1. Feladatok rugalmas és rugalmatlan ütközések tárgyköréből

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Feladatok rugalmas és rugalmatlan ütközések tárgyköréből"

Brigitta Lakatosné
6 évvel ezelőtt
Látták:

1 1. Feadatok rugamas és rugamatan ütközések tárgykörébő Impuzustéte, impuzusmegmaradás törvénye 1.1. Feadat: Egy m = 4 kg tömegű kaapács v 0 = 6 m/s sebességge érkezik a szög fejéhez és t = 0,002 s aatt fékeződik e, miközben a szög behato a fába. (A szög tömege ehanyagoható a kaapács tömegéhez viszonyítva.) (a) Számítsuk ki az átagos fékező erőt! (b) Számítsuk ki a szög útját a fában! (c) Mekkora munkát végzett a fa a szögön? Megodás: (a) A szögre ható átagos fékező erő aho a negatív eője a fékező hatást fejezi ki. F = P t = m v = 12000N, (1.1.1) t (b) A szög átagos gyorsuása a sebességvátozásáva számoható ki. Amenniyben a szög nem deformáódott az ütés aatt, a kezdeti sebessége meg ke hogy egyezzen a kaapács sebességéve. Ezért a sebesség megvátozása v = v 0. A szög gyorsuása ezért amit fehasznáhatunk a szög áta megtett út meghatározásához. a = v t = 3000m/s2, (1.1.2) s = v 0 t at2 = 0,006m = 6mm. (1.1.3) (c) A fa áta végzett munka a szögön: W = Fs = 72J. (1.1.4) 1.2. Feadat: Egy M = 80 kg tömegű ember jégen egy heyben áva edob vízszintes irányban egy m = 20 kg tömegű goyót. A goyó az embertő mérve v 0 = 20 m/s sebességge távoodik. Mekkora az ember v M sebessége a jéghez viszonyítva? (A jég és az ember közötti súródási erő november 8. 3

2 ehanyagohatóan kicsi.) Megodás: Jeöje v m a goyó jéghez viszonyított sebességét. Az impuzus megmaradás miatt A goyó és az ember reatív sebessége pedig Mv M = mv m. (1.2.1) v 0 = v m + v M (1.2.2) A két egyenetbő m v M = m + M v 0 (1.2.3) Beheyettesítve a számértékeket v M = 4 m/s adódik. Rugamatan ütközések 1.3. Feadat: (HN 8A-4) Egy m tömegű v 0 sebességge mozgó test vee egyenő tömegű, eredetieg nyugaomban évő testbe ütközik és összeragad vee. Határozzuk meg a kinetikus energia (K K 0 )/K 0 reatív megvátozását! Megodás: Az ütközés tökéetes rugamatan, így az impuzus megmarad, a kinetikus energia viszont nem. Az impusumegmaradás az mv 0 = 2mv (1.3.1) egyenette fejezhető ki, ameyben v az összeragadt testek végső együttes sebessége. Innen A kezdeti K 0 kinetikus energia A végső kinetikus energia pedig: v = v 0 2. (1.3.2) K 0 = 1 2 mv2 0. (1.3.3) K = 1 2 2mv2 = 1 4 mv2 0. (1.3.4) A kinetikus energia (K K 0 )/K 0 reatív megvátozása: K K 0 K 0 = 1 2. (1.3.5) A negatív eője arra uta, hogy az ütközés mechanikai energiaveszteségge jár november 8. 4

3 Rugamas ütközések 1.4. Feadat: A 1. ábrán átható súródásmentes páya A pontjábó eengedünk egy testet. Végigcsúszva a B pontban ütközik egy másik testte. (a) Mekkora v sebességge ér az A pontbó indított test a B pontban évő testhez? (b) Miyen magasra emekedik a másik test, ha az ütközés tökéetesen rugamas (m A = m B /2, h = 1.8 m)? 1. ábra. Megodás: (a) A h m magasbó kezdő sebesség nékü induó, súródásmentesen ecsúszó test sebessége fehasznáva az energia-megmaradás evét v = 2gh = 6 m/s. (b) A tökéetesen rugamas ütközés esetében az m A v = m A v A + m B v B (1.4.1) impuzus-megmaradás meett érvényes a mechanikai energia megmaradása is: 1 2 m Av 2 = 1 2 m Av 2 A m Bv 2 B. (1.4.2) Az egyenetekben v A és v B az A ietve B testek ütközés utáni sebességét jeöi. Figyeembe véve, hogy m A = m B /2, e két egyenette a B test ütközés utáni sebessége: A B test emekedési magassága pedig v B = 2 3 v = 2 3 2gh = 4m/s. (1.4.3) h B = v2 B = 0,8m. (1.4.4) 2g november 8. 5

4 Foytonos közegek impuzusvátozása 1.5. Feadat: (HN 8C-48) Egy függőegesen ógó, m tömegű hajékony hosszúságú áncot áandó v sebességge engedünk e az asztara az 2. ábrán átható módon. Adjuk meg az idő függvényében, hogy mekkora erőt fejt ki a ánc az asztara! 2. ábra. Megodás: A hosszegységenkénti tömeget jeöje λ = m ; a t idő aatti süyedés hossza x = vt. Így ennyi idő aatt m(t) = λx = m vt tömeg van az asztaon, amey N 1 = m vtg (1.5.1) erőve nyomja az asztat. Ez az ébredő erő egyik része. A másik rész ahhoz kötődik, hogy a v sebességű dx hossz megá. Ennek a hossznak az impuzusvátozása: A megáításbó eredő másik rész Az összes erő tehát I = λdxv = m mv2 v t v = t. (1.5.2) N 2 = I t = mv2. (1.5.3) N = m mv2 vtg +. (1.5.4) november 8. 6

5 2. Feadatok a gravitásiós erő tárgykörébő. Keper törvényei Centráis erőtér. Potenciáis energia 2.1. Feadat: (HN 16B-34) Jeöje M ietve R a Föd tömegét ietve sugarát. (a) Mekkora az a minimáis v 0 sebesség, ameye az egyenítőn függőegesen kiőtt test a Föd feszínétő éppen két födsugárnyi magasságig emekedik? A Föd forgását és a égköri súródást ne vegyük figyeembe. (b) A Föd forgását is számításba véve, növekszik, csökken vagy vátozatan marad-e az a, kérdésre adott váasz számértéke? Megodás: (a) A mechanikai energia megmaradásának téteét akamazva γ mm R mv2 0 = γ mm 3R egyenet írható fe, ameybő a kérdezett sebesség: (2.1.1) v 0 = 4 γm = 9152m/s. (2.1.2) 3 R (b) A Föd forgása csökkenti ezt az értéket, mert a kinetikus energiában a sebesség négyzete van. A forgáshoz tartozó v f sebesség érintő irányú (a kiövésre merőeges), amive a kezdő sebesség négyzete: v v2 f mindig nagyobb mint v Feadat: (HN 16C-58) Egy ember a Föd feszínén gugguó heyzetbő tömegközéppontját h magasságga tudja emeni. Számítsuk ki annak a egnagyobb (a Föd átagsűrűségéve azonos sűrűségű) kisboygónak a sugarát, ameyrő ez az ember ugyaniyen sebességge feugorva eszökhetne, azaz ehagyhatná annak vonzáskörzetét. Megodás: A h magasságba ugró ember kezdősebessége A kisboygó M tömege a ϱ sűrűségge és az R sugárra kifejezve v = 2gh. (2.2.1) M = ϱ 4R3 π 3. (2.2.2) november 8. 7

6 A kisboygón v sebességge feugró emberre a mechanikai energia megmaradás téteét akamazzuk azza az ismerette, hogy a távoban a sebessége így a kinetikus energiája zérus, másrészt a távoi pontban zérus a potenciáis energia. Feírhatjuk tehát, hogy 1 2 mv2 γ mm R = 0, (2.2.3) ameybe a fenti tömeget beheyettesítve és az egyenetet a sugárra átrendezve kapjuk: 3gh R = 4πγϱ. (2.2.4) 3. Feadatok merev testek fizikájának tárgykörébő Forgatónyomaték, impuzusmomentum, impuzusmomentum téte 3.1. Feadat: (HN 10B-4) Egy F = f x i+ f y j+ f z k ( f x = 2 N; f y = 3 N; f z = 0 N) erő hat egy testre. A test a z koordinátatengey mentén fekvő forgástengeye van rögzítve. Az erő az r = 4i+5j+0k (x = 4 m; y = 5 m; z = 0 m) pontban támad. Határozzuk meg a forgatónyomaték nagyságát és irányát! Megodás: A forgatónyomaték definíciója M = r F szerint a i j k M = x y z = (y f z z f y )i + (z f x x f z )j + (x f y y f x )k (3.1.1) f x f y f z determináns kiszámoását ke evégezzük. A számszerű adatok beheyettesítéséve forgatónyomaték vektor M = 0i + 0j + 2k, (3.1.2) azaz a vektor nagysága 2 Nm, iránya a z tengey irányításáva megegyezik Feadat: (HN 10C-48) A 3. ábra egy G súyú homogén hengerre függőeges irányban ható F erőt mutat. A henger és a feüetek közötti nyugami súródási együttható µ = 0, 5. Fejezzük ki a G függvényében azt a egnagyobb F erőt, amey még nem indítja meg a henger forgását! Megodás: Jeöje N 1 a asó érintkezési ponton fefee mutató támaszerőt, F s1 a baró jobbra november 8. 8

BME Fizikai Intézet 3. ábra. mutató súródási ero t ugyanitt. Legyen N2 a faná jobbró bara mutató támaszero, míg az itt ható fefee mutató súródási ero Fs2. E mennyiségek közötti kapcsoat Fs1 = µn1 (3.

7 BME Fizikai Intézet 3. ábra. mutató súródási ero t ugyanitt. Legyen N2 a faná jobbró bara mutató támaszero, míg az itt ható fefee mutató súródási ero Fs2. E mennyiségek közötti kapcsoat Fs1 = µn1 (3.2.1) Fs2 = µn2. (3.2.2) és A henger akkor van egyensúyban, ha a ható ero k eredo je és forgatónyomatéka zérus. Azaz eo je heyesen pozitív az az ero, amey baró jobbra, ietve auró fefee mutat a függo eges irányban 0 = F G + N1 + Fs2, (3.2.3) 0 = Fs1 N2. (3.2.4) 0 = Fs2 R + Fs2 R FR (3.2.5) a vízszintes irányban A forgatónyomatékra A fenti öt egyenetbo ke az F ero t kifejezni. A (3.2.1) és (3.2.2) súródási ero k beheyettesítéséve ietve az (3.2.5) egyenetben az R-re vaó egyszeru sítés után kapjuk: 0 = F G + N1 + µn2, (3.2.6) 0 = µn1 N2. (3.2.7) 0 = µn2 + µn1 F (3.2.8) a vízszintes irányban A forgatónyomatékra november 8. 9

8 A (3.2.7) egyenetbő N 2 -őt kifejezve és a (3.2.6) vaamint a (3.2.8) egyenetekbe heyettesítve 0 = F G + (1 + µ 2 )N 1 (3.2.9) és 0 = µ(µ + 1)N 1 F (3.2.10) adódik. Az N 1 eimináásáva az F erő F = A µ = 0,5 beheyettesítési értékke az F erő maximáis értéke µ(µ + 1) G. (3.2.11) 2µ 2 + µ + 1 F = 0,375G. (3.2.12) november 8. 10

Hasonló dokumentumok

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel Munkavégzés, teljesítmény 1.1. Feladat: (HN 6B-8) Egy rúgót nyugalmi állapotból 4 J munka árán 10 cm-rel nyújthatunk meg. Mekkora