Mechanikailag deformált grafén optikai vezetőképessége

Átírás

1 Tudományos Diákköri Dogozat Mechanikaiag deformát grafén optikai vezetőképessége Könye Viktor Témavezetők: Dr. Cserti József Széchenyi Gábor Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kompex Rendszerek Fizikája Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 26. november 29.

2 Kivonat A dogozatban szennyezésmentes grafén minták optikai vezetőképességét tanumányozzuk a Kubo-formuáva, a ineárisváasz-eméet keretén beü. A kidogozott ejárásunk átaános formában affin-transzformát méhsejtrácsok eírására is akamazható. Meghatározzuk a mechanikaiag deformát (izotrop összenyomásnak, egytengeyű nyújtásnak, ietve nyírásnak kitett grafén sávszerkezetét szoros kötésű közeítés aapján. A Kubo-formuát fehasznáva egy kompakt, anaitikus kifejezést vezetünk e az áram-áram korreációs függvényre, ameye kiszámojuk az optikai vezetőképességet az ekvienergiás vonaakon történő numerikus vonaintegráássa. A deformáatan grafén esetében az eredmény tükrözi a grafén szimmetriáját. Egy nem ortonormát bázisra vaó áttérésse a numerikus számoásokat jeentősen e tudtuk egyszerűsíteni. Az optikai vezetőképességet küönböző deformációk meett a beeső fény frekvenciájának függvényében vizsgájuk. Megmutatjuk, hogy a vezetőképességben feépő szinguáris visekedés az áapotsűrűségben megjeenő Van-Hove szinguaritásokka kapcsoatos. Deformáatan grafén esetén a Briouin-zóna három M pontjában az energia degenerát, de a deformáció hatására ez a degeneráció feodódhat, ami az optikai vezetőképesség spektrum csúcsainak széthasadásához vezet. A bemutatott formaizmusunk más kétdimenziós anyagok eírására is hasznáható, mint pédáu a kétrétegű grafén, sziicén vagy a Dirac-Wey rendszer.

3 Tartaomjegyzék. Bevezetés 3 2. Eméeti megaapozás A grafén szerkezete Méhsejtrács Reciprokrács Bravais- és reciprok bázis A grafén szerkezete mechanikai feszütség hatására Deformációs és feszütségtenzor A grafén rugamas tuajdonságai Affin transzformációk Izotrop összenyomás Egytengeyű nyújtás Nyírás Affin transzformát méhsejtrács TB közeítésben Affin transzformát méhsejtrács Hamiton-operátora Áapotsűrűség Grafén sávszerkezete szoros kötésű közeítés aapján Deformát grafén sávszerkezete Kubo-formua a szoros kötésű közeítés keretén beü Lineárisváasz-eméet Optikai vezetőképesség Áram operátor a TB közeítésben Áram-áram korreációs függvény TB közeítésben Diamágneses áram Optikai vezetőképesség TB közeítésben Grafén optikai vezetőképessége Deformáatan eset

4 3... Projektorok Az áram-áram korreációs függvény nyoma Áram-áram korreációs függvény A függvény számoása Optikai vezetőképesség Mechanikaiag deformát eset A Trace számoása deformát grafénre Optikai vezetőképesség deformát grafénban Numerikus eredmények Grafén optikai vezetőképességének frekvenciafüggése A deformáció hatásai az optikai vezetőképességre Izotrop összenyomás Egytengeyű nyújtás Nyírás Összefogaás Eméeti megaapozás Eredmények Kitekintés Köszönetnyivánítás 5 A. TB közeítés többsávos rendszerekben 5 B. Áram operátor többsávos rendszerekben 53 C. Áram operátor A esetén 56 Irodaomjegyzék 6 2

5 . Bevezetés A grafén 24-es szintetizáása [] és az ezért kiosztott 2-es fizikai Nobe-díj (Andre Geim és Konstantin Novoseov óta egyre csak növekvő hírnévre tett szert. Ezt mutatja pédáu az a tény, hogy a grafén fefedezését eíró cikkre [] több mint 3 hivatkozás érkezett, ami több mint 7 hivatkozást jeent naponta. A grafén a szén kétdimenziós aotrop módosuata, ameyben a szénatomok egy méhsejtrács rácspontjaiban heyezkednek e. Tuajdonságai sok tekintetben túszárnyaják az eddig ismert anyagokat (nagy szakítósziárdság, jó hő- és eektromos vezetőképesség. Ezen tuajdonságok és az ezekben rejő ehetőségek (eektronikai eszközök, kvantumpötty, szuperkondenzátor, stb. miatt mind a tudomány, mind az ipar szempontjábó eterjedten kutatják. A grafénró számos összefogaó készüt: [2], [3], [4]. A dogozatban a grafént szoros kötésű közeítésben fogjuk tárgyani. Ez a fajta tárgyaás 947-re nyúik vissza [5], aho még a grafit sávszerkezet számoásának építőeemeként jeent meg a grafén. Jeeneg is aktívan kutatott téma, hogy a grafén esetében az eektron-eektron ietve eektron-fonon köcsönhatás miyen, és mekkora szerepet játszik az eektromos tuajdonságok kiaakításában (részetesebben ásd [4]. Ebben a dogozatban mi ezeket ehanyagojuk, továbbá szennyezésmentes esetet vizsgáunk. A sziárd testek vizsgáatáná fontos szerepet játszik az optikai vezetőképesség (vátakozó áramú vezetőképesség, meyet kíséretieg a refexiós együttható mérésébő ehet meghatározni. Grafén esetében infravörös, átható és utraiboya tartományokban végezett méréseket taáhatunk az irodaomban [6], [7]. Az optikai vezetőképesség eméeti úton is kiszámoható, ezáta kapcsoatot tudunk teremteni a kíséreti és eméeti eredmények között. Azaz teszteni tudjuk modejeinket kíséreti módszerekke. Az eméeti számoásra 957-ben Ryogo Kubo adott meg egy módszert [8], amit ugyan átfogamazva, de ma is eterjedten hasznának, és mi is hasznáni fogunk. Az optikai vezetőképesség ismeretében az anyagok számos optikai tuajdonságát vizsgáhatjuk eméeti úton [9]. Ez a dogozat esősorban a deformát grafén optikai vezetőképességének számoását tárgyaja, de a bemutatott formaizmus akamazható más többsávos szoros kötésű rendszerre, ha ismerjük a Hamiton-operátort Boch-reprezentációban. A tárgyaásunk átaánosan akamazható affin transzformát méhsejtrácsokra, így ehetőséget nyújt a deformát grafén kezeésére. A 3

6 . fejezet Bevezetés módszerünk eőnye, hogy gyakoratiag tejesen anaitikus és kevés numerikus számoást igénye (a DFT módszerekke eentétben, mindössze egy vonaintegrát ke numerikusan kiértékeni. Hátránya, hogy csak tiszta, transzációs szimmetriáva rendekező rendszerekben hasznáható. A deformáatan grafén esetét már többen részetesen vizsgáták (pédáu []. Ennek eenére az átaunk feírt formua iyen kompakt, szimmetriákat tükröző formában tudtunkka még ismereten az irodaomban. A deformát grafén esetére is taáni eméeti eredményeket az irodaomban. Pédáu DFT módszerekke evégzett számoást ovashatunk a [] cikkben. Anaitikus számoást is taáhatunk, de csak kisenergiás közeítésben [2]. Végü taáhatunk szoros kötésű közeítésben végzett számoást is [3], aho a Kubo-formuát tejesen numerikusan értékeik ki, továbbá csak a ongitudináis vezetőképességet vizsgáják. Ezze eentétben a mi eírásunk a tejes optikai vezetőképesség tenzorra ad eredményt. A fesorot cikkek csak egytengeyű nyújtásokat vizsgának és azt is csak speciáis irányokban. A dogozatban mi sok más deformációt is részetesen eemzünk (izotrop összenyomás, egytengeyű nyújtás (tetszőeges irányban, nyírás. Az átaunk evezetett anaitikusan számot eredmények nem szerepenek egyik cikkben sem. Röviden összefogajuk a dogozat feépítését. A második fejezet az eméeti megaapozásró szó. Oyan evezetéseket és eredményeket tartamaz, amiket a könyvekben ietve cikkekben nem nagyon ehet megtaáni. Keő precízségge kezei az optikai vezetőképesség számoásáva kapcsoatos kifejezéseket, ameyek az irodaomban oykor féreértésekhez, rossz formuákhoz és rossz eredményekhez vezetnek. Mindezek meett a deformát grafén sávszerkezetét és áapotsűrűségét is ebben a fejezetben vizsgájuk részetesen, ameyek erősen összefüggnek majd a vezetőképességben átott visekedésse. A harmadik fejezetben a második fejezet eredményeire építve vezetünk e egy expicit formuát a deformáatan és deformát grafén optikai vezetőképességére. A formua egy vonaintegráást tartamaz, ameyet numerikusan evégezve kaphatjuk meg a végeredményünket. Az ebben a fejezetben végzett épések papíron számoható formában vannak megadva a Paui-mátrixok segítségéve, tejesen anaitikus módon. A deformáatan esetben végeredményként kapott formuán a grafén szimmetriáit figyehetjük meg, ahogyan azt a Neumann-ev értemében evárjuk. A negyedik fejezetben taáhatók meg a harmadik fejezet formuáinak numerikus végeredményei. Eőször a deformáatan esetet vizsgájuk meg részetesen, majd küönfée deformációk hatását tagajuk az optikai vezetőképesség spektrumára. Megmutatjuk az optikai vezetőképesség és az áapotsűrűség kapcsoatát, ietve ennek fényében tárgyajuk a Van-Hove szinguaritásoknak megfeeő csúcsok megjeenését az optikai vezetőképesség spektrumában. 4

7 2. Eméeti megaapozás Ebben a fejezetben bemutatjuk a deformát grafén vezetőképességének számoásához szükséges eméeti aapokat. A fejezet egyik egfontosabb eredménye, hogy részetesen végigvezetjük szoros kötésű közeítésben a Kubo-formua számoását. Mive az irodaomban részetesen nem szerepe a Kubo-formua iyen típusú evezetése, továbbá számos esetben rosszu is akamazzák a formuát, ezért ezt a munkánk egyik egfontosabb eredményének tekintjük. A hibák forrása átaában az, hogy a cikkek a könyvekben megtaáható szabad eektrongáz formuáit hasznáják fe más rendszerekre, mint pédáu a grafén (ásd [3]. A számoások során végig = egységrendszert hasznáunk, oykor eőfordu, hogy az eredmény dimenziójának hangsúyozásához visszaírjuk a -t a képetekbe. 2.. A grafén szerkezete A grafén atomjai méhsejtrács szerkezetet akotnak [4]. A rács minden pontjában egy szénatom taáható. Eőször definiájuk a koordinátarendszert ietve a későbbi számoásokban hasznát vektorokat. Megmutatjuk a grafén Bravais- ietve reciprokrácsát. Bevezetjük a Bravais- ietve reciprok bázis fogamát, ameyek a numerikus számoások egyszerűsítését szogáják Méhsejtrács A méhsejtrács a 2.. ábrán átható. A rács síkja merőeges a z tengeyre, az x és y tengeyeket az ábrán áthatjuk. A méhsejtrács Bravais-rácsa egy háromszögrács, aho minden eemi ceában két szénatom taáható. Az ábrán az eemi cea két atomját A (kék ietve B (piros atomnak nevezzük. A Bravais-rács eemi etoási vektorai a következők: ( ( a = a 3, a 2 = a , (2. 3 aho a a szén-szén kötéshossz, grafén esetén a =,42 Å [4]. Minden A atom egközeebbi 5

8 2. fejezet Eméeti megaapozás szomszédja δ i irányokban taáható meg, aho δ = a 2 ( 3 ( (, δ 2 = a, δ 3 = a 2 3. (2.2 A későbbiek szempontjábó cészerű bevezetni a t i (i =, 2, 3 vektorokat a következő módon: t := a, t 2 := a 2, t 3 := a 2 a. (2.3 Az a i, δ i és t i vektorok a 2.. ábrán áthatóak. δ 3 δ 2 δ t t 3 a y B A t 2 x a ábra. A grafén méhsejtrács szerkezete. Az a i vektorok a Bravais-rács eemi etoási vektorai. Az eemi cea két atomját küönböző színek jeöik: A (kék és B (piros. Az ábrán áthatók még a δ i (2.2 és t i (2.3 vektorok. A szén-szén kötések hossza a =,42 Å A δ i és t i definícióit fehasznáva a két fée vektorok kifejezhetők egymásbó a következő módon: t i = ε ijk δ j, δ i = 3 j,k ε ijk t k, (2.4 j,k aho ε ijk a Levi-Civita-szimbóum. Továbbá a következő azonosságok igazak: t =, δ = t i = t, i δ i = δ. (2.5 i 6

9 2. fejezet Eméeti megaapozás Reciprokrács Az eemi reciprokrács-vektorokat (b i a következő reáció aapján definiájuk: a i b j = 2πδ ij. (2.6 Fehasznáva az eemi rácsvektorok definícióját (2.: ( b = 2π 3a 3 (, b 2 = 2π 3a 3. (2.7 A háromszögrács, az ehhez tartozó reciprokrács és ennek Briouin-zónája (BZ a 2.2. ábrán áthatók. K K M M M Γ b a a 2 b 2 y k y x k x 2.2. ábra. Bravais-rács (kék a i eemi etoás vektorokka. Reciprokrács (piros b i eemi etoás vektorokka. A havány piros hatszög a BZ-t mutatja. A BZ nevezetes pontjai is áthatók az ábrán (Γ, K, K, M, M, M Bravais- és reciprok bázis A későbbi numerikus számoások szempontjábó cészerű áttérni a Bravais- és reciprok bázisokra. A kváziimpuzust cészerű az eemi reciprokrács-vektorok bázisában feírni (ezt hívjuk reciprok bázisnak. Az a -va arányos vektorokat cészerű a Bravais-rács eemi etoási vektorainak bázisában feírni (ezt hívjuk Bravais-bázisnak. Fontos megjegyezni, hogy ezek a bázisok nem ortonormátak, ezért óvatosan kezeendők. Egy adott k vektor a reciprok bázis ineáris kombinációjaként így néz ki: k = K b + K 2 b 2. (2.8 7

10 2. fejezet Eméeti megaapozás A céunk, hogy k x és k y vátozók heyett a K és K 2 vátozókra térjünk át. Ez egy ineáris transzformáció, amit a következő mátrix ír e: k = ( k x k y = ( ( b ( x b (2 x b ( y b (2 y Ezze tejesen anaóg módon a Bravais-bázisban: r = ( r x r y = ( ( a ( x a (2 x a ( y a (2 y K K 2 R R 2 =: J b K. (2.9 =: J a R. (2. Ezen bázisok jeentősége abban á, hogy iyenkor, mind a Bravais-rácsot, mind a reciprok rácsot egy egyszerű négyzetrácsra képezzük e. Így numerikusan az integráási tartományok, sokka egyszerűbben kezehetők. Továbbá a következő fejezetben átni fogjuk, hogy ezekben a bázisokban a deformáció is sokka egyszerűbben kezehető. A 2.3. ábrán áthatjuk a 2.. ábra megfeeőjét a Bravais-bázisban. A korábban definiát vektorok aakja a Bravais-bázisban a következő (minden vektor megfeeőjét a betűjének kaigrafikus verziójáva jeöjük: ( ( ( ( A =, A 2 =, D =, D 2 = 2, ( ( ( ( D 3 =, T =, T 2 =, T 3 =. (2. 3 T 2 T 3 A T B Y X A 2 D A D 2 D ábra. 2.. ábra a Bravais-bázisban 8

11 2. fejezet Eméeti megaapozás A következőkben az áttérésse kapcsoatos néhány összefüggést adunk meg. reciprokrács definícióját (2.6: Fehasznáva a kr = k r = 2π K R = 2πKR. (2.2 Vátozócsere esetén a k derivátat K -ra a következő módon cseréhetjük e: K = J b. (2.3 Integráás során a d 2 k-ró d 2 K-ra történő áttérésné szükségünk van a Jacobi-determinánsra, azaz a J b mátrix determinánsára, mey megegyezik a reciprokrács eemi ceájának terüetéve, esetünkben: det(j b = (2π2 S = 8π2 3a 2 3, (2.4 aho S a Bravais-rács eemi ceájának terüete. A J expicit aakját (2.9 ietve a reciprokrács definiáó reációját (2.6 fehasznáva a következő hasznos összefüggést vezethetjük e: J b t = ( b b 2 t = 2πT. ( A grafén szerkezete mechanikai feszütség hatására Ebben a részben a grafén szerkezetét vizsgájuk mechanikai feszütség hatására. Szem eőtt tartva, hogy anaitikus formuákat akarunk, csak oyan deformációkat engedünk meg, ameyek nem rontják e a periodikus struktúrát. Csak síkbei affin transzformációva eírható deformációkat engedünk meg. Ezze a ehető egátaánosabb oyan deformációkat írhatjuk e, ameyek megőrzik a transzációs szimmetriát. Természetesen a ineáris rugamasságtan keretein beü maradva aapvetően kis deformációkat téteezünk fe Deformációs és feszütségtenzor Eőször evezetjük a deformációs (ε és feszütségtenzor (σ kapcsoatát kétdimenziós hexagonáis rendszerben. Mive két dimenzióban dogozunk kétszer kettes mátrixokat fogunk hasznáni. A kiinduási pont a rugamas rendszer energiasűrűsége (w esz. A rendszer hexagonáis szimmetriáját kihasznáva ez átaánosan feírható a következő aakban [4]: w = λ Tr(ε 2 [ + λ 2 (εxx ε yy 2 + 4εxy] 2, (2.6 9

12 2. fejezet Eméeti megaapozás aho λ és λ 2 a két rugamas paraméter ( Lamé-együtthatók. Ez hasonó ahhoz a formuához, amit izotrop anyagra írunk fe. A hexagonáis rendszer síkbei deformációkra nézve izotrop módon visekedik. Az energiasűrűség ismeretében megkapható a feszütségtenzor a következő formua aapján: σ ij = w ε ij. (2.7 A deriváás során figyeni ke arra, hogy ε xy = ε yx, amit az energiasűrűség feírásában ki is hasznátunk. Ha a (2.6 energiasűrűség aakot hasznájuk, akkor az eredményt szimmetrizáni ke (vagy az ε xy -ok feét ε yx -ra ke cseréni. Mindkét esetben a feszütségtenzor a következő: σ = ( 2λ Tr(ε + 2λ 2 (ε xx ε yy 4λ 2 ε xy 4λ 2 ε xy 2λ Tr(ε 2λ 2 (ε xx ε yy. (2.8 Ez aapján a fordított reáció is megkapható (egy ineáris egyenetrendszer megodásábó: ε = ( 8λ Tr(σ + 8λ 2 (σ xx σ yy 4λ 2 σ xy 4λ 2 σ xy 8λ Tr(σ 8λ 2 (σ xx σ yy A grafén rugamas tuajdonságai. (2.9 A grafén rugamas tuajdonságai nehezen mérhetők és sok küönböző eredményt taáni a szakirodaomban. Mive a jeen dogozatban a konkrét értékek a kvaitatív képet nem rontják e, ezért a következőket fogjuk akamazni E = TPa a Young-moduusra ietve ν =, 6 a Poisson-számra [5]. Ugyanezen cikk aapján a grafén szakítósziárdsága σ max = 3 GPa. Egyszerű feső becsésként megkaphatjuk a még rugamas aakvátozáshoz megengedhető maximáis deformációt ε max σ max /E,. Enné nagyobb deformációk esetén már biztosan értemetenné váik a eírásunk, mert nagyjábó itt érjük e a foyáshatárt. Természetesen ez csak durva becsés, de az értemes vizsgáódási tartományt kijeöi. Fontos itt megjegyezni, hogy ugyan a fenti paraméterekke és a korábban evezetett feszütség deformáció kapcsoatta, adott feszütség esetén a deformációra ietve adott deformáció esetén a feszütségre is tudunk következtetni eméetieg. Gyakorati szempontbó ez probémás, mert a méréseket átaában vaamiyen hordozóanyagon végzik [6], [7]. Így a mérés során annak mechanikai tuajdonságai is befoyásoják az eredményeket. Ezen probémákat megkerüve cészerű inkább csak a deformációró beszéni és nem fogakozni azza, hogy miként jött étre. A számoások szempontjábó tehát a reeváns paraméter a deformációs tenzor esz. Az egyszerűség kedvéért a Poisson-számnak a ν =, 6 értéket fogjuk hasznáni (akkor is ha ez kíséretieg nem fetétenü indokot.

13 2. fejezet Eméeti megaapozás Affin transzformációk Az eőző részben megáapítottuk, hogy a ényeges mennyiség számunkra a deformációs tenzor. Ezt az áítást most kicsit tovább pontosítjuk. Igazábó a számoás szempontjábó az a fontos, hogy meyik atom hova kerü és mi esz az új struktúra. Azaz a ényeges mennyiség az u(x vektormező, amey megmondja, az x pont emozduását. Adott v vektor esetén (kezdőpontja az origó deformáció hatására: v = v + u(v. (2.2 Mive csak affin transzformációkat engedünk meg, ezek átaánosan a következő módon írhatók fe (etoástó etekintünk: v = (I + εv, (2.2 aho I a kétszer kettes egységmátrix és ε egy tetszőeges konstans vaós kétszer kettes mátrix, amire mostantó affin transzformáció mátrixként fogunk hivatkozni. Ezt összevetve a (2.2 képette az u vektormezőre azt a megszorítást kapjuk, hogy ineáris a koordinátákban. Iyenkor a következő igaz: ε αβ = α u β (x. (2.22 Ha ezt összehasonítjuk a deformációs tenzor definíciójáva: ε αβ = 2 [ αu β (x + β u α (x] = 2 [ ε αβ + ε βα ]. (2.23 Jó átható módon az affin transzformáció mátrix szimmetrizáásáva kapjuk a deformációs mátrixot. Azaz ha szimmetrikus az ε nem ke küönbséget tennünk a két mátrix között. Nem szimmetrikus esetben óvatosan ke ejárni, mint azt majd átni fogjuk a nyírás esetén. A küönbséget az okozza, hogy a deformációs tenzorban a forgatásokat nem vesszük figyeembe. Aapvetően tetszőeges kétszer kettes mátrixot feírhatunk, mint ehetséges affin transzformáció. Ezek közü csak az oyanokka fogakozunk, ameyek egyrészt nem haadják meg az ε =,-et ietve kíséretieg vizsgáhatóak. A továbbiakban a fenti követeményeknek eeget tevő deformációk közü az izotrop összenyomást, egytengeyű nyújtást és nyírást fogjuk vizsgáni. A későbbiek szempontjábó fontos itt megjegyezni, hogy a Bravais-bázisban feírt vektorok deformáció hatására nem módosunak, mive az eemi rácsvektorok ugyanúgy módosunak (ineáris módon, mint az összes többi vektor. Ebbő kifoyóag a Bravais-bázisban feírt vektorokat tartamazó képetek, ugyanoyan aakot ötenek deformát és deformáatan esetben is.

14 2. fejezet Eméeti megaapozás Izotrop összenyomás Az izotrop összenyomást a következő feszütség- és deformációs tenzor jeemzi: ( ( σ = p ε = ε, (2.24 aho p a nyomás és (2.9 aapján ε = p/4λ. Megmutatható, hogy ha nem végzünk forgatást az összenyomás során, akkor ε = ε. Az összenyomás hatására kiaakut szerkezet a 2.4.(a ábrán átható. Mive izotrop a deformáció a rács szimmetriatuajdonságai ietve szögei nem fognak vátozni. Mindössze a hosszskáa fog a = (+εa szerint módosuni. Ez azt jeenti, hogy minden rácsvektor (a i, t i, δ i iránya vátozatan és nagysága a hosszskáa szerint módosu. Az ábrán is átható, hogy a középső rögzített ponthoz képest mindössze egy középpontos kicsinyítés történik Egytengeyű nyújtás Egytengeyű nyújtást egyrészt a reatív megnyúássa (ε, másrészt a nyújtási tengey x iránnya bezárt szögéve (ϕ paraméterezhetjük. A ϕ = irányt armchair iránynak hívjuk (az ango karosszék szóbó. A grafén háromfogású szimmetriája miatt armchair iránybó 3 ekvivaens van 6 -onként (±ϕ nem számít küönböző nyújtásnak. Másik nevezetes irány a zig-zag irány (az ango cikcakk szóbó, ami ϕ = 9 irányban van (ietve az ezze ekvivaens másik 2 irányban. Eőször evezetjük az egytengeyű nyújtás deformációs tenzorát az armchair irányban: ( σ σ = ε = ε ( ν, (2.25 aho σ = Eε. Ezt az eredményt σ (2.9 egyenetbe heyettesítéséve kapjuk. A Youngmoduust és Poisson-számot kifejezhetjük a Lamé-együtthatókka (λ i (ietve fordítva: E = 8 λ λ 2, ν = λ λ 2, λ = λ + λ 2 λ + λ 2 4 E ν, λ 2 = E 4 + ν. (2.26 Az armchair irányú nyújtást ismerve tetszőeges irányban megkaphatjuk a nyújtást, egy ortogonáis transzformációva: ( ( ( cos ϕ sin ϕ ε cos ϕ sin ϕ ε(ϕ = sin ϕ cos ϕ νε sin ϕ cos ϕ ( cos 2 ϕ ν sin 2 ϕ ( + ν cos ϕ sin ϕ = ε. (2.27 ( + ν cos ϕ sin ϕ sin 2 ϕ ν cos 2 ϕ 2

15 2. fejezet Eméeti megaapozás Fontos megjegyezni, hogy bár a hatszögrács rugamasan izotrop, az atomok eheyezkedése nem az. Ezért esznek küönbségek (ameyek egy forgatássa nem kiküszöböhetők a küönböző irányú nyújtások esetében. Megmutatható, hogy ε = ε ha u(x-et feírjuk az armchair irányban: u(x = ε(x, νy. Majd ezt forgatjuk e ϕ szögge (nem csak a vektormező komponenseit ke forgatni, hanem az argumentumot is. ε ismeretében a rácsvektorok és rácspontok transzformációját (2.2 aapján számohatjuk (ez átható a 2.4.(c(d ábrán armchair és zig-zag irányokban Nyírás Nyírást az aábbi módon írhatunk e: ( σ = τ ( ε = ϑ 2, (2.28 aho τ = µϑ (µ a nyírási moduus és ϑ a nyírás szöge. A nyírási moduus nem függeten a korábbi rugamas paraméterektő: µ = 2λ 2 = E 2 + ν. (2.29 A fent eírt nyírás egy speciáis esete az armchair irányú (x irány nyírás. Ezt úgy képzehetjük e, mint x irányban ecsúszó párhuzamos vonaakat (ásd 2.4.(b ábra. Az összes oyan nyírás, ameynek az ε mátrixának a szimmetrizátja megegyezik, ugyanazt a deformációs tenzort fogja adni. Azaz az ezekben feépő feszütségek a nyírási szög eső rendjében ϑ esetén megegyeznek. Iyenkor ezek a nyírások egy forgatás erejéig ekvivaensek egymássa, azaz az így kapott rácsok egy forgatássa fedésbe hozhatók. Pédáu iyen ekvivaens nyírások az x és y irányú nyírások. Az egyszerűség kedvéért csak egy speciáis irányban, az armchair irányban vett nyírást tekintjük. Az u(x vektormező expicit aakjábó meghatározható a ε affin transzformációs mátrix: ( ( ϑy ϑ u(x = ε =. (2.3 Ez az eső eset, hogy ε ε. Ez nagyon fontos, és a heyes atompozíciók meghatározásához a nem szimmetrikus affin transzformáció mátrixot ( ε ke akamazni. A továbbiakban az egyszerűség kedvéért a nyírási szöget ϑ ε-a fogjuk jeöni a korábbiakka egységes módon. A nyírás hatására kiaakut szerkezet a 2.4.(b ábrán átható. 3

16 2. fejezet Eméeti megaapozás (a izotrop összenyomás ε =, (b nyírás ε =, (c nyújtás (armchair ε =, (d nyújtás (zig-zag ε =, 2.4. ábra. Küönböző deformációk esetén kiaakut szerkezetek. A fekete rács mutatja az eredeti méhsejtrácsot, a piros a deformátat. A képek közepén evő pont rögzített. 4

17 2. fejezet Eméeti megaapozás 2.3. Affin transzformát méhsejtrács TB közeítésben Affin transzformát méhsejtrács Hamiton-operátora Ebben a részben egy affin transzformát méhsejtrács Hamiton-operátorát írjuk fe szoros kötésű közeítésben (TB egközeebbi szomszéd köcsönhatásokat véve. Egy átaános többsávos TB rendszer eírását ovashatjuk az A függeékben, ameynek speciáis eseteként kapjuk az itt eírt eredményeket. A TB Hamiton feírásáná a következőket hasznájuk: A méhsejtrács struktúrában eemi ceánként két atom van, atomonként egy Wannier-áapotot veszünk (p z páya ietve csak a egközeebbi szomszéd hoppingokat tartjuk meg. Mive ineáris deformációkat nézünk, csak oyan kicsi affin transzformációkat engedünk meg, amiben a egközeebbi szomszédok nem vátoznak, mindössze a távoságuk, ietve a hoppingok módosunak. Egy iyen rendszer másodkvantát Hamiton-operátorát a következő módon írhatjuk fe Wannier-reprezentációban: H = i,j,σ γ i,j a iσ b jσ + h.c., (2.3 aho az összegzés a egközeebbi szomszédokra történik. γ i,j a hopping paraméter a j-edik rácspontbó az i-edikbe. a iσ és b iσ az etüntető operátorai az i-edik A vagy B rácspontra centrát σ spinbeáású Wannier-áapotnak. A Boch-téte értemében a Hamiton-operátor diagonáis esz a kváziimpuzusban (k. Oyan rendszerekben, aho egy eemi ceában több atom van a Boch-reprezentáció nem egyértemű [7]. A későbbi képeteink egyszerűsítéséhez a következő aakban definiájuk a Boch-áapotok etüntető operátorát: a kσ = e ikra i aiσ, b kσ = e ikrb i biσ, (2.32 N N i aho R A/B i az i-ik eemi cea A/B rácspontjába mutató vektor. A normáást úgy váasztottuk meg, hogy a ketett Boch-áapot egyre normát egyen (N az eemi ceák száma. Az inverz reáció a következő: a iσ = e ikra i akσ, b iσ = e ikrb i bkσ. (2.33 N N k Ezt visszaheyettesítve a Hamiton-operátorba (a számoás átaános esetben részetesen az A függeékben ovasható: i k H = k,σ φ(k a kσ b kσ + h.c., φ(k = γ e ikδ, (2.34 = aho γ azon két szomszédos rácspont közötti hopping, amey két rácspontot a δ vektor köt 5

18 2. fejezet Eméeti megaapozás össze. A következő definíciókat fehasznáva, a Hamiton-operátor: ( ( φ(k H(k :=, a φ kσ := (k a kσ b kσ, (2.35 H = k,σ a kσ H(ka kσ = k,σ 2,m= a (kσ H m (ka (kσ m. (2.36 A későbbi számoások szempontjábó cészerű a Paui mátrixokat (σ i hasznáni: ( ( i σ :=, σ 2 :=, σ 3 := i (, σ ± := σ ± iσ 2 2, (2.37 ezekke kifejezve H-t: H(k = φσ + + φ σ. (2.38 A Hamiton-operátor sajátérték-probémáját ezze eredukátuk a kétszer kettes H mátrix sajátértékprobémájára. Ez könnyen megodható és az így kapott diszperziós reáció: ε ± (k = ± φ = ± 3 γ γ + γ +2 cos(t k, (2.39 = aho az indexekben vaó összeadás moduó 3-ma értendő. A reációt továbbá kifejezhetjük a reciprok bázisban is (a 2..3 részben eírtak aapján a t vektorokat a Bravais-bázisban feírva: = ε ± (K = ± φ = ± 3 γ γ + γ +2 cos(2πt K. (2.4 = A diszperziós reáció ismeretében a diagonaizát Hamiton-operátor a következő aakot öti: H = k,σ,a=± = ε a (kc (kσ a c (kσ a, (2.4 aho c ± a Hamiton-operátor sajátáapotainak etüntető operátora. A H mátrix sajátvektorait +, k és, k módon jeöjük a sajátértékük szerint (ε ± (k. Az a kσ a kσ jeöést fehasznáva a c operátorok a következő módon adhatók meg: c (kσ ± = ±, k a kσ. (2.42 A későbbiekben átni fogjuk, hogy bár meghatározhatók a sajátvektorok, nem fogjuk ezt megtenni, mert az optikai vezetőképesség számoásához eegendő a projektorokat meghatározni. 6

19 2. fejezet Eméeti megaapozás Áapotsűrűség A következőkben az eőző részben evezetett diszperziós reáció (2.39 áapotsűrűségét (továbbiakban DOS fogjuk meghatározni. Keően nagy méretű rendszerekben a következő formua hasznáható az áapotsűrűség számoáshoz [8]: D(ε = 2 (2π 2 a=± d 2 k δ(ε ε a (k. (2.43 A kettes szorzóva a spin degenerációt vesszük figyeembe (az irodaomban ezt néha az egyszerűség kedvéért ehagyják. Ismert a Dirac-deta függvény következő tuajdonsága: aho g ( f(xδ(g(xd 2 x = g ( f(x ds, (2.44 g(x ds a g(x = kontúrokon vett vonaintegrá. Ezt fehasznáva a DOS ( k : D(ε = 2 (2π 2 a ε a(k=ε ds ε a (k. (2.45 A diszperziós reáció (2.39 tükörszimmetrikus az ε = síkra. Ebbő kifoyóag a DOS páros függvény. Az egyszerűség kedvéért csak az ε > odat nézzük: D(ε = 2 (2π 2 A gradiens a következő módon számoható: φ = φ 3 =,m= φ(k =ε ds φ(k. (2.46 γ + γ +2 γ m+ γ m+2 t t m sin(t k sin(t m k. (2.47 Ezt visszaheyettesítve a DOS kifejezésébe: D(ε = 2 (2π 2 φ(k =ε ds =,m= ε γ + γ +2 γ m+ γ m+2 t t m sin(t k sin(t m k. (2.48 A numerikus számoások eegyszerűsítése miatt a reciprok bázist fogjuk hasznáni a k vektorokná és a Bravais-bázist a t vektorokná. A (2.48 eredményt minimáisan ke csak módosítani. A egnyivánvaóbb a Jacobi-determináns ( det(j b ásd (2.4. A Dirac-deta vona integ- 7

20 2. fejezet Eméeti megaapozás ráá vaó ecserééséné a gradienst módosítani ke (2.3 szerint, ezután a (2.5 összefüggést fehasznáva megszabaduhatunk a J b mátrixoktó. Végü minden skaáris szorzást ecseréünk (2.2 szerint. Ezek aapján a DOS: D(ε = 2ε (2πS φ(k =ε ds K γ + γ +2 γ m+ γ m+2 T T m sin(t K sin(t m K =,m=. (2.49 A két eírás ekvivaens, de a numerikus számoások szempontjábó ez cészerűbb. Az integráási tartomány iyenkor automatikusan [.5,.5] K és K 2 -re is. Továbbá deformát esetben a T vektorok vátozatanok esznek (ásd rész vége. Így a deformáció hatásait csak a hopping paraméterekben, ietve az eemi cea terüetének vátozásában ke figyeembe venni. Konkrét numerikus eredményeket a következő fejezetekben a diszperziós reációkka együtt prezentájuk Grafén sávszerkezete szoros kötésű közeítés aapján A grafén egy normáis méhsejt rács, azaz a korábban evezetett Hamiton-operátor (2.36 aakja itt is akamazható. A háromfogású szimmetria miatt a három hopping paraméter megegyezik γ γ o. A hopping paraméter konkrét értékének a γ o = 2,8 ev-ot fogjuk hasznáni [4]. Ennek ismeretében a diszperziós reáció (2.39 k ietve K függvényében a következő aakokat öti: ε ± = ±γ o cos(t k, ε ± = ±γ o cos(2πt K. (2.5 = = A diszperziós reációt a normáis ietve reciprok bázisban a 2.5. ábrán áthatjuk. A diszperziós reáció hatfogású szimmetriát mutat, a grafén Bravais-rácsához hasonóan. A sávszerkezetben két szimmetrikusan eheyezkedő gap néküi sáv van. Összesen 2N ehetséges áapot van mind az asó, mind a feső sávban (N eemi cea és két spinbeáás. Mive eemi ceánként 2 atom van a vezetési eektronok száma is 2N. Ez azt jeenti, hogy T = K hőmérséketen a tejes asó sáv be van tötve. Így a Fermi-energia ε F =. Ebbő kifoyóag a Fermi- feüet a BZ hat csúcsa (ezek között két nem ekvivaens pont taáható, meyeket K és K -ve jeöünk, ásd 2.2. ábra. A K pontok közeében a diszperziós reáció ineáris visekedést mutat. Ezek az úgynevezett Dirac-kúpok, ameyek aacsony energiás gerjesztésekné jó közeítésse írják e a grafént. A BZ három M pontjában nyeregpontok taáhatók a diszperziós reációban. A sáv a BZ közepén a Γ pontban végződik egy kvadratikus minimumban, ietve maximumban. Az emített pontok a reciprok bázisban is azonosíthatók. Ekkor ugyan a szép hatfogású szimmetria eromik, az inekvivaens pontok tartománya numerikusan sokka egyszerűbben kezehető. 8

21 2. fejezet Eméeti megaapozás ε + /γ o 4π k y a K 2 4π 3 3 2π 3 k x a 2π ábra. A ba odai kép a TB grafén diszperziós reációjának feső sávját ábrázoja a kváziimpuzus függvényében. Az asó sávot az ε + = síkra vaó tükrözésse kapjuk. A BZ-t fehér hatszög jeöi. A jobb odai kép a ba odai kép megfeeője a reciprok bázisban. Itt a fehér négyzet a nem ekvivaens pontokat határoja. Az energiát γ o = 2,8 ev, a kváziimpuzust a =,42 Å egységekke dimenziótanítottuk. K A DOS-t is kiszámotuk numerikusan a (2.49 kifejezést fehasznáva, ennek eredménye átható a 2.6. ábrán. A DOS ineárisan indu kis energiákon, aho a Dirac-kúp közeítés működik. Nagyobb energiákon ettő etérést tapasztaunk. ε = γ o esetén egy Van-Hove szinguaritást átunk, amit az M pontokban evő nyeregpontok okoznak. A DOS határértékben véges értéket vesz fe a sáv széén. ε [ev] DS γ o ε/γ o 2.6. ábra. A TB grafén áapotsűrűsége. A dimenziótanításhoz hasznát paraméterek γ o = 2,8 ev és S = 5,24 Å 2. 9

22 2. fejezet Eméeti megaapozás Deformát grafén sávszerkezete Annak érdekében, hogy a grafén transzációs szimmetriája megmaradjon, csak affin transzformációva eírható deformációkat tekintünk. Ezért a deformát grafén tökéetes pédája az affin transzformát méhsejtrácsnak. A deformáció hatására módosut hoppingokat a következő módon számohatjuk [9]: γ = γ o e λ( δ a =: γ o g, (2.5 aho λa = 3. Ezekke a hoppingokka a diszperziós reáció (2.39: ε ± (k = ±γ o 3 g g + g +2 cos(t k. (2.52 = = A ( ábra sorozatban küönböző deformációk esetén átható a diszperziós reáció. Az ábrákná ε =.2-ig is ementünk, hogy jobban átható egyen a deformáció hatása. A jobb heykihasznáás érdekében az ábrákró evettük a tengeyeket, de a tengeyek skáája ugyanaz, mint a 2.5. ábrának a ba odai képén. Az izotrop összenyomás esetén (2.7. ábra átható, hogy a diszperziós reáció szerkezete nem vátozik, mindössze a távoság és energia skáa módosu. Mive összenyomásró van szó a reciprokrácsban a diszperziós reáció kitágu a = ( ε a hosszskáa szerint. A közeebb kerüő esőszomszédok miatt γ o = γ o e λ ε a. Egytengeyű nyújtás estén ( ábrák már nagyobb vátozások történnek a diszperziós reációban. Az ábrákon három fée nyújtást nézünk ϕ = (armchair ϕ = 9 (zig-zag és egy önkényes ϕ = 45 irányban. Az összes esetben jó átható, hogy a nyújtás irányában a diszperziós reáció összemegy, míg a Poisson-szám szerint összehúzódó irányban megnyúik kis mértékben. A két Dirac-kúp módosu a deformáció hatására az ekvienergiás körei etorzunak, és a csúcsok is etoódnak. Irreáisan nagy deformációk esetén a Dirac-kúpok összeovadhatnak. Továbbá eegendően nagy deformációk esetén gap is kerühet a spektrumba [2] (armchair irányban soha. A sáv szée továbbra is a Γ pontban marad, de az ábrákon megfigyehető, hogy a sáv széessége mindhárom esetben csökken. Az M pontokná evő nyeregpontok emozdunak a reciprokrács vátozása szerint, és míg a deformáatan esetben a nyeregpontokban az energia degenerát vot, deformát esetben ez feodódik. A magas szimmetriájú irányokban (armchair, és zig-zag a diszperziós reáció tükörszimmetrikus marad az x és y tengeyekre. Ebbő kifoyóag csak két küönböző értéket vesz fe az energia a nyeregpontokban. Egy köztes önkényes irányban mind a három nyeregpontban az energia küönböző értékeket vehet fe, mint ahogyan azt ϕ = 45 esetben átjuk is. 2

23 2. fejezet Eméeti megaapozás Armchair irányú nyírás esetén a diszperziós reáció módosuását a 2.. ábrán áthatjuk. A torzuás eginkább a ϕ = 45 egytengeyű nyújtás esetére hasonít. A tükörszimmetria itt sérü így a három nyeregpontban az energia küönböző értékeket vesz fe. A nyírás speciaitása, hogy az egyik egközeebbi szomszéd távoság vátozatan marad. Továbbá eső rendben a másik két szomszéd távoságának vátozása pont kompenzája egymást (amennyive hosszabb az egyik, annyiva rövidebb a másik. Ez két hatást okoz a diszperziós reáció szempontjábó. Az egyik, hogy ε-ban eső rendben a sáv széessége nem vátozik, mert a megvátozott hoppingok pont kikompenzáják egymást. Továbbá szintén eső rendben az egyik nyeregpontná fevett energia vátozatanu γo marad. Ez az ábrán is megfigyehető, hiszen az ekvienergiás vonaak közü az egyik végig nyeregponton megy át. ε =.5 ε=.5.5 ε+ /γo ε = ábra. Izotrop összenyomás esetén a grafén diszperziós reációja küönböző deformációk (ε esetén. A egeső ábra a 2.5. ábra ba odai képének kicsinyített verziója (a tengeyek onnan eovashatók. Mindhárom ábra azonos kváziimpuzus- és energiaskáán van ábrázova. ε=.5 ε =..5 ε+ /γo ε = ábra. Egytengeyű nyújtás (armchair esetén a grafén diszperziós reációja. A 2.7. ábrához hasonó ábrázoássa. 2

24 2. fejezet Eméeti megaapozás ε=.5 ε =..5 ε+ /γo ε = ábra. Egytengeyű nyújtás (zig-zag esetén a grafén diszperziós reációja. A 2.7. ábrához hasonó ábrázoássa. ε=.5 ε =..5 ε+ /γo ε = ábra. Egytengeyű nyújtás (ϕ = 45 esetén a grafén diszperziós reációja. A 2.7. ábrához hasonó ábrázoássa. ε=.5 ε =..5 ε+ /γo ε = ábra. Nyírás (x irányú esetén a grafén diszperziós reációja. A 2.7. ábrához hasonó ábrázoássa. 22

25 2. fejezet Eméeti megaapozás A 2.2. ábrán néhány fontos esetre ábrázotuk a DOS-t, meyet a a (2.49 képet aapján numerikusan számotunk. A DOS mutatja ugyanazokat a jeegzetességeket, amiket már a diszperziós reációná is megáapítottunk. A nyeregpontokbó adódó Van-Hove szinguaritás deformáatan esetben háromszorosan degenerát. A deformáció szimmetriatuajdonságai szerint 3 eset ehetséges. Izotrop esetben egy csúcs marad, armchair irányú egytengeyű nyújtás esetén két csúcs esz, és nyírás esetén három csúcs esz. A nyírás érdekessége, hogy a deformációban eső rendben a középső csúcs heyben marad a korábbi bekezdésben eírtak aapján. A sávszéességek vátozása is nyomon követhető az ábrán. Összenyomás hatására a sáv kiszéesedik, míg nyújtás hatására összemegy. Nyírás esetén eső rendben vátozatan a sávszéesség, ami nem okoz észehető vátozást a deformáatan esethez képest. A DOS kis energiákon minden esetben ineárisan nő az energia függvényében, csak a meredekség vátozik küönböző deformációk esetén. DS γ o ε = izotrop ε =.5 egytengeyű ϕ = ε =. nyírás ε = ε + /γ o 2.2. ábra. A deformát grafén DOS-ja küönböző deformációk esetén. Az ábra néhány reprezentáns esetet mutat,2 ietve 3 szinguaritássa. A dimenziótanításhoz hasznát paraméterek γ o = 2,8 ev és S = 5,24 Å Kubo-formua a szoros kötésű közeítés keretén beü Lineárisváasz-eméet Ebben a részben a ineárisváasz-eméet formuáit és áításait mutatjuk be, ameyeket a későbbiekben fehasznáunk. Csak egy vázatos eírást adunk meg, hogy megaapozzuk a későbbi formuákat. Részetesebb eíráshoz, ietve az áítások bizonyításaihoz ásd [2], [22]. Egyensúyi rendszerünket a H o Hamiton-operátorra írjuk e. A rendszerünket időfüggő módon 23

26 2. fejezet Eméeti megaapozás δh(t-va perturbájuk, amive a tejes Hamiton-operátor H(t = H o +δh(t aakot öt. A perturbációra kis mennyiségként gondounk, vagyis δh(t H o (természetesen a reáció operátor normák szintjén értendő. A H(t operátorra eírt rendszerben egy adott B fizikai mennyiség ineáris váaszára (δb vagyunk kíváncsiak, ameyet a következő módon számohatunk ki: δb(t := B (t B o = i t [B I (t, δh I (t ] o dt, (2.53 aho és o a H(t és H o fehasznáásáva vett hőmérséketi várható értékek. a köcsönhatási képet jeenti. nagykanonikus eoszás fog megfeeni. Az I index A hőmérséketi eoszás tetszőeges ehet (a mi céjainknak a Ez a formua természetesen nem azonosság, hanem csak a perturbáció eső rendjét adja meg. A későbbiek szempontjábó, oyan perturbációkat fogunk vizsgáni, meyek aakja δh(t = A f(t, aho A egy fizikai mennyiség (pédáu mágneses momentum és f egy küső tér (pédáu mágneses tér. Az átaános Kubo-formua (2.53 aapján: δb(t = C R BA(t t f(t dt, C R BA(t := iθ(t [B(t, A(] o. (2.54 A CBA R (t függvényt retardát korreációs függvénynek nevezik. A képetben már kihasznátuk, hogy a korreációs függvény időben homogén, ezért csak egy idővátozóva eírható. Ebbő az aakbó jó átszik, hogy a ineáris váasz egy konvoúció aakjában á eő, ezért cészerű áttérni a Fourier-transzformátakra. A Fourier-transzformáció konvergens evégzését egy Lapace-transzformáción keresztü hajtjuk végre a következő módon: C R BA(ω := im η + dte (iωt ηt C R BA(t. (2.55 Az η paraméter megváasztása konzisztens azza, hogy a visszafee evégzett Fourier-transzformációbó kapott eredmény retardát. Ugyanezt az eredményt megfogamazhatjuk úgy is, hogy definiájuk a C BA (z kompex frekvenciátó függő Lapace-transzformátat a következő módon: C BA (z := dte izt C BA (t. (

27 2. fejezet Eméeti megaapozás Majd ezze a retardát korreációs függvény vaós frekvenciákra a következő módon adódik: C R BA(ω = im η + C BA(ω + iη. (2.57 Az így kapott Fourier-transzformátta a Kubo-formua a következő egyszerű aakot öti: δb(ω = C R BA(ωf(ω. (2.58 Ha a korreációs függvény anaitikus a feső fésíkon és / z -ve vagy gyorsabban tart nuához z esetén, akkor akamazhatók a Kramers-Kronig reációk: Re[CBA(ω] R = π P Im[CBA R (ω ] dω, ω ω Im[CBA(ω] R = π P Re[CBA R (ω ] dω, (2.59 ω ω aho P a Cauchy-fée főérték. Ez azt jeenti, hogy a tejes korreációs függvényt egyérteműen meghatározza a vaós (vagy képzetes része. Részben ez indokoja majd azt, hogy csak a vaós réssze fogakozunk a későbbiekben Optikai vezetőképesség Számoásunk során az optikai vezetőképességet akarjuk meghatározni. Az optikában az egyik aapvető közeítés, hogy az akamazott fény huámhossza ényegesen nagyobb, mint a vizsgát rendszer mikroszkopikus szerkezete. Azaz a beérkező eektromos térre térben homogén módon gondohatunk. Mieőtt evezetnénk a végeredményt a ineárisváasz-eméet aapján, eőször bemutatjuk, hogy mit várunk. Az optikai vezetőképesség tenzor (σ az áramsűrűség (j és az eektromos tér (E kapcsoatát adja meg a következő formában (Fourier-térben: j(ω = σ(ωe(ω. (2.6 Fontos megjegyezni, hogy itt az eektromos térre küső eektromos térként gondounk. Akamazástó függően a vezetőképességet szokták a tejes eektromos térre is definiáni. Itt egyszerűség kedvéért hasznájuk az eőbbi definíciót (a ineáris váaszeméet keretén beü a kétfée vezetőképesség arányos egymássa, és az arányossági tényező a reatív dieektromos függvény. A képetek ebonyoítását ekerüendő ezt nem fogjuk expiciten jeezni. A cé megmutatni, hogy vaóban iyen a kapcsoat az áramsűrűség és az eektromos tér között, és megadni σ(ω-ra egy formuát. Eőször a perturbációt ke meghatároznunk a Hamitonoperátorban. Ehhez be ke vezetni a vektorpotenciát. A számoás során oyan mértéket 25

28 2. fejezet Eméeti megaapozás hasznáunk, aho az eektromos potenciá (Wey-mérték. Ez aapján a térerősség és a vektorpotenciá közötti reáció: E(t = t A(t, E(ω = iωa(ω. (2.6 A vektorpotenciában ineáris rendig a perturbáció a következő aakot öti [22]: δh = d d r( ej(r, A = A(t = ej(a = A(t, (2.62 aho J = d d rj(r az áram operátor. A homogén eektromos áramsűrűség operátort a j = ej/s formában kaphatjuk meg, aho S a minta terüete (magasabb dimenzióban térfogata. Az áram operátor a vektorpotenciá függvénye, ezt kifejtve a következőt kapjuk (TB közeítés esetén részetesebben ásd C függeék: J α (A = J ( α + β J ( αβ A β + O(A 2. (2.63 Ezekke a jeöésekke a perturbáció δh = ej A(t aakban á eő. Lineáris rendben kiszámova az eektromos áramsűrűség ineáris váasza (az egyensúyi rendszerben nincsen áram: j α (t = j ( α (t + Az eső tag a Kubo-formua (2.54 aapján számoható: j ( e 2 α (t = S S Π R αβ(t C R J ( α J ( β β β C R j α ( J ( β j ( αβ o A β (t. (2.64 (t t A β (t dt, (2.65 (t = iθ(t [J ( α (t, J ( β ] o, (2.66 aho bevezettük a Π jeöést az áram-áram korreációs függvényre. A Fourier-transzformációt evégezve a (2.64 formuán: j α (ω = β ( Π R αβ (ω + jαβ D Aβ (ω, (2.67 aho bevezettük a diamágneses tagot j D αβ e/s J ( αβ o aakban. Ha ezt összehasonítjuk (2.6-a és kihasznájuk a vektorpotenciá és eektromos tér kapcsoatát (2.6, akkor az optikai vezetőképességre a következőt kapjuk: σ αβ (ω = i ω ( e 2 Π R αβ(ω jαβ D. (

29 2. fejezet Eméeti megaapozás Áram operátor a TB közeítésben Ebben a részben evezetjük az áram operátor aakját affin transzformát méhsejtrácsokra TB közeítésben. Átaános TB közeítés esetén a evezetések a B függeékben taáhatók meg. Az itt közöt formuák és áítások bizonyításai is ott ovashatók átaános formában. Az áram operátor a következő módon számoható a Hamiton-operátor ismeretében: J = t P(t = i[h, P], P(t = i,σ R (A i a iσ a iσ + R (B i b iσ b iσ, (2.69 aho P a poarizáció operátor. A kommutátor evégezhető a kető/etüntető operátorok kommutációs reációinak ismeretében: J = i i,j,σ (γ ij ( R (B j R (A i a iσ b jσ h.c. A Boch-reprezentációra vaó áttérés után (fehasznáva a (2.35 definíciókat:. (2.7 J = k,σ 2,m a (kσ a (kσ m J m (k, (2.7 aho az áram operátor mátrixát J m (k = H m (k aakban kaphatjuk meg. Az áram operátor mátrixára kétféeképpen gondohatunk, vagy kétdimenziós vektorok mátrixaként, vagy 2 2-es mátrixok vektoraként (aho (J α m = J α (m, iyenkor: J α = α H, (2.72 aho α / k α. Ugyanez feírva a Paui-mátrixok segítségéve (2.38 aapján: J α = ( α φσ + + h.c. (2.73 A Hamiton-operátorná bevezetett diagonáis kető/etüntető operátorokka (2.42 feírva: J α = c (kσ a c (kσ b a, k J α (k b, k. (2.74 k,σ a,b=± Fontos megjegyezni, hogy a (2.72 formuát gyakran körütekintés nékü akamazzák. A formua csak akkor igaz, ha a Boch-reprezentációt (2.33-ban eírt módon definiájuk. Más esetben komoy probémát okozhat a (2.72 formua akamazása, annak eenére, hogy a diszperziós reáció nem vátozik. Erre péda [23], aho anizotrop vezetőképességet számotak ki grafénre (annak eenére, hogy a szimmetriák ezt megtitják. A heyes eredmény és a heyteen közötti küönbséget egy váasz cikkben [24] ovashatjuk. A B appendixben átaános formaizmusban, nem csak a grafénre korátozva kezejük a probémát. Megmutatható, hogy a heyes reprezentációt hasznáva a (2.72 formua tetszőeges TB rendszerre akamazható. 27

30 2. fejezet Eméeti megaapozás Áram-áram korreációs függvény TB közeítésben Ebben a részben megadjuk az áram-áram korreációs függvény kiszámoásához hasznáható képetet soksávos TB rendszer esetén. A korábban definiát áram-áram korreációs függvény: Π R αβ(t = iθ(t S [ J ( α (t, J ( β ( ] Az áram operátorok diagonaizát másodkvantát aakját hasznáva (2.74: Π R αβ(t = iθ(t S o. (2.75 a, k J α (k b, k c, k J β (k d, k e i(εa εbt k,σ k,σ a,b c,d [ c (kσ a ] (tc (kσ b (t, c (k σ c c (k σ d o, (2.76 aho kihasznátuk az annihiációs operátor c (kσ a (t = exp( iε a t c (kσ a időfüggését (köcsönhatási képben. Eőször a kommutátort határozzuk meg: [ ] [ c (kσ a c (kσ b, c (k σ c c (k σ d = c (kσ a c (kσ b, c (k σ d ({ = c (kσ a c (kσ b, c (k σ c ({ } + c (kσ a, c (k σ c ( = δ kk δ σσ δ bc c (kσ a c c (k σ ] + } c (k σ [ c (kσ a, c (k σ d c (k σ c { c (k σ d c (k σ c c (kσ d A diagonáis kető/etüntető operátorokra a következő igaz: = δ ab f(ε a, f(ε = c (kσ a c (kσ b o δ ad c (kσ c c c (k σ d c (kσ { c (kσ ] b, c (k σ d c (kσ b } + } a, c (k σ d c (kσ b. (2.77 c (kσ b exp {β(ε µ} +. (2.78 Ezt beheyettesítve a kommutátor várható értékébe: [ ] c (kσ a c (kσ b, c (k σ c c (k σ d = δ kk δ σσ δ bc δ ad (f(ε a f(ε b. (2.79 o Megjegyezzük, hogy ugyanezt az eredményt a Wick-téte aapján is megkaphatjuk. Ezt visszaírva a korreációs függvénybe (2.76 a Kronecker-detákat feösszegezve: Π R αβ(t = iθ(t S a, k J α (k b, k b, k J β (k a, k (f(ε a f(ε b e i(εa εbt. (2.8 k,σ a,b Cészerű bevezetni Q a (k = a, k a, k projektorokat és ezekke kifejezni az eredményt: Π R αβ(t = iθ(t S (f(ε a f(ε b e i(εa εbt Tr {Q a (kj α (kq b (kj β }. (2.8 k,σ a,b 28

31 2. fejezet Eméeti megaapozás Ezze kiküszöböhetjük a sajátvektorok meghatározását, mindössze a projektorokat ke meghatározni. Erre a következő fejezet 3.. részében mutatunk egy oyan módszert, ami nem igényi a sajátvektorokat, csak a sajátértékeket. A Lapace-transzformációt (2.56 evégezve: Π αβ (z = S K ab (z Tr (J α Q b J β Q a, K ab (z := f(ε a f(ε b. (2.82 z + ε a ε b kσ a,b Az így kapott aak nagyon hasonó a Lindhard-függvényhez. A retardát áram-áram korreációs függvényt a Π R αβ (ω = im Π αβ(ω + iη határérték adja meg. A retardát áram-áram korreációs függvényre igazak a Kramers-Kronig-összefüggések, ezért a továbbiakban végig a η + képzetes réssze fogakozunk csak, hiszen annak ismerete egyérteműen meghatározza a vaós részt is. A korreációs függvény expicit kifejezését nézve megáapíthatjuk, hogy az a = b tagok a szummában -t adnak, hiszen K(ω + iη = minden η > értékre. Tehát a későbbi számoásokban majd a b tagokra ke csak összegezni. Tehát (a σ indextő semmi sem függ ezért egy kettes szorzót eredményez a rá vett összegzés az áram-áram korreációs függvény végeges aakja: Π αβ (z = 2 K ab (z Tr (J α Q b J β Q a. (2.83 S Diamágneses áram k a,b a b A C függeékben eírtak aapján affin transzformát méhsejtrácsok esetén a diamágneses áram (az A szorzó nékü az aábbi aakban á eő: J ( αβ = k,σ 2 m a (kσ a (kσ m J ((m αβ (k, J ( ( αβ (k := L αβ (k L αβ (k, (2.84 L αβ (k := j eγ j δ α (j δ (j β exp [ikδ j]. (2.85 A diagonáis operátorokka: J ( αβ = k,σ c (kσ a c (kσ b a, k J ( αβ (k b, k. (2.86 a,b=± Ennek hőmérséketi várható értéke a következő: J ( αβ o = k,σ a=± f(ε a (k a, k J ( αβ (k a, k. (

32 2. fejezet Eméeti megaapozás T = K hőmérséketen µ = esetén ezt röviden a következő aakban írhatjuk fe: J ( αβ o = 2 k, k J ( αβ (k, k = 2 k ( Tr J ( αβ (kq (k. (2.88 Fontos észrevenni, hogy a diamágneses áram mátrix hermitikus, ezért a várható érték mindig vaós esz, azaz az i szorzó miatt csak a vezetőképesség képzetes részéhez ad járuékot a diamágneses tag Optikai vezetőképesség TB közeítésben Ebben a részben röviden összefogajuk az optikai vezetőképességre kapott formuáinkat. Az optikai vezetőképesség átaános formában (2.68 szerint számoandó. A korábbi részekben meghatároztunk az áram-áram korreációs függvényre egy formuát TB közeítés keretén beü (2.83. Továbbá eírtuk a diamágneses tagot (2.87. Ezeket összeszedve és a fenti részekben emondott tuajdonságok aapján szétszedhetjük a vezetőképességet vaós és képzetes részre a következő módon: Re (σ αβ (ω = e2 Im (σ αβ (ω = e2 ω Re ( ω Im im Π αβ(ω + iη, η ( im Π αβ(ω + iη η ω jd αβ. (2.89 Fontos megjegyezni, hogy az irodaomban sokszor inkonzisztenciákat taáni a vezetőképesség számoását ietően. A részetes evezetésünkke ezeket a féreértéseket próbátuk tisztázni. A probéma gyakran abbó adódik, hogy a könyvekben megtaáható szabad eektronokra evezetett Kubo-formuát egy az egyben hasznáják fe más, pédáu TB rendszerek eírására. Érdemes megjegyezni enné az eredményné, hogy ha a vezetőképesség időfüggését is meg akarjuk határozni (azaz vissza akarunk Fourier-transzformáni, akkor az ω + iδ eőírást ke akamaznunk a heyes kauzaitás eéréséhez. Iyenkor a disztribúciók nyevén egy kicsit más aakot kapunk a vezetőképességre []. Mive az akamazások szempontjábó a ényeges mennyiség az ω-tó függő vezetőképesség, a függvényaak szempontjábó irreeváns, hogy miyen eőírássa éünk (ennek csak a Fourier-transzformáhatóságná van szerepe. A továbbiakban csak a vezetőképesség vaós részéve fogunk fogakozni. Ha bizonyos számoások igényik a képzetes részt is, akkor ehhez meg ke határozni a diamágneses tagot (2.87 aapján, ietve az áram-áram korreációs függvény vaós részét a Kramers-Kronig reáció aapján. Mive a kíséreti cikkek átaában csak a vezetőképesség vaós részére közönek eredményeket, ezért cészerű nekünk is csak ezze fogakozni. 3

33 3. Grafén optikai vezetőképessége A korábbi fejezetben részetezett formuákat fehasznáva megadunk a deformáatan és a deformát grafén optikai vezetőképességére egy expicit formuát, amey már csak egy numerikusan evégezhető vonaintegrát tartamaz. A evezetés tejesen anaitikus és papíron evégezhető a Paui-mátrixok segítségéve. A korábbiakban emondottak fényében csak az optikai vezetőképesség vaós részét vizsgájuk. Röviden a következőt számojuk (2.89 és (2.83 aapján: ( Re (σ αβ (ω = e2 ω Im im Π αβ(ω + iη, (3. η Π αβ (z = 2 K ab (z Tr (J α Q b J β Q a. (3.2 S k a,b a b 3.. Deformáatan eset 3... Projektorok Eső épésként az áram-áram korreációs függvényben szerepő projektorokat határozzuk meg. Tetszőeges hermitikus véges méretű mátrix projektorait a következő módon határozhatjuk meg [25]: Q a = b b a H ε b I ε a ε b. (3.3 Ennek a feírásnak az eőnye, hogy nem szükséges a sajátvektorokat meghatározni, mindössze a sajátértékek ismerete eég a projektorok feírásához. Ezt fehasznáva a (2.38 Hamitonmátrixra (minden projektor k függő, a k függéseket a jobb átáthatóság kedvéért ehagyjuk: Q ± = H ε I ε ± ε = ± H ± φ I 2 φ Ugyanez a Paui-mátrixokka feírva a (2.38 egyenet aapján (σ o I:. (3.4 Q ± = ± 2 (ϕσ + + ϕ σ ± σ o, ϕ := φ φ. (3.5 3

34 3. fejezet Grafén optikai vezetőképessége A következő részekben fehasznájuk a projektorokra vonatkozó aábbi áításokat: 3.. Áítás. A következő azonosságok beáthatóak a fentebb kiszámot projektorokra: Q a Q b = δ ab Q a, [Q a, Q b ] =, I = Q + + Q, H = φ (Q + Q, [H, Q a ] =. ( Áítás. s = ± és a = ± esetén: [σ s, Q a ] = a 2 σ 3 (ϕδ s, ϕ δ s,. (3.7 Bizonyítás. A Paui-mátrixos feírást beírva és a kommutációs reációkat fehasznáva: [σ s, Q a ] = a 2 [σ s, ϕσ + + ϕ σ ] = a 2 (ϕ[σ, σ + ]δ s, + ϕ [σ +, σ ]δ s, = a 2 [σ, σ + ] (ϕδ s, ϕ δ s, = a 2 σ 3 (ϕδ s, ϕ δ s,. ( Áítás. [ α H, Q a ] = a 2 σ 3 ( α φϕ c.c.. (3.9 Bizonyítás. [ α H, Q a ] = α φ[σ +, Q a ] + α φ [σ, Q a ] = a 2 σ 3 ( α φϕ c.c.. ( Az áram-áram korreációs függvény nyoma A korreációs függvény számoását a nyom (trace számoásáva kezdjük. Az áram mátrixokra evezetett (2.72 összefüggést fehasznáva definiájuk Fαβ ab -t a következő módon: F ab αβ := Tr ( α HQ b β HQ a. (3. A számoáshoz a σ 3 mátrix sajátvektorainak bázisát fogjuk hasznáni, ezeket, -e jeöjük a sajátértékeik szerint ( és : 32

35 3. fejezet Grafén optikai vezetőképessége F ab αβ = s=± s α HQ b β HQ a s = s Q a α HQ b β H s s=± = s Q a α HQ b ( β φ δ s + β φδ s s=± = β φ Q a α HQ b + β φ Q a α HQ b. (3.2 Az egyik tag kiszámoását megspórohatjuk, ha a következő áítást fehasznájuk Áítás. A Hamiton-mátrixra (2.38 és projektoraira (3.5 a következő igaz: Q a α HQ b = Q a α HQ b. (3.3 Bizonyítás. A hermitikusság definíciójábó tudjuk, hogy ( Q a α HQ b = Q a α HQ b = Q b α HQ a, (3.4 aho kihasznátuk, hogy a mátrixok önadjungátak. A mátrixok sorrendjét a következő módon cseréhetjük meg: ( Q b α HQ a = Q a α HQ b + Q a [Q b, α H] + Q b [ α H, Q a ]. (3.5 Korábban megmutattuk (3.9, hogy [Q a, α H] aσ 3, ezt kihasznáva megmutatható, hogy a kommutátoros tagok nuát adnak: ( Q a [Q b, α H] + Q b [ α H, Q a ] (Q a bσ 3 Q b aσ 3 = = (Q a b Q b a = ( δ ab bi =. (3.6 F ab αβ számoását foytatva: A következőkben a mátrixeemet számojuk ki: F ab αβ = β φ Q a α HQ b + c.c. (3.7 [ Q a α HQ b = a ] [ 2 (ϕσ + + ϕ σ + aσ o α H b ] 2 (ϕσ + + ϕ σ + bσ o = ab 4 (ϕ + a α H (ϕ + b. (3.8 33

36 3. fejezet Grafén optikai vezetőképessége A s α H s típusú mátrixeem nua, ha s = s ( α H = J α aakját ásd (2.73 : Q a α HQ b = ab 4 ( ϕ 2 α H + ab α H = ab ( ϕ 2 α φ + ab α φ. 4 (3.9 Mive a (3.2 összegzésben csak a b tagok maradnak meg, így a kifejezés eegyszerűsödik: Q b α HQ a = 4 ( ϕ 2 α φ α φ. (3.2 Ezt visszaírva F ab αβ -be: F ab αβ = 4 β φ ( α φ ϕ 2 α φ + c.c. = φ 4 φ 2 β φ ( φ α φ φ α φ + c.c. = 4 φ 2 ( φ β φ φ β φ ( φ α φ φ α φ = φ 2 i Im ( φ β φ ( i Im φ α φ. (3.2 Az eddigi számoásokban nem hasznátuk fe φ(k expicit aakját. Ezen a ponton a grafén esetét vizsgáva (2.34 aapján haadunk tovább a számoássa: φ = γ o exp(iδ k, α φ = iγ o δ α ( exp(iδ k, (3.22 [ Fαβ ab = γ4 o φ Im i 2 = γ4 o φ 2,p,m,n = = ] [ exp( iδ p kδ ( β exp(iδ k Im i p= m= = n= exp( iδ n kδ (m α exp(iδ m k δ ( β δ(m α cos[(δ δ p k] cos[(δ m δ n k]. (3.23 Látható, hogy Fαβ ab ab függeten a-tó és b-tő, ezért mostantó azokat nem fogjuk kiírni (Fαβ F αβ. A négy összegzésbő kettő evégezhető a következő módon. Amikor p = vagy m = n a (3.23 kifejezésben a koszinuszok -et adnak. Iyenkor -re vagy n-re vaó összegzés esetén három küönböző δ összegét vesszük, ami (2.5. A koszinusz függvények argumentumában megjeennek a t i vektorok a (2.4 egyenet aapján (az eőjere nem ke figyeni a koszinusz párossága miatt. F a következőre egyszerűsödik: ] 34

37 3. fejezet Grafén optikai vezetőképessége F αβ = γ4 o φ 2 = γo 4 (2.5 φ 2,p,m,n p,m n p,m δ ( β δ(n α cos[t p k] cos[t m k] = γ4 o φ 2 cos[t p k] cos[t m k] p,m p δ ( β n n m cos[t p k] cos[t m k]δ (p β δ(m α. (3.24 Az indexek átjeöéséve a végső aakunk vektoros feírássa: F = γ4 o φ 2 =,m= Áram-áram korreációs függvény δ (n α δ δ m cos(t k cos(t m k. (3.25 A kiszámot trace-t visszaírjuk a korreációs függvény (3.2 aakjába: Π(z = 2 K ba (zf = 2 (K, (z + K, (z F S S = 2γ4 o S k a,b a b =,m= δ δ m k k ( (f( φ f( φ z + 2 φ z 2 φ cos(t k cos(t m k φ 2. (3.26 A Fermi-Dirac eoszások küönbségét T = K hőmérséketen a következő formában írhatjuk: f( φ f( φ = Θ(µ φ Θ(µ + φ, aho Θ(x a Heaviside-fée épcsőfüggvény. Az egyszerűség kedvéért fetesszük, hogy µ > ekkor f( φ f( φ = Θ( φ µ (az átaános µ-re vonatkozó eredményt Θ(x µ Θ(µ x Θ(µ + x heyettesítésse kapjuk.. Az így kapott korreációs függvénybő a retardát korreációs függvény képzetes részét a Sokhotsky- Pemej-téte segítségéve kaphatjuk meg: ( im ε + x x o + iε = iπδ(x x o + P x x o Ezt fehasznáva és ω > esetet nézve (ω < esetben δ(ω + 2 φ maradna meg: im Im{Π(ω + iη} = o2π γ4 η + S =,m= δ δ m k. (3.27 Θ( φ µδ(ω 2 φ cos(t k cos(t m k φ 2. (

38 3. fejezet Grafén optikai vezetőképessége Ezt beírva a (3. összefüggésbe a vezetőképesség vaós része (ω > esetben: ( γo 2 Re(σ = σ o δ δ m m ( ω, µ, σ o := π e 2 ω 2 h, (3.29 =,m= m ( ω, µ := (2π2 2 ωγ 2 o πs k Θ( φ µδ( ω 2 φ cos(t k cos(t m k φ 2, (3.3 aho beírtuk a -t a megfeeő heyekre, hogy a dimenziók jobban követhetők egyenek A függvény számoása A vezetőképesség számoását visszavezettük a (3.3-ban definiát m függvény számoására. Eegendően nagy rendszert vizsgáva a kváziimpuzusra vett összegzés heyettesíthető egy integráa a következő módon: m ( ω, µ = 2 π γ2 o ω d 2 k Θ( φ µδ( ω 2 φ cos(t k cos(t m k φ 2. (3.3 A Dirac-deta (2.44 tuajdonságát fehasznáva a kétdimenziós integrá egy vonaintegrára cseréhető a következő módon: m ( ω, µ = 4 π ( γo 2 ωθ ( ω 2µ ω 2 φ = ω ds cos(t k cos(t m k φ A gradienst a DOS-ná átottakhoz (2.47 hasonóan számohatjuk, ezze a m függvény a következő aakban á eő: m ( ω, µ = 2 Θ ( ω 2µ π 2 φ = ω ds n=,p= cos(t k cos(t m k t n t p sin(t n k sin(t p k.. (3.32 Ez az aak a egkompaktabb, amit anaitikusan kaphatunk. A feadat most már csak az ekvienergiás vonaakon vett vonaintegráok evégzése. Ezt numerikusan tehetjük meg a következő fejezetben részetezett módon. 36

39 3. fejezet Grafén optikai vezetőképessége Optikai vezetőképesség Az eőző részben megkapott m függvényt a (3.29 kifejezésbe visszaírva kapjuk a végeredményünket. A jobb követhetőség érdekében megismétejük az eredményt: ( γo 2 Re(σ = σ o δ δ m m ( ω, µ. (3.33 ω =,m= A konkrét függvényaak pontos ismerete nékü a következő megáapításokat tehetjük az eredményünk aapján (a függvényaak részetes tárgyaását ásd a következő fejezetben. A vezetőképesség mátrix szimmetrikus. Ez könnyen átszik abbó, hogy a δ i vektorokbó képzett diádok transzponáása nem okoz vátozást, ha az összegző indexeket átjeöjük ( m = m. Ez összhangban van az Onsager-reációkka, ameyek értemében a vezetőképesség tenzornak szimmetrikusnak ke ennie (mágneses tér hiányában. A vezetőképesség ugyanazt a szimmetriát mutatja, mint a grafén méhsejtrácsa. Ez összhangban van a Neumann-evve. Ezt abbó áthatjuk, hogy az eredmény csak a δ i és t i vektoroktó függ. Szimmetria transzformációk esetén ezek egymásba aakunak (vagy egymás eentettjeibe. 2 -os forgatások esetén t i t i+, és ugyanígy δ i -kre. Átindexeésse az eredmény nem vátozik. Inverzió esetén t i t i, és ugyanígy δ i -kre. A t i vagy δ i vektorok párosáva, koszinuszon beü vagy két összeszorzott szinusz argumentumában szerepenek, ezért az eője kiesik, így az eredmény vátozatan. Ezekhez hasonóan tengeyes tükrözés esetén eőjeek és átindexeések segítségéve az eredmény vátozatan. Ezek kombinációjábó a grafén minden szimmetriatranszformációja eőáítható, tehát mindegyikre invariáns a vezetőképesség. Láthatjuk, hogy a m függvény expicit aakja (3.32 nagyon hasonít a DOS aakjára (2.48. A két integrandus csak a számáóban tér e, ha a ω/2 = ε azonosítást tesszük meg a függvények argumentumában. Ez azt vonja maga után (a numerikus számoásokná vizuáisan is követhető esz, hogy az optikai vezetőképességben ott jeenhetnek meg csúcsok, aho a Van-Hove szinguaritások vannak. Ennek eenére bizonyos esetekben eőforduhat, hogy a számáó enyomja a nevezőbő fakadó divergenciát és nem kapunk csúcsot ott, aho a DOS-ban igen (majd erre is átunk pédát a numerikus eredményekné. Az eredmény érdekessége, hogy a hosszskáa (a nem befoyásoja. Ha mindent a-va vagy /a-va dimenziótanítunk, akkor a végeredményben nem szerepe a. Továbbá a hopping paraméter is csak az energiaskáát áítja be, a konkrét függvényaakra nincs hatása. Ezt úgy vehetjük észre, ha ω-t γ o -a dimenziótanítjuk, iyenkor a γ o függés etűnik a formuákbó. 37

40 3. fejezet Grafén optikai vezetőképessége A vezetőképességben megjeenő Θ ( ω 2µ ietve az átaánosan nem csak pozitív µ-re érvényes Θ(2µ + ω Θ(2µ ω fizikaiag könnyen értemezhető. Ez az effektus Paui bocking néven ismert az irodaomban. Ezt a egegyszerűbben az aábbi sematikus 3.. ábráva értemezhetjük. A kémiai potenciá növeéséve a kis frekvenciás gerjesztések nem esznek ehetségesek a Paui-ev miatt. Minden titott esetre a szorzó nuát vesz fe. 3.. ábra. A Paui bocking-ot szemétető ábra. Egy Dirac-kúp keresztmetszetét átjuk három küönböző kémiai potenciá érték meett. A kék rész jeöi a betötött áapotokat Mechanikaiag deformát eset Ebben a részben a deformát grafén optikai vezetőképességének vaós részét számojuk ki. A korábban átottak aapján a deformát grafén Hamiton-operátora a struktúráját tekintve ugyanoyan, mint a deformáatan graféné (2.35. Mindössze a φ függvény aakja tér e egy kicsit. Ezért az összes oyan eredmény az eőző részbő, ami nem hasznája ki φ expicit aakját direktben akamazható, azaz a ( összefüggések most is érvényesek A Trace számoása deformát grafénre A (3.2 aakbó induunk: Fαβ ab = ( ( φ Im φ 2 β φ Im φ α φ. (3.34 Fontos megjegyezni, hogy bár mindent az eredeti betűjéve jezünk, a egtöbb doog a deformáció hatására módosu. Ezek a hopping paraméterek, ietve a δ és t i vektorok. Ezek módosuását az eméeti aapozás részben eírtak aapján vesszük figyeembe. A képetek átáthatóságának megőrzése miatt nem vezetünk be új jeöést a deformát mennyiségekre, mindössze a három hoppingot küönböztetjük meg egymástó. Ezze F hasonóan a (3.23 kifejezéshez: φ = γ exp( iδ k, = α φ = i = γ δ ( α exp( iδ k, (

41 3. fejezet Grafén optikai vezetőképessége F αβ = φ 2,p,m,n γ γ p γ m γ n δ ( β δ(m α cos[(δ p δ k] cos[(δ n δ m k]. (3.36 Ebben az esetben nem tudunk megszabaduni két összegzéstő, mint azt a deformáatan esetben tehettük, hiszen a deformációva erontottuk a szimmetriát. hasonót kapunk, a következő definíció bevezetéséve: f m (k := p=,n= F = γ4 o φ 2 γ γ m γ n γ p γ 4 o =,m= Viszont a (3.25 eredményhez cos[(δ p δ k] cos[(δ n δ m k], (3.37 δ m δ f m (k. ( Optikai vezetőképesség deformát grafénban Mive a trace-re kapott aak ugyanoyan, mint deformáatan esetben, gyakoratiag rögtön feírhatjuk a vezetőképességet (3.29 aapján: ( γo 2 σ = σ o δ δ m m ( ω, µ, σ o = π e 2 ω 2 h, (3.39 =,m= m ( ω, µ := (2π2 2 ωγ 2 o πs k Θ( φ µδ( ω 2 φ f m(k φ 2, (3.4 aho a m függvényt a következő módon számohatjuk: m ( ω, µ = 2 π Θ ( ω 2µ ds 2 φ = ω n=,p= f m (k g n+ g n+2 g p+ g p+2 t n t p sin(t n k sin(t p k. (3.4 A deformáatan esethez képest nem sok küönbséget tapasztaunk. Egyrészt a koszinuszokat ecserétük az f m függvényre. A hoppingok (γ = γ o g küönböznek a három szomszédra és (2.5 szerint számoandók. A δ i és t i vektorok (2.2 szerint transzformáódnak. 39

42 4. Numerikus eredmények Ebben a fejezetben az eőző fejezet eredményeit vizsgájuk numerikusan. Eőször a deformáatan grafén esetét nézzük részetesen. Majd a deformációk hatásait vizsgájuk az optikai vezetőképesség frekvenciafüggésére. A korábban eírtak miatt csak az optikai vezetőképesség vaós részét vizsgájuk. A eírt formaizmus és a hozzá tartozó numerikus számoások tetszőeges affin transzformációva eírható deformációk esetén hasznáhatók. A jeen dogozatban a 2.2 részben tárgyat deformációkat vizsgájuk meg részetesen. 4.. Grafén optikai vezetőképességének frekvenciafüggése A vezetőképesség számoásáná az igazi feadat a m függvény (3.32 meghatározása. numerikusan tehetjük meg az aább eírtak szerint. A numerikus számoások szempontjábó cészerű egy vátozócserét végrehajtani, meyhez a reciprok bázist fogjuk akamazni (definíciót ásd a 2..3 részben. Ez azért hasznos, mert így az integráási tartományt egy négyzetre cseréhetjük e, továbbá a rácsvektorok aakja sokka egyszerűbb aakot öt. Az itt hasznát heyettesítés pontosan ugyanazt az ejárást követi, mint amit a DOS-ná áttunk ( Ezek aapján a m függvény: m ( ω, µ = 2 π Θ ( ω 2µ det J b 2 φ = ω cos(2πt K cos(2πt m K ds K 4π 2 T n T p sin(2πt n K sin(2πt p K n=,p= aho a vonaintegrá K szerint értendő. A numerikus számoásokat egy Python szkriptte végeztük. Minden ω-ra az ekvienergiás kontúrt a pypot contour függvényéve határoztuk meg. A kontúron a vonaintegrát a közeítő összeget hasznáva végeztük e a Simpson-szabáyt akamazva. Praktikus okokbó mindent dimenziótan egységekben számotunk azaz ω-t γ o = 2,8 ev egységekben, és a vezetőképességet σ o = e 2 /2h egységekben mérjük. A numerikus számoás eredménye a 4.. ábrán átható. A grafén szimmetriáinak következtében és mágneses tér hiányában a vezetőképesség tenzor arányos az egységmátrix-sza σ = σi. Ezt, (4. 4

43 4. fejezet Numerikus eredmények 3 ω [ev] Re(σ σ o ω/γ o 4.. ábra. A deformáatan grafén optikai vezetőképessége a frekvencia függvényében. σ o = πe 2 /2h, γ o = 2,8 ev. A átható tartományt a szivárvány színezés jezi. A 3..5 részben tett megáapításokat, a numerikus eredmények ismeretében kiegészíthetjük a következőkke. Kis frekvenciákná az optikai vezetőképesség σ o -hoz tart. Jó közeítésse a vezetőképesség konstans a kisfrekvenciás tartományon. Ezt a konstans frekvenciafüggést kapjuk ha a Dirac-kúp közeítésben számounk [4]. A átható tartomány még jó közeítésse beeesik ebbe a tartományba, ez indokoja a Dirac-kúp közeítés sikereit. A frekvencia nagyon nagy értékeire a vezetőképesség nua a véges sávszéesség miatt. A sávszéességné (6γ o fevett érték szintén nua. A spektrum harmadáná (2γ o szinguáris visekedést átunk. Ez a szinguáris visekedés az M pontokná evő nyeregpontok miatt van, ameyekné a nevező nuává váik. Ugyanez a szinguaritás jeenik meg a DOS-ban is ha ε ω/2 heyettesítésse éünk (ásd 2.6. ábra. Ez a két mennyiség szoros kapcsoatára uta, ameyet már korábban is tárgyatunk. A függvényaakban van küönbség természetesen a DOS-hoz képest és ez az integrandus számáójának köszönhető, amiben a két mennyiség etér. 4

44 4. fejezet Numerikus eredmények 4.2. A deformáció hatásai az optikai vezetőképességre A m függvény (3.4 numerikus számoása deformát esetben tejesen anaóg módon történik a deformáatan esette. Az f m (k függvényt expiciten kiírva a reciprok bázisban: m ( ω, µ = 2 π Θ ( ω 2µ det J b ds K 2 φ = ω r=,q= n=,p= g g m g q g r cos[2π(d r D K] cos[2π(d q D m K] 4π 2 g n+ g n+2 g p+ g p+2 T n T p sin(2πt n K sin(2πt p K. (4.2 Ez az eredmény nagyon hasonó a deformáatan esethez (4.. A Bravais-bázisban feírt vektorok a deformáció hatására vátozatanok (ásd rész. Ebbő kifoyóag a ényeges vátozást a hopping paraméterek módosuása okozza. Továbbá nem szabad megfeedkezni arró, hogy a Jacobi-determináns is vátozik az eemi cea terüetének módosuása következtében Izotrop összenyomás Az eső vizsgát deformáció az izotrop összenyomás (ásd rész. Ez a egkönnyebben értemezhető, ezért kezdjük ezze. Az izotrop deformáció során a méhsejtrács struktúrája nem vátozik, csak a szén-szén kötések távosága módosu és ennek következtében a hopping paraméter is. Mive korábban már megáapítottuk, hogy a vezetőképesség a hosszskáátó függeten, ezért az egyeten vátozást a hopping paraméter okozza, de az is csak az energiaskáát nyújtja meg. Ez azt jeenti a gyakoratban, hogy a vezetőképesség spektrum a frekvencia tengeyének irányában megnyúik. Ezt áthatjuk a 4.2. ábrán. Re(σ σ o 3 2 ω [ev] ε = ε =.5 ε = ω/γ o 4.2. ábra. Az optikai vezetőképesség vaós része izotrop összenyomás esetén küönböző deformációk meett. σ o = πe 2 /2h, γ o = 2,8 ev. 42

45 4. fejezet Numerikus eredmények Egytengeyű nyújtás A következő deformáció, amit vizsgáunk az egytengeyű nyújtás (ásd rész. Esőként az armchair irányban (ϕ = vett nyújtást tanumányozzuk. Küönböző deformációk esetén az optikai vezetőképesség spektrum a 4.3. ábrán átható. Az ábrán a σ xx és σ yy komponenseket meg ke küönböztetni, mert az izotrop visekedés megszűnik az egytengeyű nyújtás hatására. A nem diagonáis komponenseket nem ábrázojuk, mert σ xy = σ yx =. Ezt érthető, hiszen az armchair irányban végzett deformáció hatására a rendszer tükörszimmetrikus marad az x tengeyre nézve. Ha a nem diagonáis komponensek véges értéket vesznek fe, akkor x irányú eektromos tér esetén y vagy y irányban megjeenne egy áram, ami sérti a tükörszimmetriát. ω [ev] Re(σ xx σ o 3 2 ε =. ε =.5 ε =. 2 DS γ o Re(σ yy σ o ω/γ o 4.3. ábra. Az optikai vezetőképesség vaós részének frekvenciafüggése egytengeyű nyújtás esetén (armchair irányban küönböző deformációk meett. A feső grafikon a σ xx az asó a σ yy komponenst mutatja. A nem diagonáis komponensek -k. A középső grafikon a DOS-t ábrázoja D( ω/2. σ o = πe 2 /2h, γ o = 2,8 ev és S = 5,24 Å 2. Jó átszik, hogy ez az eset már jeentősen etér a deformáatan, ietve izotrop módon deformát esettő. A egszembetűnőbb vátozás, hogy egy csúcs heyett kettő jeenik meg. Ezt már a DOS esetén is megfigyehettük a részben. Mive a két mennyiség szoros kapcsoatban á 43

46 4. fejezet Numerikus eredmények a vezetőképességben megjeenő összes csúcs megfeetethető a DOS-ban megjeenő Van-Hove szinguaritásoknak. Mint már azt megáapítottuk a csúcsok a nyeregpontok hatására jeennek meg. Az egytengeyű nyújtás miatt a három M pontban taáható nyeregpontná vett energia degenerációja feodódik. Mive a deformáció magas szimmetriájú irányban (a BZ magas szimmetriájú pontja történik, csak két csúcs jeenik meg, mert a nyeregpontok közü kettőnek tükörszimmetrikusan ke visekednie (ez jó megfigyehető a diszperziós reáción 2.8. ábra. Fontos észrevenni, hogy itt taákozunk eőször oyanna, hogy bár a DOS-ban van egy csúcs, a vezetőképességben az nem jeenik meg. Ezt átjuk a σ yy komponensné, hiszen tetszőeges reatív megnyúásra is csak egy csúcs átható a spektrumban. Az a csúcs ugyan megfee a DOS-ban taáható egyik csúcsnak, de a másikná nem jeenik meg semmi. Ezt nyomon ehet követni a vezetőképesség számoásná numerikusan. Amikor a (3.39 képetben az összegzést evégezzük 9 tagbó á eő a végeredmény. Mind a kienc tag szinguaritást mutat a Van-Hove szinguaritásoknak megfeeő frekvenciákná. De az együtthatók oyanok, hogy a fefee és efee áó csúcsok kiotják egymás hatását. A σ xx komponensben az együtthatók másmiyenek, így ehetséges az, hogy az egyik komponensben két csúcs, míg a másikban csak egy jeenik meg, pedig az integrandus nevezője és számáója mindkét esetben ugyanaz. Továbbá jeentős küönbség van a kis frekvenciás visekedésben. A deformáatan esethez képest a σ xx komponens kisebb, míg a σ yy komponens nagyobb konstans értékhez konvergá nagyobb reatív megnyúások esetén. Szintén az armchair irányban vett egytengeyű nyújtásró készüt ábrát áthatunk a 4.4. ábrán. Ezen az ábrán a deformáció (ε függvényében követhetjük nyomon az optikai vezetőképesség spektrumának vátozását. Látható hogy a σ xx komponens csúcsai egyre jobban kettéhasadnak, míg a σ yy -ban mindvégig egy csúcs marad, amey egyre jobban etoódik. Az ábrán továbbá megfigyehető a sávszéesség csökkenése is, ahogy azt már a részben is áttuk. Az armchair irányú nyújtás vizsgáata után áttérünk a tetszőeges irányú nyújtás eemzésére. Két küönböző reatív megnyúás esetén az optikai vezetőképesség spektrumot a ϕ nyújtási szög függvényében figyehetjük meg a 4.5. és 4.6. ábrákon. Az ábrákon poár ábrázoásban szemétetjük az optikai vezetőképességet, aho a frekvenciát a sugáron mérjük és a poárszöget a nyújtás irányáva (ϕ azonosítjuk. Eső gondoatra azt várnánk, hogy az így kapott ábra hatfogású szimmetriát mutat, mint a grafén. Viszont ha jobban beegondounk ez nem igaz. Ugyan a grafén vaóban hatfogású szimmetriáva rendekezik, a koordináta-rendszerünk nem. Azaz az ebben a koordinátarendszerben feírt vezetőképesség tenzor komponensei csak a közös szimmetriákat tudják, azaz az x és y tengeyekre vaó tükrözéseket. Nézzük meg hogyan ke vátozniuk az egyes komponenseknek tükrözésre. Nézzük az x-re vett tükrözést (az y hasonóan megmutatható. A rendszer tükörszimmetriája miatt, ha E x E x, E y E y tükrözést hajtjuk végre a térerősségen, akkor j x j x, j y j y módon vátozik az áramsűrűség. Ahhoz, hogy 44

47 4. fejezet Numerikus eredmények..8 ω [ev] ε ε Re(σ xx σ o Re(σ yy σ o ω/γ o 4.4. ábra. Az optikai vezetőképesség vaós részének frekvencia és reatív megnyúás függése egytengeyű nyújtás esetén. A feső grafikon a σ xx, az asó a σ yy komponenst mutatja. A nem diagonáis komponensek -k. Az ábra jobb széén a fehér terüet a sávszéesség vátozását mutatja. σ o = πe 2 /2h, és γ o = 2,8 ev. ez igaz egyen tükrözésné σ xx σ xx, σ xy σ xy, σ yx σ yx, σ yy σ yy. Ezt kihasznáva eegendő csak egy körnegyedben ábrázoni a vezetőképességet, a maradékot a szimmetriákat kihasznáva már megkaphatjuk. Az ábrán a ϕ = esetben az armchair irányt kapjuk, amit a 4.3. ábrán is áthattunk. Megfigyehető, hogy egy tetszőeges irányban a σ xx komponensben átaában három csúcs jeenik meg a spektrumban (a Van-Hove szinguaritásoknak megfeeő heyeken. Ez természetesen nem mindenho igaz, mert az összes nevezetes irányban (armchair, zig-zag a három csúcsbó kettő esz. Nagyon szépen követhető ez az ábrán, hiszen pont 3 -ná és 6 -ná a szinguaritásokat jeentő fehér-piros vonaak metszik egymást úgy, hogy csak két csúcs maradjon. Érdekes tuajdonsága a spektrumnak, hogy a σ yy komponensben csak maximum két csúcs jeenik meg. Bár átszóag ugyanez igaz a σ xy = σ yx komponensekre is, ott vaójában megjeenik a harmadik csúcs is, csak nagyon gyenge. Ez a csúcs a deformáció növeéséve erősödik, ezért a numerikus eredményeken ε =. esetén egy gyenge zavart átunk azon a részen, aho a harmadik csúcsot 45

48 4. fejezet Numerikus eredmények várnánk a nem diagonáis komponensekben. A σ yy komponensben iyet nem átni, még akkor sem, ha irreáisan nagy deformációkat nézünk vagy a febontást ényegesen megnövejük. σ xx σ yx σ xy σ yy Re(σ 4.5. ábra. ε =.5 esetén az optikai vezetőképesség vaós részének frekvencia és nyújtási irány (ϕ függése egytengeyű nyújtás esetén. A poár ábrázoáson a radiáis irányban vátozik a frekvencia ω/γ o [, 3], míg az azimutáis irányban a ϕ szög vátozik az ábrán fetüntetett módon. A vezetőképesség tenzor mind a négy komponense átható az ábrán a négy körnegyedben. A tejes kört minden komponensre a eírásban részetezett szimmetriatuajdonságokat fehasznáva kaphatjuk meg. σ o = πe 2 /2h, és γ o = 2,8 ev σ o σ xx 9 σ xy σ yx 9 σ yy.5 Re(σ 4.6. ábra. ε =. esetén ugyanaz az ábrázoás, mint amit a 4.5. ábrán áthattunk. σ o 46

49 4. fejezet Numerikus eredmények Természetesen a hatfogású szimmetria nem veszik e a rendszerbő. Vizsgájuk azt az esetet, hogy a nyújtás irányát fixen tartjuk az x irányban, csak magát a grafént forgatjuk e ϕ szögge. Erre persze gondohatunk úgy is, hogy a koordinátarendszerünket forgatjuk mindig a nyújtás irányába ϕ szögge. Ha így határozzuk meg az optikai vezetőképességet, az már hatfogású szimmetriát fog mutatni, mert kiküszöbötük a koordinátarendszerbő fakadó szimmetriasértést. Ez átható a 4.7. ábrán ε =. esetben. Természetesen a két eset megfeetethető egymásnak Re(σ xx σ o Re(σ xy σ o Re(σ yx 9 Re(σ yy σ o 2 6 σ o ábra. ε =. esetén az optikai vezetőképesség vaós részének frekvencia és a nyújtási irányhoz képesti eforduás (ϕ függése egytengeyű nyújtás esetén. A nyújtást végig x irányban végezzük. A poár ábrázoáson a radiáis irányban vátozik a frekvencia ω/γ o [, 3], míg az azimutáis irányban a ϕ szög vátozik az ábrán fetüntetett módon. A vezetőképesség tenzor mind a négy komponensét áthatjuk. σ o = πe 2 /2h, és γ o = 2,8 ev. 47