24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

Átírás

1 Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció ) Ismétlés élüli permutáció: Def.: dr ülöözı elem egy lehetséges sorredjét z elem egy ismétlés élüli permutációjá evezzü. Def.: ftoriális ltt értjü pozitív egész számo -tıl -ig terjedı szorztát. A 0 és z ftoriálist -e értelmezzü. Jele:! Tétel: dr elem összes ismétlés élüli permutációi szám: P () ( )...! Bizoyítás: Válsszu z elemeet sor egymás utá, z elsıvel ezdve. Az elsı helyre -féle elemet válszthtu. A másodi helyre már cs (-)-félét, így z elsı ét helyre ( ) félét, mivel z elsı elem ármely válsztásához (-)-féle elemet válszthtu másodi helyre. A hrmdi helyre (-)-féle elemet válszthtu és így tová, övetezı helyre midig egyel evese lehetıségü v z elem válsztásár, mit z elızıél. hely.. 3. (-).. lehetıség - - Így ülöözı elem összese () ( )...! -féle sorrede írhtó fel. ) Ismétléses permutáció: Def.: Adott dr elem, melye özött egyformá is lehete. Eze egy lehetséges sorredjét z elem egy ismétléses permutációjá evezzü. Tétel: Adott dr elem, melye özött d egyform ( ), töi elem pedig ezetıl és egymástól is ülöözı. Eor z eleme összes ismétléses! permutációi szám: P.! Bizoyítás: H z összes elem ülöözı lee, or így z összes sorredjei szám! lee. Eél yilvá evese v, hisze z ismétlıdı eleme mitt izoyos sorredeet töször számoltu. Mide igzáól ülöözı sorredet yiszor számoltu meg, háyszor d egyform elemet egymás özött sor redezhetjü, eze szám pedig! Így z összes sorred: P!!

2 Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele Tétel: Adott dr elem. Eze özött ; ; 3 ; ; i dr egymás özt egyform (de töitıl ülöözı) elem v, hol.... Eor z elem összes lehetséges sorredjée 3 i! szám: P,,...,i!!... i! Bizoyítás: Az elızı izoyítás töszöri (összese i-szeres) llmzásáól övetezi. Péld: 0 üveggolyó özül piros, é, 4 sárg és 3 pedig zöld. Háyféle ülöözı ylácot tudu észítei? Vriáció ) Ismétlés élüli vriáció: Def.: Adott dr ülöözı elem, eze özül iválsztu drot ( ) úgy, hogy iválsztás sorredje számít és egy elemet cs egyszer válszthtu i. Eor z elem egy -d osztályú ismétlés élüli vriációját pju. Tétel: elem -d osztályú ismétlés élüli vriációi szám:! V () ( )... ( ). ( )! Bizoyítás: Megjegyzés: ) Ismétléses vriáció: eseté ez éppe z ismétlés élüli permutáció. Def.: Adott dr ülöözı elem, eze özül iválsztu drot úgy, hogy iválsztás sorredje számít és egy elemet árháyszor válszthtu. Eor elem egy -d osztályú ismétléses vriációját pju (-r itt em ell feltétel, lehet -él gyo is.),i Tétel: elem -d osztályú ismétléses vriációi szám: V Bizoyítás: Az elemıl hely midegyiére egymástól függetleül mid z elemet,i elhelyezhetjü. V... Komiáció hely.. 3. (-).. lehetıség - - -(-) -(-) ) Ismétlés élüli omiáció: Def.: Adott dr ülöözı elem. Eze özül iválsztu drot ( ) úgy, hogy iválsztás sorredje em számít és egy elemet cs egyszer válszthtu i. Eor z elem egy -d osztályú ismétlés élüli omiációját pju.

3 Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele! Tétel: elem -d osztályú omiációi szám: C! ( )! Bizoyítás: Válsszu i drot úgy, hogy sorredjü is számítso, így! sorrede szám: V () ( )... ( ). ( )! Eor mide igzi iválsztást töször számoltu, mégpedig yiszor, háyszor iválsztott d elemet egymás özött sor redezhetjü. Eze szám:!, tehát omiáció szám: ( ) V! ( )... ( ) C!! ( )!! ) Ismétléses omiáció: Def.: Adott dr ülöözı elem. Eze özül iválsztu drot úgy, hogy iválsztás sorredje em számít és egy elemet árháyszor válszthtu. Eor z elem egy -d osztályú ismétléses omiációját pju. Tétel: elem -d osztályú ismétléses omiációi szám: C, i Bizoyítás: Az ismétléses omiációál cs z számít, hogy melyi elemıl háy drot válsztu i. Kódolju le z ismétléses permutációt, ód válssz el ülöözı elemeet / jel, özöttü pedig legye yi o, háyszor ismétlıdi z dott elem iválsztás, például ooo/oo/oo/ /o//oo Aháy féle ilye sorozt észíthetı jeleıl, yi ismétléses omiáció v. H dr elemıl drot válsztu, or d elválsztójel ( / ) és d pötty (o) v ód. Eze lehetséges sorredje (modju ismétléses permutáció épletével), zz z ismétléses omiáció szám: C, i ( )!! ( )! Péld: Háyféleéppe helyezhetü el 5 levelet 6 reesze, h levele özött em teszü ülöséget és egy reesze tö levelet is tehetü? c) A iomiális együtthtó tuljdosági Def.: lú ifejezése iomiális együtthtó, hol, Z 0 megdj, hogy egy elemő hlmz háy elemő részhlmz v 0 és továá ( )

4 Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele Tétel: Biz.: yilvá yiféleéppe tudu elemıl -t iválszti, mit elemıl zt z ( ) -t, mit voltéppe em válsztu i. De természetese lgeri úto is ijö. Tétel: Biz.: lgeri úto triviális ijö. Egy elemő iválsztás vgy trtlmz egy elıre dott elemet, vgy em. H trtlmzz z elıre dott elemet, or töit válszthtju szdo mrdéól, ez így dr iválsztás. H em trtlmzz iválsztott elemet, or z összeset szdo válszthtju mrdéól, ez pedig lehetıség. Összese tehát elemıl féleéppe válszthtu i drot. d) A iomiális tétel: özismerte z lái zoosságo: ( ) ( ) ( ) Ezt áltláosítj iomiális tétel: ( ) vgyis ( ) 0 Allmzáso: mtemti: - iomiális tétel - esete összeszámolás (ár gyorlti élete) egyé: - szerecsejátéo (esélye iszámolás: rulett, tippmix, szerepjáté) - sttisztiá észítése - vlószíősége iszámítás (idıjárás, iztosítási eseméye) - ódoláso (ódo lehetséges szám) - trigoometrius ddíciós tétele iszámolás omplex számoo eresztül

5 Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele Gráfelmélet: A gráf potoól (csúcsoól) és éleıl álló hlmz, hol z éle csúcsot öte össze. (Az éle lj özömös, de mide éle ét végpotj v.) Gráfo megdás: síeli árávl szomszédsági mátrixszl: felsorolássl A B C D A 0 B 0 0 csúcso: A, B, C, D éle: AB, AB, AC, AD, BC, CD, DD C 0 D 0 Két csúcs szomszédos, h vezet öztü él. A mátrix ármely ét csúcs özti éle számát jelöljü. Def.: huroél: töszörös él: izolált csúcs: oly él, melye ezdı és végpotj zoos h ét csúcs özt egyél tö él vezet oly csúcs, melyıl em idul él egyszerő gráf: oly gráf, mely em trtlmz huroélet és töszörös élet sem iráyított gráf: oly gráf, melye ülöséget teszü z éle ezdı- illetve végpotji özt csúcs foszám: elıle iiduló éle szám (huroél ). Jele: ϕ (csúcs) (izolált csúcs fo 0) Tétel: Bármely (véges) gráf csúcso foszámi összege z élszám étszerese. Biz: A foszámo összegée mide élet étszer számolu, ét végpotjáál. Tétel: Mide (véges) gráf pártl foú csúcso szám páros. Biz: Mivel foszámo összege páros z elızı tétel mitt. Tétel: Mide egyszerő gráf v ét zoos foszámú pot. Biz: Idiret, tegyü fel, hogy mide csúcs foszám ülöözı egy csúcsú gráf. Mivel egy csúcs foszám mximum lehet, ezért z csúcs ülöözı foszámi cs eze lehete: 0,,,,. Ez zo elletmodás, mert ulldfoú csúcs izolált, míg z -ed foú csúcs mide mási csúccsl össze v ötve.

6 Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele üres gráf: oly gráf, mely em trtlmz élt teljes gráf: oly egyszerő gráf, melye mide csúcspár éllel v összeötve, ( ) teljes csúcsú gráf jele: K, éleie szám: omplemeter gráf: egy egyszerő gráf omplemeter gráfj z z egyszerő gráf, melye csúcsi ugyzo, de ét csúcsot or és cs or öt össze ee él, h z eredetie em. ( ) Gráf és omplemeterée élszámösszege. Egy gráf omplemeterée omplemetere z eredeti gráf. A teljes gráf omplemetere z üres gráf és fordítv. sét: gráf éleie egymáshoz cstlozó sorozt örsét: oly sét, melye ezdı- és végpotj zoos vol: oly sét, melye ics ismétlıdı él (csúcs lehet) út: oly sét, melye ics ismétlıdı csúcs (így persze él sem) ör: oly sét, melye ezdı- és végpotj zoos, és eze ívül ics ee ismétlıdı csúcs Tétel: H egy gráf ét csúcs özött or és cs or v sét, h út is. Biz: ) h v út v sét is (mide út sét is) ) h v sét, és ics ee csúcsismétlıdés, or z út is h v oly sét, mie elıfordul ismétlıdés, or csúcsismétlıdés özti részt elhgyv rövidíthetjü sétát, midddig, míg v ismétlıdı csúcs (mivel gráf és sét véges, z eljárás végetér), és z így pott sét már út lesz. Tétel: H egy gráf mide csúcs leglá másodfoú, or v ee ör. Biz: ostrutív: válsszu i csúcso özül egyet, idulju el csúcsól iiduló egyi éle. Ezt folyttv el em dhtu, cs or, h már oly csúcs jutottu vissz, melyet már éritettü (hisze mide csúcsól leglá ét él idul, tehát hov eljuthtu, o tová is hldhtu egyszer). Mivel gráf véges, ezért elı-utó visszjutu egy oly csúcs, melye áthldtu, és ilul ör. Def.: Egy gráf összefüggı, h ármely ét csúcs özt vezet sét (vgy út). Tétel: Egy csúcsú összefüggı gráf leglá élő. Biz: teljes iducióvl ) egycsúcsú gráf leglá 0 éle v étcsúcsú összefüggı gráf leglá éle v: ) Tfh: csúcsr igz, zz egy csúcsú összefüggı gráf éle v. Kell, hogy egy csúcsú összefüggı gráf éle v.

7 Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele H egy csúcsú összefüggı gráf v elsıfoú csúcs, or zt elhgyv z élével, mrdé gráf összefüggı (hisze eddig is vezetett út ármely ét csúcs özt, és z em hszált fel z elhgyott élet). A mrdé csúcsú gráf tehát z iduciós feltétel mitt leglá élet trtlmz, így z eredeti gráf volt leglá él. H egy csúcsú összefüggı gráf ics elsıfoú csúcs, or midegyi csúcs leglá másodfoú (ulldfoú csúcs em lehet z összefüggı gráf). Mivel z éle szám csúcso foszámösszegée fele: ( ) e, ezért leglá él v gráf. Tétel: H egy ( 3) csúcsú (egyszerő) gráf v él, or gráf v ör. Biz: teljes iducióvl ) 3 teljes gráf, v ee ör ) Tfh: -r igz, zz egy csúcsú leglá élő gráf v ör. Kell, hogy egy csúcsú leglá élő gráf v ör. H csúcsú leglá élő gráf v elsıfoú csúcs, or zt elhgyv z élével, mrd egy csúcsú leglá élő gráf, melye z iduciós feltétel mitt v ör, így z eredetie is volt. H csúcsú leglá élő gráf ics elsıfoú csúcs, or elhgyv ulldfoú csúcsot is oly gráf mrd, melye mide csúcs fo leglá ettı, ee pedig egy orái tétel mitt v ör (így z eredetie is.) Def.: f: összefüggı örmetes gráf erdı: örmetes gráf Tétel: Egy csúcsú gráf éle v. Biz: z összefüggıség mitt leglá, örmetesség mitt mximum Def.: ompoes: egy ompoest lot gráf zo csúcsi, melye özt vezet út (H A és B csúcs és B és C csúcs özt vezet út, or A és C özt is, illetve h D és E csúcs özt em vezet út, or ics oly F csúcs, melyre D és F illetve F és E özt vezete út.) A gráf tehát összefüggı részgráfor (ompoesere) esi szét, melye özt em vezet út. Tétel: Kompoestétel: egy gráf éleie szám leglá yi, mit csúcso és ompoese számá ülösége, zz e. Biz: Teljes idució egy csúcsú gráf éleire, felépítjü gráfot éleét. ) Idulju i z üres csúcsú gráfól, erre igz ompoestétel állítás: e 0, és 0 0 ) Tfh, már vlháy él e v húzv és ompoestétel állítás még igz Kell, hogy él htásár még igz mrd ompoestétel.

8 Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele H z újo ehúzott él eddig meglévı ompoese özt vezet, or ét ompoes egyesül, tehát ompoese szám eggyel csöe. Mivel z éle szám eggyel ıtt, ezért z e összefüggés megmrd. Ee z esete h eddig em volt ör gráf, or továr sem lul i. H z újo ehúzott él egy meglévı ompoese elül vezet, or ompoese szám em változi, miöze z éle szám eggyel ı, ezért z e összefüggés megmrd. Ee z esete gráf ör lul i. H gráf e d éle lett, or z üres gráf lévı ompoes cs úgy csöehetett ompoesre, h leglá lépése csöet ompoese szám (zz leglá éle v gráf). Sıt: e eseté cs elsı típusú élet húztu e, vgyis ics gráf ör. e> eseté másodi típusú élet is ehúztu, vgyis gráf v ör. Tehát z erdı (örmetes gráfo) élszám: e. Def.: Euler-vol: oly vol, mely gráf mide élét trtlmzz (cs egyszer). Euler-örvol: oly örvol, mely gráf mide élét trtlmzz. Tétel: Egy gráf or és cs or tlálhtó Euler-örvol, h összefüggı és mide pot foszám páros. Biz: mide csúcspár özt vezet sét z Euler-örvolo, tehát összefüggı és mide csúcsál z Euler-örvol i- és ehld, tehát mide fo ps idulju i egy tetszıleges csúcsól egy éle (mivel fo páros, vezet elıle él), mide csúcsól tová tudu mei foszám párosság mitt, ivéve, h visszjutottu iidulópot (hol már cs ptl foszám mrdt). H eor em mrdt i él, or sét Eulerörvol volt. H imrdt éle, or zo vlhol cstloz z eddig megtett sétához (é) (mert gráf összefüggı volt), és megmrdó csúcso el em hszált foszámi páros (hisze eddig páros foszámot hszáltu el). Eor lehet új örvolt tei imrdó élee (zöld), és elefőzi z eddigi sétá. Mide elefőzésor csöe imrdó éle szám, és véges so lépése elfogy imrdó éle, így ész z Euler-örsét. Tétel: Egy gráf or és cs or tlálhtó Euler-vol, h összefüggı és mximum ét pártl foszámú csúcs v. Biz: mide csúcspár özt vezet sét z Euler-volo, tehát összefüggı és mide csúcsál z Euler-vol i- és ehld, tehát mide foszám páros, ivéve esetleg ezdı és végpotot.

9 Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele H ics pártl foú csúcs, or z elızı tétel mitt v Euler-ör is. Egy pártl foú csúcs em lehet gráf, ugye. H pedig ét pártl foú csúcs tlálhtó gráf, or össü össze zt ettıt egy éllel, így mide csúcs páros foszámú lesz, tehát z elızı tétel mitt v ee Euler-örvol. Elhgyv ehúzott élet, örvolól cs vol lesz, ezdı- és végpotj pedig ét pártl foú csúcs. Def.: Hmilto-út: oly út, mely gráf összes csúcsá áthld (potos egyszer) Hmilto-ör: oly ör, mely gráf összes csúcsá áthld (potos egyszer) Tétel: H gráf létezi oly d csúcs, melyeet z éleivel törölve gráf leglá részre esi szét, or gráf ics Hmilto-ör, h pedig létezi oly d csúcs, melyeet z éleivel törölve gráf részre esi szét, or ics Hmilto-út sem gráf. Tétel: Dirc-tétel: h egy 3 csúcsú gráf mide pot fo leglá, or v gráf Hmilto-ör. Tétel: H egy csúcsú gráf leglá ( ) ( ) Hmilto-ör. éle v, or v gráf Allmzáso: - hálózto (számítógép, ismeretségi, térép, eletromos hálóztterv) - legrövide út eresés - útvoltervezés - csládf