Prof. Dr. POKORÁDI LÁSZLÓ

Átírás

1 Szolnoi Tudományos Közleménye XII. Szolno, 28. Prof. Dr. POKORÁDI LÁSZLÓ RENDSZEREK ÉS FOLYAMATOK GRÁF-MODELLEZÉSE Egy technii rendszer vgy műszi folymt vizsgáltán első fontos állomás z eleme, illetve állpoto özti so esetben bonyolult ölcsönhtásot is jelenthető pcsolto tényéne feltárás és gráfbn történő ábrázolás. A rendszereleme özti pcsolto (például jel- vgy nygármo) leíró gráf elemzésével meg tudju htározni, hogy egy elem melyi más elemere gyorol-e vlmilyen szintű htást. A tnulmány célj egy Szerző áltl idolgozott, jól lgoritmizálhtó módszer bemuttás, mellyel vizsgált rendszer elérhetőségi mátrix meghtározhtó.. BEVEZETÉS A rendszerelmélet gyorlti llmzásibn, megoldás lehetőségéne megítélésében vizsgált rendszer mérete z egyi legfontosbb tényező. A méret eor durván rendszerben szereplő eleme számát jelenti, hol z elemeet intuitív értelemben ell definiálnun. A diszrét állpotterű vgy vlmilyen módon így pproximált (például rbntrtási) folymto ábrázolás, szemléltetése lehetséges állpoto, és z állpot-váltáso lott gráfo segítségével történhet. Egy rendszert elemzése során először nn diszrét gráfjávl (vgy hálóztávl) ell reprezentálni. Ez számos fizii (például eletromos, mechnius, hidrulius) rendszer esetén megtehető. Sőt, prciális differenciálegyenleteel leírt rendszere gráfmodellje is megonstruálhtó [6]. A defetoszópi egy dott szerezeti rész műszi állpotán meghtározás, vlmely elölt vgy megengedett minőségi szinthez történő hsonlítás lpján. Defetószópii rendszervizsgált során ülönféle eleme, ggregáto állpotáról cs bináris (jó hibás) információt állpíthtun meg, illetve zo htásit elemezzün. A tnulmány célj rendszere defetószópii elemzése során llmzhtó önnyen lgoritmizálhtó gráfelméleti, mátrixritmetii módszer bemuttás.

2 A ci z lábbi fejezeteből áll: A 2. fejezetben gráfelmélet, illetve nn ésőbbi vizsgált szempontjából fontos (mtemtii) lpfoglmit ismertetjü. A 3. fejezetben rendszere elérhetőségi mátrixi meghtározásán egy, Szerző áltl idolgozott mátrixritmetii eljárását muttju be. A 4. fejezet egy rövid esettnulmányon eresztül szemlélteti módszer llmzását. 2. GRÁFELMÉLETI ALAPOK Mtemti-történeti forráso szerint z első gráfelméleti mun Szentpétervári Tudományos Adémi özleményeiben jelent meg 736-bn, mior is Leonhrd Euler (77-783) svájci mtemtius, i eor z démi meghívásár Oroszországbn dolgozott, megoldott önigsbergi-hid problémáját. Königsberg (mi nevén Jetyerinburg) Blti-tenger Gdnsi öble özelében Pregolj (Pregel) folyó ét prtján és folyó ét szigetén terült el. A folyó ét szigetét hid ötötté össze egymássl és prtol is (. ábr). Felvetődött érdés, tehetüne olyn sétát, hogy minden hídon pontosn egyszer menjün át, és sét végén visszérjün iindulási pontunhoz. Euler áltlánosságbn oldott meg feldtot. Megállpított, hogy érdésre cs tgdó válsz dhtó: hidt nem lehet ívánt módon bejárni. (Érdeesség, hogy ésőbb mérnöö megoldottá önigsbergi hid problémáját építette még egy hidt.). ábr A öningsbergi hid (forrás: [8]) A gráfelméletne és mérnöi llmzásán iterjedt mtemtii és műszi szirodlm tlálhtó. Például z []; [2]; [4]; [5]; [6]; [7] és [9] publiáció. A gráf olyn lzt, mely pontoból és egyes pontpárot összeötő (nem feltétlenül egyenes) vonldrboból áll. Mtemtii megfoglmzásbn G(P;E;f) gráfon olyn lztot értün, mely P pontoból és bizonyos pontot összeötő E vonldrboból áll. A P hlmz elemeit ponton (esetleg gráf szögpontjin vgy csúcsin), z E hlmz elemeit pedig gráf éleine nevezzü []. A fenti jelölésben szereplő f függvény z E hlmzt épezi le PxP-re, zz bármely e élhez hozzárendel egy pontpárt P hlmz elemei özül. Ezért f-t szoás illeszedési leépezésne is nevezni [2]. Irányított gráfról or beszélün, h z éle végpontjin sorrendjére is teintettel vgyun. A gráfot áltlábn grfiusn ábrázolju lásd ésőbbi esettnulmányt szemléltető 3. ábrát. A gáfo mási ábrázolási, leírási módj pedig belőlü épezhető ülönböző mátrixo llmzás lásd például () egyenletet. 2

3 A gráf szögpontji özti pcsoltot z úgynevezett csúcs- (szomszédossági-, vgy djcenci-) mátrixszl lehet tábláztosn megdni. Az irányíttln gráf A = [ ]-vel jelölt szomszédossági mátrix i-edi sor j-edi eleméne értée jelöli p i és p j szögpontot összeötő éle számát []. Irányított gráf esetén z A mátrix i-edi sor j-edi eleméne értée p i szögpontból induló és p j végpontú éle számát jelöli. A főleg rendszertechnii szirodlm nem fentieben leírt definíciót hsználjá. A rendszere és folymto modellezése szempontjából legfontosbb érdés rendszer elemei, folymt állomási özti pcsolt léténe feltárás. Ezért zt nem szüséges vizsgálnun, hogy szomszédos ponto özött vnn-e többszörös éle és huro éle. Így továbbibn z lábbi definíciót fogju llmzni: Az irányíttln gráf A-vl jelölt szomszédossági mátrix i-edi sor j-edi eleméne értée, h z i-edi és j-edi szögpontot özvetlenül összeöti gráf vlmely éle, illetve, h nem. Mtemtiilg felírv:, h vn olyn él, melyne ét végpontj pi és p j =. (), minden más esetben Irányított gráf esetén z A mátrix eleme pedig:, h vn pi - böl induló és p j - be vezető él =. (2), minden más esetben Könnyen beláthtó, hogy orábbn definiált csúcsmátrixból szignum függvény felhsználásávl lásd (6) és (7) egyenlete megphtó fenti definíció szerinti szomszédossági mátrix. 3. AZ ELÉRHETŐSÉGI MÁTRIX MEGHATÁROZÁSA Egy rendszer elemei özti összetett pcsoltot, egymásr htásot rendszer vizsgálti gráfján úgynevezett elérhetőségi mátrix jellemzi. Egy m szögpontból álló gráf elérhetőségi mátrixán zt z m sorból és oszlopból álló Z mxm = [z ] négyzetes mátrixot értjü, hol:, h pi - csúcsból p j szögpont elérhető z = (3), h nem Egy dott rendszer vgy diszrét állpotterű folymt gráfelméleti vizsgáltánál z egyi fő feldt z elérhetőség, htásgyorlás tényéne egzt feltárás zz z elérhetőségi mátrix meghtározás. Ez mátrix egy rendszer esetén például zt muttj meg, hogy z egyi (z i-edi) 3

4 elem nomáliáj, meghibásodás htássl vn-e mási (j-edi) elem műödésére. Vlmely folymt vizsgált esetén pedig megdj zt, hogy mely állpotoból lehet mely állpotob eljutni. A [4] irodlom lpján z elérhetőségi mátrixot szomszédossági mátrix htványi segítségével tudju felállítni. Ehhez mátrixszorzás szbályin megfelelően htározzu meg z mxm méretű A djcenci-mátrix A 2 [ 2] jelű négyzetmátrixán elemét z: [ 2] = m s= is sj (4) egyenlettel. A orábbi definíciót felhsználv elenthetjü, hogy =, is sj h nem tudun egy lépésben eljutni z i-edi szögpontból z s-edibe (zz h is = ), vgy h z s-ediből j-edibe (vgyis h sj = ). H egy-egy lépésben el tudun jutni p i -ből p s -be és p s -ből p j -be, zz, h is = sj = : [ ] =. is sj 2 Így (4) egyenlettel meghtározott értée fenti szorzto szummázás öveteztében zt dj meg, hogy gráf i-edi szögpontjából hány ülönböző úton tudun ét lépéssel eljutni j-edi szögpontb. Fontos itt megjegyezni, hogy jelen tnulmánybn z ut ülönbözőségén z áltlu érintett szögponto, vgy zo sorrendjéne ülönbözőségét értjü. Az ugynzon szögpontot megegyező sorrendben trtlmzó, de más éleből álló utt zonosn teintjü. Ilyen eset fordulht elő, h gráfon belül ét szögpontot egynél több él öt össze. Ezt z egyszerűsítő feltételt zért vezetjü be, mert végső célun z elérhetőség vgy el nem érhetőség tényéne megállpítás tényleges ut egymástól függetlenül. Vizsgáltun fő célj gráfo szögpontji özt meglévő pcsolto feltárás. Könnyen beláthtó z A szomszédossági mátrix A -vl jelölt -di htványmátrixán eleme zt muttj meg, hogy lépésben z i-edi szögpontból j-edibe hány egymástól fenti értelmezés szerinti független úton lehet eljutni. Enne elentésne pontos, mtemtiilg egzt bizonyítás [4] irodlombn tlálhtó meg. [ ] 4

5 A htványmátrixo [ ] n H = A (5) összegével pott H összegmátrix h eleme zt dj meg, hogy legfeljebb lépésben z i-edi szögpontból j-edibe hány egymástól független úton lehet eljutni. Képezzün H mátrixoból S jelű mátrixot z lábbi függvény szerint: n= hol: S = sign H s [ ] [ ] = sign h (6) és nevezzü el ezeet H mátrix szignum mátrixán. [ ], hη > sign η =, hη = (7), hη < Az így pott szignum mátrixo s elemei zt djá meg, hogy legfeljebb lépésben gráf p i szögpontjából el lehet-e jutni j-edi szögpontjáb (3) egyenlettel megdott elérhetőségi mátrixszl nlóg módon zz: [ ], h pi - csúcsból p j szögpont mximum lépésben elérhető s = (8), h nem Mivel egy m szögpontból álló gráfbn leghosszbb lehetséges élsorozt mximum m élből állht, mely iindulási szögpont ivételével minden hozzá trtozó szögpontot cs egyszer érint zz lehetséges leghosszbb ör, vgy pály, fenti mátrixműveleteet végezzü el m- szer. Az így pott S m szignummátrix lesz vizsgált gráf elérhetőségi mátrix. A fentie lpján megállpíthtó, hogy egy m szögpontból álló gráf A mxm szomszédossági mátrixán ismeretében Z mxm elérhetőségi mátrix egyenlettel meghtározhtó [6]. m n Z = sign A (9) n= 5

6 4. HELIKOPTER FÉKLEVEGŐ RENDSZER VIZSGÁLATA A fentieben leírt módszer szemléltetése érdeében htározzu meg 2. ábrán láthtó heliopter félevegő rendszer elérhetőségi mátrixát rendszer állndósult (beféezett) állpotát vizsgálv. A műödés elemzése során megállpíthtó, hogy, 2 és 3 jelű eleme psszívn teinthető. A ülönféle szűrö nem játszn szerepet rendszer állndósult üzemállpoti során, még jelű fedélzeti feltöltő csonn szerepe cs rendszer rbntrtás során vn. A 9 jelű visszcspó szelepe is psszívn teinthető. De, mivel zo meghtározzá z dott csőszszbn sűrített levegő ármlásán irányát, így rendszer műödését leíró gráfot irányítottá teszi. A fenti megfontoláso, és részegysége műödéséne elemzése lpján tudju felvenni rendszer irányított gráfját, mit 3. ábr szemléltet. 2. ábr Mi-8 Hip heliopter levegőrendszeréne elvi rjz (forrás: [3]) vezérlő berendezés; 2 reduciós gyorsító; 3;4 nyomásmérő; 5 légsűrítő; 6 levegőtrtályo; 7 féberendezése; 8 nyomásutomt; 9 visszcspó szelep; ;3 levegőszűrő; feltöltő cson; 2 ülepítő szűrő. 3. ábr A vizsgált rendszer gráfj (forrás: Szerző) 6

7 7 A (2) egyenlet lpján felírt szomszédossági mátrix: = A. () A fenti A mátrixból iindulv, (4); (5); (6), vlmint (9) egyenlete felhsználásávl vizsgált gráf elérhetőségi mátrix: = Z. () Természetesen bemuttott egyszerű péld esetén gráf (vgy már rendszer elvi rjz) megteintéséből is beláthtó, hogy: z 5 jelű légsűrítőre nem gyorol htást rendszer vlmely más eleméne meghibásodás Z mátrix 5. oszlop cs zérus elemeet trtlmz; 3 és 4 jelű nyomásmérő műszere üzemzvr, meghibásodás nem gyorol htást többi elem műödésére mivel mátrix 3. és 4. sori cs zérus elemeet trtlmzn. Természetesen, egy összetettebb rendszer, tehát bonyolultbb gráf esetén fenti beezdésben tett megállpításo belátás önnyen nem lehetséges, így z ismertetett módszer llmzás szüségessé válht. FELHASZNÁLT IRODALOM [] ANDRÁSFALVI, B., Gráfelmélet, Polygon, Szeged, 997., pp. 74. [2] BRONSTEJN, I. N. SZEMENGYAJEV, K. A. MUSIOL, G. MÜHLIG, H., Mtemtii éziönyv, Typotex, Budpest, 26, pp. 29. [3] ДАНИЛОВ, В.А., Вертолет Ми 8, Транспорт, Москва, 988, pp [4] FAZEKAS, F., Allmzott mtemti II., egyetemi jegyzet, Tnönyvidó, Budpest, 979., pp. 347.

8 [5] POKORÁDI, L., Krbntrtás elmélet, DE MFK, Debrecen, 22., pp.. [6] POKORÁDI, L., Rendszere és folymto modellezése, Cmpus Kidó, Debrecen, 28., pp [7] SZABÓ, I., Gépészeti rendszertechni, Műszi Könyvidó, Budpest, 986., pp. 54. [8] SAIN, MÁRTON, Mtemtitörténeti ABC, Tnönyvidó, Budpest, 977, pp [9] ZADEH, L.A. POLAK, E., Rendszerelmélet, Műszi Könyvidó, Budpest, 972., pp