A karpántokról, a karpántos szerkezetekről III. rész

Átírás

1 A karpántkró, a karpánts szerkezetekrő III. rész ytatjuk az eőző dgzatainkban meyek címe: ~ A karpántkró, a karpánts szerkezetekrő - I. rész, ~ A karpántkró, a karpánts szerkezetekrő - II. rész megkezdett témakör tárgyaását. Itt az I. részben tárgyat szerkezet aakvátzását vizsgájuk, egy egyszerű terheési esetben. 4. eadat Tekintsük az. ábrát!. ábra Itt a szerkezet jeemző adatait, megtámasztását és terheését szeméhetjük. A feadat: a szerkezet terhet C pntja f függőeges emzduásának meghatárzása. A megdás Castigian téteén aapu [ ]. Ez kimndja, hgy a statikaiag határztt megfgású test vaamey pntjának az tt működő erő irányába eső emzduását meg - kapjuk, ha a test tejes aakvátztató munkáját az erő szerint parciáisan differenciájuk: W f ( ) minthgy a küső munka és az átaa a testben fehamztt ptenciáis energia egyenő, azaz W U, ( ) ezért ( ) és ( ) szerint: U f. ( ) A vizsgát szerkezetre: U U U U, ( 4 ) tejes M N Q

2 vagyis a tejes aakvátzási ptenciáis energia a hajítási, a húzás - nymási és a nyírási rész - energiákbó tevődik össze. A gyakratban eterjedt közeítésse éve aznban: U U, ( 5 ) N Q így ( 4 ) és ( 5 ) szerint: U U. ( 6 ) tejes M Megjegyezzük, hgy ez utóbbi épés nem tejesen magátó értetődő p. [ ] - ben megtartják ( 4 ) jbb daának. tagját is, és csak a. tagt hanyagják e. A terhet szerkezetben fehamztt rugamas energia nagysága közeítőeg [ ] : M (x) U dx, ( 7 ) (h) ah az integráás kiterjed minden hajíttt rúdra esetünkben az AB szpra és a BC gerendára. A DE karpántró fetesszük, hgy azt nem terhei hajítónymaték. Megjegyezzük, hgy ez a fetevés sem magátó értetődő ugyanis az esetegesen kü - pnts erőbevezetés következtében feépő küpnts nymás akár ferde hajítás fe - épését is eredményezheti a karpántban. Mst ( ) és ( 7 ) - te: U M (x) M (x) M M f dx dx dx. Észrevéteek: ( 8 ) (h) (h) (h). Itt megáunk egy pianatra. ( 8 ) - ná úgy jártunk e, hgy fecserétük az szerinti parciáis differenciáás és az x szerinti integráás srrendjét. Érdekes, hgy ezt a épést a tankönyvekben gyakran szó nékü megteszik. Egy kivéte ez aó p. [ ], ah ezt írják errő: Mint ismeretes, ha az integráási határk áandók, úgy az integrandusz egysze - rűen differenciáható. Szóva, a határztt integrá paraméter szerinti differenciáási szabáyának ismeretét itt is magátó értetődőnek tekintik. Ebben, persze, sk igazság van, hiszen rendes esetben a matematikai tanumányk megeőzik és jó megaapzzák a ráépüő szakmai tanumánykat. Az érdekődő Ovasó a matematikai részeteket megta - áhatja p. [ 4 ] - ben.. Taákztam már másh is ezze a prbémáva nevezetesen, hgy a szerző ismertnek téteezett fe egy az ittenihez nagyn hasnó matematikai részetet, ámde az rszbó frdíttt mű magyar kntrszerkesztője ezt már nem vette magátó értetődőnek, így ábjegyzetben kiegészítette azt a szerinte szükséges tudnivaókka. Ezt ugyanazn kk miatt két heyen is megtette, ugyanabban a műben [ 5 ]. Na ja, a kntrszerkesztő matematikus és pedagógus vt. Úgy - e, érdemes vt itt egy kis kitérőt tennünk? Taán nem csrbíttta annyira nagyn a tárgyaás érthetőségét. Tudm, van, aki az iyen megszakítást nehezményezi...

3 A ( 8 ) képet akamazásáhz szükség van a hajítónymatéki függvényekre. Ehhez tekintsük a. ábrát is!. ábra A. ábrán jeöt erő - összetevők nagysága egyensúyi egyenetekbő: Sv b tg ( 9 ) Sf b ( ) B S v ( ) v Bf. b ( ) A befgási nymaték nagysága az. ábra szerint is: M. ( ) A A hajítónymatéki szakasz - függvények eírásáhz bevezetjük az x, x, x, x 4 krdinátákat. ábra. A ( 8 ) integrá kifejtése, a szakaszknak megfeeően az aábbi.

4 4 M M f dx (h) b b ) ) ) ) dx dx g g ha a ) ) ) ) dx dx ( 4 ) Ehhez eőször: ) x ) x b b b ) ) x dx x dx x dx g g g g b b x g, b b ) ) dx. ( 5 ) g g Másdszr: ) Bf x x b ) x b x b b ) ) b dx x dx g g b b b b b x b b b b x dx g g g g,

5 b ) ) dx. g g 5 b b ( 6 ) Harmadszr: ) Bv x x btg ) x btg x ha ha ) ) b tg dx x dx btg ha ha x x dx b tg b tg h a b tg fehasznáva, hgy az. ábra szerint: h a btg, az eőző kifejezésbő: ha ) ) h a dx. ( 7 ) Negyedszer: ) 4 4) a a a ) ) dx dx dx a a 4 x, a ) ) a dx. ( 8 )

6 Mst ( 8 ), ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ), ( 7 ), ( 8 ) - ca: 6 f b b b h a a g g b b b h a a E Ig E Ig E I E I b b b h a a E Ig E I b h a E Ig E I, b h a f. E Ig E I ( 9 ) ( 9 ) egyezik a [ ] munkában más útn kaptt eredménnye, ha abban mint itt is a húzó és nymómerevségek a végteenhez tartanak. Egy speciáis eset. ábra: Ekkr: h a b, E I E I E I g ( * ). ábra

7 7 mst ( * ) és ( 9 ) - ce: a a a a a a f a a 4 a E I E I E I 8a 6a, 6a f spec. ( ) A ( ) eredmény megegyezik a [ 6 ] munkában más útn nyert eredménnye. Ezze a 4. feadatt is megdttuk. Irdam: [ ] Muttnyánszky Ádám: Sziárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 98. [ ] Heinrich Müer - Bresau: Die neueren Methden der estigkeitsehre und der Statik der Bauknstruktinen 4. Aufage, Afred Kröner Verag in Leipzig, 9. [ ] N. M. Bejajev: Szprtyivenyije matyeriav izd. 8., Gszizdat, Mszkva, 95. [ 4 ] Stefan Banach: Differenciá - és integrászámítás 4. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 97. [ 5 ] K. K. Pnmarjv: Differenciáegyenetek feáítása és megdása Tankönyvkiadó, Budapest, 969. [ 6 ] N. I. Ivanv: Szbrnyik zadacs p szprtyivenyiju matyeriav izd.., Gszizdat, Mszkva ~ Leningrad, 95. Sződiget,. június. Összeáíttta: Gagóczi Gyua mérnöktanár