Kidolgozott mintapéldák szilárdságtanból

Átírás

1 . péda Kidogozott mintapédák sziárdságtanbó Határozzuk meg az SZ. ábrán átható tégaap aakú keresztmetszet másodrendű nyomatékát az s (súyponton átmenő) tengeyre definició aapján! definició szerinti képet: s = b b y a dy d b = a [ y = ab b SZ. ábra. péda a) Határozzuk meg az SZ. ábrán átható tégaap aakú keresztmetszet tengeyre számított másodrendű nyomatékát! 0 b b b y a y dy a 0 a SZ. ábra SZ. ábra b) gazojuk a Steiner tétet! t = s + e t = ab + (b ) ab = ab + ab = ab

2 . péda z ábrán átható két végén támasztott rudat két koncentrát erő terhei. a./ Határozzuk meg a reakcióerőket! b./ Írjuk fe az igénybevétei függvényeket! c./ Rajzojuk meg az igénybevétei ábrákat! SZ. ábra a./ Reakcióerők meghatározása z egyensúyi egyenetek aapján feírhatjuk i 0 i 0 ive csak y irányú erőkomponensek vannak, ezért iy B 0 () nyomatékokat írjuk fe az pontra. i.5 B 0 () () egyenetbő 7N B Ha az eredmény (+), akkor heyesen vettük fe az irányt. Beheyettesítve a () egyenetbe és -t kifejezve = [N adódik. b./ génybevétei függvények két koncentrát erő a rudat három szakaszra osztja. tengeyre merőeges síkok heyeit z koordinátákka, a keresztmetszeteket rendre K, K, K a jeööjük. ( ba odai rúdrészt hagyjuk e) z eső szakasz K keresztmetszetének igénybevéteei és igénybevétei függvényei: Hajítás: h = - z 0 z.5 Nyírás V= z második szakasz K keresztmetszetének igénybevéteei és igénybevétei függvényei: Hajítás h = - z + (z.5).5 z Nyírás V=

3 z harmadik szakasz K keresztmetszetének igénybevéteei és igénybevétei függvényei: Hajítás h = = - z + (z.5) + (z ) = -B ( z) z Nyírás V= = -B c./ génybevétei ábrák a SZ. ábrán átható. (,5) = - [N,5[m = 9 [knm () = - + (-.5) = - () = - + (-.5)+9 (-) = 0 SZ. ábra

4 . péda Határozzuk meg az SZ. ábrán vázot tartó K keresztmetszetének igénybevéteeit. K keresztmetszet súypontjában a SZ. ábrán áható módon derékszögű koordinátarendszert váasztottunk. keresztmetszet egyik odaán eheyezkedő tartórészre ható küső erőrendszer az erőbő á, tehát ezt ke redukáni a koordinátarendszer origójába. redukát erő a keresztmetszet SZ. ábra síkjában fekszik tehát nyíróerőt ad: V = nyomatékvektor a következőképpen számítható: K = r X, r = i + j, = k K i j 0 0 k 0 i j cs h 5. péda Határozzuk meg az SZ 5. ábrán vázot kéttámaszú tartó igénybevétei ábráit! szimmetriábó következően a reakcióerők: B 00 50N rudat csak a tengeyére merőeges irányú koncentrát erők terheik, tehát a keresztmetszetek igénybevéteei a nyírás és a hajítás. nyíróerő szakaszonként áandó, a hajitónyomaték pedig ineárisan vátozik. z. szakaszban a keresztmetszetek igénybevéteeinek meghatározására cészerű a keresztmetszettő bara évő erőket, esetünkben az egyeten reakcióerőt fehasznáni. Ez fefeé mutat, tehát a szakasz vaamennyi keresztmetszetére nézve pozitív nyíróerót ad. V = = 50 [N. SZ. ábra SZ 5. ábra hajitónyomatékot az erő nyomatékaként kapjuk: (z) = z = 50 [N z.

5 . szakaszban az igénybevétei függvényeket a keresztmetszetektő jobbra évő B erő fehasznáásáva cészerű meghatározni: T = - B = - 50 [N (z) = B (- z) = 50 [N ( [m z). nyomatéki ábrát a szakaszhatárokon kiszámított értékek aapján cészerű megrajzoni. z aátámasztási pontokon a hajitónyomaték zérus, középen pedig: ma 00 00Nm. péda z SZ. ábrán átható egyik végén befogott rudat a f=0 [N/m intenzitású egyenetesen megoszó terheés, és a rúd végén az B=50[N koncentrát erő terhei. a. Reakciók a befogásban a. Határozzuk meg a befogásban ébredő reakciókat! z egyensúyi egyenetek aapján a következő egyenetek írhatók fe: iy 0 f B () i 0 () () nyomatéki egyenetet az pontra feírva kapjuk SZ. ábra f B 0 () z () egyenetet rendezve f [N B b. Írjuk fe az igénybevétei függvényeket! c. Rajzojuk meg az igénybevétei ábrákat! f 0 z () egyenetet rendezve B 50 0[Nm z eredmény (+), tehát heyesen vettük fe az irányokat.

6 c. z igénybevétei függvények z B rudat a z koordinátáva jeemzett heyen a tengeyvonaára merőeges síkka képzeetben kettévágjuk. z evágás heyén evő K keresztmetszet igénybevéteei és igénybevétei függvényei, a baodai rúdrész ehagyaásáva a következők: Hajításra Nyírásra h V = - f z z f z fenti függvények z szerinti deriváásáva beáthatjuk a Zsuravszkíj fée összefüggések bizonyítását. d dz h dv f dz f d z z f z dz d. z igénybevétei árák a SZ. ábrán áthatók. f z V SZ. ábra

7 7. péda Vizsgájuk meg az SZ 7. ábrán átható konzoos tartó igénybevéteeit! SZ 7. ábra Reakció erők kiszámításához írjuk fe az egyensúyi egyeneteket. f B 0 iy () B f 0 i () () egyenetbő.5[n 5 f B z () egyenetbe beheyettesítve és -ra kifejezve.5[n.5 B f jeemző értékek kiszámításához írjuk fe az igénybevétei függvényeket. könnyebb számoás érdekében ebben az esetben a ba odai rúdrészre ható küső erőket redukájuk. 0 8 V() - f - f + - f + +B = 0 h() f f ) ( B f matematikai anaízis szerint a másodfokú egyenet ott van széső értéke aho az eső derivátja zérust vesz fe. 0 ) ( ) ( V d d h - + f = 0.5[m.5 f

8 f [nm f - = 0.5[m f f [Nm f f péda z SZ 8 ábrán vázot d = [cm és d = [cm átmérőjű szakaszokbó áó, kör keresztmetszetű egyenes rudat erőve terhejük. megengedhető egnagyobb feszütség meg = 0 8 [Pa. ekerekítés miatt a keresztmetszet hirteen vátásának zavaró hatásátó etekintünk. SZ 8. ábra a. ekkora ehet a maimáis húzóerő? b. ekkora a maimáis húzóerőve terhet rúd megnyúása, ha E = 0 [Pa? c. ennyive csökken a d átmérő, ha a Poissontényező értéke: 0 m? a. ive a befogás heyén nagyságú reakció erő ébred, a rúd egész hosszában a húzóerő értéke egyenő. Ebbő következik viszont, hogy a kisebb átmérőjű rúdrészben nagyobb feszütség ébred. (SZ 8. ábra) () meg () SZ 8 ábra meghatározásakor tehát a kisebb átmérőjű rúdrész terhehetőségét ke figyeembe venni. () egyenet aapján:

9 d 0.0 [m. 8 N meg meg 0 m 7085[N b. megnyúás egyenesen arányos a hossza és a feszütségge. ive a rúd két szakaszáná mindkető más értékű, a két rúdrész megnyúását küön-küön ke meghatározmi, majd összegezni.(sz 8. ábra) = + E E SZ 8. ábra = + = E d d [N 0.5[m N.5 0 [m 0 m [m [m 0.[m [m 0. 0 [m c. z átmérőcsökkenést a keresztirányú fajagos hosszvátozás, k aapján számíthatjuk. d k d k d d m E k k m d k d d m d E m [m

10 9. péda G súyú terhet két acéhuza tartja a SZ 9. ábra szerint. Terheeten áapotban a huzaok heyzetét az C és BC egyenesek jeöik ki. ekkora a teher fefüggesztési pontjának h esüyedése? datok: d = 0.8 [cm 0 = 00 [cm h = 0 [cm G = 00 [N E =. 0 [Pa Egyeőre tekintsünk e C pont emozduásátó. Legyen az acéhuzaoknak a vízszintesse bezárt szöge. z SZ 9. ábra szerint a G súy egyensúyábó: SZ 9. ábra SZ 9. ábra h G S sin S () aho S a huzaban ébredő erő, egy-egy huza eredeti hossza, = C = BC = h [cm 0 G 00 0 () egyenetbő S 080[N h 0 d 0.8. huza keresztmetszete 0.50[cm S 080[N 0[cm huzaok megnyúása: 0.09[cm E 7 N 0.50[cm.0 cm SZ 9. ábra sin h h h, a SZ 9. ábrábó pedig sin [cm 0, így h számítás közeítő, mert etekint vátozásátó, hoott az eőbbiek szerint sin kb. %-ka nő a C pont emozduása következtében.

11 0.péda z hosszúságú sineket t hőmérséketen fektetik e, K hézagga. (SZ 0. ábra) ekkora erők épnek fe a sinekben t hőmérséket esetén? egfee-e a hézag? datok: = 5 [m K = [mm t = 0 [C t = 50 [C = 0 [cm E = 0 [Pa SZ 0. ábra t.5 0 o meg C = [Pa Két szomszédos sin közepét heytáónak tekintjük. hőmérséket növekedéséve a sinek megnyúnak. K hézag eérése után a további nyúást megakádáyozandó erék épnek fe a sinekben. rjuk fe a sindarabok nyúását: t t t K () E t a sin hőmérséket hatására bekövetkező megnyúása a sinekben keetkező nyomóerő okozta rövidüés z () egyenetbő.5 0 t t K o C E = = [kn [N [m ive < meg a hézag megfee. 0 N m c 50 0 C 5[m 0.00[m [Pa [m 0 5[m

12 . péda éretezzük az SZ. ábrán átható fai vezetéktartó kart, ha a keresztmetszete tégaap, U szevény, ietve cső. G = 500 [N meg = 0 8 [Pa SZ. ábra konzo nyomatéki ábrája a SZ-. ábrán átható. ma nyomaték a befogás keresztmetszetében SZ -. ábra maimáis. 00[cm G 75[cm G 50[cm G 5[cm 500[N 500[Ncm szükséges keresztmetszeti tényező: K sz ma meg 500[Ncm.5[cm N 0000 cm Tégaap keresztmetszet esetén váasszuk: b = a (Ez a váasztás önkényes, más is ehet.) tégaap keresztmetszeti tényezője: a b K a a K a a K.5.59[cm b = a = 5.98 [cm

13 U szevény esetén a meéket tábázatábó vehetjük a szükségeshez egközeebb eső, nagyobb keresztmetszeti tényezőve rendekező szevényt. Ez az UE 0 aho Ky =.8 [cm cécső esetén a küső és beső átmérő viszonyát váasszuk meg d D K 0.8 e D K D d D d = 0.8D d = 0.8 D =. [cm D 5.79[cm D 0.8 D D D. péda Határozzuk meg az SZ. ábrán átható kéttámaszú tartó mértékadó keresztmetszetében ébredő egnagyobb feszütséget! Ábrázojuk a hajított és nyírt keresztmetszet y tengeye mentén a és feszütséget! SZ. ábra szimmetrikus terheésbő adódik, hogy a támasztási pontokban a reakció erő / esz. tartó nyíró és hajító igénybevétenek van kitéve. Rajzojuk fe az igénybevétei ábrákat, meyek az SZ. ábrán áthatók. z igénybevétei ábrák aapján a maimáis igénybevéteek: t ma ma 5000[N 500[N [Nm ive a hajítás tengeye a keresztmetszet főtengeye, egyenes hajításró van szó. Eőször meghatározzuk a keresztmetszet súypontjának heyzetét. (SZ -. ábra)

14 = s a = 0 0 = 800 [mm = s b = 5 80 = 00 [mm y b a [mm y y s b i 80 0[mm y i i SZ -. ábra y y Így v = y ys = 90 0 = 0[mm [mm hajítás tengeyére vonatkozó másodrendű nyomaték: v = y ys = 0 0 = - 0[mm s v v sa v sb v s [mm széső szá távosága yma = ys = 0 [mm, így a keresztmetszeti tényező: K y s ma [mm és pontok föött, vaamint az S súypont aatt évő keresztmetszetrész esőrendű nyomatéka a hajítás tengeyére: S S r, rs v sy s [mm [mm keresztmetszetben ébredő egnagyobb húzófeszütség és a jeemző feszütségek: ma.50 N ma 80.9 K. 0 mm ma S t r, N 0.80 s mm S s 0 N s 5 mm

15 ma SrS N t ma. s mm s számított értékek aapján a feszütségek diagramjait a SZ -. ábrán rajzotuk meg.. péda SZ -. ábra z SZ. ábrán motoros wattóra számáó forgórészének vázata átható. nyomatékot adó motorrész és az örvényáramú fékezőkorong = 5 [cm hosszú tengeye kapcsoódik egymáshoz. z átadandó maimáis üzemi nyomaték ü =.5 [Ncm. éretezzük a tengeyt, ha záratkor tízszeres nyomatékökés keetkezik és a tengey anyagára meg = 0 7 [Pa. Számítsuk ki a tengey szögeforduását! G = [Pa zárati nyomaték: z = 0 ü = 0.5 [Ncm = 5 [Ncm = 0.5 [Nm Tömör tengey esetén a keetkező csavaró feszütség: SZ. ábra p z R p D R R z meg z 0.5 R.70 [m = 0.7 [cm D = 0.8 [cm 7 0 meg

16 z ecsavarodás: z G p p D.80.0 [m o [rad péda Egy URH adóantenna súya = 0 [N. Ezt a háztető feett = [m magasan ke eheyezni. (SZ. ábra). szerevény vascsőre erősíthető fe. éretezzük a csövet kihajásra! p = 05 egengedett kritikus feszütség: kmeg = 7 0 Tegyük fe, hogy a rúd karcsúsági tényezője nagyobb, mint 05. Ekkor Euer képet szerint méretezhetünk. ive kmeg = i k k 7 0 k 7 0 D d 5 d k Legyen D = d, ekkor 7 0 Jeen erendezés szerint a szabad kihajási hossz: k = = [m d SZ. ábra d = 0.0 [m, D = 0.0[m [m Eenőrzésü ki ke számítani a rúd karcsúsági tényezőjét: k D d [m i D d [m i [m k 9 k Tehát heyesen akamaztuk az Euer formuát.

17 5. péda SZ 5. ábrán vázot távvezetékoszopot a súyerők nyomásra, a vezetékhúzás hajításra veszi igénybe. Határozzuk meg a veszéyes (befogási) keresztmetszetben ébredő feszütségeket, és a semeges vona heyzetét! datok: = [m a = [cm b = 0 [cm = 500 [N G = 8500 [N egodás: aimáis hajítófeszütség: h ma K = = 500 [N [m = [Nm a b K 0 800[cm 80 [m SZ 5. ábra [Pa 80 h ma Nyomófeszütség: G ny = a b = 0 = 0 [cm =. 0 - [m 8500[N 5.50 [Pa.0 [m ny z asó szában a húzófeszütségek összegződnek. = = [Pa semeges szá heyzetének meghatározásához írjuk fe a hajításbó eredő feszütségfüggvényét: y a b [cm 80 5 [m 8000 y y semeges szában a húzó és nyomófeszütségek abszoút értéke azonos h = ny t =.5 0 5

18 .50 t [m 0.57[cm feszütségeoszást a SZ 5-. ábra szeméteti.. péda SZ 5-. ábra Határozzuk meg az SZ. ábra szerinti tengey. szakaszának mértékadó keresztmetszetében a redukát feszütséget! tengey közepén fogaskerék adja át az t = 0.5 [Nm csavaró nyomatékot. tengey. szakaszát csavaró és hajító igénybevéte terhei. SZ. ábra

19 csavaró terheésbő: p p t d d [cm [Nm 0.00[m 7.90 [Pa.50 [m t 0.5[Nm 5[N r 0.0[m hajító nyomaték: haj = = 5[N 0.0[m = 0.5[Nm [m d K [cm.80 9 [m haj 7 haj K 0.5[Nm 7.0 [Pa 9.80 [m redukát feszütség ohr szerint: red haj [Pa

20 eéket. Tábázat