1. Mérési példafeladat A matematikai inga vizsgálata

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Mérési példafeladat A matematikai inga vizsgálata"

Liliána Kerekes
6 évvel ezelőtt
Látták:

1 Hoyan készítsünk jeyzőkönyvet? Az aábbiakban ey pédamérést, a hozzá tartozó kiértékeést és rafikus módszerre történő hibaszámítást, vaamint a mérésrő készüt jeyzőkönyv vázatát szeretnénk bemutatni. A jeyzőkönyvben dőt betűve jeötük a mejeyzéseket. 1. Mérési pédafeadat A matematikai ina vizsáata Matematikai ina esetén a T enésidő és az ina hossza között kis kitérések esetén a következő összefüés á fenn: T = 2π, (1) aho a nehézséi yorsuás. Feadatunk ezen összefüés kíséreti eenőrzése, vaamint a nehézséi yorsuás mehatározása. Rözítsük a mérőáványra a fonára akasztott fémoyót. (A fémoyó ey kis horoa akasztható a fonára.) Mérjük me stopperra a fonaina enésidejét küönböző fonáhosszak esetén. értékét rafikus úton kaphatjuk me, ennek érdekében cészerű az (1) eyenetet a következő aakra átrendezni: =. (2) 4π 2T2 Ekkor az y i = i értékek az x i = Ti 2 füvényében eyenest adnak, meynek meredeksée Ebbő már mehatározható. MÉRÉSI FELADATOK 1. Mérjük me a 15, 30, 60, 100 és 135 cm hosszú fonáina enésidejét. Mindeyik mérést eaább háromszor véezzük e. 2. Ábrázojuk az ( i, T 2 i ) pontpárokat. Veyük fiyembe, hoy az i = 0, T i = 0 is mérési pont. 3. Iesszünk eyenest az ( i, Ti 2 ) pontpárokra és számítsuk ki a nehézséi yorsuás értékét. 4. Határozzuk me rafikus módszerre a nehézséi yorsuás hibáját (inkább: a számítási hibát). 2. Órán mért adatok A feadat azt kéri, hoy a enésidőket eaább háromszor mérjük e. Mive ey enésidő 1-2 s, a nay (a enésidőve összemérhető) reakcióidő miatt cészerű eaább 10 enésidőt eyszerre emérni. 4π 2. 1

2 (cm) 10 T(s) 15 9, , , , ,0 3. Kiértékeés A kiértékeéshez ki ke számítanunk a T i és Ti 2 értékeket. A rafikus hibaszámításhoz további két oszopot founk hasznáni, az üres ceákat cészerű már most ekészíteni. Kitötésükhöz szüksé van az eyenes-iesztés során nyert paraméterekre. Az órán mért adatokná mé tetszőees mértékeyséet hasznáhattunk, a kiértékeéskor készített tábázatban azonban már mindent SI mértékeysében ke meadni. A hasznát mértékeyséet fe ke tüntetni a tábázatban. Ezt kétféeképpen tehetjük me. Az eyszerűbb az, ha fejécet készítünk és ebbe írjuk be a mért mennyisé jeét és mértékeyséét. (Mi ezt a módszert követjük.) A másik ehetősé az, ha minden mennyisé után közvetenü odaírjuk a mértékeyséét is. A tábázatba ne feejtsük e beírni az i = 0, T i = 0 mérési pontot is! Iesztés (m) 10 T(s) T(s) T 2 (s 2 ) i. (m) i. (m) ,15 9,2 0,92 0,8464 0,3 11,4 1,14 1,2996 0,6 16,7 1,67 2,7889 1,0 21,1 2,11 4,4521 1,35 23,0 2,3 5,29 A következő épés a tábázatban taáható adatokra történő iesztés. Pédánkban a címen metaáható GNUPLOT nevű proramot ismertetjük. A jeyzőkönyv készítésekor természetesen más iesztőproram is hasznáható. A proramba írjuk be tizedespontta az eső oszopba az x, a második oszopba az y értékeket. Jeen esetben az =. 4π 2T2 eyenetet hasznájuk, íy az x értékek a tábázatban kiszámot Ti 2 értékek, mí az y-ok az ezekhez tartozó i értékek. Az adatok beírása után kattintsunk az Iesztés mekezdése ombra. A proram áta kiírt paraméterekbő nekünk csak az aábbi részetre esz szüksé: Fina set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== a = / (105%) b = / (5.296%) 2

3 A GNUPLOT proram a + b x aakban ieszti az eyenest, ez azt jeenti, hoy az iesztett eyenes eyenete jeen esetben y = 0, x 0, A jeyzőkönyvbe írjuk fe az iesztett eyenes eyenetét, vaamint azt is, hoy miyen proramma iesztettünk. (Küönböző proramokka a numerikus hibáknak köszönhetően küönböző iesztett eyenesekhez juthatunk, bár az etérés többnyire nem jeentős.) Eenőrizzük, hoy a kapott iesztett eyenes mefee-e várakozásainknak és számítsuk ki a nehézséi yorsuás értékét. A (2) eyenet y = b x aakú, aho y =, x = T 2 és b = 4π 2. Íy az iesztett eyenestő azt várjuk, hoy a teneymetszete, azaz a körübeü nua eyen. A kapott b értékbő számíthatjuk ki -t: = b4π 2. Íy jeen esetben = 9, 76 m s 2 adódik. Mive mindent SI-ben számotunk, íy értékét is SI-ben kapjuk me. Fontos, hoy -t nem számohatjuk ki a tábázatban soronként a = 4π 2 képet seítsééve. Ekkor uyanis mé nem iazotuk, hoy az (1) összefüés tejesü, íy természetesen T 2 kiszámítására sem hasznáhatjuk azt. Mit ronthattunk e, ha a várttó nayon küönböző értéket kaptunk? Ha 10 m -tő nayon s 2 etér a nehézséi yorsuás értéke, érdemes eenőrizni a következőket. SI-ben számotunk-e mindent? Iesztésné az x értékekhez a T 2 értékeit írtuk-e? (x és y értékeit fecseréve az eredmény nayon más esz!) Nem írtunk-e e vaamit az iesztésné? (Pédáu nem írtunk-e akár csak eyeteney értékné tizedespont heyett tizedesvesszőt?) A tábázatban mindent jó számotunk-e ki? Ha ezekné a részekné minden rendben van, akkor már csak ey doot tehetünk: eenőrizzük, hoy jó mértük-e e az adatokat, ietve menézzük, hoy a fevett adatok reáisak-e. Iyenkor fetéteezzük, hoy az eredeti (jeen esetben az (1)) összefüés jó, és kiszámojuk, hoy = 9, 81 m2 értékke számova miyen időadatot keett vona mérni. Ha az adatok jók, akkor s vaószínűe eszámotunk vaamit. Ha nem, cészerű újramérni, vay federíteni, hoy mi okozhatott ekkora etérést. Hibaszámítás A hibaszámításhoz az eméeti tudnivaók a webcímen metaáhatók. Itt csak azt mutatjuk me, hoyan akamazhatók eyszerűen az ott eírtak. 3

4 A rafikus hibaszámítás során me ke határozni, hoy a mért értékek mennyire térnek e az iesztett értékektő. Ezért eőször kiszámojuk az iesztett értékeket, azaz kiszámojuk azt, hoy az eyenes az átaunk mért x i = Ti 2 pontokban miyen értékeket vesz fe. T 2 (s 2 ) i. (m) i. (m) 0 0, , , ,8464 0, , , , ,2996 0, , , , ,7889 0, , , , ,4521 0, , , , ,29 0, , 29 0, ,27057 Következő épésként ki ke számítani a = i. értékeket. Viyázzunk, ez eőjees menynyisé. Az eredeti tábázatunk íy a következő aakot öti: (m) 10 T(s) T(s) T 2 (s 2 ) i. (m) i. = (m) , , ,15 9,2 0,92 0,8464 0, , ,3 11,4 1,14 1,2996 0, , ,6 16,7 1,67 2,7889 0, ,0515 1,0 21,1 2,11 4,4521 1, , ,35 23,0 2,3 5,29 1, ,07943 Az b meredeksé hibájának mehatározásához a T 2 rafikonon be ke rajzoni az x teneyre szimmetrikus bennfoaó téaapot. E téaap átójának a meredeksée adja me az eyenes meredekséének hibáját. A meredeksé a tα = szöe szemközti oda szö meetti oda képette számítható. Esetünkben a szöe szemközti oda hossza 0,15886, mí a szö meetti oda hossza 5,29. A bennfoaó téaap átójának meredeksée íy 0, Az iesztett eyenes b meredeksée tehát az aábbi formában írható fe: b = 0, ±0, m s 2. Látható, hoy feesees ennyi tizedesjeyet hasznáni, eé a b = 0, 247 ± 0, 003 m s 2 feírás. Ebbő a nehézséi yorsuás és a hibája a = b 4π 2 képet aapján = 0, 247 4π 2 = 9, 76 m s 2, mí = 0, 003 4π 2 = 0, 12 m s 2. Íy = 9, 76 ± 0, 12 m s 2 aakban írható. 4. Jeyzőkönyv A MATEMATIKAI INGA VIZSGÁLATA Mérést véezte: Mérőtárs neve 1 : Mérés időpontja: Jeyzőkönyv eadásának időpontja: 1 Ez csak abban az esetben nem szüksées, ha az ietőnek nincs mérőpárja. 4

5 A mérés céja Azt szeretnénk iazoni, hoy matematikai ina esetében iaz a T = 2π összefüés, ha az inát csak kis szöben térítjük ki. Szeretnénk emeett mehatározni a nehézséi yorsuás értékét. (A képetben T a enésidő, az ina hossza, pedi a nehézséi yorsuás.) A jeyzőkönyvet úy ke ekészíteni, hoy azok számára is érthető eyen, akik nem ismerik a mérést. Ezért ha képetet írunk a jeyzőkönyvbe, akkor me ke nevezni, hoy mit jeönek az eyes betűk. Kérjük, hoy a jeyzőkönyvet saját szavaikka írják me, és ne veyenek át mondatokat, mondatrészeket az interneten is metaáható seédanyabó. A mérőeszközök Fonáina oyóva, stopperóra, mérőszaa. A mérés rövid eírása Mérőszaa seítsééve beáítjuk a fonaina hosszát eőször 15 cm-re, majd feakasztjuk a mérőáványra és (eyben) emérünk tíz enésidőt. Ezután vátoztatjuk az ina hosszát 30, 60, 100, véü 135 cm-re. Minden esetben tíz enésidőt mérünk. Csak a ényees eemeket ke itt meemíteni, iyen pédáu, hoy tíz enésidőt mértünk. Számítóépes mérésekné a mérés rövid eírásába nem tartozik bee, hoy a proramot hoyan ke hasznáni, csak az, hoy a proram mit mér és hoyan értékei azt ki. Mérési adatok (m) 10 T(s) 0,15 9,2 0,30 11,4 0,60 16,7 1,00 21,1 1,35 23,0 Itt a fonáina hossza, és T a fonáina enésideje. Fiyejünk arra, hoy a jeyzőkönyvben már a mérési adatok is csak SI-ben ehetnek! Mive A mérés céja fejezetben már definiáuk -et és T-t, ezért most nem ke fetétenü újra definiánunk a tábázatban hasznát jeöéseket. Hibaforrások 1. A fonáina hosszát csak 2-3 mm pontosan ehetett beáítani. 2. A enésdő mérésekor a reakcióidő is szerepet játszott, ez becsésem szerint körübeü 0,2s-ot jeenthetett. 5

Kiértékeés A T = 2π összefüés eyszerű aebrai átaakításokka az = 4π 2 T 2 aakra hozható. A tábázatban metaáható és T 2 értéke is. Ezekre az adatokra a GNUPLOT proram seítsééve eyenest iesztettem.

6 Kiértékeés A T = 2π összefüés eyszerű aebrai átaakításokka az = 4π 2 T 2 aakra hozható. A tábázatban metaáható és T 2 értéke is. Ezekre az adatokra a GNUPLOT proram seítsééve eyenest iesztettem. Az eyenes eyenete: y = 0, x 0, , aho y = és x = T 2. i az iesztett eyenes küönböző Ti 2 heyeken fevett értéke. A hibaszámításhoz a i. = értékeket is kiszámítottam. (m) 10 T(s) T(s) T 2 (s 2 ) i. (m) i. = (m) , , ,15 9,2 0,92 0,8464 0, , ,3 11,4 1,14 1,2996 0, , ,6 16,7 1,67 2,7889 0, ,0515 1,0 21,1 2,11 4,4521 1, , ,35 23,0 2,3 5,29 1, ,07943 Az (1) rafikon mutatja -et a T 2 füvényében, mí a (2) rafikonon i. = (m)-et ábrázotuk T 2 füvényében. Ez utóbbi rafikonró eovasható, hoy az iesztett eyenes meredekséének hibája 0,15886 = 0, Íy a b meredeksé az aábbi aakot öti: b = 5,29 0, ± 0, m, azaz b = 0, 247 ± 0, 003 m. Ebbő a = 9, 76 ± 0, 12 m érték adódik. s 2 s 2 s 2 6

Az ábrakészítésre vonatkozó tudnivaók a http://meta.ete.hu/fiz_ab/1234.pdf webodaon taáhatók (9. oda).

7 Az ábrakészítésre vonatkozó tudnivaók a webodaon taáhatók (9. oda). Eredmények/Eredménytábázat ± ( m s 2 ) irodami ( m s 2 ) 9, 76 ± 0, 12 9,81 Diszkusszió Az T 2 rafikon pontjaira jó ieszkedik az iesztett eyenes, íy azt mondhatjuk, hoy sikerüt iazoni a T = 2π összefüést. Az iesztett eyenes meredekséébő számot nehézséi yorsuás értéke hibán beü meeyezik a Budapesten mérhető nehézséi yorsuás értékéve (9, 81 m s 2 ). 7

Hasonló dokumentumok

Az egyszeres függesztőmű erőjátékáról

Az egyszeres függesztőmű erőjátékáról Az eyszeres üesztőmű erőjátékáró A címbei szerkezet az 1 ábrán szeméhető részeteive is 1 ábra orrása: [ 1 ] A szerkezet működésének jeemzése: ~ a vízszintes kötőerenda a két véén szabadon eekszik a közepén