Inczeffy Szabolcs: Lissajoux görbék előállítása ferdeszögű rezgések egymásra tevődésével

Átírás

1 Inczeffy Szablcs: Lissajux görbék előállítása ferdeszögű rezgések egymásra tevődésével I. Lissajux görbék Mint ismeretes a Lissajux görbék merőleges rezgések egymásra tevődéseként jönnek létre. Váltztatva a rezgések amlitudóját, frekvenciáját, illetve kezdőfázisát különböző méretű és alakú látványs görbéket, alakzatkat kaunk. 1. ábra: f 1 :f = 1:1 rezgésszámarányú. ábra: f 1 :f = 5:3 arányú Lissajux görbe Lissajux görbe A GeGebra (ingyen letölthető) számítógées rgram segítségével, a Lissajux görbe a két rezgés egymásra tevődésének nymvnalaként jön létre. Az 1. és. ábrákn látható P nt helyzetét meghatárzó vektr a 1 és a vektrk összege. A 1 és vektrk hsszát és irányítását a 1 A1 cs( f1 t) A1 sin( f1 t / 1) és a A sin( f t ) rezgés (kitérés) egyenletek határzzák meg. Az egyenletekben A 1 és A a rezgések legnagybb kitérését, f 1 és f a rezgésszámkat, t az időt, φ 1 és φ a kezdőfáziskat jelölik. A vektr nagyságát Püthagrasz tételével a 1 összefüggésből 1 számlhatjuk ki, míg irányát a tg tg ( ) kélettel határzhatjuk meg! Sajáts esetben, ha A 1 = A, f 1 = f és φ 1 = φ, akkr a nymvnal egy kör (1. ábra), ha A 1 = A, φ 1 = φ és f 1 f, de a rezgésszámk úgy aránylanak egymáshz, mint a természetes számk (f 1 : f = n 1 : n ), akkr a. ábráhz hasnló görbét kaunk. A következőkben megvizsgáljuk a Lissajux görbék előállítását egymással ferde szöget bezáró rezgések egymásra tevődéseként! Ehhez szükségünk lesz az általáns hármszögben, illetve a trignmetrikus (egység sugarú) körben értelmezett általáns szögfüggvényekre!

2 II. Általáns szögfüggvények II.-1. Az általáns szögfüggvények definíciói A hagymánys szögfüggvényeket derékszögű hármszögben szkás értelmezni, illetve az egységnyi sugarú kör segítségével, az értelmezést, tetszőleges (frgás) szögekre is ki lehet terjeszteni. Feltevődik a kérdés, hgy tvább lehet-e általánsítani a szögfüggvényeket, azaz az általáns hármszögben lehet-e általáns ( alakú ) szögfüggvényeket értelmezni? A válasz igen, sőt biznys estekben az általáns szögfüggvényeket előnyösebben lehet használni, mint egyéb tételeket, de lássuk miről is van szó! Az általáns hármszögben (lásd az 3. ábrát), a szkáss jelöléseket használva és az - át tekintve alaszögnek, a következő szögfüggvényeket értelmezhetjük : sin = c a ; cs = b a ; tg = c b és ctg = b c, ha Természetesen,, 0 0 ; és + + = 180 0, illetve a, b, c 0. Ha = 90 0, akkr visszakajuk a hagymánys szögfüggvényeket. Pl. sin 90 = sin. B' C' A" B B 1 1 a c C A A' C b A 1 3. ábra: általáns hármszög 4. ábra: egységsugarú (trignmetrikus) kör Általánsabb definíciókat a trignmetriai (egységnyi sugarú) kör segítségével adhatunk meg: ha CB = CA CC 1, akkr a 4. ábra szerint : (a szakaszk valójában, előjeles szakaszk) a sin = AB ahl k 180 0, k Z, a cs = CA, ahl k180 0, k Z, a tg = A' B', ahl k180, k Z, k 180, k Z a ctg = C' A", ahl Egy adtt hármszög esetén a definíciók segítségével könnyen biznyíthatók a következő összefüggések:

3 1 sin tg, illetve ctg cs sin = cs tg ctg sin cs tg ctg Megfelelően felcserélve a szögeket még öt, a fentiekhez hasnló, összefüggést tudunk felírni. II.-. Az általáns szögfüggvények kiszámítása sin A szinusztétel segítségével könnyen igazlható, hgy sin. De ennél több is sin sin igaz: sin. Ez az összefüggés az alaszög váltztatását teszi lehetővé. sin A sin sin sin cs sin, tg sin cs sin sin és ctg. sin A biznyításkat és az általáns szögfüggvények egyéb tulajdnságait lásd az irdalmjegyzékben! Lássunk egy éldát! Számítsuk ki a tg 45 értékét. A fenti összefüggés segítségével : tg sin = 45 sin sin 45. sin 90 A rgramzható számlógéek, vagy a számítógéek segítségével egészen könnyen kiszámítható az értelmezési tartmányn belüli tetszőleges szög, tetszőleges alaú szögfüggvény értéke. II.-3. Grafikus ké Az általáns szögfüggvények grafikus kéei hasnlóak a s alaszögűekéhez, csak másk az értékhelyek és az értékek. Az 5. ábrán az = 45 0 s alaszögű szögfüggvények grafikus kéei láthatók nymvnalként ábrázlva! 5. ábra: az = 45 0 s alaszögű szögfüggvények grafikus kéei

4 II.-4. Alkalmazás A tvábbiakban vizsgáljuk meg az általáns szögfüggvények alkalmazását, a vektrk ferdeszögű krdináta rendszerben történő felbntásakr keletkezett kntravariáns krdináták kiszámítására. Lásd a 6. ábrát! 1. v 1 e e v e 180- v. 6. ábra: a v vektr felbntása két egymással szöget bezáró irány szerint Az 1., illetve. iránykba eső egységvektrk u 1, illetve u, így a v vektr irányába eső egységvektr e = cs u 1 + cs 180- u. Itt e 1 = cs u 1 és e = cs 180- u, az e vektr összetevő vektrai. A v = v 1 + v, ahl v 1 = v 1 u 1 és v = v u. A kntravariáns krdinátákra, edig a v 1 = v cs és a v = v cs 180- összefüggéseket írhatjuk fel. Könnyen ellenőrizhető, hgy = 90 0 esetben, vagyis derékszögű krdináta rendszerben, visszakajuk a szkáss krdinátákat. Látható tehát, hgy a kntravariáns krdináták felírása (kiszámítása) lyan egyszerűvé válik, mint derékszögű krdináta rendszer esetén. III. Lissajux görbék ferdeszögű krdináta rendszerben Az általáns szögfüggvények, illetve a GeGebra utlsó alkalmazásaként vizsgáljuk meg az egymással ferdeszöget ( 90 ) bezáró rezgések egymásra tevődését, amely a Lissaju görbékhez hasnló görbék előállítását teszi lehetővé! A P nt nymvnalát tvábbra is a 1 és a vektrk összege határzza meg. A 1 és a vektrk hssza és iránya a A1 cs ( 1 1) 1 [sin( 1 1)] / sin( ) f t A f t A1 sin( f1 t 1) A sin ( ) [sin( )] / sin( ) f t A f t A sin( f t ) A A / sin( és az A A / sin( ) 1 és a rezgés (kitérés) egyenletek határzzák meg, ahl az 1 1 ) a rezgések legnagybb kitérései. A vektr nagyságát, a kszinusz tétel ( általáns Püthagrasz tétel) segítségével, a a tg sin cs összefüggésből számlhatjuk ki, míg irányát kéletből ( egyenletből) határzhatjuk meg! sin( )

5 Sajáts esetben, ha A 1 = A, f 1 = f és φ 1 = φ, akkr a nymvnal egy kör (1. ábra), ha A 1 = A, φ 1 = φ és f 1 f, de a rezgésszámk úgy aránylanak egymáshz, mint a természetes számk (f 1 : f = n 1 : n ), akkr a. ábráhz hasnló görbét kaunk. Lásd a 7. és 8. ábrát! 7. ábra: f 1 : f = 1:1 rezgésszámarányú 8. ábra: f 1 : f = :3 arányú Lissaju görbéhez hasnló görbe Lissaju görbéhez hasnló görbe Irdalm 1. Budó Á., Kisérleti fizika II., Tkk., B., Inczeffy Sz., A trignmetrikus függvények általáns alakjai, A matematika tanítása, 1995., III.évf./3. szám. 3. Inczeffy Sz., A GeGebra számítógées rgram felhasználása, Lissaju görbék előállítására derékszögű, illetve ferdeszögű rezgések egymásra tevődéseként., műhelyvezetés (demnstrált előadás) az 58. Országs Fizikatanári Ankét és Eszközbemutatón, Hévíz, 015.