37. Mikola Sándor fizikaverseny 2018 Döntő Gyöngyös, 9. évfolyam Gimnázium. Megoldások

Átírás

1 37 Mikoa Sándor fizikaerseny 08 Dönő Gyöngyös, 9 éfoya Gináziu Megodások Egy α = 50 o -os középponi szögű, R = 0,8 sugarú, körí kereszeszeű hengeres áyú úgy an eheyeze a ízszines aajon, hogy feső égének érinősíkja függőeges egyen Ennek a áyúnak egfeső ponjábó kezdősebesség nékü eengedünk egy kiséreű, = 0, kg öegű ese a) Mekkora erőe ha a áyú a kis esre, aikor éppen a páya egasó, A ponján haad á? b) Mekkora a kis esre haó eredő erő ugrása (hireen egáozása) a B ponon aó áhaadás pianaában? c) Maxiáisan iyen agasra eekedik a kis es kényszerpáyájának egéyebb ponjának szinjéő ére a B ponon aó áhaadás uán? (Minden súródás és közegeenáás ehanyagohaó Száojunk g = 0 /s -e!) Megodás a) Tekinsük az ábrá! (dr Wiedeann Lászó, Budapes) A kis esre ha a nehézségi erő, aain a kerese kényszererő Ezek ekori összege okozza a cenripeáis gyorsuás Ezek egy egyenesbe eső, eenées irányú erők, így a ozgásegyene F = a cp egyszerűen feírhaó: ( ) K g =, R ahonnan K = + g R A es A ponbei sebességének négyzee az energiaéebő adódik: ()

2 gr = = gr, () ugyanis a es süyedése éppen sugárnyi nagyságú ()-()-be íra kapjuk a kerese kényszererő nagyságá: gr K = + g = 3g = 3 0, kg 0 = 6 N s R b) Meg ke haároznunk a B ponban haó eredő erő, aey annak ehagyása pianaában a nehézségi erőre áozik A kerese egáozás jeöjük -a! Az ábrábó ászik, hogy a hireen egáozás ( ugrás ) az eredő erő és a nehézségi erő küönbsége agyis a B-ponbei kényszererő eeneje Ennek a nagyságára agyunk kíáncsiak Keressük ehá az oani kényszererő nagyságá! A ozgásegyene szerin: B B KB gcos δ = KB = + gcos δ (3) R R Az i szerepő δ szög az ábra aapján δ = 50 o 90 o = 60 o A B-ponbei sebesség négyzeé az energiaéebő kaphajuk: R g = B B = gr (4) (4)-e(3)-ba íra kapjuk: gr K = + gcosδ = g ( + cosδ ) = 0, kg 0 ( + cos60 ) = 3 N R s c) A kis es a B ponban hagyja e a kényszerfeüee Innen ferde hajíási páyán foyaja újá A páya egasó ponjának szinjéő aó axiáis eekedés H agassága a B pon agasságának és a ferde hajíás axiáis agasságának összege A B pon éppen R/ agasan heyezkedik e, ugyanis az ábrán áhaó BOA hároszög egyenő odaú Ez köekezik abbó, hogy a jeze ϕ szög pószöge δ

3 A hajíás eekedési agasságá a B ponó száíjuk Ehhez szükségünk an a B ponbei piananyi sebesség függőeges koponensének nagyságára, ui az eekedés agassága y sy = ax g A es B sebessége az energiaéebő kaphaó: R g h = B B = g h = g = gr Ennek függőeges koponense: = cos ϕ = gr cos ϕ By B Ezze a ferde hajíás agasságára kapjuk: ( gr cosϕ ) R sy = = ax g Figyeebe ée, hogy a ϕ szög 30 o, a kerese szinküönbség: cos ϕ R R R R 0,8 H = + sy = + cos ϕ = ( + cos ϕ) = ( + cos 30 ) =0,7 ax Egy 40 c hosszú ékony fonára fefüggeszünk egy öegű keény goyó és a fonaa feszesen ara a függőegeshez képes os szögben kiéríjük A kiéríe goyó eredei heyére, a ízszines aajra eheyezünk egy M öegű ásik goyó és a rendszer agára hagyjuk A ké es ökéeesen rugaas üközés uán egyenő nagyságú, eenées irányú sebességge indu a) Mekkora a M/ arány? b) Mekkorák az üközés uáni sebességek? c) Üközés uán iyen agasra eekedik az öegű es? d) Mekkora közeen az üközés eői és uáni pianaban a fonáerők aránya? (Száojunk g = 0 /s -e!) α M Megodás a) Az öegű es heyzei energiája E = g cosα, h ( ) ai eérkezéskor ozgási energiáá aaku, ehá ( cos ), = g α ahonnan a sebesség eérkezéskor: (Dudics Pá, Debrecen) 3

4 = g ( cosα ) = 0 0,4 ( cos60 ) = s s Ekkora sebességge üközik az M öegű goyóa A ökéeesen rugaas üközés uán indké es azonos nagyságú sebességge indu az ábra szerin jobbra, i bara A rugaas üközésre onakozó ipuzus (endüe) és energia egaradásának éee szerin: = M = ( M ) =, (I) M és = M + = ( M + ) (II) (I)-bő a sebessége (II)-be íra kapjuk: = M + M Egyszerűsíe: ( ) ( ) = M + M ( ) ( ) Rendeze: M M + = M + M = 3 M, azaz M =3 b) Az üközés uáni sebessége ennek (I)-be aó beheyeesíésée kapjuk: = s M = 3 = = = s c) Ezze a sebességge indua a es s h = = = 0,05 g 0 s agasra eekedik d) Az üközés eő a cenripeáis (eredő) erő a nehézségi erő és a kerese fonáerő ekori összege: hasonóképpen üközés uán: A keő aránya: = K = g +, K g K K K g = + 4 g ,4 0 = = = =,6 0,5 g + + 0,4 4

5 3 Moorkerékpáros R = 0 sugarú körpáyán nyugai áapobó indua indégig egyeneesen nöekő sebességge haad Az eső = 4 s aa s = 8 ua e eg Induásó száía ennyi idő aa és ekkora ú egéee uán készerezi eg gyorsuásá? (Hoics Lászó, Budapes) Megodás A feadaszöeg szerin a oorkerékpáros kerüei (érinőeges) gyorsuása s 8 a = = = = áandó 4 s s A kerese időpianaban a gyorsuás a = a 0 = a = /s A norágyorsuás (cenripeáis gyorsuás): a ( a) R R Az ábrán uao geoeriai iszonyokbó: n = = a 3 3 n = a = a Beíra a norá-gyorsuás kifejezésé: ( a) a 3, R = Innen a kerese idő: R = = 5,89 s a s Ezaa ege úja s = a = 5,89 s 7,35 s 4 Egy V = kéezer ieres, =,5 éer agas, függőeges engeyű, nyio eejű, körhenger aakú aráy színüig an ízze Éppen ekezd esni az eső, aikor kiyukad a aráy odaa A kerek yuk áérője d =,6 Óránkén 5 eső esik a) Az ajáó ére iyen agasan yukad ki a aráy, ha benne a ízszin ne áozik, aíg az eső esik? b) Ho ér föde a yukon kiöő íz? (A aaj ízszines) c) Legaább ennyi óránkéni eső eseén érne a kiöő íz a aráyó a eheő egáoabb föde? d) Mekkora ez a áoság? (A yukon kiáraó íz páyájá az eső ne zaarja eg Az esőcseppek kis sebességge érkeznek g = 9,8 /s ) (dr Kiss Mikós, Gyöngyös) 5

6 Megodás: A aráy erüee a érfogaábó és agasságbó 3 V V = A A = = = 0,8,5 6 A e = 5 = 6,94 0 h s -6 sebességű eső 6,94 0 ízszin-eekedési sebessége jeenene a aráy eejéné s Az ábra jeöései hasznáa: a) A Bernoui-örény, agy az energia-egaradás aapján a kiáraó íz sebessége: Az eső áa hozo ízennyiség: = gy V = A e Ez a íz áozik a yukon (foyonossági egyene), ezér: A kiöőnyíás kereszeszee A A e = ( ),60 A = r π = π = π =, erüeű Ezze a kiöési sebesség: 6 0,8 6,940 Ae s = = =,76 6 A,00 s A sebességre kapo képebő: 3 d 6,76 s y = = = 0,39, g 9,8 s ezér a yuk h = y =,5 0,39 =, agasságban keekeze b) A kiáraó íz ebbő a agasságbó h = idő aa ér föde Ez aa ízszinesen g kerü arrébb h x = = gy = yh = 0,39, =,84 -re g c) Az x = yh a száani-érani közép egyenőenség aapján akkor a egnagyobb, ha azaz y = h =,5, 6

7 ,5 = yh y = h = =,5 Ehhez = gy = 9,8,5 = 4,95 kiöési sebesség arozik s s Visszaszáoa a foyonossági egyenebő: 6 A,00 e = = 4,95 = -5,44 0 =44,8 A 0,8 s s h Vagyis ha egaább 44,8 eső esik óránkén, akkoró ju e a íz a egesszebbre Enné esszebb ne juha A feeseges íz kifoyik a aráy pereéné d) A áoság ebben az eseben: h x = = gy = yh =,5,5 =,5 g s s 7

8 37 Mikoa Sándor fizikaerseny 08 Dönő Gyöngyös, 9 éfoya Szakgináziu Megodások Egy β =, s - szöggyorsuássa áó heyzebő induó, r = sugarú, ízszines síkú forgó árcsa széére egy kis ese heyezünk a) Miyen irányban repü e a kis es, és b) iyen irányú a esre haó erők eredője a egcsúszás pianaában az induási irányához képes, ha a es és a árcsa közöi apadási együhaó µ 0 = 0,457? (Csányi Sándor, Szeged) Megodás: a) A es érinőeges (angenciáis) gyorsuása: Piananyi sebessége: Cenripeáis gyorsuása: Az eredő gyorsuása: a = βr =a a cp = r r β = + cp = a + a a a r A es akkor csúszik eg, ha a ráhaó erők eredője eghaadja a apadási erő axiuá azaz áaakía: ahonnan az ee idő: ( µ ) Az ehhez arozó szögeforduás: F = a > µ F 0 ny, a r β + > µ 0 r a r β µ ( g ) g, > 0, 0,457 0, 0g a s s r β > 4 = =, s,75 s, s,75 s,838 rad 05,3 ϕ = β = = 8

9 A (ne érearányos) ábra aapján Innen F F cp = gα r ( rβ) = = = β =,,75 s = 3,675 rβ r β r β s α = arcg3,675 = 80, A bezár szög kb 75 fok b) A es érinő irányban áozik, azaz 05,3 fokos szöge bezára az induási irányához képes, a esre haó erők eredője 53 fok + 74,8 fok = 80, fokka fordu e Az ábrán áhaó öegű rúd az azonos hosszúságú és D direkciós erejű rugóka x = 5 c-re nyújoa eg a rendszer nyugai áapoában A rúdra bizonyos agasságbó ráejeünk egy szinén öegű ese Az üközés cenráis o, és a kis es ráapad a rúdra Ez köeően a rugók egnagyobb egnyúása D D négyszeresére nő a) Miyen agasró ejeük a kis ese? b) A es és a rúd ozgása során ekkora o a egnagyobb sebesség? (Suhajda János, Kiskőrös) Megodás a) A kezdei egyensúyi áapoban a rúd súya és a rugóerő nagysága azonos o: g = Dx () A echanikai energia-egaradás örénye szerin: gh =, ahonnan = gh () A rugaaan üközésre a endüe-egaradás örényé D D írjuk fe: = u egáozásáa egyenő: h x 3x Innen u = = 0,5 gh (3) Az együozgó esek eseén a egnagyobb egnyúásná a unkaée szerin ( W = E kin ), agyis a nehézségi erő és a rugóerők összunkája a ozgási energia ( ) g 3x D 4x Dx = 0 u 9

10 6g x D6x + Dx = 0 u Rendeze, és (3)-bó u kifejezésé beheyeesíe, rendeze: Az () egyene figyeebeéeée: ai (4)-be íra kapjuk: 6g x = 0,5 gh + 5Dx (4) D = g x g 6g x = gh + x 6 = gh + gx x Egyszerűsíe és rendeze: Innen a kerese agasság:, 0,5 5 g x 0,5 7,5,5 x = 0,5 h, h = 3x = 35 c = 5 c b) Az együozgó esek az üközés pianaáó kezde efeé gyorsuak indaddig, aíg a rájuk haó erők eredője efeé irányu Az új egyensúyi heyzeen aó áhaadás pianaában: ()-e figyeebe ée: A unkaée akaaza a x egnyúásra: Egyszerűsíés és rendezés uán: g Dy = 0 g g 0 y = x y = x gx D x Dx ax u ( ) = gx D3x = u ax (3) egyene figyeebe éeée, aho h = 3x egyenee fehasznájuk: Egyszerűsíés és rendezés uán kapjuk: g gx 5x = ax 0,5g3 x x g gx 3x = ax 0,5g 3 x gx, 5gx = ax 0,5g 3x, x ahonnan a kerese egnagyobb sebesség: = gx 0 0,05 = s s 0

11 3 Vízszines aajon ozgó M = 0,5 kg öegű hasábra h = 0 c agasságbó = 0, kg öegű gyurá ejünk A hasáb sebessége az üközés kezdeekor 0 = 3 /s A ké es = 0 s időaraú üközés során összeapad a) Mekkora áagos nyoóerő fej ki a gyura a hasábra az üközés aa? b) Mekkora esz az üközés uán a közös sebesség, ha a hasáb és a aaj közöi csúszási súródási együhaó ehanyagohaó? éréke 0,4? (Száojunk g = 0 /s -e!) (Szkadányi András, Baja) Megodás a) A gyura függőeges irányú sebessége az üközés eői pianaban: y = gh = 0 0, = s s A gyura áa kifeje áagos nyoóerő az üközésre függőeges irányban feír endüeée aapján haározhaó eg (pozií irány fefeé): y ( ny ) = F g y s Fny = g + = 0, kg 0 + = s 0 N s b) Ha a súródás ehanyagohaó, akkor a közös sebesség az üközésre ízszines irányban feír endüe-egaradás aapján: ahonnan ( M ) M = +, 0 k M 0,5 kg k = 0 = 3 =,5 + M 0, kg + 0,5 kg s s c) Ha a súródás ne hanyagohaó e, akkor az üközésre ízszines irányban feír endüeée szerin (pozií irány a hasáb eredei haadási iránya): részeeze: + M V = F, M ( ) µ ( ) k + k 0 = Fny + Mg Innen a közös sebesség közeenü az üközés befejeződése uán: M 0,5 kg 3 0,4 N 0,5 kg 0 0 s 0 µ ( Fny + Mg ) s + s k = =,33 + M 0, kg + 0,5kg s

12 4 Egy ponszerűnek ekinheő, = 0,5 kg öegű ese = 30 c hosszú fonára erősíeünk, aeynek ásik égé ízszinesen rögzíe szöghöz kööük Ezuán a fonaa egyenesnek ara az így kapo ingá a ízszinesig kiéríeük a) Legaább ekkora függőeges, efeé irányuó kezdősebességge ke egökni az inga göbjé, hogy az égig haadjon a körpáyáján? b) Mekkora a fonáerő a páya egasó ponjában? c) Az a) -ban száío iniáis sebesség hány százaékáa indíouk efeé az inga göbjé, ha a foná 0 o -os eforduás pianaában azu eg? (A égeenáás ehanyagohaó) (Hoics Lászó, Budapes) Megodás a) A egkisebb sebesség az jeeni, hogy aikor eéri a háronegyed forduao az inga göbje, a fonában égig hasson az egyre csökkenő fonáerő, és a páya egfeső ponjában ájon csak zérussá (Ezuán a fonáerő isé nöekedni fog, agyis az inga göbje oább foyaja körpáyán a ozgásá) Ha aaekkora in sebességge eindíouk a kis ese, féfordua egéee pianaában sebessége isé az indíási sebesség nagyságáa haad, csak fefeé A kerese iniáis sebessége a oábbiakban száíhajuk úgy, inha innen indu ona a kis es A unkaée, aain a Newon-örény adja eg a áasz a kérdésünkre: in = g aho a egfeső ponbei sebesség = g = + g in in A egfeső ponban a körozgáshoz arozó cenripeáis gyorsuás éppen a g nehézségi gyorsuás, er ebben a pianaban sei ás erő ne ha az inga göbjére, in a nehézségi erő Így ez kifejeze a piananyi sebességge és a körpáya sugaráa: g = Innen = g Ez a iniáis indíási sebesség kifejezésébe íra kapjuk az eredény: in = 3 g in = 3g = 30 0,3 = 3 s s b) A páya egasó ponjában Newon II örénye szerin: ax K g =, aho a axiáis sebesség a unkaéebő: Ezze a fonáerő: ax in = g ax = g + in = g + 3g = 5 g ax 5g K = g g 6g 6 0,5 kg 0 s + = + = = = 30 N

13 c) Ha 0 foko fordu e a foná az induásó kezde, akkor abban a pianaban 30 fokos szöge zár be a ízszinesse Mie ekkor a foná egazu, eő kezde csak a nehézségi erő ha az inga göbjére A sebesség- és erőiszonyoka az ábrábó áhajuk: g g 60 o 30 o 0 o x Az ábrábó ászik, hogy a foná egazuása pianaában a cenripeáis gyorsuás éppen g/, ugyanis egy 60 fokos ( szabáyos ), g odaú hároszög egyik odaának a fee Ez, in cenripeáis gyorsuás a piananyi sebességge a köekező kapcsoaban an: g g = = Ekkora sebességge haad i az inga göbje A szabáyos hároszög-részere ekine az ábrán, áhajuk, hogy a ízszines heyzeő aó eekedés agassága éppen / A unkaée isé egadja a áasz kérdésünkre x = g x = + g Beíra a foná azuáskori sebesség kifejezésé kapjuk: A kérdeze százaékarány: x g 3 = + g = g p 3 g x = 000 = 000 = 0,5 000 = ,7 0 in 3g 3