Három erő egyensúlya kéttámaszú tartó

Átírás

1 dott: z 1. ábr szerinti kéttámszú trtó. Három erő egyensúy kéttámszú trtó 1. ábr Keresett: ~ rekcióerők vektor, szerkesztésse és számításs, z ábbi dtok esetén ; ~ speciáis esetek tgás. dtok: F = 10,0 kn; tg α = 5/1; = 13,00 m; = 9,50 m. Megodás:.) Szerkesztés 1.) Feveszünk egy rjzi erőmértéket; itt: 1 cm 1 kn..) kmzzuk 3 erő egyensúyánk grfikus fetéteeit, zz: ~ z erők htásvoni egy pontbn metsződnek; ~ z erőkre rjzot vektorháromszög foytonos nyíérteemme záródik. z eredmény. ábrán szeméhető. 3.) rekcióerők ngyság és irány, szerkesztés / mérés pján: = 4,3 cm x 1 kn / cm = 4,3 kn; φ = 49. B = 7,4 cm x 1 kn / cm = 7,4 kn; φ B = 113.

2 . ábr b.) Számítás szerkesztés eredményeinek fehsznáásáv: grfo - nitikus módszer vektorábr pján szinusz - tétee: sin sin sin F sin 90 cos sin 90 vgy sin F. cos Hsonón kpjuk, hogy B sin90 F sin 90 zz cos cos cos cos B F ; mjd ( 1 ) és ( ) - bő:,, ( 1 ) ( )

3 3 sin B. cos ( 3 ) Most htározzuk meg ( ) összefüggés jobb odán áó trigonometrikus kifejezés értékét, másként!. ábr pján: M, cos ( 4 ) M cos. ( 5 ) ( 4 ) és ( 5 ) szerint: cos cos innen cos. cos, ( 6 ) ( 7 ) Ezután ( ) és ( 7 ) - te: B F. ( 8 ) Továbbá ( 3 ) és ( 8 ) - c: sin F. ( 9 ) cos Most htározzuk meg φ - t, vgy vmey szögfüggvényét! ( 7 ) - bő: cos sin sin cos cos tg sin cos, cos cos ho fehsznátunk egy ismert trigonometrii zonosságot is. z utosó egyenet átrendezéséve: cos tg. ( 10 ) sin 1 Most z 1 tg cos trigonometrii összefüggésse és ( 10 ) - ze: cos 1 1 ; cos sin ( 11 )

4 4 mjd ( 9 ) és ( 11 ) - gye: F sin 1 F sin cos. cos sin gyökje tti kifejezést átkítv: sin cos sin cos cos cos 1. z imént ismét fehsznátunk egy ismert trigonometrii zonosságot. Ezután ( 1 ) és ( 13 ) képetekke: F cos 1 F 1 cos. ( 13 ) ( 1 ) ( 14 / 1 ) Tehát: F 1 cos. ( 14 ) Utóbbi összefüggést kicsit átírv: F F F cos F ; ( 15 ) fehsznáv ( 8 ) - t is: F F B cos B, ( 16 ) mi cosinus - téte megjeenési formáj, vektorábr szerint is. számszerű eredmények: ~ ( 8 ) képette: 9,50 m B F 10 kn 7,308 kn; 13,00 m kerekítve:

5 5 B 7,31 kn. ~ z ismert összefüggések szerint: 1 1 cos 0,931; 1 tg sin tg cos 0, 931 0, Mjd ( 16 ) - t: ,3080, 931 7,308 kn 4,300 kn; tehát 4,30 kn. ~ ( 10 ) szerint: 13,00 cos 0,931 9,50 tg 1,1579; sin 0,3846 innen: rctg 1, ,18 ; kerekítve: 49,. ~ Ezután. ábráró eovshtón: 5 B rctg 90, 6 11, 6 ; 1 kerekítve: B 11,6. szerkesztésse és számításs kpott eredmények egyezése megnyugttó. Megjegyzések: M1. z rctg 5/1 =,6 kijeentés némi mgyráztr szoru: zsebszámoógép DEG üzemmódbn rögtön fokbn jezi ki z rctg - értéket. M. Vegyük észre, hogy z eddigiek során szób sem kerütek forgtónyomtékok!

6 6 ~ ( 8 ) képet át megfogmzott összefüggés kmt d forgtónyomték fogmánk bevezetésére és forgtónyomtéki egyensúyi kijeentés értemezésére. Ehhez írjuk át ( 8 ) egyenetet z ábbi kb: B F B F B F 0 B F 0 0. ( ) forgtónyomték ngyság = erő x erőkr d. Fizik! ; forgtónyomték forgásérteme: szbdon vászthtó; egyen pozítív forgásérteem z ór járásáv eentétes. Jeöés: z MF F ( b ) képet jeentése: z F erő ponton átmenő, rjz síkjár merőeges forgástengeyre vett forgtónyomtékát megkpjuk, h z F erőngyságot szorozzuk z F htásvonánk z -tó számított ( merőeges ) távoságáv, mjd e szorztot eőjee átjuk e, nnk megfeeően, hogy szóbn forgó forgtónyomték forgásérteme egyezik ( + ), vgy eentétes ( ) fevett pozitív forgásérteemme. Ezek szerint z ( ) egyenetben szerepő többi forgtónyomték értéke: MB B; M 0 0. ( c ) z ( ), ( b ), ( c ) képetekke írhtó, hogy M F M B M 0, ( d ) vgy tömören: 3 Mi 0. ( e ) i1 z ( e ) egyensúyi egyenet jeentése: egyensúy esetén merev testre htó összes erő tetszőeges forgástengeyre vett forgtónyomtékink gebri ( eőjeheyes ) összege: zérus. ~ Fevethető, hogy vjon nem véeten - e z ( e ) egyenet feépése. Ennek tisztázásár végezzünk eenőrzést, hogy fenná - e p. 3 P Mi 0 ( f ) i1 egyenőség!. ábr jeöéseive: B k B F 0 k 0. ( g ) Rendezve: k B B. k ( h ) Ismét. ábr szerint: k B t sin sin. k t sin 90 cos ( i )

7 7 ( h ) és ( i ) - ve : sin B, cos mi éppen ( 3 ) - t dj. Ez zt jeenti, hogy nyomtéki egyensúyi egyenet P pontr is tejesü. De emékszünk: ugynez z M metszéspontr is fenná, hiszen enné forgástengey - vásztásná mindegyik erő krj zérus. Látjuk tehát, hogy z ( e ) egyenet nem véetenü át eő. ~ Átábn is bizonyíthtó, hogy h zárt vektorpoigon zz esetén nyomtéki egyensúyi egyenet -- n i1 P i n Fi 0, mint itt i1 M 0 -- sík egyeten P pontjár tejesü, kkor bármey más pontjár is tejesü. [Ugynis: h z erőrendszer eredő erője zérusvektor, kkor eredő nyomték még nem fetétenü z, minthogy z eredő erőpár is ehet; de mive z eredő erőpár nyomték sík bármey pontjár, mint forgástengeyre ugynz, ezért h egy pontr zérus, kkor bármey más pontr is zérus.] Látjuk, hogy ez viszonyg nem tú bonyout fedt is jó ehetőséget dott nyomtékok, i. nyomtékok egyensúyi fetétei egyenetének bevezetéséhez. Ez zért is fontos épés, mert nem metsződő hnem párhuzmos htásvonú erők esetén ényegesen egyszerűbb z egyensúy biztosítás nyomtéki egyensúyi fetéte kmzásáv, mint néküe. c.) Speciáis esetek tgás Most vizsgájuk meg, hogy eddigi képeteink segítségéve miyen egyéb információkhoz juthtunk, kéttámszú trtók körében! Más szvkk: speciáis eseteket keresünk. fedt bemenő geometrii prméterei közü - t és α - t vátozttjuk, mjd vátozásuk htásit vizsgájuk, rekció - erőkre nézve, rögzített F és meett. I. α = 0, = vátozó esete Ekkor trtó vízszintes, úgy, hogy B támsz z támsztó jobbr táhtó. ( z eenkező esetet érdekteennek tekintjük.) ~ rekcióerők ngyság, ( 8 ) és ( 14 ) képetek szerint:

8 8 B F, ( I / 1) F 1 F 1 F 1. ( I / ) ~ rekcióerők irány: B ( I / 3 ) ( 10 ) képette: cos tg. sin Itt három - eset küönböztethető meg. 1.) 1 1 ; ekkor 0 meett: tg ; 0 ebbő következik, hogy ) 1 1 ; ekkor 0 meett: tg ; 0 ebbő következik, hogy ) ; ekkor 0 meett: tg ; 0 0 ebbő következik, hogy ( I / 4 ) ( I / 5 ) : htároztn eset. ( I / 6 ) 3 z I / 1, I /, I / 3 speciáis eseteket 3. ábr szeméteti.

9 9 I. / 1. eset: 1 B F, B 90 ; F 1 1, 90. I. /. eset: 1 B F, B 90 ; F 1 ; 90.. I. / 3. eset: 1 B = F, B 90 ; = 0, ábr II: α = 90, = vátozó esete Ekkor trtó függőeges, úgy, hogy B támsz z támsz feett táhtó. rekció - erők ngyság: ( 8 ) és ( 14 ) képetek szerint B F, ( II / 1 ) F 1. ( II / ) rekció - erők irány: B ( II / 3 )

10 10 ( 10 ) összefüggésse most tg ( II / 4 ) dódik. Itt két - esetet veszünk közeebbrő is szemügyre. 1.) 0, 0: ekkor ( II / 1 ) szerint: B 0; ( II / 5 ) ( II / ) szerint: F; ( II / 6 ) ( II / 4 ) szerint: tg, zz 90. ( II / 7 ).) = ; ekkor: ( II / 1 ) szerint: B F; ( II / 8 ) ( II / ) szerint: F; ( II / 9 ) ( II / 4 ) szerint: tg 1, zz 45. ( II / 10 ) II. átános, vmint II. / 1. és II. /. speciáis - eseteket 4. ábr szeméteti. B F F 1 B 180 tg = 0 = F 90 = B F F ábr

11 11 Megjegyzések: M1. II. átános eset vázt készítéséné figyeembe vettük, hogy z méret vízszintes, F htásvon pedig függőeges. hhoz, hogy ezt betrthssuk, fe keett venni függőeges rúdr merőeges krt / konzot, mey ekkor is biztosítj trtó és teher kpcsotát. M. II. esetben B támszt kettős görgőve ábrázotuk, hogy vízszintes rekcióerőt mindkét iránybn ki tudj fejteni. M3. Jvsojuk, hogy z Ovsó írj fe z α = 90 eset képeteit, és készítse e mgyrázó ábráját, z eddigiek pján! M4. Jvsojuk, hogy z Ovsó keressen további speciáis eseteket, és végezze e zok vizsgátát! M5. Hsznos ehet megfigyeni. ábráv kpcsotbn is követett ejárást: ~ ( jobb odi ) vektorábr pján összefüggéseket áítottunk fe z erők között d. pédáu z ( 1 ), ( ), ( 3 ) képeteket! ; ~ z ezen összefüggésekben szerepő szögek között ( b odi ) erendezési vázt dtink fehsznáásáv tátunk kpcsotokt d. pédáu ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ), ( 7 ), ( 10 ), ( 11 ) képeteket! Jvsojuk, hogy z Ovsó miné több módon igzoj feírt összefüggéseket, i. vezessen e újbbkt, z dott és keresett mennyiségek között! Jó munkát! Sződiget, Összeáított: Ggóczi Gyu mérnöktnár