy szám osztható 4-gyel.

16 6 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Helyes-e a következő ítéletekben az ekvivalencia használata? Fogalmazd át úgy a mondatokat, hogy tartalmazzák a szükséges, illetve az elégséges kifejezéseket! a) 5 osztója a-nak akkor és csak akkor, ha 5 osztója a-nak. b) Egy négyszög átlói merőlegesek egymásra akkor és csak akkor, ha a négyszög rombusz. c) A háromszög köré írt körének középpontja akkor és csak akkor esik a leghosszabb oldal felezőpontjába, ha a háromszög derékszögű.

17 . modul: LOGIKA 7 IV. Skatulyaelv Mintapélda 6 Gondold át az A és a B esetet: A: Van 5 gyufaszálam és 0 dobozom, amelyekbe a gyufaszálakat rakhatom. B: Van 0 gyufaszálam és 5 dobozom, amelyekbe a gyufaszálakat rakhatom. Válaszd ki, hogy melyik állítás biztosan igaz (I), melyik hamis (H), és melyik lehet igaz is és hamis is (L)! A B. Minden dobozba kerül gyufaszál.. Minden gyufa egy dobozba kerül.. Pontosan egy üres gyufásdoboz van. 4. Biztosan van olyan doboz, amiben pont egy gyufa van. 5. Biztosan van olyan doboz, amibe legalább egy gyufa kerül. 6. Biztosan van olyan doboz, amibe legfeljebb egy gyufa kerül. 7. Biztosan van olyan doboz, amibe kettő gyufa kerül. 8. Biztosan van olyan doboz, amibe egynél több gyufa kerül. 9. Biztosan van legalább egy üres doboz. 0. Két üres gyufásdoboz van.. Legalább két üres doboz van.. Legfeljebb két üres doboz van.. Biztosan van üres gyufásdoboz. 4. Biztosan van legalább két olyan gyufásdoboz, amibe több gyufa kerül. A megfogalmazások jól mutatják, hogy amikor valamit kimondunk, törekedjünk a pontosságra és az egyértelmű megfogalmazásra. Egy-egy apró megjegyzés vagy változtatás nagy hatással lehet a mondanivalónk megértésére és jelentésére.

18 8 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A B esetben kevesebb a gyufa, mint a doboz, maradnia kell üres doboznak. Előfordulhat olyan eset is, hogy gyufa van 0 dobozban (ekkor öt üres doboz is van), vagy minden szálat egy dobozba raktunk (ekkor 4 üres doboz van). Tehát legalább öt üres doboz marad (öt vagy több). Az is elmondható, hogy legfeljebb 4 üres doboz van, vagyis az üres dobozok száma 5 és 4 között lehet. Mi a helyzet gyufaszál és doboz esetén? Milyen állításokat tudunk megfogalmazni? Most több gyufa van, mint doboz. Ebből az következik, hogy biztosan van olyan doboz, amiben egynél több szál gyufa található. Ha úgy rakom szét a gyufákat, hogy minden dobozba rakok egy szálat, akkor marad még gyufaszál, amit el kell raknom valahová: teljesül az állítás. Elmondható-e ez gyufa és doboz esetén? Természetesen nem, mert az is előfordulhat, hogy minden dobozba jut - gyufaszál. Tehát nem mondható el, hogy biztosan marad üres doboz, vagy lenne legalább két gyufát tartalmazó. Előfordulhat, hogy van üres doboz, de az is, hogy nincs, és hogy a dobozokban egy vagy több szál van. Az viszont elmondható, hogy akkor és csak akkor van üres doboz, ha van olyan doboz, amibe több szál gyufát is raktunk. Skatulyaelv: ha k tárgyat kell n dobozban elhelyezni, akkor a következőket mondhatjuk: k < n esetén biztosan marad legalább n k üres doboz k > n esetén van legalább egy olyan doboz, amiben legalább két tárgy van. Mintapélda 7 Egy kalapban van 5 piros, 5 fehér, 5 sárga és 5 kék golyó. Legalább mennyit kell kihúzni becsukott szemmel, hogy biztosan legyen közöttük mind a négy színű golyóból? Legrosszabb esetben kihúzok egymás után azonos színűt, tehát legalább 6 golyót kell kihúznom. (Legszerencsésebb esetben az első 4 húzásra 4 különböző színűt húzok, de azt nem mondhatom, hogy biztosan elég 4 húzás; mindig a legrosszabb esetre kell gondolni.)

19 . modul: LOGIKA 9 Mintapélda 8 Adott és 0 között 6 egész szám. Igazoljuk, hogy van köztük legalább két olyan, amelyek összege páratlan. -től 0-ig 5 páros, és 5 páratlan szám van. A 6 egész szám között biztosan van olyan, aminek a paritása eltérő, így azok összege páratlan. Mintapélda 9 Egy 0 cm oldalú, négyzet alakú céltáblára véletlenszerűen lövünk 6 lövedéket. Igaz-e, hogy van közöttük legalább, amelyek távolsága legfeljebb cm? A 00-es tábla felbontható 5 darab, cm-es kis négyzetre. A 6 lövedék között biztosan van olyan, amelyik azonos négyzetbe csapódik be, és ezek maimális távolsága a négyzet átlója:, 8. Ennél a nagyobb, ezért van két olyan lövedék, amelynek a távolsága legfeljebb. Mintapélda 0 Igazoljuk, hogy egy fős osztályban van legalább 4 tanuló, akik a hétnek ugyanazon a napján születtek! A skatulyaelv szerint a hét minden napjára elhelyezve tanulót lesz legalább egy nap, amelyre 4 kerül. A legrosszabb eset elve szerint: ha minden napra tanuló jutna, akkor tanuló járna az osztályba, tehát a -ediknek valamelyik naphoz kell kapcsolódnia, negyedikként.

20 0 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Indirekt bizonyítási módszer (kiegészítő anyag) Mintapélda Megmutatjuk, hogy egy társaságban mindig akad legalább két olyan ember, akinek azonos számú ismerőse van a társaságban, ha az ismeretség kölcsönös. Vizsgáljuk meg fős társaságban: vagy nem ismerik egymást, és ekkor mindkettőjüknek 0 ismerőse van, vagy ismerik egymást, és ekkor mindkettőjüknek ismerőse van a társaságban. fős társaságban az ismeretségeket gráfokkal is szemléltethetjük, azaz az embereket pontokkal jelöljük, és két pontot akkor kötünk össze egy szakasszal, ha az emberek ismerik egymást. Általánosítsunk: tegyük fel, hogy n fős társaságban mindenkinek különböző számú ismerőse van: 0,,,, n. Az n ismerőssel rendelkező ember mindenkit ismer, tehát nem lehet olyan, aki senkit nem ismer. Ha viszont van olyan a társaságban, aki senkit sem ismer, akkor egyiküknek sem lehet n ismerőse. Ez azt jelenti, hogy a 0 és az n ismeretség közül legfeljebb csak az egyik teljesülhet. Ez ellentmondás, vagyis nem lehet mindenkinek különböző számú ismerőse. Beláttuk, hogy van legalább két olyan ember, akinek azonos számú ismerőse van a társaságban. A fenti gondolatmenet az indirekt bizonyítás példája, amit a matematikában sokszor alkalmazunk. Lényege, hogy az eredeti állítás ellenkezőjét (tagadását) tesszük fel, és ezt kezdjük el bizonyítani. A végén ellentmondáshoz jutunk. Tehát célunk az, hogy a bizonyítás során találjunk egymásnak ellentmondó tényeket. Ezzel látjuk be, hogy a feltételezett állítás tagadása lehetetlen (hamis), és ekkor épp az ellenkezője (az eredeti állítás) teljesül. Indirekt bizonyítási módszerrel még találkozni fogunk ebben a tanévben, például annak bizonyítására, hogy nem racionális szám. Indirekt (fordított irányú) bizonyítást akkor alkalmazunk, ha az állítás bebizonyításánál sokkal könnyebb igazolni azt, hogy az állítás tagadása (ellenkezője) nem teljesül.

21 . modul: LOGIKA Feladatok 4. Egy osztályban az osztálylétszám 5 fő, és egy dolgozatnál van A, B és C csoport. Igazold, hogy van legalább 9 olyan tanuló, aki azonos csoportba kerül! 5. 4-féle pizzából rendeltek. Legalább hány fős társaság esetén mondhatjuk el, hogy biztosan van olyan pizza, amelyet legalább fő rendelt? 6. Mennyi az a legkisebb vevőszám egy DVD-boltban, amikortól elmondható, hogy egy kategóriából legalább ember vásárolt? A kategóriák: romantikus, horror, akciófilm, vígjáték, mese. 7. Legalább hány fős az osztály, ha teljesül, hogy legalább tanuló biztosan ugyanabban a hónapban született? 8. Igazold a következő állítást: ha egy sorban, széken ül 9 ember, akkor van olyan szomszédos szék, amelyen ülnek emberek. 9. Adott n házaspár. A n ember közül mennyit kell kiválasztanunk, hogy biztosan akadjon közöttük házaspár? 0. Egy főiskolán szakra lehet felvételizni, de egy személy csak egyre jelentkezhet. Legalább hányan felvételiztek, ha biztosan van olyan szak, ahová legalább 4 ember jelentkezett?. Egy szakképző központban 0-féle szakmát lehet tanulni. Hány tanuló esetén mondható el, hogy biztosan van olyan szakma, amit legalább 8 ember tanul?. Egy utazási iroda 6 horvátországi utat ajánl nyárra. Legalább hány jelentkező esetén mondhatjuk el, hogy biztosan van olyan út, amire legalább 8 ember jelentkezett?. Adott 7 pont egy cm sugarú körben. Igazold, hogy van legalább két olyan pont, amelyek cm-nél közelebb vannak egymáshoz!

22 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kisleikon Ha HA AKKOR kapcsolattal két kijelentést összekapcsolunk, akkor új kijelentés keletkezik. Ezt a kapcsolatot implikációnak nevezzük. Általános alakja: HA feltétel, AKKOR következmény. Az implikáció logikai értéke hamis, ha a feltétel igaz, és a következmény hamis. Minden más esetben az implikáció logikai értéke igaz. Ekvivalenciának nevezzük az AKKOR ÉS CSAK AKKOR kapcsolattal kifejezett logikai műveletet. Az ekvivalencia logikai értéke akkor igaz, ha a két állítás logikai értéke megegyezik. Az akkor és csak akkor kapcsolatot a matematikában olyan tételeknél használjuk, amelyek oda-vissza érvényesek ( megfordíthatók ). Skatulyaelv: ha k tárgyat kell n dobozban elhelyezni, akkor a következőket mondhatjuk: k < n esetén biztosan marad legalább n k üres doboz k > n esetén van legalább egy olyan doboz, amiben legalább két tárgy van.

23 . MODUL A négyzetgyök fogalma, azonosságai Készítette: Gidófalvi Zsuzsa

24 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. A négyzetgyök fogalma Mintapélda Helyezzük el az alábbi műveletek eredményeit a számhalmazok közötti kapcsolatot kifejező halmazábrán! Q Z a + 7 5; b ( + 7) 5 ; N c 8 5 ; d 5 8 ; 4 e ; 5 80 f. 90 Azt mondjuk, hogy a természetes számok halmaza az összeadás és a szorzás műveletére nézve zárt. A kivonás kivezethet a természetes számok halmazából: pl. a d már negatív egész szám. Az egész számok halmaza az összeadás, kivonás és szorzás műveletére nézve zárt. Az osztás kivezethet az egész számok halmazából, pl. e és f már nem egész számok. Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, racionális számoknak nevezzük.

25 . modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI 5 Feladatok. Írd fel az alábbi racionális számok tizedes tört alakját: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) A feladat megoldása során azt tapasztaltuk, hogy az eredményként kapott számok tizedes tört alakja vagy véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Ez általánosan is elmondható: A racionális számok tizedes tört alakja vagy véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Ennek indokolása a modul végén, a kisleikonban található. Léteznek olyan tizedes törtek is, amelyek végtelenek, de nem szakaszosak. Ez azt jelenti, hogy vannak olyan számok, amelyek nem racionális számok. Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük. Az irracionális számok tizedes tört alakja végtelen, nem szakaszos tizedes tört. Irracionális számot magunk is készíthetünk például a következőképpen: egymás után írjuk a tizedes vessző után a pozitív egész számokat: 0, a hármasok számát mindig eggyel növeljük: 5, Irracionális számot másképp is előállíthatunk. Nézzük a következő feladatot!

26 6 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda Adott egy téglalap, amelynek oldalai 6 és 8 egység hosszúak. A téglalapot egy vágással oszszuk két egyenlő területű részre! Határozzuk meg a vágás hosszát! a) Ha valamelyik oldalfelező mentén vágjuk ketté a téglalapot, akkor a vágás hossza valamelyik oldal hosszával egyezik meg. b) Ha az átló mentén vágjuk ketté a téglalapot, akkor a vágás a téglalap átlója, hossza a Pitagorasz-tétellel kiszámolható Az átló hossza egy olyan nemnegatív szám, amelynek a négyzete 00. Ezt a számot a 00 négyzetgyökének nevezzük és a következőképpen jelöljük: c) Ha a vágás metszi a hosszabbik oldalt, trapézt kapunk. A vágás hosszát ekkor is a Pitagorasz-tétel segítségével tudjuk meghatározni. A PQR derékszögű háromszögben RQ 8, ( 8 ) y + 6 +, y , y helyére olyan számok írhatók, nullánál nem kisebbek és négynél nem nagyobbak: 0 4. Határozzuk meg az y értékét néhány lehetséges értéke mellett!

27 . modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI 7 0 esetén: a vágás pontosan a téglalap átlója lesz, 0. esetén: y y 7. esetén: y y 5.,4 esetén: y 4,4, , 4 y 46,4. esetén y y esetén y y 6 6. Ebben az esetben a téglalap egyik középvonalát kapjuk. d) Ha a vágás metszi a rövidebb oldalt, szintén két egyenlő területű trapézt kapunk. A vágás hosszát ekkor is a Pitagorasz-tétel segítségével tudjuk meghatározni. ( 6 ) y y y helyére olyan számok írhatók, amelyek nullánál nem kisebbek, és háromnál nem nagyobbak: 0. Határozzuk meg az y értékét néhány lehetséges értéke mellett! 0 esetén: a vágás pontosan a téglalap átlója lesz, 0. esetén: y , y 80., esetén: y 4, 4, , 9, y 75,9. esetén: y , y 68.

28 8 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE esetén y , y A vágással most a téglalap másik középvonalát kapjuk. Ebben a feladatban a vágás hosszának meghatározása során egy szám négyzetgyökét kaptuk. Azt a nemnegatív számot, amelynek a négyzete, négyzetgyök kettőnek, a négyzete három, négyzetgyök háromnak, a négyzete 64, négyzetgyök 64-nek, stb. nevezzük. Ezeket a következőképpen jelöljük: ; ; 64 ; stb. A négyzetgyökök között racionális és irracionális számok is lehetnek. Igazolható például, hogy irracionális szám (a bizonyítás a modul végén, a kisleikon után található). További irracionális számok a, 5, π stb. Milyen számhalmazon értelmezhető a négyzetgyök? Mintapélda Határozzuk meg a következő számok négyzetgyökét (ha van): 4 5; 6; 0; ;,44; esetén két olyan valós szám van, amelynek a négyzete 5. Ezek a 5 és a +5, hiszen ( 5) 5 és 5 5. Megállapodás szerint közülük a nem negatívot nevezzük négyzetgyök 5-nek: esetén nincs olyan valós szám, amelynek a négyzete 6, mivel minden valós szám négyzete nemnegatív szám lesz. Így a 6 halmazán. nem értelmezhető a valós számok 0 esetén egy olyan valós szám van, amelynek a négyzete , mert 0 0.

29 . modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI esetén két olyan valós szám van, amelynek a négyzete 9 4. Közülük a nemnegatív a 4 4 négyzetgyök:, mert. 9 9,44 esetén két olyan valós szám van, amelynek a négyzete,44. Közülük a nemnegatív a négyzetgyök:,44,., mert (, ), 44 5 esetén két olyan valós szám van, amelynek a négyzete 5. Közülük a nemnegatív a négyzetgyök: 5, mert ( 5) 5. Legyen a 0. a jelenti azt a nemnegatív valós számot, amelynek a négyzete a. ( a ) a. Feladat. Határozd meg a következő számok négyzetgyökét: 00; 5; 49; 0,0; 0,5; ;. 9 4 Vizsgáljuk meg, mivel egyenlő a a kifejezés! A definícióban az áll, hogy a négyzete a, azaz ( a ) a Például 4 értéke, vagyis a esetén 4 a, a a a Mi a helyzet a esetén? Ekkor ( ) 4. Vajon igaz-e, hogy a a? egyenlőség teljesül. a, vagyis nem teljesül a a a egyenlőség. A négyzetgyök definíciója alapján a négyzetgyökjel alatt csak nemnegatív szám szerepelhet. Most az a 0 feltételnek kell teljesülni, ami minden valós számra igaz is. Azonban a gyökvonás eredménye a definíció értelmében nem lehet negatív szám. Ez azt jelenti, hogy a a a egyenlőség nem teljesülhet, ha a negatív szám. Vizsgáljuk meg a következő eseteket, hogy a megoldást megtaláljuk! ( ) ; ( 5) 5 ; ( 8) 8 ; ; 5 5 ; 8 8.

30 0 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A példákból látható, hogy a a teljesül, ha 0 a és a a, ha a 0. Vagyis: Minden a R esetén teljesül a a a összefüggés. Feladat. Határozd meg a következő négyzetgyökös kifejezések értékét: ; 4 y ; 6 ; 8 y. Az ókorban alakult ki a racionális és irracionális szám fogalma. A középkori Európában a számok gyökének jelölésére a latin radi (gyökér) szó első betűjét használták. A mai gyökjel alkalmazása körülbelül 400 éve vált általánossá. Szakaszok összemérhetősége (olvasmány) Két szakaszt összemérhetőnek nevezünk, ha megadható olyan egység, amelynek mind a két szakasz többszöröse. 5 7 Például az és a hosszúságú szakaszok összemérhetők, hisz mind a kettő az hosszúságú szakasznak a többszöröse: az első 5-szöröse, a második pedig 8-szorosa. 4 Két olyan szakasz, amelyeknek a hossza racionális számmal adható meg, mindig összemérhető. Az egység az a tört lesz, amelynek számlálója és a nevezője a két tört nevezőjének legkisebb közös többszöröse. A négyzet oldala és átlója már nem összemérhető, hisz ha a négyzet oldalának hossza racionális, az átlóé irracionális. Ezt a megállapítást már a görög matematikusok bebizonyították. Mi a könyvünkben nem térünk ki a bizonyítására. Irracionális számok helyének meghatározása a számegyenesen (olvasmány) A számegyenesen minden eddig megismert szám ábrázolható. Vajon hol helyezkednek el az irracionális számok a számegyenesen? A feladatokban kiszámoltuk, hogy léteznek irracionális hosszúságú szakaszok is. Vajon hogyan lehet megszerkeszteni a Ezekre a kérdésekre keressük a választ. hosszúságú szakaszt?

31 . modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI A geometriában találkoztunk már -vel: az egységnyi oldalú négyzet átlójának hossza éppen egység. Ha ezt megrajzoljuk, akkor az átlót körzőnyílásba véve a hosszúságú szakasz rámérhető a számegyenesre, amelyen az e szerkesztésben alkalmazott egység szerepel. Feladat 4. Hogyan lehet megszerkeszteni a és a 5 hosszúságú szakaszt? n hosszúságú szakasz ( n N ) mindig megszerkeszthető, például az ábrán látható csigavonallal: Ezek a szakaszok körzőnyílásba véve rámérhetőek a számegyenesre. Nem minden irracionális számot lehet megszerkeszteni. Pl. a π nem szerkeszthető meg.

32 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Számok négyzetgyökének meghatározása zsebszámológéppel. a) Egyszerű számológéppel: Beírjuk azt a számot, amelynek a négyzetgyökét szeretnénk meghatározni, majd lenyomjuk a jelű billentyűt. Például: 7, 5 4,5, vagy 456, 078,6 A zsebszámológép típusától függ, hogy a végeredményt hány tizedesjegy pontossággal írja ki. Mi most két tizedesjegyre kerekítettük. b) Van olyan számológép, amelynél először a négyzetgyökjelet nyomjuk le, és utána kell megadni azt a számot, amelynek a négyzetgyökét akarjuk meghatározni. c) Van olyan számológép is, amelynél a sorrend: szám, nd, lépésekkel történik egy szám négyzetgyökének meghatározása. Megjegyzés: A számológépek sokfélék. Mindenki ismerje meg a saját gépét, hogy azon miként határozható meg egy szám négyzetgyöke. Feladat 5. Zsebszámológép segítségével határozd meg két tizedesjegyre kerekítve a következő számokat: 4,7 ; 50, ; 0, 007 ; 6 ; 4 6 ; 7 8 ; 7 8 ; ; ; ;. 8 8

33 . modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI II. Négyzetgyökökre vonatkozó azonosságok Mintapélda 4 a) Határozzuk meg 900 négyzetgyökét! 900 0, mert Észrevehetjük, hogy , és 0 0. A szorzat négyzetgyöke egyenlő a tényezők négyzetgyökének szorzatával. b) Számítsuk ki a 5 60 szorzat pontos értékét! Előző észrevételünket visszafelé alkalmazva a tényezők szorzatából vonjunk négyzetgyököt Négyzetgyökök szorzata egyenlő a négyzetgyökjel alatti mennyiségek szorzatának négyzetgyökével. Ennek alapján általánosan felírhatjuk a következő azonosságot: a b a b, ahol a 0 és b 0. (I.) Ezt az azonosságot úgy is fogalmazhatjuk, hogy szorzatból tényezőnként lehet négyzetgyököt vonni, ha mindegyik tényezőnek létezik a négyzetgyöke. Mintapélda 5 Határozzuk meg 7 tört pontos értékét! Az I. azonosság alapján

34 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Ha átírjuk az eredeti törtet alakba, akkor a 6 6 hányadost kapjuk. Ennek alapján általánosan felírhatjuk a következő azonosságot: a a, ahol a 0 és b > 0. (II.) b b Hányados négyzetgyöke egyenlő a számláló és a nevező négyzetgyökének hányadosával. Két négyzetgyök hányadosa egyenlő a gyökjel alatti mennyiségek hányadosának négyzetgyökével. Mintapélda 6 a) Határozzuk meg 4 négyzetgyökének harmadik hatványát! ( 4) 8. b) Határozzuk meg a nak a négyzetgyökét! A két egyenlet jobb oldala egyenlő, így az egyenlőség tranzitív tulajdonsága miatt felírhatjuk az alábbi egyenletet: ( 4 ) 4. Négyzetgyök hatványa egyenlő a gyökjel alatti mennyiség hatványának négyzetgyökével. Hatvány négyzetgyöke egyenlő a hatványalap négyzetgyökének hatványával. n n ( ) a a ahol 0 a. (III.) A megfogalmazott azonosságoknál mindig figyelni kell arra, hogy az összes szereplő kifejezés értelmezhető legyen. Alkalmazásuknál a felírt egyenlőségeket mindkét irányba olvasva felhasználhatjuk. Az azonosságok bizonyítása a modul végén, a kisleikon után található.

35 . modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI 5 Feladat 6. A négyzetgyökök szorzatára és osztására vonatkozó azonosságok alapján határozzuk meg a következő négyzetgyököket! a) 8 4 ; 9 5 ; 6 00 ; ; b) 7 ; 50 0 ; ; ; c) 0 40 ; 0 90 ; 0 60 ; 0 50 ; d) 6 ; 8 7 ; 5 ; 7 ; e) ; ; ; ; ; f) ; ; 7 ; 48 ; Mintapélda 7 Melyik szám nagyobb: 5 vagy 5? 5 5,66 és Tehát 5 > 5. Általánosságban elmondható, hogy nagyobb számnak nagyobb a négyzetgyöke. Erre egy másik modulban, a függvények tanulásakor még visszatérünk.

36 6 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 8 Végezzük el a következő műveleteket! a) ( 5 7 ) ( ) ; b) ( ) ; c) ( + 5) ( 5). Megoldások: a + b a b a b azonosságot! a) Használjuk fel az ( ) ( ) ( 5 7 ) ( ) ( 5) ( 7 ) b) Használjuk fel az ( ) a b a ab + b azonosságot! ( ) ( ) + ( ) c) Használjuk fel a négyzetgyökvonás azonosságait! ( + 5) ( 5) ( ) 5 ( 5) Mintapélda 9 Számítsuk ki a következő kifejezések értékét: a) ; b) + +. Megoldások: a) Alkalmazzuk a I. azonosságot: ( ) ( 4 7 ) b) Alkalmazzuk a négyzetre emelés és a négyzetgyök I. azonosságát! ( + ) ( )

37 . modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI 7 III. Műveletek négyzetgyökökkel Mintapélda 0 Számítsuk ki a következő kifejezés értékét: 45 0! A tanult azonosságokat alkalmazva kapjuk, hogy , valamint Így a kifejezés értéke A négyzetgyökjel alatti számot úgy alakítottuk szorzattá, hogy a szorzat egyik tényezője négyzetszám legyen, és ezt kiemeltük a négyzetgyökjel alól. Feladatok 7. Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét: a) ; b) ; c) ; d) Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét! a) ; b) ; c) ( ) ( ) +.

38 8 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda Számítsuk ki a 5 kifejezés pontos értékét! A négyzetgyökjel előtt álló számot a négyzetgyök definíciója alapján felírhatjuk gyökös alakban, és alkalmazva a négyzetgyökvonás azonosságait, közös gyökjel alá írhatjuk. Feladat 9. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét: a) 5 ; b) ; c) 0 ; d) Mintapélda Számítsuk ki zsebszámológéppel, mennyivel egyenlő a következő két kifejezés értéke: és +.,467 ; +, 467. Úgy találjuk, hogy a két tört értéke jó közelítéssel megegyezik. Az igazság az, hogy a két tört értéke pontosan megegyezik. Mivel végtelen, nem szakaszos tizedes törtek (irracionális számok) szerepelnek a feladatban, a pontos egyezést kerekítéssel nem lehet igazolni. Helyette olyan műveletet keresünk, amelynek segítségével a két kifejezés azonos alakúra hozható. A mintapéldához hasonlóan sok probléma esetén megoldást nyújthat, ha a négyzetgyökös törtes kifejezéseket úgy alakítjuk át, hogy a nevező ne tartalmazzon négyzetgyököt. Ezt hívjuk a nevező gyöktelenítésének. Jellemző módszere a tört bővítése: olyan kifejezést keresünk, amellyel a nevezőt meg kell szoroznunk, hogy eltűnjön a négyzetgyök. Természetesen nemcsak a nevezőt szorozzuk, hanem bővítünk, hogy ne változzon a tört értéke.

39 . modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI 9 Mintapélda Gyöktelenítsük a következő kifejezések nevezőjét: a) ; b) 6 ; c). a). Azért választottuk a kifejezést, mert egyrészt ennek az értéke -gyel egyenlő, vagyis a tört értéke nem változik, ha megszorozzuk vele; másrészt a két tört nevezőjét összeszorozva gyökjel mentes kifejezést, -t kapunk.. A kapott kifejezés nevezőjében négyzetgyök nem szerepel, ez a feladat megoldása b). A most kapott kifejezésből még a nevező is eltűnt, a feladat megoldása. c) + +. Azt a kifejezést kellett megkeresni, amellyel a kifejezést megszorozva a kapott eredmény gyökjelmentes kifejezés. a + b a b a b. Szorzáskor nevezetes azonosságot használunk: ( ) ( ) ( )( + ) ( ) ( ) + +. A gyöktelenítés eredménye +. Most már érthető, hogy miért kaptunk a. mintapéldában számológéppel egyenlő eredményeket és + esetén.

40 40 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladat 0. Gyöktelenítsd a következő törtek nevezőjét: 5 a) ; b) ; c) ; b) Mintapélda 4 Melyik szám nagyobb? a) 7 vagy ; b) 0 vagy. 6 4 a) Alkalmazzuk a gyökjel alá bevitelt: Mivel a nagyobb számok négyzetgyöke is nagyobb, 7 >. b) Most is alkalmazzuk a gyökjel alá történő bevitelt: illetve A gyökjel alatti törteket közös nevezőre kellett hoznunk, hogy össze tudjuk azokat hasonlítani. Mivel >, a megoldás: > Feladatok. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! a) 8 7 ; b) ; c) ; d) Végezd el a következő műveleteket! a) ( 5 + ) ( 4 5) ; b) ( 4 + ) ( ) c) ( + 4 5) ( 4 5) ; d) ( 7 ) ; e) ( ) ; ; f) ( + 5) ; g) ( 5 ).

41 . modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI 4. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! a) ; b) ; c) ; d) + ; e) ; f) ; g) Melyik szám nagyobb? a) 6 vagy 8 ; b) 4 vagy 5 ; c) 5 5 vagy 8 ; d) 5 vagy ; 7 5 e) 5 4 vagy Adott A 50 és B Melyik állítás igaz? A > B vagy A < B? 6. Végezd el a következő műveleteket! a) ; b) 7 8; c) ; d) ( ) ( ). 7. Gyöktelenítsd a következő törtek nevezőjét! a) ; b) 8 ; c) 5 5 ; d) 4 ; e) Számítsd ki a következő kifejezések helyettesítési értékét, ha : a) + + ; b)

42 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kisleikon Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, racionális számoknak nevezzük. Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük. Tizedes tört alakjuk végtelen, nem szakaszos tizedes tört. A négyzetgyök fogalma Legyen a 0. a jelenti azt a nemnegatív valós számot, amelynek a négyzete a. ( a ) a. A négyzetgyök azonosságai I. azonosság: a b a b, ahol a 0 és b 0. II. azonosság: a b a, ahol a 0 és b > 0. b III. azonosság: ( a ) n n a, ahol a 0.

43 . modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI 4 Tételek és bizonyítások Tétel: A racionális számok tizedes tört alakja véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Bizonyítás: Legyenek p és q (q 0) egész számok, és osszuk el p-t q-val. Amennyiben az osztás során maradékul nullát kapunk, akkor a q p racionális szám tizedes tört alakja véges. Ha az osztás során nem nulla a maradék, akkor a lehetséges maradékok,,, q. Így az osztás közben legfeljebb q lépés után újra olyan maradékot kapunk, ami már szerepelt. Egy idő után a maradékok ismétlődnek, tehát a tizedes tört végtelen szakaszos lesz. Tétel: A irracionális szám. Bizonyítás: A bizonyítás indirekt módszerrel történik. Tegyük fel, hogy a felírható két egész szám (p és q) hányadosaként: olyan tört alakba, amelyet tovább már nem tudunk egyszerűsíteni. Vagyis létezik olyan p és q Z + p, hogy, és p és q relatív prímek: (, q) q p. Négyzetre emelve p, amiből q p. Azt kaptuk, hogy p páros. Ez csak úgy lehet- q séges, ha p is páros, azaz p. Ekkor 4 p, és q miatt q is, végső soron q is páros. p Ha q is páros és p is páros, akkor legnagyobb közös osztójuk legalább. Ez ellentmond annak a feltételnek, hogy p és q relatív prímek. Mivel feltételezésünk ellentmondásra vezetett, az eredeti állítás igaz. Megjegyzés: a fenti módszer segítségével belátható, hogy minden olyan a > 0 valós szám esetén, amely nem négyzetszám, a irracionális. I. azonosság: a b a b, ahol a 0 és b 0. Bizonyítás: Mindkét oldal nemnegatív, ezért a négyzetgyöküket hasonlíthatjuk össze. A négyzetgyök definíciója alapján: ( a b ) a b; ( a ) a; ( b ) b; a b ( a ) ( b ). A hatványozás azonossága alapján: ( a ) ( b ) ( a b ) ; a ) ( b ) ( b a.

44 44 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mivel az 0 esetén az függvény szigorúan monoton növekvő, így ( a b ) ( a ) ( b ). II. azonosság: Bizonyítás: A négyzetgyök definíciója alapján: a b a b a, ahol a 0 és b > 0. b b a. ( a ) a; ( b ) b; a ( a ). b ( b ) a ( a ) Így: b ( b ) A hatványozás azonossága alapján: a b. a b. Mivel az 0 esetén az függvény szigorúan monoton növekvő, így a b a. b n n III. azonosság: ( a ) n n a, ahol a 0. Bizonyítás: A bal oldalt négyzetre emelve a hatványozás azonosságai és a négyzetgyök definíciója alap- n ján: ( a ) ( a ) ( a ) a n n n A jobb oldalt négyzetre emelve a négyzetgyök definíciója miatt: ( a ) a.. A két oldal négyzete tehát egyenlő. Nemnegatív számok esetén az függvény szigorúan monoton növekvő, így ( a ) n n a.