Castigliano- és Betti-tételek összefoglalása, kidolgozott példa

Átírás

1 Castigiano- és Betti-téteek összefogaása, kidogozott péda Készítette: Dr. Kossa Attia BME, Műszaki Mechanikai Tanszék Frissítve: 15. január 8. Az aakvátozási energiasűrűség számítása egy anyagi pontban 1 : u = 1 σ : ε, 1) amit ha összegzünk a tejes térfogaton akkor megkapjuk a vizsgát testben fehamozódó tejes aakvátozási energiát: U = 1 σ : εdv. ) V A fenti összefüggést ha közvetenü szeretnénk akamazni egy rúdban fehamozódó aakvátozási energia számítására, akkor minden egyes pontban fe keene írnunk az aakvátozási és feszütségi tenzorokat. Ez hosszadamas és körüményes enne. A feadatot könnyebben megodhatjuk ha fehasznájuk a rudakra már korábban evezetett összefüggéseket. Végeredményben arra jutunk, hogy a rúdban fehamozódó aakvátozási energia megadható az aábbi aakban: U = U N U V U Mh U Mt. 3) Vagyis U-t feírhatjuk a normá N), nyíró V), hajító ) és csavaró M t ) igénybevéteek okozta aakvátozási energiák összegeként. A továbbiakban ezeket ismertetjük. Egy adott x koordinátáva jeemzett keresztmetszetben működő igénybevéteeket az 1. ábra szeméteti. 1. ábra. A keresztmetszetben működő igénybevéteek 1 A továbbiakban csak a ineárisan rugamas, izotrop anyagi visekedést vizsgájuk. 1

2 U N A normá igénybevétebő adódó aakvátozási energia U N = 1 N dx, 4) AE aho N a normáigénybevéte-függvény, A jeöi a keresztmetszet terüetét, E pedig a rugamassági moduus. Ezek mind függhetnek a rúd hossza mentén vett koordinátátó, emiatt átaános esetben nem emehetőek ki az integráje eé. U V A nyíró igénybevétebő adódó aakvátozási energia Enné a tagná már a egeején fontos kihangsúyozni, hogy a tényeges számításokná a egtöbb esetben ezt a tagot 3)-ban ehanyagojuk, ugyanis a többi igénybevétebő származó aakvátozási energiához képest a nyírásbó származó ényegesen kisebb. Számítása az összes közü a egbonyoutabb és egidőigényesebb. Pontos meghatározásáva kapott eredmény csak kis mértékben tér e attó, mintha eeve ehanyagotuk vona, emiatt az egyszerűsítésse kapott számítás is még efogadható. A nyíró igénybevétebő származó csúsztatófeszütség-eoszás függ a keresztmetszet aakjátó. Emiatt nem tudunk egy végképetet feírni amit akamazhatunk tetszőeges keresztmetszetre. A rúdban fehamozódó aakvátozási energia: U V = 1 V I z G A ) S da dx, 5) w aho egy adott x koordinátájú keresztmetszetben Sy) jeenti az ehagyott keresztmetszetrész statikai nyomatékát z-re, míg wy) a keresztmetszet anyagvastagsága. U Mh A hajító igénybevétebő adódó aakvátozási energia Amennyiben csak z körüi hajítás van 3 : U Mh = 1 Mhz dx, 6) I z E aho I z a keresztmetszetnek a hajítás tengeyére számított másodrendű nyomatéka. U Mt A csavaró igénybevétebő adódó aakvátozási energia A csavarásbó adódó csúsztatófeszütség-eoszás meghatározása tetszőeges keresztmetszet esetén oyan összetettebb feadat, meynek részetes tárgyaására a BSc képzés Sziárdságtan tárgya nem terjed ki. Emiatt itt most csak a kör és körgyűrű keresztmetszetek esetén érvényes összefüggést írjuk fe: U Mt = 1 Mt dx, 7) I p G aho I p a keresztmetszet poáris másodrendű nyomatéka. A fenti összefüggések kiterjeszthetőek görbe rudakra is az integráos tagok megfeeő átírásáva dx = Rdϕ). Itt most csak egy nyíróerőt vizsgátunk, de ehetséges, hogy z-irányú is ébred. Ebben az esetben ezze a tagga is számoni ke. 3 Ha ébredne az y-tengey körü is hajítás akkor azt érteemszerűen egy pusz tagként ke kezeni.

3 Castigiano-téte akamazása Rúdszerkezetek esetén a Castigiano-téte szerint a rúd egy bizonyos keresztmetszetének emozduása - a nyírásbó származó aakvátozási energia ehanyagoásáva - az aábbi összefüggés szerint számítható 4 : f = N N AE F I z E F M t I p G aho f a keresztmetszetnek az F erő irányába eső emozduása. Egy adott keresztmetszet szögeforduására adódó összefüggés: N N ψ = AE M I z E M M t I p G ) M t ds, 8) F M t M ) ds, 9) aho ψ a keresztmetszet szögeforduása az M-nek megfeeő érteemben. Az emozduás és aakvátozás számításához ismernünk ke a rúd mentén az igénybevétei függvényeket, ietve ezek F és M szerinti derivátjait. Amennyiben egy oyan heyen szeretnénk számoni a keresztmetszet emozduását aho nincs működő aktív erő, akkor erre a heyre eső épésként, a kívánt irányba, feveszünk egy F = erőt. Ezt követően meghatározzuk a szükséges F szerinti derivátakat, majd visszaírjuk az integráos kifejezésbe úgy, hogy már F = -va egyszerűsíthetünk. Hasonó gondoatmenetet ke akamaznunk a szögeforduás esetén is. Görbe rudak esetén ds heyett ds = Rdϕ összefüggést ke akamaznunk és az igénybevéteeket a ϕ szög függvényeként ke feírnunk. Síkbei esetben, ha egy egyenes rúdra csak nyíró és hajító igénybevéte hat N =, M t = ) akkor az összefüggések ényegesen eegyszerűsödnek: f = I z E F dx, ψ = dx. 1) I z E M Betti-téte akamazása Rúdszerkezetek esetén a Betti-téte szerint a rúd egy bizonyos keresztmetszetének emozduása - a nyírásbó származó aakvátozási energia ehanyagoásáva - az aábbi összefüggés szerint számítható: N f = AE n I z E m h M ) t I p G m t ds, 11) aho az n, m h és m t jeentik azokat az igénybevétei függvényeket, meyeket úgy kapunk, hogy a rúdró etávoítjuk az összes küső terheést, majd a keresett f emozduás irányába feveszünk egy F = 1 nagyságú erőt és ehhez számítjuk ki az igénybevétei függvényeket. 4 Az ds szerinti összegzés magában fogaja azt az esetet is, ha a rúdszerkeszet 3D törtvonaú, vagy ha síkgörbe részek is vannak benne. Emiatt ehetséges, hogy az egyes rúdrészeken működő hajítonyómaték a rá merőegesen csatakozó rúdra már mint csavarónyomaték hat. 3

4 Egy adott keresztmetszet szögeforduására adódó összefüggés: N ψ = AE n I z E m h M ) t I p G m t ds, 1) aho az n, m h és m t jeentik azokat az igénybevétei függvényeket, meyeket úgy kapunk, hogy a rúdró etávoítjuk az összes küső terheést, majd a keresett ψ szögeforduás irányába feveszünk egy M = 1 nagyságú koncentrát erőpárt és ehhez számítjuk ki az igénybevétei függvényeket. Síkbei esetben, ha egy egyenes rúdra csak nyíró és hajító igénybevéte hat N =, M t = ) akkor az összefüggések ényegesen eegyszerűsödnek: f = I z E mdx, ψ = I z E m dx. 13) 4

5 Kidogozott péda Határozzuk meg a. ábrán átható tartó C keresztmetszetének ehajását és szögeforduását Castigiano- és Betti-téte akamazásáva is. Adatok: p = 1 kn/m, a = m, I z E = 1 6 Nm.. ábra. A vizsgát tartó Megodás Betti-téte segítségéve: A nyíró igénybevéte okozta aakvátozási energia ehanyagoásáva a vizsgát rúdná csak a hajítónyomatéki igénybevéte hatásáva ke számonunk, mive N = és M t = a rúd hossza mentén. Vagyis a 11)-1) szerinti átaános megodások heyett hasznáható a 13) szerinti összefüggések. A további számításokhoz az és az m függvények meghatározása szükséges. A reakcióerők számítása fetéteezve, hogy a reakcióerők a pozitív y irányába mutatnak): MA = F D = 3 pa = 3 kn, 14) Fy = F A = 1 pa = 1 kn. 15) A hajítóigénybevétei ábrát a 3. ábra mutatja. Az függvény feírása: = F A x, x =..., 16) = F A x 1 px ), x =... 17) Az m függvényt úgy kapjuk, hogy a tartóró etávoítjuk a küső erőrendszert 5, majd a C keresztmetszetben feveszünk egy F = 1 koncentrát erőt a ehajás irányába és meghatározzuk ebben az esetben a hajítónyomatéki igénybevétet 6. Ezt az eoszást a 4. ábra szeméteti. Az m függvény feírása 7 : m =,5x, x =..., 18) m =,5x1x ) =,75x, x =... 19) A 13)-ban szerepő integrá evégzéséhez a tartót 3 részre ke osztanunk, mive az m szorzat áta adódó új függvény 3 küönböző szakaszbó tevődik össze. Tehát: f = I z E mdx I z E mdx mdx. ) I z E 5 Jeen esetben csak a megoszó terheés. 6 Ehhez persze szükséges a reakcióerők számítása is enné a feadatná, aminek közésétő itt most etekintünk. 7 A beheyettesítésekné a hosszméreteket m-ben az erőt N-ban, a nyomatékot pedig Nm-ben heyettesítjük be. A kifejezésekben szerepő numerikus értékek ehhez igazodnak. 5

6 3. ábra. A hajítónyomatéki függvény ábrázoása Mive a tartó tejes hossza mentén az I z E szorzat áandó, emiatt kiemehető az integrá je eé: f = 1 mdx mdx mdx, 1) I z E I z E f = F A x),5x))dx F A x 1 ) ) px ), 5x) dx F A x 1 px ) ),75x ) ) dx, ) I z E f = 5x dx 15x 3 1 5x x ) dx 375x x 36 x 48 ) dx, 3) 6

7 4. ábra. Az m függvény ábrázioása f = 1 666, , ,334 5) = =,67 m, 4) I z E 1 6 f =,67 mm. 5) Mive pozitív értékre jött ki, ez azt jeenti, hogy a ehajás a fevett F erő irányába mutat. Az m függvényt úgy kapjuk, hogy a tartóró etávoítjuk a küső erőrendszert, majd a C keresztmetszetben feveszünk egy M = 1 nagyságú koncentrát erőpárt 8 a fetéteezett szögeforduás irányába és meghatározzuk ebben az esetben a hajítónyomatéki igénybevétet 9. Ezt az eoszást a 5. ábra szeméteti. Az m függvény feírása: m =,15x, x =..., 6) m =,15x 1, x =... 7) 5. ábra. Az m függvény ábrázoása 8 Cészerű ezt a koncentrát erőpárt dimenziótanu fevenni. Emiatt a v függvény dimenziója [1/m] esz. 9 Ehhez persze szükséges a reakcióerők számítása is enné a feadatná, aminek közésétő itt most etekintünk. 7

8 A szögeforduás számításához a tartót 3 részre ke osztanunk, mive az m szorzat áta adódó új függvény 3 küönböző szakaszbó tevődik össze. Tehát: ψ = I z E m dx I z E m dx I z E m dx. 8) Mive a tartó tejes hossza mentén az I z E szorzat áandó, emiatt kiemehető az integrá je eé: ψ = 1 m dx m dx m dx. 9) I z E I z E ψ = F A x),15x))dx F A x 1 ) ) px ), 15x) dx F A x 1 px ) ),15x 1) ) dx, 3) I z E ψ = 15)x dx 6.5x 3 65x 1 x ) dx 6.5x x 6 x 8 ) dx, 31) ψ = ,33 666, ,6775) = =,733 rad, 3) I z E 1 6 f =,4. 33) MIve negatív értékre jött ki emiatt a fevett M irányáva eentétes érteemben. Megodás Castigiano-téte segítségéve: Esőként a ehajást, majd a szögeforduást számítjuk. 6. ábra. A C keresztmetszet ehajásának számítása Mive a keresett emozduás irányába nem hat koncentrát erő, emiatt fe ke vennünk egy F = erőt annak érdekében, hogy a számítási képetekben jeentkező derivátakat számítani 8

9 tudjuk. Ezt szeméteti a 6. ábra. Jeen feadatná a hajítónyomatéki függvény feírásához fe ke hasznánunk a reakcióerőket 1. Emiatt szükséges a reakcióerők kifejezése a fevett F figyeembevéteéve 11 : MA = F D = 3 4 F 3 pa, 34) Fy = F A = 1 4 F 1 pa. 35) A hajítónyomatéki függvény feírásához 3 részre ke osztanunk a tartót: = F A x = 1 4 Fx 1 pax, x =..., 36) = F A x 1 px ) = 1 px 1 4 Fx 5 pax p, x =..., 37) = F A x 1 px ) F x ) = 1 px 3 4 Fx 5 pax p F, x =... 38) Ezt követően az F szerinti derivátakat ke számítanunk az egyes szakaszokon: F F F = 1 x, x =..., 39) 4 = 1 x, x =..., 4) 4 = 3 x, x =... 41) 4 Miután a tartó mentén N = és M t =, emiatt hasznáhatóak a 1) szerinti összefüggések. A beheyettesítésné már egyszerűsíthetünk F = -va: I z E f = F dx F dx dx, 4) F I z E f = 1 ) pax 14 )) x dx 1 px 5 ) 3 pax p 4 x 1 px 5 pax p ) 14 )) x dx )) dx, 43) 1 Ha egy befogott tartónk enne, akkor nem fetétenü szükséges, hiszen a szabad végtő induva feírható a hajítónyomatéki függvény anékü, hogy a reakcióerőket számítanánk. 11 Természetesen a vaóságos reakcióerők nem vátoznak, hiszen F =. Mindez azért ke, hogy az F szerinti deriváást majd e tudjuk végezni. 9

10 I z E f = 1x), 5x)) dx 5x 5 x8 ),5x) ) dx 5x 5 x8 ),75x 6) ) dx, 44) I z E f = 5x ) dx 15x 3 1 5x x ) dx 375x x 36 x 48 ) dx, 45) f = 1 666, , ,334 5) = =,67 m, 46) I z E 1 6 f =,67 mm. 47) 7. ábra. A C keresztmetszet szögeforduásának számítása Mive a keresett eforduás heyén nem hat koncentrát erőpár, emiatt fe ke vennünk egy M = koncentrát erőpárt annak érdekében, hogy a számítási képetekben jeentkező derivátakat számítani tudjuk. Ezt szeméteti a 7. ábra. Jeen feadatná a hajítónyomatéki függvény feírásához fe ke hasznánunk a reakcióerőket. Emiatt szükséges a reakcióerők kifejezése a fevett M figyeembevéteéve: MA = F D = M 3 pa, 48) Fy = F A = M 1 pa. 49) A hajítónyomatéki függvény feírásához 3 részre ke osztanunk a tartót: = F A x = M x 1 pax, x =..., 5) = F A x 1 px ) = 1 px M x 5 pax p, x =..., 51) = F A x 1 px ) M = 1 px M x 5 pax p M, x =... 5) 1

11 A szögeforduás képetében szerepő derivátak számítása: M = 1 x, x =..., 53) M = 1 x, x =..., 54) M = 1 x 1, x =... 55) A beheyettesítésné már egyszerűsíthetünk M = -va: I z E ψ = M dx M dx dx, 56) M I z E ψ = 1 ) )) 1 pax x dx 1 px 5 ) 1 pax p x 1 1 px 5 ) )) 1 pax p x dx )) dx, 57) I z E ψ = 15x ) dx 6,5x 3 65x 1 x ) dx 6,5x x 6 x 8 ) dx, 58) ψ = ,33 666, ,6775) = =,733 rad, 59) I z E 1 6 ψ =,4. 6) 11