Hullámtan és optika. Rezgések és hullámok; hangtan Rezgéstan Hullámtan Optika Geometriai optika Hullámoptika

Átírás

1 Rezgések és hullámok; hngtn Rezgéstn Hullámtn Optik Geometrii optik Hullámoptik Hullámtn és optik Ajánlott irodlom Budó Á.: Kísérleti fizik I, III. (Tnkönyvkidó, 99) Demény-Erostyák-Szbó-Trócsányi: Fizik I, III. (Nemzeti Tnkönykidó, 005) Trnóczy T.: Fiziki kusztik (Akdémii Kidó, 963) Trnóczy T.: Hngnyomás, hngosság, zjosság (Akdémii Kidó, 984) Ábrhám Gy.: Optik (Pnem- McGrw-Hill, 998) Sin M.: A fény birodlm (Gondolt, 980) Bernolák K.: A fény (Műszki Könyvkidó, 98) Mátri T., Csillg L.: Kísérleti spektroszkópi (Tnkönyvkidó, 990)

2 Rezgéstn A rezgések típusi Rezgés: Rezgés: f fiziki mennyiség z időnek periodikus függvényeként változik: megdhtó olyn T mennyiség, melyre f ( t + T ) = f ( t) t - re teljesül. T rezgésidő, vgy periódus ν = /T rezgésszám, vgy frekvenci Rezgésről beszélünk kkor is, h vlmilyen fiziki mennyiség egy dott érték körül ingdozik nem feltétlenül periodikusn (pl: csillpodó rezgés). Vgyis rezgés foglm nem teljesen egyértelmű. Hrmonikus rezgés: f ( t) = A sin( ω t + α) T = π ω, ω = πν A rezgés mplitúdój, ω rezgés körfrekvenciáj, α rezgés kezdőfázis, φ = ωt + α rezgés fázis. Anhrmonikus rezgés: Minden olyn rezgést, mely nem hrmonikus rezgés, nhrmonikus rezgésnek nevezünk.

3 A rezgéstn szempontjából sokszor nem lényeges, hogy milyen fiziki mennyiség rezeg! Ennek ok: fiziki mennyiségek, és ezek időbeli lefolyását meghtározó fiziki törvények különböznek, törvények zonos időbeli változást leíró mtemtiki egyenletre vezetnek! Rezgésekkel tlálkozhtunk: mechnikábn, elektromosságtnbn, csillgásztbn (pl. Jupiter holdjink látszólgos mozgás, változó csillgok, npfoltok), tom- és molekul fizikábn, stb. A rezgések néhány fontos lklmzás: Időmérés. Épületek, hidk, járművek tervezése. Földrengések (rezgések) regisztrálás. Hngtn (hngszerek, hngterjedés, stb.) Telekommunikáció (telefon, rádió, televízió, stb.) Orvosi lklmzások (ultrhng, CT, PET, stb.) Űrkuttás (pl. tömegmérés!)

4 Néhány péld rezgést végző fiziki rendszerre rugós ing rugó-tömeg rendszer mtemtiki ing fiziki ing ingór

5 torziós ing hngvill Pohl-féle készülék Az előbbi rendszerek mindegyike péld lehet hrmonikus és nhrmonikus rezgésre is! A rezgés többnyire kis kitérésekre jó közelítéssel hrmonikus, ngyobb kitérésekre nhrmonikus. Az nhrmonikus rezgések periódus ideje függ z mplitúdótól!

6 A hrmonikus rezgés z egyenletes körmozgás vetülete x( t) = x0 sin( ωt + α) Következmény: egy hrmonikus rezgés egy egyenletesen forgó vektorrl szemléltethető!

7 Hrmonikus rezgések összetevése Gykori, hogy egy dott fiziki mennyiség két (vgy több) htás következtében rezeg. Az együttes htás következtében kilkult rezgés megegyezik htások áltl egyenként létrehozott rezgések összegével. Ez z un. szuperpozíció elve, mely lényeges szerepet játszik fizik számos területén! Két fontos lesetet különböztetünk meg: zonos irányú hrmonikus rezgések összetevése, egymásr merőleges irányú hrmonikus rezgések összetevése. Azonos irányú hrmonikus rezgések összetevése y ( t) = sin( ωt + ) y t) = sin( ω t + ) α ( α Egyenlő frekvenciájú eset, zz ω = ω = ω. y t) = y ( t) + y ( ) milyen rezgés? ( t y ( t) = sin( ωt + α), hol = + + cos( α α) tg α = sin α cosα + + sin α cosα

8 Két zonos irányú és zonos frekvenciájú hrmonikus rezgés összege szintén ugynolyn frekvenciájú hrmonikus rezgés, melynek mplitúdóját és kezdőfázisát két összedott rezgés mplitúdój és kezdőfázis htározz meg z előző formulákkl leírt módon. Szemléltetés: oszcilloszkóppl Igzolás: forgó vektorokkl I. y( t) = sin( ω t + α) II. y( t) = sin( ω t + α ) I+II III együtthtóiból III. y( t) = sin( ω t + α) I +II III együtthtóiból = + + cos( α Adott mplitúdók esetén mikor mximális és minimális z eredő rezgés mplitúdój? rögzített és esetén z mplitúdó értékét két rezgés δ = α α htározz meg, ugynis = + + cosδ + fáziskülönbsége cosδ = cos δ = A mximális erősítés feltétele: δ = 0, ±π, ±4π,, mπ,, vgyis rezgések fázis zonos! A mximális gyengítés feltétele: δ = ±π, ±3π, ±5π,, (m+)π,, vgyis rezgések fázis ellentétes! m = 0, ±, ±, ± 3, K tg α = sin α cosα + + α sin α cosα )

9 Különböző frekvenciájú eset ( ω ω) x = cosω t + cos( ωt + δ ) A frekvenciák rány rcionális szám, zz ω n =, hol n ω n és n pozitív, reltív prím egészek. Beláthtó, hogy két rezgés összege olyn periodikus folymtot eredményez, melynek ω = π körfrekvenciáj T = nt = nt T periódus ideje. x = cos nω t + cos( nωt + δ ) z mplitudój A frekvenciák rány irrcionális szám. Beláthtó, hogy két rezgés összege nem periodikus folymt. Lebegés: Szemléltetés hngvillákkl A két rezgés frekvenciáink eltérése sokkl kisebb, mint z összegük: Az mplitudók megegyeznek: Az eredő mplitudó: x = ω ω δ ω + ω δ cos t cos t + A lebegés frekvenciáj z mplitudó ingdozások frekvenciáj: ω ω ωl = Igzolás Excell szimulációvl ν = l = = [ cosω t + cos( ω t + δ )] ν ν = ω «ω ω + ω

10 Egymásr merőleges hrmonikus rezgések összetevése x( t) = sin( ωt + α) y( t) = bsin( ωt + α) Egyenlő frekvenciájú eset, (ω = ω = ω). x( t) = cos( ωt) y( t) = b cos( ω t + δ ) y b = cosωt cosδ sinωt sinδ = y b x cosδ η x = B b O b y sin A δ x cosδ ξ x x + x y b ξ A sinδ xy cosδ = sin b η + B = δ ellipszis egyenlete! A két rezgés összege ellipszisben poláros rezgés. Speciális esetek lineárisn poláros rezgés (δ = 0; π) körben poláros rezgés ( = b és δ = π/; 3π/)

11 Különböző frekvenciájú eset A pont z un. Lissjous-féle görbéken mozog. Közeli frekvenciák esetében: x = cosω t, y = b cos( ω t + δ ) = bcos( ωt + εt + δ H frekvenciák rány rcionális szám, görbe záródik (periodikus mozgás). H frekvenciák rány irrcionális szám, görbe nem záródik (nem periodikus). ) Rezgések felbontás hrmonikus rezgésekre Az olyn egyirányú hrmonikus rezgések összege, melyek körfrekvenciái egy ω körfrekvenci egész számú többszörösei, periodikus folymtot eredményeznek. A rezgés periódus legkisebb frekvenciájú hrmonikus rezgés periódusávl egyezik meg. Igz-e z állítás megfordítás? Fourier tétele Áltlábn bármilyen periodikus folymt ( f(t) = f(t+t) t-re ) egyértelműen előállíthtó olyn, megfelelő mplitúdójú és fázisú hrmonikus rezgések összegeként, melyek körfrekvenciái rezgés körfrekvenciáj és ennek egész számú többszörösei: f ( t) = A + A sin( ωt + α) + A sin(ωt + α ) + K + A sin( nωt + α ) +K 0 n n, hol ω = π T

12 A mtemtikusok sokszor következő lkbn szokták felírni: f ( t) = 0 + ( cosωt + b sin ωt) + ( cos ωt + b sin ωt) + K + ( cos nωt + b sin nω ) +K t n n A rezgés színképének foglm A rezgés Fourier-féle felbontásábn szereplő összetevők mplitúdóink és fázisink grfikus ábrázolás frekvenci függvényében. A α π A A A A A α 3 4 A 5 0 A 6 A α α α 3 4 α 5 7 α 6 α 7 ν ν 3ν 4ν 5ν 6ν 7ν frekvenci 0 ν ν 3ν 4ν 5ν 6ν 7ν frekvenci