A valószínőség folytonossága

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A valószínőség folytonossága"

Mária Gál
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 Valószíőségszámítás és statszta elıadás f. BC/B-C szasa. elıadás szeptember 9. Megszámlálható valószíőség mezı Ω{ω, ω,,ω, }, A P Ω. Jelölés: p P ω, valószíőségelszlás: p, az összegü. A σ-addtvtás matt tetszıleges A eseméyre megy a véges esetre láttt számítás: A ω p : ω A : ω A Példa: Háyadra dbju az elsı fejet egy szabálys érmével? p /,, A valószíőség flytssága Állítás. Ha A A,, és A A... ar az A A jelöléssel lm A A Bzyítás. A A A \ A A \ A3. dszjut felbtás, tehát a P A \ A + A \ A sr verges. A fet felbtást A -re alalmazva: A A + A \ A + + A + \ A Eseméye uójáa valószíősége A B PA + PB PA B Példa: Magyar ártyacsmagból étszer húzu vsszatevéssel. M a valószíősége, hgy húzu prsat? A: elsı prs, B: másd prs AB/4, A B/ Tehát A B7/ PA B C PA + PB + PC PA B PA C PB C + PA B C zta Pcaré frmula Képlet az általás esetre: + A A A ahl Aj j j < j <... < j az téyezıs metszete valószíőségee összege. j Alalmazás Ha az egyes eseméye és metszete s egyfrmá valószíőe, ar + A A A A Átfgalmazás metszetere: A A A A Megállapdás:. Példa: M a valószíősége, hgy adtt számú cadbásból mde számt legalább egyszer megaptu?

2 s s Megldás A : az számt em dbtu A A Feltételes valószíőség. Az A eseméy valószíőségét eressü. Tudju, hgy B eseméy beövetezett. A relatív gyarságal: csa azat a ísérleteet ézzü, amelyebe B beövetezett. Eze részsrzatba az A relatív gyarsága: r A B / r B d d Feltételes valószíőség. Megfelelıje a valószíőségere: A B A B B az A eseméy B-re vatzó feltételes valószíősége feltétel: B>. Példa: cadbás. A{párs számt dbu} B{3-ál agybbat dbtu} A B/3. Példá, szmulácó Mtavétel Mty Hall játé: 3 ajtó özül ell a játésa választaa. Egy mögött yereméy autó va, a más ettı mögött ecse. Mutá választttu, a mősrvezetı yt egy más ecsés ajtót. Eze utá döthetü: tartu az eredet választásu mellett, vagy a harmad, még bezárt ajtót választju ább. M a jó stratéga? zmulácó Teljes eseméyredszer Defícó. Eseméye A, A,..., srzata teljes eseméyredszer, ha egymást párét zárjá és egyesítésü Ω. Tulajdság: P A + A +... Legtöbbször véges s elembıl álló teljes eseméyredszereet vzsgálu. Teljes valószíőség tétele. Legye B, B,..., pztív valószíőségő eseméyebıl álló teljes eseméyredszer, A A tetszıleges. Er P A A B B + A B B... + Bzyítás. A A B A B dszjut tagra btás, tehát A A B + A B +... és P A B A B B adja a tételt.

3 Példá Összetett mdelle pl. emtıl függı valószíősége: a szívaság valószíősége a férfaál., a ıél. Tfh. ugyaay a férf, mt a ı. M a valószíősége, hgy egy találmra választt ember szíva? A teljes eseméyredszer: {férf} {ı}. p./+./.55 Bayes tétele Legye B, B,..., pztív valószíőségő eseméyebıl álló teljes eseméyredszer, A A pztív valószíőségő. Er A B B B A A B B Vsszaöveteztetés az elsı lépés eredméyére. Bzyítás. A evezı éppe P A a teljes valószíőség tétele matt. A számláló pedg P A B, defícó szert. Példa Ha egy találmra választt ember szíva, m a valószíősége, hgy férf? p.5/.5+.5/. Ha egy, az egészségesere 5% eséllyel téves dagózst adó szőrıvzsgálatál betege tőü, ar a betegség téyleges valószíősége p a betegség vszge, {Bbeteg, Eegészséges} a teljes eseméyredszer: B pzpz BB/pz BB+ pz EEp/p+.5-p vszg. pztív teszteredméyél Betegség valószíusége vszg az adtt ppulácóba Eseméye függetlesége Ha a B eseméy beövetezése em beflyáslja az A valószíőségét, azaz A BA, ar azt mdju, hgy az A és B függetlee. Ez így em deáls defícó em szmmetrus, P B> ell hzzá, ezért Defícó. Az A és B eseméye függetlee, ha A BAB. Példá Húzu egy lapt egy magyarártyacsmagból. A: prs B: ász. P A/4, P B/8, P A B/3, tehát függetlee. A függetleség agy rta azs ísérletbıl meghatárztt eseméyeél! Tpus eset függetleségre: A az elsı, B a másd ísérlet eredméye. Tulajdság Ha A és B dszjuta, ar csa trváls P A vagy P B esetbe függetlee. Ha A és B függetlee, ar mplemetere s függetlee. Ömagutól csa a trváls eseméye függetlee. A B eseté csa ar függetlee, ha legalább az egy trváls. 3

4 Általásítás Két eseméyredszer függetle, ha az elsı tetszıleges eleme függetle a másd tetszıleges elemétıl. eseméy függetle, ha P A. A A A... A teljesül tetszıleges < < < dexsrzatra és mde számra. Megjegyzése Nem elég a fet szrzat-tulajdságt -re megövetel. Ha csa ez teljesül: párét függetleségrıl beszélü. függetle ísérlet eseté az egyes ísérletehez tartzó eseméye függetlee. A gyarlatba ez a tpus, fts elıfrdulása ee a függetlesége. Klasszus valószíőség mezı eseté függetle ísérleteet végezve, a edvezı és az összes eseméye száma s összeszrzód. Példa: szabálys cával dbva: elsı dbás párs és a másd hats3/3. Tvább általásítás Végtele s eseméyt függetlee evezü, ha tetszılegese választva özülü véges sat, függetle eseméyeet apu. Végtele s függetle ísérlethez tartzó valószíőség mezı s értelmezhetı. Ha A az -ed ísérlethez tartz, ar A,A,, A, függetle. Valószíőség váltzó. A legtöbbször em maga a ísérlet meetele a realzálódtt elem eseméy haem egy számszerősíthetı eredméy az érdees. Példa: par termelés mıségelleırzés: a érdés az esetleges selejtese száma, em pedg az, hgy ptsa mely elemeet s választttu. gyarlat esetbe em s adód természetese az Ω halmaz pl. dıjárás megfgyelés. Valószíőség váltzó. Mtavétel példa flyt. N termé, elemő mta. Ω elemszáma: N elejtese száma X: és özött szám. Matematalag: X : Ω R függvéy Feltétel: legye értelme pl. aa a valószíőségérıl beszél, hgy Xa. Haslóéppe más természetes feltétele s legye valószíősége. Frmálsa: megöveteljü, hgy {ω: Xω B} A teljesüljö mde, az tervallumból megszámlálhatóa s halmazmővelettel elıállítható B-re. A gyarlatba általába em jelet prblémát. Példá Kcadbás: X a dbtt szám. Ω{,,,}, X. Értéészlete: {,,,}. X az elsı lya dbás srszáma, amr jö. Ω{,,,} {,,,} {,,,}... X értéészlete: {,, } Ipar termelés: X az elsı selejt gyártásáa dıptja. X értéészlete: R +. X egy adtt termé hssza. X értéészlete: R + részhalmaza em szüséges elızetese rlátz. 4

5 Dszrét valószíőség váltzó Defícó: az X dszrét valószíőség váltzó, ha értéészlete x,, x legfeljebb megszámlálható. A valószíőség váltzó defícójából adódóa {ω:xω x }{Xx } A azaz p :P Xx értelmes. Eze meg s határzzá X elszlását. Véges vagy megszámlálható valószíőség mezı mde valószíőség váltzó dszrét. Nem célszerő a természetszerőe flyts értéészlető X dszretzálása egyszerőbbe a flyts mdelle. Példá dszrét valószíőség váltzóra Xωc mde ω-ra. Elevezés: elfajult elszlás. Xc. X ar, ha egy adtt, p valószíőségő A eseméy beövetez és ülöbe elevezés: az A eseméy dátra. P X-p P Xp Példá. A bmáls és a hpergem. el. összehaslítása Mtavételél legye X a mtába levı selejtese száma. Vsszatevéses esetbe bmáls elszlás: M M X,..., N N Vsszatevés élül esetbe: M N M hpergemetra elszlás P X,..., N p,4,35,3,5,,5,, Hp.gem N,M Bmáls p.5 Tulajdság Ha X dszrét valószíőség váltzó, f :R R tetszıleges függvéy, ar f X s dszrét valószíőség váltzó. Példa: X a gyárttt termé hssza mm-be. Tegyü fel, hgy P X8 P X/5. T.f.h. az deáls a mm. Er a d X- elszlása: P d/5, P d P d /5. Teljes eseméyredszer Ha X dszrét valószíőség váltzó, ar az A {ω:xω x } eseméye teljes eseméyredszert alta. 5

Hasonló dokumentumok

Ismétlés: Visszatevéses mintavétel. A valószínőség további tulajdonságai. Visszatevés nélküli mintavétel. A valószínőség folytonossága

Ismétlés: Visszatevéses mintavétel. A valószínőség további tulajdonságai. Visszatevés nélküli mintavétel. A valószínőség folytonossága Valószíőségszámítás és statsztka elıadás f. BC/B-C szakskak. elıadás szeptember. Ismétlés: Vsszatevéses mtavétel N termék, melybıl M selejtes elemő mta vsszatevéssel A: ptsa k selejtes va a mtába k k k,,