Néhány mozgás kvantummechanikai tárgyalása

Átírás

1 Néhány ozgás kvantuechanikai tárgyalása Mozzanatok: A Schrödinger-egyenlet felírása ĤΨ EΨ Hailton-operátor egállapítása a kinetikus energiaoperátor felírása, vagy 3 dienziós ozgásra, Descartes-féle koordinátarendszerben szükség esetén áttérés (göbi) polárkoordinátarendszerre a potenciális energiaoperátor egállapítása az adott ozgásra kiindulás: klasszikus fizikai összefüggések A Schrödinger-egyenlet egoldása, ill. annak elezése Sajátfüggvények határfeltételek kvantuszáok Valószínűségi sűrűségfüggvény elezése Sajátértékek (kvantáltak) Más operátorok sajátértékei A Heisenberg-elv érvényesülése

2 Haladó ozgás határok között (dobozba zárt részecske odell) V= V= x<0 és x> (x)=0 A hulláfüggvény folytonossága egköveteli, hogy x=0 V=0 x= x (0)= ()=0 legyen. n x o Ψ(x n ) Ψ(x (x o =0, ill. x o =) o ) Ψ Ae ikx Be ikx Euler-egyenlet általános egoldás, l. szabad haladó ozgás e ikx = cos kx + i sin kx és e -ikx = cos kx - i sin kx = A cos kx + Ai sin kx + B cos kx - Bi sin kx = (A + B) cos kx + (A - B)i sin kx = D cos kx + C sin kx

3 (0) = 0 határfeltételből D = 0 ert cos 0 = = C sin kx () = 0 határfeltételből () = C sin k = 0 C = 0 fizikai szepontból érteletlen, ert akkor a hulláfüggvény indenütt zérus lenne, azaz a részecske ne lenne sehol sin k = 0 k = n k=n / E k n π h 4π n h 8 E n n értéke 0 (érteletlen) pozitív egész szá Az energia kvantált!! n: kvantuszá

4 Zéruspont-energia (energia a legalacsonyabb energiájú állapotban, akár az abszolút 0 fokon is rendelkezik ezzel a részecske) E =h /8 Heisenberg-elv érvényesülése: ha a kinetikus energia zérus lenne, akkor az ipulzus biztosan zérus lenne, és a részecske helyzete teljesen bizonytalan lenne. Á a részecske helyzete ne teljesen bizonytalan, ert hiszen véges tartoányban ozog ipulzusa se biztosan zérus, ert E 0. A szoszédos energiaszintek távolsága E=E n+ -E n =[(n+) -n ] h /8 =(n+) h /8 E 0 Ez egfelel annak a tapasztalatnak, hogy a akrovilágban a haladó ozgás kinetikus energiája folytonosan változik

5 Noráljuk a hulláfüggvényt! ( x) ( x) dx [ x] teljesüljön. cos kx C ( x) C ( x) dx C sin kxdx C dx C dx C C 0 0 C 0 k sin kx k=n / 0 C 0 0 cos kxdx C, ebből C A sin kx függvény átalakítása: cos - sin = cos és cos + sin =, ahol = kx cos = - sin - sin cos sin cos

6 Ψ n sin nπ x Csoópontok száa: (n ) a hulláfüggvény értéke 0 a pont kis környezetében előjelet vált ha n, a részecske inden pont környezetében ugyanannyi idő t tölt el. Korrespondencia-elv: 0 (x) végtelen nagy kvantuszáoknál a kvantuechanikai leírás visszaadja a klasszikus echanikai leírás eredényét. 0 x

7 A hulláfüggvény ne sajátfüggvénye az ipulzus-operátornak (a sinusfüggvény deriváltja a cosinusfüggvény). Felírható-e az ipulzusoperátor sajátfüggvényeinek lineáris szuperpozíciójaként? e ikx = cos kx + i sinkx és e ikx = cos kx isin kx e ikx - e ikx = i sin kx ikx sin kx ( e e ikx ) i Igen. Az együtthatók csak előjelükben térnek el, négyzetük tehát egegyezik. Az ipulzus balról jobbra haladva jobbról balra haladva k k n n h nh h nh 50 % 50 % valószínűséggel

8 A haronikus oszcillátor (egydienziós) F = - k x dv = kxdx F dv dx V kxdx kx konstans kx x(t) Acosωt Kétatoos olekula rezgése ω k a körfrekvencia ω k μ ahol μ a redukált töeg

9 Schrödinger-egyenlet: d kx E dx E v (v ) (v ) h ahol v = 0,,,3, a rezgési kvantuszá k a körvfrekvencia, pedig a rezgés sajátfrekvenciája. Zéruspont-energia: E 0 h Magyarázat: a kötött állapot iatt a részecske helyzete ne teljesen határozatlan, ezért ipulzusa ne lehet határozottan nulla, így energiája se lehet zérus.

10 A hulláfüggvény v=0 rezgési kvantuszánál és * axiua az egyensúlyi helyzetnél van,. v0 esetekben a fordulópontoknál. A rezgési kvantuszáal egegyező száú csoópont. v=0 Korrespondencia-elv Fordulópontok : a teljes rezgési energia potenciális energia forájában van jelen, a kinetikus energia zérus. E v V kx f x f E Tartózkodás a tiltott tartoányban (a fordulópontokon kívül) x f v v dx 0.08 v vdx x f k v

11 Körozgás (kétdienziós forgóozgás) z r p (v) x Merev rotátor: r = állandó. V = 0 Ipulzus (lendület) p= v a töegpont töege y Ipulzusoentu (perdület) =rxp

12 Schrödinger-egyenlet: x y E Hengerkoordinátarendszer: r és polárkoordináták r állandó, így egyetlen koordinátával leírható: ANAÓGIA AZ EGYENES MENTÉN TÖRTÉNŐ MOZGÁSSA! Megoldás Egyszerűsíti a ateatikai leírást, ha polárkoordinátarendszerre, pontosabban hengerkoordinátarendszerre térünk át. ( ) l il N e l E l I k helyett az p ipulzus helyett az ipulzusoentu töeg helyett az I=r tehetetlenségi nyoaték

13 Mekkora értéke? A hulláfüggvény egyértékű függvény (valószínűségi értelezés), használjuk ki ezt a tulajdonságát! () = (+) N i l () =N e (+) = N e i N e e l ( l l ) i i i l i l i l e N e e csak akkor teljesülhet, ha e i l e i l ( ) i l ( e ) ( l Elfajult (degenerált) állapotok ) l e i = cos + i sin = = - ha a hatványkitevő páros szá vagy 0 = 0,,,... különböző hulláfüggvényekhez ugyanakkora energia tartozik. Kvantuszá! Kvantált energiaszintek! l E l I

14 További analógiák az egyenes entén történő ozgással Az ipulzusoentu-operátor ˆ z i A töegpont ipulzusoentua ˆ il z Ψ Ne i i l i N e i A sajátérték, z = N e i l A Heisenberg-elv a körozgás esetében Adott esetén az adott hulláfüggvényhez egyféle ipulzusoentu tartozik: az teljesen eghatározott. A részecske helyzete: Ψ l ( il ) N e Ψ l x ( il ) N e * = N e i i = N e 0 = N teljesen határozatlan.

15 Göbi ozgás (hárodienziós forgóozgás) Az töegpont egy r sugarú göb felületén ozog. A rotátor erev (r=állandó), és V=0. A Schrödinger-egyenlet x y z E Göbi polárkoordináta-rendszer z r A d térfogatele d = r dr sin d d A teljes térre vett integrálás határai x y r szerint szerint szerint 0 és. 0 és 0 és

16 A térfogatele göbi polárkoordináta-rendszerben

17 Megoldások: az ún. göbfüggvények, Y, (, ) Y, P ( ) e, P, ( ) A göbfüggvények noráltak: 0 0 Y Energia sajátértékek E i sin és cos polinoja = 0,,,... = 0,,,..., ágneses kvantuszá; (+)-féle érték,, ) Y (, ) sin dd (, l ( ) (+)-szeresen degenerált energiaszintek I I

18 Bebizonyítható, hogy ˆ ˆ z Y Y, Iránykvantálás z =, (, ) Y, (, ) (, ) ( ) Y (, ), Sajátértékek z ( ) az vektor abszolútértéke (hossza) ( ) Az ipulzusoentu z- és x-, ill. z- és y- koponensének operátorai ne fölcserélhetőek, tehát a egfelelő koponensek kopleenter fizikai ennyiségek: érvényes rájuk a Heisenberg-elv. Mivel a z-koponens teljesen eghatározott, az x- és y-koponens teljesen határozatlan. Az ipulzusoentu z- tengelyre eső vetülete csak eghatározott értékeket vehet föl.

19 A göbi ozgás odelljének fölhasználása Kétatoos olekula forgása töegközéppontján átenő tengely körül E J J I J(J ) I I μ r töegközéppont ahol μ a redukált töeg Az atoszerkezet kvantuechanikai leírása