Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
|
|
- Bertalan Csonka
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
2 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók. Ha a v vektort az A kezdőpontjának és a B végpontjának megadásával definiáljuk, akkor a v = AB jelölést is használjuk. 2. Legyen v és w két vektor. Ekkor a két vektor v + w összegét a paralelogramma-szabállyal definiáljuk: eltoljuk a vektorokat úgy, hogy közös kezdőpontból induljanak ki, ezután a vektorok által kifeszített síkban tekintjük az egyik vektor végpontján átmenő és a másik vektor egyenesével párhuzamos egyenesek metszéspontját. A közös kezdőpontból ebbe a metszéspontba mutató vektor a v + w vektor. A vektorok összeadása kommutatív és asszociatív művelet, azaz v + w = w + v, (1) (u + v) + w = u + (v + w) = u + v + w. (2) 3. Az előbbi két vektor v w különbségét így definiáljuk: eltoljuk a vektorokat úgy, hogy közös kezdőpontból induljanak ki, ekkor a w végpontjából a v végpontjába mutató vektor a v w vektor.
3 4. A v vektor v hosszán a vektort reprezentáló szakasz hosszát értjük. Ha ez 1, akkor a vektort egységvektornak hívjuk. 5. Nullvektornak hívjuk azt a vektort, amelynek a hossza nulla. A nullvektor jele 0. A v = BA vektort a v = AB vektor ellentettjének hívjuk. A nullvektor és az ellentett vektor legfontosabb tulajdonsága, hogy v + 0 = v, v + ( v) = 0. (3) 6. Legyen λ > 0 valós szám, v tetszőleges vektor. Ekkor a v vektor λ-szorosán azt a λ v vektort értjük, amelyik kezdőpontja egybeesik v kezdőpontjával, ugyanabba az irányba mutatat, mint v, és hossza a v hosszának λ-szorosa. Ha λ < 0, akkor a λ v vektor a λ v vektor ellentettje. A számszorosra teljesülnek a következők: (λ µ) v = λ (µ v), (4) λ (v + w) = λ v + λ w, (5) (λ + µ) v = λ v + µ v, (6)
4 λ v = λ v, (7) 1 v = v, ( 1) v = v, 0 v = 0. (8) A vektorok valós szorzóit skalároknak is hívjuk. Ezentúl a skalár és a vektor közötti pontot nem írjuk ki. 7. Tüntessük ki a tér egy tetszőleges pontját, amit O-val jelölünk és origónak hívunk. Ekkor a tér tetszőleges A pontjába mutató OA vektort az A pont helyvektorának hívjuk. A kivonás definíciója miatt bármely O, A és B pont esetén AB = OB OA. (9) 8. Legyenek v 1, v 2,..., v n tetszőleges vektorok, λ 1, λ 2,..., λ n pedig tetszőleges számok. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n (10) vektort a v i vektorok λ i együtthatókkal képzett lineáris kombinációjának hívjuk. A lineáris kombinációknak a továbbiakban igen fontos szerepük lesz. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy természetesen a λ i számok között negatívak is lehetnek.
5 Feladat 1 Legyen A, B, C és D négy különböző pont a térben. Jelölje M az AD szakasz, N a BC szakasz felezőpontját. Bizonyítsuk be, hogy ekkor AB + DC = 2 MN. Megoldás: A feladat egy négyszögről szól. Ezt a négyszöget meghatározza az O origóból a négy csúcspontba mutató OA, OB, OC, OD vektor. Az ilyen feladatok megoldása során gyakran hasznos, ha minden vektort és összefüggést az origóból kiinduló vektorokkal fejezünk ki. Tudjuk, hogy AB = OB OA, A parelelogramma átlói felezik egymást, így Ezért OM = 1 ( ) OA + OD, 2 MN = ON OM = 1 2 DC = OC OD. ON = 1 ( ) OB + OC. 2 ( ) OB + OC 1 ( ) OA + OD = 2 = 1 2 ( ) OB OA + 1 ( ) OC OD 2 = 1 2 ( AB + DC ).
6 Feladat 2 Jelölje A, B, C egy háromszög három csúcspontját, és legyen P a tér egy tetszőleges negyedik pontja. Tükrözzük a P pontot az A pontra, a tükörképet a B pontra, azt a tükörképet a C pontra, azt a tükörképet ismét az A pontra, azt a tükörképet a B pontra, végül azt a tükörképet újra a C pontra. Mutassuk meg, hogy ekkor a hatodik tükörkép ismét a P pont. Megoldás: Egy pont tükrözése egy másik pontra egy jól definiált transzformáció, azaz ha adott a pont, amelyiket tükrözünk és adott a pont, amelyikre tükrözünk, akkor a tükörkép is meghatározható. Adjuk meg az X pontot az OX helyvektorral, az Y pontot az OY helyvektorral, tükrözzük az X pontot az Y pontra és határozzuk meg az X tükörkép OX helyvektorát. Nyilvánvaló, hogy XX = 2 XY. Az is világos, hogy OX = OX + XX. Mivel XY = OY OX, azt kapjuk, hogy OX = OX + 2 XY = OX + 2( OY OX) = 2 OY OX. Tehát a tükörkép helyvektorát úgy kapjuk, hogy annak a pontnak a helyvektorának a kétszereséből, amire tükrözünk, levonjuk annak a pontnak a helyvektorát, amit tükrözünk. A feladat megoldásához ezt szabályt kell hatszor egymás utan alkalmazni. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
7 Tekintjük a feladatban szereplő pontok OA, OB, OC és OP helyvektorait. Azt fogjuk megmutatni, hogy a hatodik tükörkép helyvektora ismét OP. Az első tükrözés után kapott pont helyvektora 2 OA OP. A második tükrözés után kapott pont helyvektora 2 OB (2 OA OP ) = 2 OB 2 OA + OP. A harmadik tükrözés után kapott pont helyvektora 2 OC 2 OB + 2 OA OP. A negyedik tükrözés után kapott pont helyvektora 2 OA 2 OC + 2 OB 2 OA + OP = 2 OC + 2 OB + OP. Az ötödik tükrözés után kapott pont helyvektora 2 OB + 2 OC 2 OB OP = 2 OC OP. Végül a hatodik tükrözés után kapott pont helyvektora 2 OC 2 OC + OP = OP. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
8 9. Tekintsünk az i, j, k egységnyi hosszú, egymásra páronként merőleges vektorokat, amelyek ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkotnak. Ez azt jelenti, hogy ha a k vektor irányával szemben nézve letekintünk az i és a j vektorok által kifeszített síkra, akkor ezen a síkon az i vektort az óramutató járásával ellentétes irányú 180 -nál kisebb szögű forgatás viszi a j vektorra. Ekkor igazolható, hogy a tér minden v vektora pontosan egyféleképpen állítható elő az i, j, k vektorok lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan egyértelműen meghatározott α, β, γ számok, hogy v = αi + βj + γk. (11) Ha megeggyezük abban, hogy ezt mindig úgy írjuk fel, hogy elöl az i, középen a j, hátul a k vektor áll, akkor az α, β, γ számok megadása egyértelműen meghatározza ezt a lineáris kombinációt: v = (α, β, γ). (12) Ezt az (α, β, γ) rendezett számhármast hívjuk a v vektornak az i, j, k bázisra vonatkozó koordinátáinak. Szokás egy v vektor koordinátáit a v = (v 1, v 2, v 3 ) indexes fomában is megadni, ezentúl mi is ezt használjuk.
9 10. Legyen v = (v 1, v 2, v 3 ), w = (w 1, w 2, w 3 ). Ekkor v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ), (13) v w = (v 1 w 1, v 2 w 2, v 3 w 3 ), (14) λv = (λv 1, λv 2, λv 3 ), (15) v = v v2 2 + v2 3. (16) Egy P pont koordinátáin az OP vektor koordinátáit értjük, ahol O az i, j, k vektorok közös kezdőpontja. Tekintsük a P (p 1, p 2, p 3 ) és a Q(q 1, q 2, q 3 ) pontokat. Ekkor P Q = OQ OP = (q 1 p 1, q 2 p 2, q 3 p 3 ). (17) A P és a Q pontok távolsága P Q, erre fennáll, hogy P Q = (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 + (q 3 p 3 ) 2.
10 Feladat 3 Számítsuk ki a v = i + j és a w = 3k 2j vektorok átal kifeszített paralelogramma átlóinak hosszát. Megoldás: A paralelogramma egyik átlóvektora a másik v + w = (i + j) + (3k 2j) = i j + 3k, v w = (i + j) (3k 2j) = i + 3j 3k. Ezeknek a vektoroknak a hossza a kérdés. Mivel i = 1 i + 0 j + 0 k, ezért i = (1, 0, 0). Hasonlóan j = (0, 1, 0) és k = (0, 0, 1). Ezeket felhasználva v + w = (1, 1, 3), v w = (1, 3, 3). Így v + w = v w = ( 1) = 11, ( 3) 2 = 19.
11 11. A v és a w vektorok skáláris szorzata v, w = v w cos α, (18) ahol α a vektorok által közrezárt szög. A skaláris szorzat értéke tehát egy valós szám. Ha v = (v 1, v 2, v 3 ), és w = (w 1, w 2, w 3 ), akkor v, w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3. (19) A skaláris szorzat legfontosabb tulajdonságai: v, w = w, v, (20) u + v, w = u, w + v, w, (21) λv, w = v, λw = λ v, w, (22) v, v = v 2. (23)
12 12. A v és a w vektorok pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha v, w = 0. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a 0 = (0, 0, 0) nullvektor ezek szerint minden vektorra merőleges. A merőlegesség jele: v w. 13. A v és a w vektorok pontosan akkor párhuzamosak, ha egymás számszorosai. A párhuzamosság jele: v w 14. Koordinátáival adott, nullvektortól különböző v és w vektorok szöge az alábbi képletből számolható ki: cos α = v, w v w. (24) 15. Legyen v és w két vektor és tegyük fel, hogy w 0. Ekkor a v vektor w irányú vetületvektora az a v w vektor, amit úgy kapunk, hogy a vektorokat közös kezdőpontba toljuk el, és a v vektor végpontját levetítjük merőlegesen a w egyenesére. A közös kezdőpontból ebbe a vetüteli pontba mutató vektor a v w. Erre teljesül, hogy ( ) v, w v w = w. (25) w 2
13 Feladat 4 Tekintsük az A( 2, 2, 0), B(2, 0, 2) és C(2, 3, 1) pontokat. Igazoljuk, hogy ezek háromszöget alkotnak, számoljuk ki a háromszög legnagyobb szögét és a C csúcshoz tartozó magasság talppontjának a koordinátáit. Megoldás: Három pont akkor nem alkot háromszöget, ha egy egyenesre esnek. Ekkor bármelyik pontból a másik két pontba mutató vektorok párhuzamosak, azaz egymás számsorosai. Most AB = (4, 2, 2), AC = (4, 1, 1). A harmadik koordinátákat tekintve AB csak 2-szerese lehetne AC-nek, de az első koordinátákra ez nem igaz, tehát a három pont valóban háromszöget alkot. Egy háromszögben a legnagyobb szög a leghosszabb oldallal szemközti szög. Mivel BC = (0, 3, 3), ezért AB = 24, AC = 18, BC = 18, tehát az AB oldal a leghosszabb. Az AB oldallal szemközti γ szög a CA és a CB vektorok által közrezárt szög, továbbá CA = ( 4, 1, 1) és CB = (0, 3, 3), ezért
14 cos γ = CA, CB CA = α = CB Jelöljük T -vel a C csúcsból kiinduló magasság talppontját. Ekkor AT az AC vektor AB vektorra eső vetületvektora, azaz AT = AC AB = AC, AB AB. AB 2 Mivel AC, AB = 12, és AB = 24 AT = 1 (4, 2, 2) = (2, 1, 1). 2 Mivel T koordinátái az OT vektor koordinátáival azonosak, és OT = OA + AT = ( 2, 2, 0) + (2, 1, 1) = (0, 1, 1), azt kapjuk, hogy T (0, 1, 1).
15 16. A v és a w vektorok v w vektoriális szorzata egy olyan vektor, amely merőleges v-re és w-re, a hossza v w = v w sin α, ahol α a vektorok által közrezárt szög, és v, w és v w ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkot. Ha v = (v 1, v 2, v 3 ) és w = (w 1, w 2, w 3 ), akkor v w = (v 2 w 3 v 3 w 2, (v 1 w 3 v 3 w 1 ), v 1 w 2 v 2 w 1 ). (26) A vektoriális szorzat legfontosabb tulajdonságai: v w = (w v), (27) (u + v) w = u w + v w, (28) u (v + w) = u v + u w, (29) (λv) w = v (λw) = λ(v w), (30) 17. A vektoriális szorzat pontosan akkor a nullvektor, ha a v és a w vektorok párhuzamosak. Az v w szám a v és a w vektorok által kifeszített paralelogramma területével egyenlő. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
16 Feladat 5 Tekintsük az A(1, 2, 3), B(3, 2, 5) és C( 1, 1, 1) pontokat. Igazoljuk, hogy ezek háromszöget alkotnak és számoljuk ki a háromszög C csúcshoz tartozó m C magasságának hosszát. Megoldás: Mivel AB = (2, 0, 2) és AC = ( 2, 3, 4) és ezek a vektorok nem párhuzamosak, ezért a pontok valóban háromszöget alkotnak. Tudjuk, hogy az AB és AC vektorok által kifeszített paralelogramma területe AB AC, a háromszög területe pedig ennek a fele. AB AC = = (0 ( 4) 2 ( 3), (2 ( 4) 2 ( 2)), 2 ( 3) 0 ( 2)) = = (6, 4, 6). Tehát t ABC = AB AC 88 =. Másrészt ez a terület 2 2 t ABC = AB m C. Mivel AB = 8, mc 88 = m C = = First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
17 A vektoriális szorzat kiszámolási szabályának megjegyzését megkönnyítheti a következő. Tekintsük a következő táblázatokat, ahol a második sorban a kiszámolandó vektoriális szorzatban elöl álló vektor koordinátái állnak, a harmadik sorban a hátul álló vektor koordinátái. i j k v 1 v 2 v 3, i j k v 1 v 2 v 3, i j k v 1 v 2 v 3. w 1 w 2 w 3 w 1 w 2 w 3 w 1 w 2 w 3 Ekkor a vektoriális szorzat első koordinátáját úgy kapjuk, hogy a bal oldali táblázatban pirossal megjelölt számok szorzatából kivonjuk a kékkel megjelölt számok szorzatát. A vektoriális szorzat második koordinátáját úgy kapjuk, hogy a középső táblázatban pirossal megjelölt számok szorzatából kivonjuk a kékkel megjelölt számok szorzatát és a kapott számot megszorozzuk 1-el. A vektoriális szorzat harmadik koordinátáját úgy kapjuk, hogy a jobb oldali táblázatban pirossal megjelölt számok szorzatából kivonjuk a kékkel megjelölt számok szorzatát.
18 18. Az u, v és w vektorok uvw vegyes szorzata a következő valós szám uvw = u v, w (31) 19. A vegyes szorzat pontosan akkor nulla, ha a vektorok egy síkban vannak. Ha a vegyes szorzat nem nulla, akkor az abszolút értéke az u, v és w vektorok által kifeszített parelelepipedon V p térfogata: V p = uvw. (32) Az u, v és w vektor által kifeszített tetraéder V t térfogata ennek hatoda: V t = uvw. (33) 6
19 Feladat 6 Tekintsük az A( 1, 1, 1), B(3, 0, 0), C(0, 3, 0) és D(0, 0, 3) pontokat. Igazoljuk, hogy ezek tetraédert alkotnak és számoljuk ki a D csúcshoz tartozó m D magasság hosszát. Megoldás: Négy pont akkor nem alkot tetraédert, ha egy síkban vannak. Ez pontosan akkor következik be, ha az egyik pontból a másik háromba vezető vektorok egy síkban fekszenek. Most AB = (4, 1, 1), AC = (1, 4, 1) és AD = (1, 1, 4). Tudjuk, hogy ez a három vektor pontosan akkor van egy síkban, ha a vegyes szozatuk nulla. Mivel AB AC = i j k = ( 3, 3, 15), ezért AB AC AD = 54 0, tehát a pontok tetraédert alkotnak.
20 Tudjuk, hogy Másrészt V t = t ABC m D 3 Ezeket felhasználva tehát 243 md 9 = 6 V t = AB AC AD 6 = 9. = AB AC m D 6 = m D = = md. 6
λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.
Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
RészletesebbenVektoralgebra feladatlap 2018 január 20.
1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd
RészletesebbenBudapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenVektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenVektoralgebra. 4. fejezet. Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása. Feladatok
4. fejezet Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása T 4.1 (Háromszögegyenl tlenség) Minden a, b vektorpárra a + b a + b. T 4.2 (Paralelogrammaszabály) Ha az a és b vektor különböz
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.
ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
Részletesebben1. A komplex számok ábrázolása
1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
Részletesebben2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
Részletesebben= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1
Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenFizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat
Fizika i, 08 őszi félév,. gyakorlat Szükséges előismeretek: vektorok, műveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat és vektoriális szorzat, abszolút érték), vektorok
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
RészletesebbenIsmételjük a geometriát egy feladaton keresztül!
Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.
RészletesebbenAnalitikus geometria c. gyakorlat
matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenAnalitikus geometria c. gyakorlat (2018/19-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül)
1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül) A tér egy σ síkjában vegyünk két egymásra mer leges egyenest, melyeket jelöljön x és y, a metszéspontjukat pedig jelölje O. A két
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
RészletesebbenAz egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
Részletesebben14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:
14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban
RészletesebbenO ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Részletesebben6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat
6. előadás Vektoriális szorzás Vegyesszorzat Bevezetés Definíció: Az a és b vektorok vektoriális szorzata egy olyan axb vektor, melynek hossza a vektorok abszolút értékének és hajlásszögük szinuszának
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenKözéppontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenVektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?
Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
RészletesebbenMatematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály II. rész: Trigonometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész: Trigonometria...........................
RészletesebbenLineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
Részletesebben1. Szabadvektorok és analitikus geometria
1. Szabadvektorok és analitikus geometria Ebben a fejezetben megismerkedünk a szabadvektorok fogalmával, amely a középiskolai vektorfogalom pontosítása. Előzetes ismeretként feltételezzük az euklideszi
RészletesebbenA gyakorlati jegy
. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenXX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
Részletesebben4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+
4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy
RészletesebbenA vektor fogalma (egyszer
Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Elméleti anyag: A vektor fogalma (egyszerű meghatározás): az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. Egy vektornak
Részletesebben1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenEgybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.
Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely
RészletesebbenAz M A vektor tehát a három vektori szorzat előjelhelyes összege:
1. feladat Határozza meg a T i támadáspontú F i erőrendszer nyomatékát az A pontra. T 1 ( 3, 0, 5 ) T 1 ( 0, 4, 5 ) T 1 ( 3, 4, 2 ) F 1 = 0 i + 300 j + 0 k F 2 = 0 i 100 j 400 k F 3 = 100 i 100 j + 500
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
Részletesebben5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8],
(megoldások) 1. Alkalmazzuk a T 5. tételt: AB = [ 1, +, 0+] = [1, 1, ], AC = [,, 6], AD = [,, 9].. A P pontnak az origótól mért távolsága az OP helyvektor hosszával egyenl. OA = 4 + ( ) + ( 4) = 6, OB
Részletesebben1. A komplex számok definíciója
1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van
RészletesebbenLineáris algebra I. Vektorok és szorzataik
Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere
RészletesebbenXXII. Vályi Gyula Emlékverseny április 8. V. osztály
V. osztály 1. Egy anya éveinek száma ugyanannyi, mint a lánya életkora hónapokban kifejezve. Mennyi idősek külön-külön, ha az anya 23 évvel és 10 hónappal idősebb a lányánál? 2. Melyek azok a 2016-nál
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
Részletesebben1. Geometria a komplex számsíkon
1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
Részletesebben16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek
16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési
Részletesebben= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;
98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $
Részletesebben1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!
. Mátrixok. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: [ ] [ ] π a A = ; B = 8 7, 5 x. 7, 5 ln y. Legyen 4 A = 4 ; B = 5 5 Számítsuk ki az A + B, A B, A, B mátrixokat!. Oldjuk
Részletesebben