Hullámtan. A hullám fogalma. A hullámok osztályozása.

Átírás

1 Hullátan A hullá fogala. A hulláok osztályozása. Kísérletek Kis súlyokkal összekötött ingasor elején keltett rezgés átterjed a többi ingára is [0:6] Kifeszített guikötélen keltett zavar végig fut a kötélen [0:08] Kifeszített rugón keltett zavar végig fut a rugón [0:05, lassított] Kifeszített drótszál elejét hirtelen egcsavarva, ajd a csavarást egszüntetve, a szál többi része időben késve egtekeredik (Julius-féle hullágép) [0:0] Vízfelszínen zavart keltve, a vízfelszín többi része később ozgásba jön [0:07] Szeléltetés filekről (lökéshullá, hőérsékleti hullá, stb) Rugalas közegben keltett deforáció (zavar) a közegben tovaterjed Hullá Valailyen közeg kis tartoányában keltett, a közegben tovaterjedő zavar. Hulláforrás A zavar forrása, vagyis a zavart létrehozó tárgy.

2 A hulláok osztályozása A közeg dienziója alapján beszélhetünk egyenes entén (általánosabban pontsoron) terjedő hulláokról: (pl. rezgő húr) felületi hulláokról (pl. vízhulláok) térbeli hulláokról (pl. hang, fény). A hulláfelületek alakja alapján síkhulláról, göbhulláról, hengerhulláról, stb. A rezgő ennyiség iránya és a terjedési sebesség irányának viszonya alapján longitudinális és transzverzális hullá: longitudinális hullá esetén a rezgés a terjedési irány entén egy végbe, transzverzális hullá esetén a rezgés iránya a terjedési irányra erőleges.

3 A tér- és időbeli lefutás alapján: periodikus hulláok szinuszos vagy onokroatikus hullá, [0:06] hároszög, négyszög, fűrészfog, stb. ne-periodikus hulláok csupán néhány periódust tartalazó hullácsoag (ipulzus), [0:06] zaj A rezgő fizikai ennyiség típusa alapján: elektroágneses hullá (pl. fény, rádióhullá), rugalas hullá (pl. hang, földrengéshullá), vízhullá, (stb). A hullában különböző fizikai ennyiségek terjednek: fázis (rezgési állapo, energia, ipulzus, ipulzusoentu (stb). Pontsor entén terjedő hulláok Milyen ateatikai képlettel írható le ideális esetben azaz torzulás és csillapodás nélkül az x tengely entén terjedő hullá? Az egyszerűség kedvéért vizsgáljunk transzverzális deforációt (könnyebben ábrázolható). Az t időpontban a pontsor x koordinátájú helyén jelölje Ψ a kitérést. Milyen ateatikai képlettel írható le Ψ Ψ(x, függvény?

4 Adott helyen az időfüggést vizsgálva origó f ( Ψ 0 t Ψ f ( t x c) 0 x c x hely t Ha az origóból kiinduló zavar c sebességgel terjed, akkor az x helyen x/c idővel később lesz ugyanaz a kitérés, int az origóban a t időpontban volt. Ψ( x, f ( t x c) O x X f ( a hullá időbeli alakjára jellező! Adott időben a helyfüggést vizsgálva 0 idő ct t idő g(x) g( x x ) 0 O x 0 Ha a zavar c sebességgel terjed, akkor x 0 ct A kitérés hely- és időfüggését leíró képlet x Ψ( x, g( x c g(x) a hullá térbeli alakjára jellező! Nyílván a két nézőpont ne független egyástól, a kapcsolat közöttük: g( x) f ( x c) Haronikus (szinuszos) hullá A tér inden pontjában a hullában rezgő fizikai ennyiség ω körfrekvenciájú haronikus rezgést végez. Szinuszos hullára az időbeli függést leíró függvény: f ( A sin( ωt + α)

5 Az x pontsoron terjedő szinuszos hullá forulája: A a hullá aplitúdója Ψ ( x, A sin ω t x c + α Hulláhossz π ω t x összefüggést felhasználva Ψ( x, A sin T π + α T ct t x Ψ( x, A sin π + α ahol ct T c T ν Ebből az alakból látható, hogy a szinuszos hullá térben és időben periodikus Adott helyen (rögzített x esetén) az időbeli periódus T: periódusidő Adott időben (rögzített t esetén) a térbeli periódus : hulláhossz Mivel a térbeli periódus, nyílván az azonos fázisú helyek között is távolság van! Hullászá Szinuszos hullá fázisa ω π Ψ( x, A sin( ωt kx + α) ahol k c k 1 hullászá, körhullászá x ϕ ( x, ω t + α π c t T x + α ω t kx + α

6 Szinuszos hullá fázissebessége Mekkora a fázis terjedési sebessége, az un. fázissebesség? A t időpontban az x helyen Φ a fázis, Mivel a fázis terjed a pontsor entén, t idővel később (azaz t+ t időpontban) x távolságra (azaz az x+ x helyen) szintén Φ lesz a fázis. Ekkor a terjedési sebesség a v f x/ t. Φ ωt kx + α Φ ω( t + k( x + x) + α ω t k x v f 0 x t ω v f c k Hulláok polarizációja Longitudinális hullánál a rezgések a terjedési irány entén ennek végbe. A terjedési irányon kívül nincs ás kitüntetett irány. Transzverzális hullánál a rezgések a terjedési irányra erőlegesen ennek végbe. A terjedési irányon kívül lehetséges ás kitüntetett irány. Ha a terjedési irányon kívül ás kitüntetett irány is van a hulláterjedés során, akkor azt ondjuk, hogy a hullá poláros.

7 Ezek alapján a transzverzális hulláok polárosak lehetnek. A kitüntetett irány létét guikötélen terjedő hullára egy réssel szeléltethetjük. [0:54] Poláros hulláok fontosabb típusai Lineárisan poláros (vagy síkban poláros) hullá A rezgések a terjedési irányon átfektetett időben állandó helyzetű síkban ennek végbe. A rezgő fizikai ennyiség a tér pontjaiban azonos irányú lineárisan poláros rezgést végez. A rezgések között a hullá fázisának egfelelő fáziskülönbség van. Elliptikusan poláros hullá A rezgések a terjedési irányra erőleges síkban egy ellipszis entén ennek végbe. A rezgő fizikai ennyiség a tér pontjaiban ellipszisben poláros rezgést végez. A rezgések között a hullá fázisának egfelelő fáziskülönbség van. Cirkulárisan poláros (vagy körben poláros) hullá Az elliptikusan poláros hullá olyan speciális esete, ikor az ellipszis egy kör. A rezgő fizikai ennyiség a tér pontjaiban körben poláros rezgést végez. A rezgések között a hullá fázisának egfelelő fáziskülönbség van.

8 Pontsor entén terjedő hulláok interferenciája Interferencia Azon jelenségek összessége, elyek akkor figyelhetők eg, ha a tér egy adott pontjában egyszerre két vagy több hullá találkozik. A jelenség értelezésénél fontos szerepet játszik a szuperpozíció elve. Szuperpozíció elve A találkozó hulláok egyás terjedését ne befolyásolják, a egfigyelhető hulláhatás a hullában rezgő fizikai ennyiségek összege. Ez az elv a legtöbb hullá terjedésére érvényes. Az olyan közeget, aelyre érvényes a szuperpozíció elve lineáris közegnek nevezik. Szinuszos hulláok interferenciája Haronikus hullá esetén a tér adott pontjában egy haronikus rezgés alakul ki, így interferencia esetén haronikus rezgések adódnak össze. Az interferencia leírásához a haronikus rezgések összeadásánál egállapított összefüggéseket kell alkalazni. Két azonos síkban lineáris poláros hullá interferenciájánál az eredő hullá a találkozó hulláokkal azonos frekvenciájú és azonos síkban poláros hullá, elynek aplitúdóját és kezdőfázisát az azonos irányú rezgések összeadásánál egisert képletek adják eg. A hulláok axiálisan erősítik egyást, ha a hulláok azonos fázisban találkoznak, és axiálisan gyengítik egyást, ha ellentétes fázisban találkoznak.

9 Két egyásra erőleges síkban lineáris poláros hullá interferenciájánál a két hullá összege egy ellipszisben poláros hulláot hoz létre, ivel általában két egyásra erőleges haronikus rezgés összege egy ellipszisben poláros rezgés. Ha a két aplitúdó azonos és a fáziskülönbség π/ vagy 3π/, akkor cirkulárisan (körben) poláros hullá jön létre. Ha két hullá azonos vagy ellentétes fázisban találkozik, akkor lineárisan (síkban) poláros hullá jön létre. A rezgési síkot a két aplitúdó aránya határozza eg. a η b B O y A a ξ x Pontsor entén terjedő hulláok visszaverődése Kísérletek b Visszaverődés rögzített végről [0:08] A kísérletek szerint rögzített végről ellentétes fázisban verődik vissza a hullá. Haronikus hulláokra ez π fázisugrást jelent. Visszaverődés szabad végről. A kísérletek szerint szabad végről azonos fázisban verődik vissza a hullá.

10 rögzített vég A visszaverődés szeléltetése aniáció aniáció szabad vég tükrözés (1) tükrözés ()

11 Állóhulláok végtelen és véges pontsoron. Sajátrezgések és sajátfrekvenciák Láttuk, hogy a közeg határához érve a hullá visszaverődik. Ekkor a visszavert és a beeső hullá egyással találkozik, közöttük interferencia lép fel. Vizsgáljuk eg, hogy ilyen hullá jön létre két egyással szebe haladó azonos aplitúdójú és azonos frekvenciájú szinuszos hullá interferenciája során! ( x, A sin t π T x + α Ψ1 1 ( x, A sin t π T x + + α Ψ Ψ x, Ψ ( x, + Ψ ( x, ) ( 1 t v u u + v sin u + sin v cos sin összefüggést felhasználva: A kialakult hulláot állóhullának nevezik. A +x (vagy x) irányba terjedő hulláot haladó hullának is szokás nevezni. A t sin π T x + α + sin t π T x + + α 1 Ψ u π x, A cos α α v π sin T α + α 1 1 ( x + t +

12 Az aniációból és a forulából is látható, hogy a pontsoron vannak olyan pontok, ahol a rezgés aplitúdója zérus. Ezeket a helyeket csoópontoknak hívjuk. Két szoszédos csoópont távolsága a hulláhossz fele (/), ugyanis π α α1 cos x + 0 α α π 1 x + + π + π ( ahol Z ) Két szoszédos csoópont között középen un. duzzadó-helyeken a rezgés aplitúdója axiális. Két szoszédos duzzadóhely távolság szintén /. Két szoszédos csoópont között a rezgések fázisa azonos, a csoópontok ellentétes fázisban rezgő tartoányokat választanak el! π 1 Aiből az indexhez tartozó csoópont helye + α Az álló- és haladó hulláok között lényeges különbség van a rezgések aplitúdójában és fázisában! Haladó hullára az aplitúdó indenhol A, íg álló hullára helytől függően 0 és A között változik. A részecskék azonos frekvenciájú haronikus rezgést végeznek, azonban állóhullá esetén azonos vagy ellentétes fázisban, íg haladó hullánál a helytől függő fázisban különböznek! Haladó hullában a fázis tovaterjed, az állóhullában ne. x α 1 1 Két szoszédos csoópont távolsága x x x + 1 π

13 Állóhulláok kialakulásához az szükséges, hogy a jobboldali végről visszavert hullá a baloldali végen isét visszaverődve egegyezzen a kezdeti hulláal. Mindkét vég szabad t x ( ) t l x Ψ1 ( x, A sin π Ψ ( x, A sin π T T Mindkét vég rögzített kezdeti hullá ( sz) Ψ1 (0, Ψ (0, Ψ1( x, A sin π t T x l π sz π A baloldali végről visszavert hullá egegyezik a kezdeti hulláal, ha ( r) Ψ1 (0, Ψ (0, l π Ψ π rögzített végen π fázisugrás lép fel jobboldali végről visszavert hullá A baloldali végről visszavert hullá egegyezik a kezdeti hulláal, ha kezdeti hullá l 1,, 3, K jobboldali végről visszavert hullá t π T ( r ) ( x, A sin l l x 1,, 3, K

14 Egyik vég szabad (baloldali), ásik rögzített (jobboldali) kezdeti hullá t x ( ) t l x Ψ1 ( x, A sin π Ψ ( x, A sin π T T ( r) Ψ1 (0, Ψ (0, l π jobboldali végről visszavert hullá r A baloldali végről visszavert hullá egegyezik a kezdeti hulláal, ha + π π l 1 1,, 3, K Vagyis, elgondolásunk szerint egy l hosszúságú pontsoron csak olyan állóhulláok alakulhatnak ki, elyek hulláhossza teljesíti a fent levezetett feltételeket! A pontsor sajátrezgései és sajátfrekvenciái Ha a pontsoron állóhulláok alakul ki, akkor a pontsor inden pontja ugyanolyan frekvenciájú haronikus rezgést végez, azonos vagy ellentétes fázisban! Ez pedig éppen azt jelenti, hogy a pontsor lehetséges állóhulláai éppen a pontsor sajátrezgéseivel azonosak. Hasonlóan a kettős inga ozgásához, egutatható, hogy a pontsor általános ozgása előállítható a sajátrezgések szuperpozíciójaként. Más szavakkal: a pontsoron terjedő bárely hullá a pontsor állóhulláainak az összegeként állítható elő.

15 Mivel az állóhulláok hulláhossza ne lehet tetszőleges, így a hozzájuk tartozó frekvenciák a sajátfrekvenciák se vehetnek fel tetszőleges értéket! c ν c ν Mindkét vég szabad Mindkét vég rögzített Egyik vég szabad, ásik rögzített 1 3 l l 1 l l c ν l c ν l c 1 ν guiszál Melde-féle készülék Szeléltetés: Julius-féle hullágép

16 A szuperpozíció elvének szeléltetése (1) Aniáció [0:06] Szebe haladó hulláok rugón

17 A szuperpozíció elvének szeléltetése () Aniáció [0:06] vissza Szebe haladó hulláok rugón