Vontatás I. 1. ábra. A feladat

Átírás

1 Vontatás I. Érdekes, de a mechanikai szakirodaom tanumányozásának évtizedei során aig taákoztam vontatássa kapcsoatos munkákka. Persze, egynéhánnya igen [ 1 ], hiszen ez ekerüheteten pédáu a pótkocsis teherautók íves páyán történő mozgásának tanumányozásáná. zonban maradt egy oyan érzésem, hogy ezek csak speciáis, ietve kipreparát esetek. Nos, ez nem a véeten műve. Mindjárt átjuk, hogy a feadat vagyis a vontatott jármű mozgásának eírása a vontató jármű mozgásának ismeretében nem igazán egyszerű feadat, matematikai szempontbó sem. Manapság a számítógépes segítségge már egy kicsit bátrabbak vagyunk. apvetően két munkára támaszkodunk [ ], [ 3 ], meyek tanumányozása sokat segített a ényeg megközeítésében. sok feadat - fajta közü a egegyszerűbbe kezdjük: a vontatott kerékpárra. Iyeneket szemétet az 1. ábra is. 1. ábra képek forrása: feadat Ehhez tekintsük a. ábrát! Itt azt szeméhetjük, hogy az hosszúságú B rúdhoz a B végén egy kerékpárt rögzítettek, merőegesen. rúd végpontját egy adott g görbén vezetjük végig, miközben a B végpontja a keresett g B görbén haad. Berajzotuk a kezdő heyzethez tartozó áást is, index - sze jeöve azt. C pont a rúd pianatnyi forgáspontja / sebességpóusa [ 4 ]. Ezek a pontok a g C görbén haadnak. g B görbét a továbbiakban vontatási görbének nevezzük.

2 . ábra Egy tetszőeges B pontjának az ( O x y ) derékszögű koordináta - rendszerben vett koordinátái a. ábra szerint: x B(s) x (s) cos (s) (s), ( 1 ) y B(s) y (s) sin (s) (s). Ezek szerint a feadat: a φ ( s ) függvény meghatározása, aho s az ívhossz. megodás Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! z pont a g görbén v pianatnyi sebességge mozogva dt idő aatt 1 - be jut. Eközben a B pont a g B görbén v B pianatnyi sebességge mozogva dt idő aatt B 1 - be jut. z B rúd ezaatt dψ szögge efordu. Minthogy a φ szög a e páyaérintő és a rúdtengey áta közbezárt szög, ennek megvátozása: d ; ( ) de a. ábra szerint: 1 1 d d, ( 3 ) így ( ) és ( 3 ) - ma: d dd. ( 4 )

3 3 ( 4 ) - bő: 3. ábra d dd. ( 5 ) Most írjuk fe a ds íveemet kétféeképpen is! Eőször a ρ görbüeti sugárra: ds d, ( 6 ) innen: ds d. Ezután ( 5 ) és ( 7 ) - te: ds d d. Másodszor az C póustávoságga, a 3. ábráró: ds Cd ; ( 9 ) az ábrák szerint: ( 7 ) ( 8 )

4 4 C, sin így ( 9 ) és ( 1 ) - ze: ds ds d ; sin rendezve: sin ds ds d, innen ds sin 1 sin d ds ds, majd az indexet ehagyva: 1 sin d ds. Ebbő: ( 1 ) ( 11 ) ( 1 * ) ( 1 ) d (s) sin (s) 1. ds (s) ( 13 ) ( 13 ) nemineáris esőrendű differenciáegyenet írja e az e érintő egyenes és az B rúd tengeye áta közbezárt φ szög vátozásának törvényét, a páya befutása során [ ]. ( 13 ) egyenet [ ] szerint átírható az (s) u(s) tg ( 14 ) heyettesítésse; ( 14 ) deriváásáva: du(s) 1 1 d (s), ds (s) cos ds innen ( 14 ) - gye : d (s) (s) du(s) du(s) du(s) cos ; ds ds (s) 1 tg ds 1u (s) ds ( 15 ) majd újabb azonos átaakítássa:

5 5 (s) (s) sin tg (s) (s) (s) sin (s) sin cos cos, (s) (s) cos 1 tg és ( 14 ) - gye is ( 16 ) - bó: u(s) sin (s) ; 1 u (s) most ( 13 ), ( 15 ), ( 17 ) - te: du(s) u(s) 1, 1 u (s) ds 1 u (s) (s) ( 16 ) ( 17 ) vagy [ ] du(s) u(s) 1 u (s). ds (s) ( 18 ) Ez egy Riccati - fée differenciáegyenet, meynek integráása komoyabb nehézségeket okozhat, mert ( 18 ) átaános megodása csak kivétees esetekben fejezhető ki egyszerű integráokka [ 5 ], [ 6 ]. ább éppen iyeneket veszünk közeebbrő is szemügyre. Megjegyzések: M1. Femerühet a gyanú, hogy a 3. ábra segítségéve végzett evezetésné nincs minden rendben; pédáu a ( 9 ) összefüggés feírása önkényesen történt. Hogy ez nem így van, azt közvetve az aábbiakka igazojuk. 3. ábra aapján: d ds v dt d v ; ( 19 ) sin sin dt B B B d ds v dt d v ; tg tg dt képezve ( ) és ( 19 ) hányadosát: d vb tg dt sin cos, v d tg sin dt innen vb v cos v, ( )

6 6 tehát d. a 3. ábrát is! : v v. B ( 1 ) ( 1 ) jeentése téte: a rúd egyes pontjainak rúdirányú sebességkomponensei egymás közt egyenők [ 4 ]. Ennek heyessége az B rúd merevségébő következik, hiszen mozgás közben a rúd pontjai egymástó vátozatan távoságban maradnak. Visszafeé haadva: ha a ( 1 ) most beátott / heyes tétere jutottunk, akkor a kiinduás is heyes vot. M. ( 1 ) képetbő kiovasható, hogy a rúd két végének sebessége átaában etérő nagyságú. M3. 3. ábrán a színezés az BC háromszög merevtest - szerű eforduásának szemétetését kívánja eősegíteni. M4. Iyet nem szoktunk mondani, de most ennek is ejött az ideje. Bár az aapgondoatok és a evezetések fontosabb eredményei a szakirodaombó vétettek, azért a részetekre sokszor saját munka árán tettünk szert; iyen p.: a 3. ábra is. Eéggé furcsa egy kinematikai feadat aapegyenete evezetésének magyarázó ábráját meőzni! Nem kicsit enne bajos, ha szerzője azt gondota vona, hogy ezt nyiván úgyis mindenki magátó is tudja! Egy frászt! Speciáis esetek S1.). Ebben az esetben az pont egy egyenesen haad. ( 18 ) egyenet ekkor du(s) u(s) ( ) ds aakot öt. Ennek megodása a vátozók szétváasztásának módszeréve: du(s) u(s) ds du(s) u(s), ds du ds, u integráva s n u n u,

7 7 u s n, u s u(s) u e. ( 3 ) Most ( 14 ) - et ( 3 ) - ba téve: s (s) tg tg e. ( 4 ) Legyen az pont páyája az x tengey 4. ábra! 4. ábra Ekkor s s x, ( 5 ) így ( 4 ) és ( 5 ) - te: x (x ) tg tg e ; ( 6 ) most váasztunk: 9. Így ( 6 ) és ( 7 ) - te: ( 7 )

8 8 x (x ) tg e, innen x n tg. ( 8 ) B pont koordinátáit ( 1 ) - bő kapjuk. Ha az pont az x tengeyen haad, akkor (s) ; ( 9 ) y (s). z ( 1 ) képetek aakja ekkor: xb x cos, yb sin. ( 3 ) Végü ( 8 ) és ( 3 ) - ca: x B( ) n tg cos, y B( ) sin. ( 31 ) Ez a traktrix nevű görbe paraméteres egyenetrendszere. görbe az 5. ábrán átható, = 1 m fevéteéve piros színne. Innen eovasható, hogy gyakoratiag kb. 5 ~ 6 m vontatás vagyis az pont páyáján kb. a rúd hossza öt ~ hatszorosának megfeeő távoság megtétee után már a B pont is az x tengeyen fut. Ha 9, ( 3 ) akkor ( 6 ) - bó: x tg e, tg innen x n tg n tg ; most ( 3 ) és ( 33 ) - ma: y B( ) sin. x B( ) n tg n tg cos, ( 33 ) ( 34 )

9 9 1 y Traktrix x -.5 B -1 B x(t)=-n(tan(t/))-cos(t), y(t)=-sin(t) x(t)=-n(tan(t/))+n(tan(6/))-cos(t), y(t)=-sin(t) Pontsor 1 Pontsor 5. ábra z 5. ábrán sötétzöd színne fetüntettük a φ = 6 - hoz tartozó görbét is. Megemítjük, hogy ha az pont sebességének nagysága az idő függvényeként dx (t) v (t), dt akkor t x (t) v ( )d, majd ( 6 ) - ta is: t 1 v ( )d tg tg e tg e, x (t) ( 35 ) innen az időfüggvény:

10 1 (t) arctg tg e. t 1 v ( )d ( 36 ) rúd szögsebessége ( 19 ) - bő: d sin (t) v (t), ( 37 ) dt a rúd szögeforduása ( 37 ) - bő: t ( 38 ) 1 (t) sin ( ) v ( ) d. Pédáu: v konst. ( 39 ) esetén: ~ ( 35 ) és ( 39 ) - ce: vt tg tg e ; ( 4 ) innen: vt (t) arctg tg e ; ( 41 ) ~ itt ( 38 ) heyett a ( 4 ) képette: d dd ; ( 4 ) mive ebben a speciáis esetben d, ( 4 ) így ( 4 ) és ( 4 ) - bő: (t) C (t), ( 43 ) ahonnan a t = pianatban érvényes (t ), ( 44 ) (t ) kezdeti fetéteekke is: C, ( 45 ) így ( 43 ) és ( 45 ) - te: (t) (t), ( 46 )

11 11 innen (t) (t); ( 47 ) végü ( 41 ) és ( 47 ) - te: vt (t) arctg tg e. ( 48 ) Megjegyzések: M1. Látható, hogy ebben a egegyszerűbb speciáis esetben is eéggé bonyout képetek adódnak. Ez a tény eéggé eriaszthatja a szerzőket a téma méyebb boncogatásátó. M. z is jó érzékehető, hogy a vontató és a kerékpár egy ideig jeentősen etérő páyán haad, vagyis a vontatmány páyája egy részén mintegy kiszéesíti az utat. S.) a konst. Ebben az esetben az pont egy körpáyán mozog 6. ábra. ( 18 ) egyenet ekkor a 6. ábra du u 1 u ds a ( 49 ) aakot öti.

12 1 Átrendezve: du 1 u u, ds a du a a a 1 u u u 1 u ; ds szétváasztva a vátozókat: du ds ; a u a 1 u ( 5 ) új vátozót vezetve be ( ez a v nem sebesség! ) [ ] : a v u; ( 51 ) ezze dv du, ( 5 ) a u v. ( 53 ) Most ( 5 ) ba odaa, ( 5 ) és ( 53 ) - ma: du dv a a a a u 1 u v 1 v dv dv a a a a a v 1 v v 1 v dv dv dv, a a v 1 v 1 v tehát

13 13 du dv, a u v 1 u aho bevezettük a a 1 jeöést is. ( 54 ) ( 55 ) Most ( 5 ) és ( 54 ) - gye: ds dv ; a v integráás után egy c integráási áandóva is kapjuk : sc dv. a v ( 56 ) ( 57 ) további eemzésnek az ( 57 ) képet képezi a kiinduópontját [ ]. Itt három a - esetet küönböztetünk meg, aszerint, hogy β =, β <, β > á - e fenn. S / 1. a - eset:. ( 58 ) Ekkor ( 55 ) - bő: a 1 a. ( 59 ) Majd ( 57 ) és ( 58 ) - ca: sc dv ; a v v innen: a a v ; sc ss most ( 51 ) és ( 6 ) - na: a a v u, s s majd ( 14 ) és ( 61 ) - gye: (s) a a tg, s s ( 6 ) ( 61 ) ( 6 )

14 14 vaamint ( 59 ) és ( 6 ) - ve: (s) a tg 1 ; s s innen: a (s) arctg 1. s s ( 63 ) ( 64 ) ( 63 ) képetbő közvetenü kiovasható, hogy (s) ha s, akkor tg 1, 9. ( 64 ) 7. ábrán szeméhetjük a ( 64 ) egyenet szerinti függvény visekedését. fi ( fok ) s ( m ) f(x)=*atan(1-/(x-1)) f(x)= Ez azt jeenti, hogy ekkor B 7. ábra K, ugyanakkor C K, aszimptotikusan.

15 15 foyamatot a 8. ábra szeméteti. 8. ábra Ha s = s, azaz az pont az ívhossz - számítás kezdő pontjában van, akkor a hozzá tartozó φ szögre ( 63 ) szerint: a tg 1, s s azaz 18. Ezt mutatja a 8. ábra ba odai része. körön vaó néhány körbefutás után a 7. ábra aapján a heyzet már a 8. ábra jobb odai része szerinti; eegendően sok kör megtétee után pedig a 8. ábra asó része szerinti esz a heyzet. Innentő kezdve a B pont már a heyén marad, a kör középpontjában. Összefogava ezt az a - esetet: abban az esetben, ha a kerékpár pontját egy a kerékpár rúdhosszáva egyező sugarú körön mozgatjuk, akkor a rúd B végpontja eőbb - utóbb beá a kör középpontjába.

16 16 S /. a - eset: ; ( 65 ) ekkor ( 55 ) - bő: a 1 a. ( 66 ) Véve a ( 67 ) jeöést, ( 55 ) - te: innen: a a 1 1, ( 68 ) a 1. ( 69 ) Most ( 57 ) - te: sc dv dv 1 v 1 v n n, a v v v v aho integrátábázatot is hasznátunk [ 6 ]. Innen átaakításokka: sc a v, v sc a B e, ( 7 ) v B, v Bv B v, v 1B 1 B, sc a 1 B 1e v. 1B sc 1e a De tudjuk [ 6 ], hogy x x x ch(x) e e 1e cth(x), x x x sh(x) e e 1e ( 71 )

17 17 így v cth s c. a Most ( 51 ) és ( 7 ) - ve: a u cth s c, a innen: a u cth s c ; a majd ( 14 ) és ( 73 ) - ma: (s) a tg cth sc. a ( 7 ) ( 73 ) ( 74 ) ( 71 ) függvényrő eovasható, hogy cth(x) 1, ha x. ( 75 ) Így ( 74 ) és ( 75 ) te írható, hogy (s) a tg, ha s. ( 76 ) Ez a határérték, ( 69 ) - ce is: 1 a a a tg 1. ( 77 ) ami ( 16 ) szerint a a 1 tg 1 sin1 1 1 tg a a a a a a a a 1 1 a a a a a a 1 1, a tehát

18 18 sin. a ( 78 ) szerinti határheyzetet szeméteti a 9. ábra 1 ( 78 ) 9. ábra Látjuk, hogy e határheyzet eérése után a kerékpár B pontja egy B 1 1 r a cos a 1 sin a 1 a a ( 79 ) sugarú körön fog haadni. vontatmány viszonyag gyorsan eéri ezt a heyzetet, hasonóan az egyenes menti vontatáshoz. Ha ( 78 ) - ban evégezzük az a ( 8 ) átmenetet, akkor 1 9, ( 81 ) és ( 79 ) - bő: rb. ( 8 ) Ekkor eőának az a.) a - eset eredményei. Ezek gyakoratiag is érdekesek. Összefogava ezt az a - esetet: abban az esetben, ha a kerékpár pontját egy a kerékpár rúdhosszáná nagyobb sugarú körön mozgatjuk, akkor a rúd B végpontja eőbb - utóbb ráá egy körpáyára, meynek sugara kisebb, mint az pont páyasugara. Látható, hogy ez esetben is egy széesebb útpáyára van szüksége a járműnek, mint a saját széessége, vagyis most is mintegy kiszéesíti az utat a jármű.

19 19 S / 3. a - eset:. ( 83 ) Ekkor ( 55 ) - bő: a 1 a. ( 84 ) Véve a ( 85 ) jeöést, ( 55 ) - te: a 1, innen a 1. Most ( 57 ) - te: sc dv dv v arctg, a v v aho integrátábázatot is hasznátunk [ 6 ]. Innen átaakításokka: sc v arctg, a ( 86 ) ( 87 ) v s c sc tg tg, a a végü sc v tg. a Most ( 51 ) és ( 88 ) - va: a sc u tg, a innen a sc u tg ; a majd ( 14 ) és ( 89 ) - ce: ( 88 ) ( 89 )

20 a sc tg tg. a Ezután ( 86 ) és ( 9 ) - ne: a a a s c tg 1 tg 1. a ( 9 ) ( 91 ) B pont páyája paraméteres egyenetrendszerének feáításához tekintsük a 1. ábrát is! 1. ábra Váasztás: c s ; ( 9 ) az pont koordinátái: x a cos ; ( 93 ) y asin. 1. ábrábó: 9. ( 94 ) Most ( 93 ) és ( 94 ) - gye: x a cos9 a sin, ( 95 ) y asin9 acos.

21 1 Majd ( 1 ) - et feidézve: xb x cos, ( 1 ) yb y sin. most ( 95 ) és ( 1 ) - gye: xb a sin cos, ( 96 ) yb acos sin. Ezután ( 91 ) és ( 9 ) - ve: a a a s tg 1 tg 1 ; a ( 97 ) ismét a 1. ábráró: s a, ( 98 ) innen: s ; ( 99 ) a most ( 94 ) és ( 98 ) - ca: s 9, a innen: s 45. ( 1 ) a Majd ( 97 ) és ( 1 ) - za: a a a tg 1 tg 1 45, ( 11 ) ebbő: a a a arctg 1 tg ( 1 ) Most ( 96 ) - ot átírva: x B a sin cos, y B a cos sin ( 13 ). feadatunk megodását ( 1 ) és ( 13 ) adja.

22 1.5 y ( B ) / x ( B ) / x(t)=-(1/3)*sin(t)-1*cos(t+fi(t)), y(t)=(1/3)*cos(t)-1*sin(t+fi(t)) r(t)=/3 r(t)=4/ ábra 11. ábrához fevett adat: a / = 1 / 3. Látjuk, hogy ebben az a - esetben a megodás nem konvergá egy adott végheyzethez, hanem cikikus jeegű. kapott görbe aakját a c integráási áandó aapvetően nem befoyásoja, csak a kezdőpont heyét rögzíti. Ezt itt mi önkényesen vettük fe. görbe aakját az a / viszony ényegesen befoyásoja. z ábra - virág egy szirma annak fee meg, hogy az pont az a sugarú kör kerüetét egyszer befutja. 11. ábrán fetüntetett körök sugaraira: rbeső a 1 1 1, 3 3 rküső a Összefogava ezt az a - esetet: abban az esetben, ha a kerékpár pontját egy a kerékpár rúdhosszáná kisebb sugarú körön mozgatjuk, akkor a rúd B végpontja cikikus jeegű mozgást végez.

23 3 Megjegyzések: M1. ( 1 ) függvény képe a 1. ábrán átható. 35 fi ( fok ) 3 f(x)=*atan( *tan(.948*(45-.5*x))) theta ( fok ) ábra M. Eddig a kerékpárt a 13. ábra ba odai részének megfeeően jeötük. ( Ez megfee a 14. ábrának, aho az utánfutó rúdját a vontatóra ráakasztják.) Ezze egyenértékű a jobb odai ábrarész szerinti jeöés, hiszen ebben a heyzetben mindkét szerkezet és B pontja ugyanúgy mozdu e: a keréktengeyekre merőegesen. ( Ez megfee annak, hogy a kerékpár rúdját az eején egy másik kerékpárra támasztják.) Ekkor a szerkezetet kétkerék - párnak is mondhatjuk. M3. Most kapcsojunk - ban a kétkerék - párhoz egy rudat! Ezze megkaptuk a ovaskocsi kinematikai modejét 15. ábra. Ennek gazdasági ( ovas - )szekér vátozatát a 16. ábrán, egy teherbíróbb, rönkszáító vátozatát pedig a 17. ábrán szeméhetjük. ( Rönkös pótkocsi. ) 14., 16., 17., 18. ábrák forrása: [ 1 ].

24 4 13. ábra 14. ábra 15. ábra

25 5 16. ábra 17. ábra ovaskocsi mozgásának eírása az eddigiek aapján evieg már egyszerű: két küönáónak képzet kerékpárra bontjuk, aho a. kerékpár pontja a B pont, B pontja pedig a C pont. Evieg ezt tetszőeges kerékpár esetére akamazhatjuk. M4. Egy összetettebb eset átható a 18. ábrán. Ezt az eddigiek szerint négykerék - párnak nevezhetjük. M5. Nem érdekteen megemíteni azt a tényt sem, hogy a vontatás témakörének magyar szakirodama szegényesnek is mondható. Igaz, hogy a femerüő matematikai nehézségek riasztóak ehetnek, de az interneten itt - ott febukkanó üdözési / vontatási animációk is azt mutatják, hogy újra meg keene nyitni ezt a ezártnak tűnő fejezetet.

26 6 18. ábra M6. Tanumányainkbó tudjuk, hogy az útépítésben akamazzák az ún. átmeneti íveket. Ennek ényege, hogy egy egyenest ( ρ = ) és egy kört ( ρ = R ) egy oyan ívve kötnek össze, meynek görbüete az ívhossza egyenesen arányos [ 1 ], [ 5 ] : 1 k s, (s) ( 14 ) aho k egy arányossági tényező / áandó. ( 14 ) egyenette eírt görbe: a kotoid. Most ( 18 ) és ( 14 ) - gye: du(s) u(s) k 1 u (s) s. ds ( 15 ) Tehát az egyenest és a körívet összekötő kotoid átmeneti íven a kerékpár B pontja mozgásának eírásához a ( 15 ) egyenet megodása szükséges. M7. Többször emítettük, hogy vontatáskor a kerékpár / kerékpárok mintegy kiszéesítik az útpáyát. Ehhez tekintsük a 19. ábrát is d.: [ 1 ]!, meynek címe: Száfaszáító ovasfogat az ívben. 19. ábra megfee az S / speciáis esetben átott áandósut áapotnak, tekintette az M3. - ban mondottakra is. Látható, hogy a B normáis páyaszéességet meg ke növeni a B B1 B értékke, aho: B : az eső és a hátsó tengey közepe forduási körének sugarai közti küönbség; ~ 1 ~ B : az eső tengey közepe és a kocsirúd eüső vége ( a ovak befogási hossza ) forduási körének sugarai közti küönbség.

27 7 19. ábra páyaszéesítés számítása a 19. ábra [ 1 ] aapján a következő. dott: ~ h: a tengeyek egymástó vaó távosága; ~ : a rúdhossz / a vonóáatok befogási hossza; ~ α: a rúd egnagyobb eforduási szöge; ~ B: az útpáya normáis széessége. Keresett: ~ B ív : a páyaszéesség az ívben. Megodás ( etérően [ 1 ] - tő ): z eső tengey középpontjának forduási sugara: h R e ; sin a hátsó tengey középpontjának forduási sugara: h R h cos ; sin ( a ) ( b )

28 8 majd B R R ; ( c ) 1 e h most ( a ), ( b ), ( c ) - ve: h h B 1 cos. sin sin Ezután Pitagorász téteéve is: R B R, e e innen: B R R R 1 R. e e e e R e Most ( a ) és ( e ) - ve: h h h h B 1 1 sin. sin h sin sin h sin sin ( d ) ( e ) ( f ) Látható, hogy B B B, ( g ) 1 így ( d ), ( f ) és ( g ) - ve: h h h h B cos 1 sin sin sin sin h sin h h h 1 sin cos 1 sin cos, sin h sin sin h tehát: h B 1 sin cos. sin h ( i ) tejes páyaszéesség az ívben: Bív B B; ( j ) most ( i ) és ( j ) - ve:

29 9 h Bív B 1 sin cos. sin h ( k ) Ezze a feadatot megodottuk. Számpéda, [ 1 ] - bő vett adatokka: dott: h = 8 m, = 4 m, α = 3, B = 3 m. Keresett: B ív. Megodás: z ( i ) képette: h B 1 sin cos sin h 8 m 4 m 1 sin 3 cos3,64 m, sin 3 8 m tehát: B, 64 m. Ez a részeredmény jó egyezik az [ 1 ] - bei részeredménnye. ( j ) képette: B BB 3, m,64 m 5,64 m, ív tehát: Bív 5,64 m. Ez az eredmény nem egyezik az [ 1 ] - bei eredménnye...! M8. Most írjuk fe az M7. - ben szerepő kocsira a ( 78 ) és a ( 79 ) képet szerinti adatokat! 9. és a 19. ábra adatait összehasonítva átjuk, hogy a R ; ( * ) e ( a ) - va: h R e ; ( a ) sin ( * ) és ( a ) - va:

30 3 h a ; sin ( ** ) ( 78 ) és ( ** ) - ga: sin 1 ; a h sin ( *** ) ( 79 ) és ( ** ) - ga: h ( **** ) sin rb a. M9. vontatási görbék nem csak számítássa, hanem szerkesztésse is eőáíthatók. z interneten ehet taákozni szerkesztési megodásokka. Úgy tűnik, a korszerű útpáyatervezésben nem néküözhető ismeretekrő van itt szó. Összefogaás Ebben a dogozatban összefogatuk a vontatás geometriájának eméeti aapjait, főként a [ ] munkára támaszkodva. Bemutattuk a mozgatott kerékpár hátsó tengeye B középpontja mozgásának eírására szogáó azon megodási módot, meynek ényege: a kerékpár - rúd vezetett pontjának páya - érintője és a rúdtengey áta bezárt φ szög vátozása törvényének meghatározása, a mozgás foyamán. munka kezdetétő fogva viágos, hogy fesőbb matematikai ismeretek keenek a mozgás szabatos eírásához. Ugyanis a vontatási feadat aapegyenete egy Riccati - fée differenciáegyenet; ennek átaános esetben csak numerikus, ietve grafikus úton érhető e a megodása. z anaitikusan viszonyag könnyen tárgyaható eseteket itt részeteztük. Irodaom: [ 1 ] Pankotai Gábor ~ Herpay Imre: Erdészeti száítástan Mezőgazdasági Kiadó, Budapest, [ ]. Ju. Isinszkij: Prikadnüje zadacsi mehanyiki II.: Mehanyika uprugih i abszojutno tvjerdüh tye Moszkva, Nauka, 1986.

31 31 [ 3 ] [ 4 ] Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, [ 5 ] Rudof Rothe: Matematika gépészmérnökök számára Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 196. [ 6 ] I. N. Bronstejn ~ K.. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv több kiadásban, Műszaki Könyvkiadó, Budapest Sződiget, 1. augusztus 6. Összeáította: Gagóczi Gyua mérnöktanár