Harmonikus rezgőmozgás

Átírás

1 Haronikus rezgőozgás (Vázat). A rezgőozgás fogaa. Rezgőozgás eírását segítő ennyiségek 3. Kapcsoat az egyenetes körozgás és a haronikus rezgőozgás között 4. A haronikus rezgőozgás kineatikai egyenetei 5. A haronikus rezgőozgás dinaikai fetétee 6. A haronikus rezgőozgás periódusidejének evezetése 7. A rezgőozgás energetikai eírása 8. A ateatikai inga 9. Csiapított rezgések 0. Kényszerrezgés, rezonancia

2 A rezgőozgás fogaa A rugóra függesztett testet, ha egyensúyi heyzetébő kiozdítjuk, akkor két széső heyzet között periodikus ozgást végez. Hasonó ozgást végez az hosszúságú fonára függesztett test, vagy a víz tetején évő habszivacs, ha egyensúyi heyzetébő kiozdítjuk. Rezgőozgásró akkor beszéünk, ha egy testet az egyensúyi heyzetébő kiozdítunk, és ennek köszönhetően a test két széső heyzet között periodikus ozgást végez. A rezgőozgás axiáis kitérését vizsgáva két fajta rezgőozgást küönböztetünk eg:. Csiapítatan rezgőozgás: Időben áandó a axiáis kitérés (ideaizát eset).. Csiapított rezgőozgás: A axiáis kitérés időben csökken.

3 Rezgőozgás eírását segítő ennyiségek Periódus: A ozgás egy periódusának nevezzük a páyának azt a szakaszát, aikor a test a páya egy pontjábó eindu, a két széső heyzetet érinti, és visszatér a kiinduási pontba. Periódus idő: Egy periódus egtéteéhez szükséges idő. Jee: T [T] = s Frekvencia: Egy s aatt egtett periódusok száa. Jee: f [f] = /s (Hz) Apitúdó: Az egyensúyi heyzethez viszonyított axiáis kitérés. Jee: A [A] =

4 Kapcsoat az egyenetes körozgás és a haronikus rezgőozgás között Ha egy rugóra függesztett test rezgését vizsgájuk, és azonos időközönként egfigyejük a kitérést, akkor azt tapasztajuk, hogy a kitérés az idő szinuszos függvénye esz. Az oyan rezgőozgást, aho tejesü, hogy a kitérés az idő szinuszos függvénye haronikus rezgőozgásnak nevezzük. Ha az egyenetes körozgást végző test ozgását a síkjábó vizsgájuk, akkor egy oyan rezgőozgást átunk, aho a kitérés az időnek szinuszos függvénye. Referencia körnek nevezzük annak az egyenetes körozgást végző testnek a páyáját, aeynek sugara egegyezik a vizsgát rezgőozgás apitúdójáva, forduatszáa a rezgőozgás frekvenciájáva.

5 A haronikus rezgőozgás kineatikai egyenetei A haronikus rezgőozgás kineatikai egyenetei abbó a gondoatbó vezethetők e, hogy az egyenetes körozgást végző test ozgását a síkjábó nézve haronikus rezgőozgásnak átjuk. Haronikus rezgőozgás kitérés-idő függvénye Az egyenetes körozgást végző test pianatnyi heyzetének függőeges irányú koponense a haronikus rezgőozgás kitéréséve egyezik eg. y = r sinα Rezgőozgás esetén: r = A y = A sinα α = ω t y = A sin ω t y = A sin π f t y = A sin π/t t Haronikus rezgőozgás sebesség-idő függvénye

6 Az egyenetes körozgást végző test kerüeti sebességének függőeges irányú koponense egegyezik a haronikus rezgőozgást végző test pianatnyi sebességéve. v = v k cosα v = r ω cosα v = A ω cos ω t v = A ω cos π f t v = A ω cos π/t t Ha α = 0, akkor axiáis a sebesség: v ax = A ω Ha α = 80, akkor a sebesség: v ax = A ω Ha α = 90 + k 360 v = 0 Ha α = 70 + k 360 v = 0 Az egyensúyi heyzetben a rezgőozgást végző test sebessége axiáis, a axiáis kitérésné nua. Haronikus rezgőozgás gyorsuás-idő függvénye Mive: y = A sinα a = - y ω Az egyenetes körozgást végző test centripetáis gyorsuásának függőeges irányú koponense egegyezik a haronikus rezgőozgást végző test gyorsuásáva. a = a cp sinα a = r ω sinα a = A ω sinα

7 A gyorsuás egyenesen arányos a kitérésse, de vee eentétes irányú. Erre uta a ínusz eője. a= - A ω sinα a= - A ω sin ω t a= - A ω sin π f t a= - A ω sin π/t t A rezgőozgást végző test gyorsuása akkor axiáis, ha sinα = a ax = A ω A rezgőozgást végző test gyorsuása széső heyzetekben axiáis, és egyensúyi heyzetben nua.

8 Haronikus rezgőozgás dinaikai fetétee Aikor egy ozgás étrejöttének dinaikai fetéteét vizsgájuk, akkor azt nézzük eg, hogy az adott ozgást iyen erő hozza étre. A haronikus rezgőozgás dinaikai fetéteét is Newton II. törvényébő vezethetjük e. F F e e a y a y F e y Haronikus rezőozgást oyan eredőerő hoz étre, aey a kitérésse arányos, de vee eentétes irányú. Rugóáandó (direkciós erő) A rugóáandó száértéke egutatja, hogy a rugó vagy rugaas test egységnyi egnyúását ekkora eredőerő hozza étre. F e y N

9 A haronikus rezgőozgás periódusidejének evezetése A evezetéskor a rugóáandó összefüggésébő induunk ki. 4 T T T T T 4 A rezgőozgás periódusideje függ a ozgást végző test töegétő és a rugóáandótó, de ne függ a ozgás apitúdójátó.

10 A rezgőozgás energetikai eírása Egy töegű testet rugó segítségéve fahoz erősítünk. A test és a taaj között nincs súródás. A testet egyensúyi heyzetébő y távoságra kitérítjük. Ehhez erőre van szükség, és az erő áta végzett unka a test energiáját növei. F r y Az átaunk kifejtett erő a kitérésse arányos. Ha az erőt ábrázojuk az eozduás függvényében, akkor a grafikon aatti terüet érőszáa az átaunk végzett unka érőszáát adja, ai a rugaas energiáva is egegyezik. F y y y W Er y A rugaas energia egyenesen arányos a hosszvátozás négyzetéve, az arányossági tényező a rugóáandó fee. Mechanikai energia egaradásának törvénye rezgőozgás esetén Rugóhoz erősített testet az egyensúyi heyzetébő apitúdónyi távoságra kitérítjük, ajd agára hagyjuk. Bizonyítható, hogy a páya küönböző pontjaiban a rezgőozgást végző test összes energiája áandó.

11 Bizonyítani ehet, hogy az összes energia a páya bárey pontján áandó. cos sin A A v y E E A r ) cos (sin cos sin A A A A

12 A ateatikai inga x K g g cos g sin A ateatikai inga vagy ás néven fonáinga egy hosszúságú fonábó és egy pontszerű töegű testbő á. Ha a fonaat fefüggesztjük, és a pontszerű testet kitérítjük, akkor a test két széső heyzet között periodikus ozgást végez. Ez a ozgás kis 0 kitérés esetén (közeítőeg 5 ) haronikus rezgőozgásként írható e. A fonáinga ozgása összetett ozgás, ert a test két széső heyzet között, körív entén végzi a ozgást (rezgőozgás és körozgás). F sin F g sin g F cos F g cos g Körozgáshoz szükséges erő: F cp = K- g cos (a körozgás ne egyenetes, ert a szög vátozik) A haronikus ozgást F g sin erőkoponens hozza étre. x x sin F g g F x aho x a kitérés (i~x kis szögek esetén) Az érintő irányú erő koponensrő beátható, hogy a kitérésse arányos, de vee eentétes irányú, ezért ez az erőkoponens feeős a fonáinga haronikus ozgásáért. A fonáinga engésidejének (periódusidejének) eghatározása

13 Ai a fonáingáná g g hányados, az a rugóná a rugóáandó. g g 4 T T T 4 g g A periódusidő a foná hosszátó, és az adott heyen a nehézségi gyorsuástó függ, ne függ a test töegtő és az aitúdótó.

14 Csiapított rezgések Csiapított rezgésekrő akkor beszéünk, ha a rugóerőn kívü ás fékezőerő is hat a testre. Iyenkor az apitúdó időben csökken, de a periódus ideje ne vátozik. A rezgőozgást befoyásoó két fontos fékezőerő: Súródási erő: iyenkor a csökkenő apitúdók a kitérés idő grafikonon egyenesre ieszkednek. Közgeenáási erő: iyenkor az apitúdók csökkenése exponenciáis.

15 Kényszerrezgés, rezonancia Kényszerrezgést akkor végez a test, ha egy periódikusan vátozó küső erő is hat rá. Ha a kiskocsit kitérítjük az egyensúyi heyzetébő, akkor egy saját frekvenciáva rezgőozgást fog végezni. Ezt a frekvenciát csak a kocsi töege és a rugóáandók határozzák eg. Ha a kereket áandó forduatszáa kezdjük e ozgatni, akkor a kiskocsi rövid időn beü ugyanezze e frekvenciáva ozog. Iyenkor a kereket gerjesztő rendszernek, a rugók között évő kiskocsit pedig, gerjesztett testnek nevezzük. A kényszerrezgés speciáis forája a rezonancia. Rezonancia akkor következik be, ha a gerjesztő frekvenciája egegyezik a rezgőképes rendszer saját frekvenciájáva. Iyenkor a rezgő rendszer egfeeő üteben kap energia-adagokat, aey az apitúdó növekedésében figyehető eg.

16