MATEMATIKA C 11. évfolyam. 8. modul Goniometria. Készítette: Kovács Károlyné

Átírás

1 MATEMATIKA C. évflyam 8. mdul Gnimetria Készítette: Kvács Kárlyné

2 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató A mdul célja Időkeret Ajánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk A szögfüggvények definíciójának elmélyítése, alkalmazása egyszerű egyenletek megldásában. Trignmetrikus függvények grafiknjának értő vizsgálata. 3 fglalkzás. évflyam Tágabb környezetben: Fizika, földrajz Szűkebb környezetben: Krdinátagemetria, analízis, sík- és térgemetriai feladatk megldása. Ajánltt megelőző tevékenységek: Szögfüggvények definíciójának ismerete. Trignmetrikus alapfüggvények ábrázlása. Függvénytranszfrmációk alkalmazása trignmetrikus függvényekre. A képességfejlesztés fókuszai Ajánltt követő tevékenységek: A szinusz- és kszinusztétel alkalmazása hármszögekben és skszögekben. Dedukív következtetés, kreativitás, eredetiség, gndlkdási sebesség, metakgníció, ismeretek rendszerezése, elmélyítése, értelmes memória, ábrázlás, reprezentáció. JAVASLAT A gyakrló tanár biznyára tapasztalta már, hgy ha először a hegyesszögek szögfüggvényeit értelmezi derékszögű hármszögben, akkr a szögfüggvények fgalmának kiterjesztése kz gndt a tanulók jó részének, míg ha frdítva, először a két szögfüggvénnyel úgy ismerkednek meg a tanulók, mint egységvektr krdinátái, akkr a hegyesszögek szögfüggvényeinek alkalmazása derékszögű hármszögben megy nehezebben. Ez a mdul tetszőleges szög szögfüggvényeinek fgalmát mélyíti el. Az ismert prbléma (egy egységvektrhz végtelen sk irányszög tartzik, de egy irányszög egyetlen egységvektrt határz meg) többirányú megközelítése segítheti annak megértését. A trignmetrikus függvények ismerete, az ilyen típusú egyszerű egyenletek megldása is része a fglalkzásk anyagának.

3 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 3 A MODUL FOGLALKOZÁSAINAK JAVASOLT SORRENDJE:. fglalkzás: Vektrk és szögfüggvények?. fglalkzás: Csak szögfüggvények 3. fglalkzás: Egy egyenlet, sk gyök

4 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 4 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feladat/ Gyűjtemény I. Vektrk és szögfüggvények? A szög szinusza és kszinusza mint az egységvektr krdinátái. A fgalm mélyítése. Ismeretek rendszerezése, elmélyítése, értelmes memória, ábrázlás, reprezentáció, metakgníció Feladatlap: 6. és 8. feladat Egyszerű trignmetrikus egyenletek megldása. Deduktív következtetés, gndlkdási sebesség, metakgníció, ismeretek rendszerezése, elmélyítése Feladatlap: 7., 9., 0. és. feladat II. Csak szögfüggvények Szöveges prblémák trignmetrikus függvények megadására. Trignmetrikus függvény grafiknjának értő lvasása. 3 Adtt tulajdnságú trignmetrikus függvény alktása. Deduktív következtetés Metakgníció, értelmes memória Feladatlap:. feladat Feladatlap: 3. és 4. feladat Kreativitás, eredetiség, gndlkdási sebesség, metakgníció Feladatlap: 5 7. feladat 4 Függvénytranszfrmációk. Értelmes memória, ábrázlás Feladatlap: 8. feladat III. Egy egyenlet, sk gyök Trignmetrikus egyenletek megldása. Ismeretek rendszerezése, elmélyítése Feladatlap: 0. feladat

5 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 5 I. VEKTOROK ÉS SZÖGFÜGGVÉNYEK? A tanári tapasztalat azt mutatja, hgy az egyik legnehezebb fgalm a középisklás tananyagban a szögfüggvények fgalma. Ha először derékszögű hármszögben vezetjük be a hegyesszögek szögfüggvényeit, majd általánsítjuk a fgalmakat, egységvektr krdinátáival, illetve ezek hányadsával értelmezzük azkat, akkr a tanulók egy jó része nehezen fgadja el az elsőtől eltérő megközelítést. Ha visznt először egységvektr krdinátáiként ismeri meg a két szögfüggvényt, akkr idegenkedik a hegyesszögek szögfüggvényeinek derékszögű hármszögben való alkalmazásától. Elsősrban persze a tananyag súlysságát a sk új fgalm (bázisvektrk, irányszög, frgásszög, vektrfelbntás, vektr krdináta, szögmérés ívmértékkel), és ezek összekapcslódása kzza. Nehéz elfgadniuk, hgy pl. egy egységvektrt végtelen sk irányszöggel tudunk megadni, vagy hgy egy szög szinuszának ismerete (az egységvektr másdik krdinátája) általában nem határzza meg egyértelműen az egységvektrt. Ezen a fglalkzásn kísérletet teszünk a szögfüggvények fgalmának elmélyítésére, természetesen feladatkn keresztül. A *-gal jelölt feladatkat csak akkr tűzzük ki megldásra, ha úgy érezzük, hgy a csprt jól tájékzódik az egységkörön!. Adttak az i és j bázisvektrk ( i = j = ). Frgasd el az i vektrt a megadtt szöggel! Az elfrgattt vektr melyik síknegyedbe kerül? Milyen előjelű a kaptt egységvektr első krdinátája? a) 60 b) 400 c) 4 3 d) 3 e) 3 Megldás: a) 60 = ; II. síknegyed, első krdináta negatív. b) 400 = 40 + ( ) 360 ; IV. síknegyed, első krdináta pzitív. 4 c) = 40 ; III. síknegyed, első krdináta negatív. 3 d) < 3 < ( 3 7,9 ); III. síknegyed, első krdináta negatív.

6 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 6 e) 4 < 3 < 4, 5 ( 3 744,8 = 4, );I. síknegyed, első krdináta pzitív.. Értelmezd a következő kifejezéseket! 3 cs 53 ; cs( 93 ) ; sin 4 ; sin 80 ; sin ; ( tg ) ; cs, 5. 4 Célszerű minden esetben az egységkörön megjeleníteni a megfelelő egységvektrt, tvábbá azt az összetevőjét, amely a megadtt szám értelmezéséhez vezet. Megldás: cs 53 : Ha az i bázisvektrt pzitív irányban elfrgatjuk első krdinátája lesz, így ez a szám negatív. 53 -kal, a kaptt egységvektr cs 53. Mivel az elfrgatással kaptt vektr a III. síknegyedben cs( 93 ) : Ha az i bázisvektrt negatív irányban elfrgatjuk 93 -kal, a kaptt egységvektr első krdinátája cs( 93 ). Mivel a frgatással kaptt vektr a III. síknegyedben lesz, így ez a szám negatív. sin 4 : Ha az i bázisvektrt pzitív irányban elfrgatjuk 4 -kal, a kaptt egységvektr másdik krdinátája sin 4. Mivel 4 = , ezért a frgatással kaptt vektr a II. síknegyedben lesz, így ez a szám pzitív. sin 80 : Ha az i bázisvektrt pzitív irányban elfrgatjuk másdik krdinátája sin 80. Így sin 80 = kal, a kaptt egységvektr tg ( sin : Ha az i bázisvektrt negatív irányban elfrgatjuk radiánnal, a kaptt egység vektr másdik krdinátája sin. Mivel a frgatással kaptt vektr a III. 4 síknegyedben lesz, így ez a szám negatív ) : Ha az i bázisvektrt először pzitív irányban elfrgatjuk 35 -kal, majd tvább frgatjuk a vektrt negatív irányban 3-szr 360 -kal, a kaptt vektr más-

7 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 7 dik és első krdinátájának hányadsa egyenlő tg( )-kal. Mivel a frgatással kaptt vektr a II. síknegyedben lesz, így ez a szám negatív. cs,5 : Ha az i bázisvektrt pzitív irányban elfrgatjuk,5 radiánnal, a kaptt egységvektr első krdinátája cs, 5. Mivel 0 <,5 <, ezért a frgatással kaptt vektr az I. síknegyedben lesz, így ez a szám pzitív. 3. Szerkeszd meg a következő 3 vektrt! e ( ; 3) g = (cs 0 ) i + (sin 0 ) j k (cs( 330 ) ; sin( 330 )) Megldás: 4. A szögfüggvények definíciójának felhasználásával (zsebszámlógép és függvénytáblázat használata nélkül) állapítsd meg a következő számk előjelét! a) sin( 97 ) c) tg( 4) e) sin3 cs3 b) cs( + 3 ) d) ctg 5 f) sin 3+ cs 3 Az f) kérdésben a 3 radiánnal elfrgattt i vektr első krdinátája negatív, de a vektr összetevőinek hsszára, azaz cs3 -re és sin 3 -ra alkalmazható Pitagrasz tétele. Megldás: A megadtt számk előjelét az i vektr (a kifejezésben szereplő) irányszöggel elfrgatásával kaptt vektr összetevőinek irányából állapíthatjuk meg.

8 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 8 a) sin( 97 ) < 0 c) tg ( 4) < 0 e) sin 3 cs3 > 0 b) cs( + 3 ) > 0 d) ctg 5 < 0 f) sin 3 + cs 3 = > 0 5. Mekkra az a ( ;3) vektr legkisebb pzitív irányszöge? Megldás: Mivel az a vektr legkisebb pzitív irányszögének α mellékszöge egy lyan derékszögű hármszög egyik hegyesszöge, amellyel szemközti befgó 3 egység, mellette lévő befgó egység hsszú. Így α 56,3. tg α = Az a vektr legkisebb pzitív irányszöge kb. 3 3,7., ebből 6. a) Az e egységvektr első krdinátája cs 30. Add meg az e vektr összes irányszögét! b)* Egy k egységvektr első krdinátája sin. Mekkra szöggel frgatható el az i 3 bázisvektr, hgy az elfrgattt vektr a k vektr legyen? Megldás: a) Két lyan egységvektr rajzlható az egységkörben, amelyek első krdinátája cs 30. A II. síknegyedben lévő vektr irányszögei: 30 + n 360, ahl n Z ; a III. síknegyedben lévő vektr irányszögei: 30 + k 360, ahl k Z. b) Ha elfrgatjuk az i vektrt szöggel, a kaptt e vektr má- 3 sdik összetevője a j vektr sin -szrsa. Mivel a keresett 3 k vektr első krdinátája sin, így a k vektr i vektrral 3 párhuzams összetevője az i vektrnak ugyanennyiszerese. Ha tehát az e vektr j vektrral párhuzams összetevőjét elfrgatjuk negatív irányba 90 -kal, a k vektr i

9 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 9 vektrral párhuzams összetevőjét kapjuk. Két lyan k vektr rajzlható, amelynek az első krdinátája sin. 3 A II. síknegyedben lévő vektr irányszögei: a III. síknegyedben lévő vektr irányszögei: 5 + n, ahl n Z ; k, ahl k Z Döntsd el, hgy az alábbi egyenlőségek közül melyek teljesülnek tetszőleges k egész szám esetén! a) sin( 50 + k 360 ) = b) Megldás:, ha k 3 - mal sztható. cs(60 + k 0 ) =, ha k páratlan szám., ha k párs szám. c) sin ( 35 + k 80 ) = d) tg0 = ctg( 60 + k 360 ) a) sin( 50 + k 360 ) = sin( 50 ) =, tehát nem teljesül az egyenlőség. b) A kifejezésben szereplő irányszögek 3 vektrt határznak meg. Az I. síknegyedben lévő vektr irányszögei: 60 + n 360 = n 0, ahl n tetszőleges egész szám, így k = 3n, azaz k 3-mal sztható. Ekkr cs( 60 + n 360 ) =. Az i vektr ellentettjének irányszögei: 80 + n 360 = 60 + (3n + ) 0, ahl n tetszőleges egész szám, így k = 3 n +, és ez a szám lehet páratlan és párs is. Ekkr cs( 80 + n 360 ) =.

10 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 0 A IV. síknegyedben lévő vektr irányszögei: n 360 = 60 + (3n + ) 0, ahl n tetszőleges egész szám, így k = 3 n +, és ez a szám lehet páratlan és párs is. Ekkr cs( n 360 ) =, az egyenlőség nem teljesül. c) Mivelsin( 35 + k 80 ) =, ha k párs és sin( 35 + k 80 ) =, ha k pá- ratlan, így a négyzete tetszőleges k egész szám esetén. Ez az egyenlőség teljesül minden k egészre. cs( 60 ) cs 0 d) Mivel ctg ( 60 + k 360 ) = ctg( 60 ) = = = ctg0, és sin( 60 ) sin 0 ctg0 tg0, ezért az egyenlőség nem teljesül. 8. a) Szerkeszd meg azkat az egységvektrkat, amelyek másdik krdinátája! 3 b) Értelmezd a sin x = 3 egyenletet, ahl x fkkban mért szöget jelöl! c) Add meg az egyenlet megldásait a [ 000 ; 300 ] intervallumn! d) Add meg a [ 560 ; 00 ] intervallumn a megldáskat! Megldás: a)

11 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató b) Az i vektrt x fks szöggel elfrgatva, a kaptt vektr másdik krdinátája. 3 c) A III. síknegyedben megrajzlt vektr egyik irányszöge: kb.,8. (A többi irányszög, ami benne van az intervallumban, ennél nagybb.) 000 <, = 0,8, de, = 38,8 > 300, ebben az esetben egy megldás adódtt: 0,8. A IV. síknegyedben megrajzlt vektr egyik irányszöge kb. 38,9. (A többi irányszög, ami benne van az intervallumban, ennél nagybb.) 38, = 8,9 Az ennél nagybb irányszögek már nem felelnek meg. Itt is egy megldás adódtt. A sin x = 3 egyenletnek a [ 000 ; 300 ] intervallumn két megldása van: 0,8 és 8,9. d) Hasnlóan adódik, hgy a legnagybb irányszög, ami a [ 560 ; 00 ] intervallumnak eleme: 360 4,8 = 40,8, a következő: ,9 = 498,9. Az intervallumnak ennél kisebb eleme már nem felel meg. A sin x = 3 egyenletnek a [ 560 ; 00 ] intervallumn két megldása van: 40,8 és 498,9. 9. a) Értelmezd a cs x + 0,5 = 0 egyenletet, ahl x radiánban mért szöget jelöl! b) Oldd meg az egyenletet a valós számk halmazán!

12 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató Megldás: a) Az i vektrt x radián szöggel elfrgatva, a kaptt vektr első krdinátája ( 0,5). b) cs x + 0,5 = 0 cs x = 0, 5 x = + n, ahl n Z, 3 vagy x = + k, ahl k Z Ha A: D: cs x = cs60, akkr van-e lyan x szög, amelyre: cs x = cs 0 B: sin x = sin( 0 ) C: cs x = cs( 0 ) cs x = cs380 E: Egyik eddigi válasz sem helyes. (A megadtt válaszk közül pntsan egy helyes.) Megldás: Ha cs x = cs60, akkr az x frgatással két vektrt kaphatunk, a II. és III. síknegyedben. A: Nincs ilyen x szög, hiszen cs 0 > 0, visznt cs 60 < 0. B: Van ilyen x szög, mégpedig az szögek. x = 00 + n 360, ahl n Z C: Nincs ilyen x szög, hiszen cs( 0 ) > 0, de cs 60 < 0. D: Nincs ilyen szög, mert cs 380 = cs 0 > 0..* A egyenlet megldáshalmaza ( kn, Z ): A: { 70 + k 360 } B: { 0 + k 360 } C: { 70 + k n 360 } E: { 0 + k 360 vagy 0 + n 360 } vagy D: (A megadtt válaszk közül pntsan egy helyes.)

13 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 3 Megldás: Mivel cs 0 = sin 70, a egyenlet ekvivalens a sin x = sin 70 egyenlettel. Két egységvektr másdik krdinátája sin 70 (lásd az ábrát), az I. és a II. síknegyedben. Az egyikhez x = 70 + k 360, a másikhz x = 0 + n 360 (ahl n, k Z ) frgatáskkal juthatunk el. A keresett megldáshalmaz:, tehát a D válasz a helyes.

14 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 4 II. CSAK SZÖGFÜGGVÉNYEK A szögfüggvények ábrázlása, függvénytranszfrmációk végrehajtása időigényes feladat. A délutáni fglalkzásn is érdemes ezzel a témakörrel fglalkzni. Az itt látható feladatk megldásával várhatólag mélyül a tanulók szám- és függvényfgalma. A különböző függvénytranszfrmációk alkalmazására is többféle módn nyílik lehetőség, és ezen keresztül a függvénytulajdnságk közül elsősrban a peridicitás felelevenítésére is mód van.. Az ABCD téglalap AB ldala 4 cm hsszú, az A csúcsból induló átló 5 s szöget zár be ezzel az ldallal. a) Mekkra a téglalap területe? b) A téglalap AB, és a vele párhuzams ldalának hsszát nem váltztatjuk, de az A csúcsból húztt átló hajlásszögét flyamatsan növeljük. Jelöljük az A csúcsból induló átló, és az AB ldal hajlásszögét α -val. Hgyan függ a téglalap területe az α szögtől? c) Az α mekkra értéke esetén lesz a téglalap területe 3 cm? d) Válaszd ki a téglalapk közül azt a téglalapt, amelynek a BC ldala cm hsszú (az AB ldala 4 cm)! Frgassuk el a BC, és a vele párhuzams AD ldalt a B, illetve az A csúcs körül negatív irányba β = 0 szöggel! Mekkra a keletkezett paralelgramma területe? e) Hzz létre a d) kérdésben megadtt módn paralelgrammákat különböző β szögű, negatív irányú frgatással ( 0 < β < 90 )! Hgyan függ e paralelgrammák területe a β szög mértékétől? Add meg a függvényt képlettel, és ábrázld derékszögű krdináta-rendszerben! Megldás: a) BC = b = 4 tg5 0,35 (cm), így T = ab = a tg5,4 (cm ). A téglalap területe kb.,4 cm. b) T ( α) = 6 tgα, ahl 0 < α < 90. c) 6 tgα = 3 tg α =, ahl 0 < α < 90. Innen α 63,44.

15 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 5 d) A cm-es átfgójú derékszögű hármszög m a befgója melletti hegyesszöge 0. Így m a = cs 0,88 (cm). A paralelgramma területe: t = am a = 8 cs 0 7,5 (cm ). e) A paralelgramma területe: t am = 8 cs β. = a t ( β ) = 8 cs β, ahl 0 < β <. A t függvény grafiknja:. Egy egyenlőszárú hármszög szárai cm hsszúak, a szárszöge γ. Hgyan függ a hármszög alapjának hssza a γ szögtől? Add meg a függvényt képlettel! Mi lesz a függvény lehető legbővebb értelmezési tartmánya? Ábrázld derékszögű krdináta-rendszerben a függvényt! Megldás: Jelöljük az egyenlőszárú hármszög alapjának hsszát a-val. Az alaphz tartzó magas- a γ ság által létrehztt derékszögű hármszögben: sin =, azaz 0 inter- γ Így a ( γ ) = 4 sin, ahl < γ < vallum. A függvény grafiknja: γ a = 4 sin. 0. A legbővebb értelmezési tartmánya a ] ; [

16 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 6 3. Vizsgáljuk a valós számk halmazán értelmezett f ( x) = sin x függvényt! A függvény milyen egész értékeket vehet föl? Vázld értéktáblázat alapján a függvény grafiknját! Mekkra a függvény periódushssza? A tanulók az ilyen kifejezésben gyakran rsszul adják meg a műveleti srrendet: sin x he- lyett sin x kifejezésre gndlnak. Megldás: Mivel minden szám szinusza legalább és legfeljebb, így sin x. A függvény 3-féle egész értéket vehet fel:, 0 és. Ezeket az értékeket fel is veszi, hiszen pl. 3 -hz a függvény -et, 0-hz 0-t, és -hez -et rendel. x f(x) sin 0,98 Ha pl. x, akkr 0 sin x. Ezen a szakaszn a függvény szigrúan csökkenő. A függvény grafiknja kb. ilyen:

17 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 7 Mivel f ( x + 4) = sin ( x + 4) = sin x + = f ( x), és 4-nél kisebb számra nem teljesül minden x valós számra, ezért a függvény periódushssza Az ábrán egy kszinuszfüggvény teljes periódusa látható. Melyik képlettel adható meg a függvény? A: f ( x) = cs x B: f ( x) = cs x C: D: f ( x) = cs x E: f ( x) = cs x f ( x) = cs x (A megadtt válaszk közül pntsan egy helyes.) Megldás: Elfgadható, ha a tanuló a függvény grafiknját a képletével a függvény egész helyeken kiszámlt (lelvastt) értékei alapján aznsítja be. Az egész helyeken lelvastt, illetve kiszámlt értékek alapján a függvény csak az E-ben megadtt képletű lehet. 5. Adj meg grafiknjával a valós számk halmazán értelmezett lyan függvényt, amelynek az értékkészlete a [ ; ] intervallum, a periódushssza, a 0 helyen maximuma van, és nulláhz a függvény -et rendel! Megldás: Többféle függvénygrafikn is rajzlható. Pl.

18 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 8 Egy periódusra megfgalmazva: A ( 0; ) krdinátájú pntt természetesen nemcsak szakasszal köthetjük össze a ; krdinátájú pnttal, és ezt a pntt tvább a ( ;0) pnttal. A feltétel szerint az sem szükséges, hgy a függvény a helyen vegye föl a ) ( értéket, de az kell, hgy a ] ; [ 0 nyílt intervallumn flytns függvény értéke az intervallum valamely pntján (-) legyen, és persze a számhz a függvény - et rendeljen. Megrajzlható az f ( x) = cs x (ahl x tetszőleges valós számt jelöl) függvény grafiknja is. 6. Adj meg grafiknjával és képletével is egy lyan trignmetrikus függvényt, amelynek az értelmezési tartmánya a valós számk halmaza, értékkészlete a [ 0 ;] intervallum, periódushssza, és nulláhz -et rendel! Megldás: f ( x) = sin x + vagy g( x) = sin x.

19 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 9 7. Adj meg grafiknjával és képletével is egy lyan trignmetrikus függvényt, amelynek az értelmezési tartmánya a valós számk halmaza, értékkészlete a [ 0 ;] intervallum, periódushssza, és nulláhz -t rendel! Megldás: Pl. f ( x) = cs x vagy g ( x) = cs x Határzd meg a valós számk halmazán értelmezett f, g és h függvények szélsőértékeit, és azk helyét! a) f ( x) = sin x b) g ( x) = cs( x + ) c) h ( x) = cs x + 3 Megldás: a) Mivel sin x, így 0 sin x. 3 3 Az sin x = 0 egyenlet pntsan akkr teljesül, ha sin x =, azaz x = + n, ahl n Z. Innen x = + n, n Z. 3 6 Az sin x = egyenlet akkr és csak akkr teljesül, ha sin x =, azaz x = + k, ahl k Z. Innen x = + k, k Z

20 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 0 5 Az f függvény minimuma 0, a minimum helyei: x = + n, n Z. A függvény 6 maximuma, a maximum helyei: x = + k, k Z. 6 b) A g függvény esetében mivel cs( x + ), a függvény minimuma ( ), és ezt 3 az értéket azkn a helyeken veszi fel, ahl x + = + n, azaz 3 x = + + n (,7+ n ), ahl n Z. A maximuma, és ezt az értéket az x = + + k 0,43 + k, ahl k Z. c) A h ( x) = cs x + függvény esetében cs x + 3. A függvény értéke pntsan akkr, ha cs x =, azaz x = ( + n), ahl n Z, és akkr 3, ha cs x =, azaz x = k, ahl k Z. A h függvény minimuma, és ezt az értéket az x = ( + n), ahl n Z helyeken veszi fel. A függvény maximuma 3, és a maximum helyei: x = k, ahl k Z. 9. A [ 00; 00 ]\ + n, n Z R, x a tgx függvény az adtt zárt intervallumn hányszr veszi föl a 8 értéket? Megldás: A tangensfüggvény páratlan és peridikus függvény, a periódushssza. Először érdemes a ; intervallumn megvizsgálni a feladat kérdését. Utána elegendő - től 00-ig megszámlni, hgy hányszr veszi fel a függvény a 8 értéket, hiszen mivel a függvény páratlan, 00 -tól - ig is pntsan ugyanannyiszr lesz az 8 értéke. A 0 ; intervallumn egyszer lesz az értéke 8, és utána is minden periódusban egy- szer. Mivel 00 : 3, 33, tehát a ; 00 van a függvénynek. A 3-edik periódus végpntja: , 96. intervallumban 3 teljes periódusa

21 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató Mivel 00 98,96 =,04 <, így a 00-ig maradt töredék szakaszn a függvény értéke végig negatív, azaz itt nem lehet már az értéke 8. Tehát a függvény a -től 00-ig 3-szer veszi fel a 8 értéket, és így -től ( 00 ) - ig is ugyanennyiszer, a ; intervallumn pedig -szer, így a teljes kérdezett halmazn 63-szr. 0. Az y = x egyenletű egyenesnek hány közös pntja van a valós számk halmazán 00 értelmezett f ( x) = sin x függvény grafiknjával? Megldás: Az egyenesen lévő pntk másdik krdinátája pntsan akkr van a [ ;] zárt intervallumban, ha 00 x 00. A szinuszfüggvény páratlan függvény, a g( x) = x is az, így ahány metszéspntja van a két függvény grafiknjának a 00 ] 0 ;00] balról nyílt intervallumban, pntsan ugyanannyi van [ 00;0 [ jbbról nyílt intervallumn is. Elég tehát kiszámítanunk, hgy pl. a ] 0 ;00] intervallumn hány közös pntja van a két grafiknnak, mert ennek kétszeresét -gyel növelve (mivel az rigó is közös pnt), eljutunk a keresett metszéspntk számáhz. A szinuszfüggvény periódushssza. A ] 0 ;00] intervallum ] ;] 0 részhalmazán 00 egy közös pnt van. Mivel 4, 9, így a ] 0 ;] után 00-ig 4 teljes periódusa van a szinuszfüggvénynek. Minden periódusban pntsan metszéspnt van. A 4 teljes periódus hssza 4 87, 96, így a töredék periódus hssza: ( 00 ) 4 = ,75. Mivel < 5,75 <, így ezen a szakaszn is van pntsan metszéspnt.

22 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató Ezek szerint a ] ;00] 0 intervallumn összesen = 3 metszéspntja van a két grafiknnak, ez visznt azt jelenti, hgy a [ 00;00] intervallumn összesen 3+ = 63. Az y = x egyenletű egyenesnek az f ( x) = sin x függvény grafiknjával 63 metszéspntja 00 van.. Tld el az f ( x) = cs x (ahl x R ) függvény grafiknját a ; krdinátájú vektrral! Add meg kétféleképpen is a kaptt grafiknú függvény hzzárendelési szabályát! Megldás: g ( x) = cs x + vagy g ( x) = sin x +. Célszerű megbeszélni a feladat megldása után, hgy a feladat milyen aznsság felismeréséhez vezet.. Ábrázld függvénytranszfrmációval a valós számk halmazán értelmezett g ( x) = cs( x + ) függvény grafiknját a [ ; ] intervallumn! a) Add meg a valós számk halmazán értelmezett függvény értékkészletét! b) Vizsgáld a valós számk halmazán értelmezett g függvény paritását és állapítsd meg a függvény zérushelyeit, szélsőértékeit, és azk helyét! Megldás: A függvénytranszfrmáció egyes lépéseiben ábrázlt függvények: g ( x) = cs x g ( x) = cs( x + ) grafiknját a g függvény grafiknjából, annak ( ;0) vektrral való eltlással kapjuk. g ( x) = cs( x + ) grafiknját a g függvény grafiknjára végrehajttt (x tengelyre) 3 ( + ) merőleges affinitással kapjuk, az affinitás aránya:. g( x) = cs x grafiknját a g 3 függvény grafiknjának ( 0; ) vektrral való eltlásával kapjuk.

23 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 3 a) A g függvény értékkészlete: [ ;3] b) Mivel a g függvény minden x R és x R helyen értelmezve van, és ( x + ) = cs x g( x) = cs + minden x valós szám esetén, tvábbá cs( x) = cs x minden x R, így g ( x) = g( x), azaz a g függvény párs. Zérushelyek: ( x) = cs( x + ) = + cs x = 0 g x = + n, ahl n Z, vagy x = + k, ahl k Z. 3 3 Szélsőértékek, és annak helyei: Mivel cs( + ) cs x = x, így + cs x 3. A legkisebb függvényértéket (a -et) pntsan akkr veszi fel a függvény, ha cs x =, azaz x = ( + n), ahl n Z. A legnagybb függvényértéket (a 3-at) pntsan akkr veszi fel a függvény, ha cs x =, azaz x = k, ahl k Z.

24 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 4 III. EGY EGYENLET, SOK GYÖK Mióta az addíciós tétel és annak alkalmazása nem szerepel az (középszintű) érettségi vizsgakövetelményei között, a trignmetrikus egyenletek megldása már nem kz annyi gndt a tanulóknak. Itt a fő cél elsősrban a néhány tanult aznsság alkalmazása, és a szereplő trignmetrikus függvények peridicitásának figyelembevétele. A kaptt megldásk ellenőrzése mst sem szerepel a feladatk megldásának leírásában, de flyamatsan várjuk el a tanulóktól, hgy szöveges feladatban, illetve egyenlet esetében figyeljenek a számításba vett értelmezési tartmányra, illetve a kaptt gyököket ellenőrizzék behelyettesítéssel (természetesen a függvények periódusának megfelelően csak véges sk gyökkel végezzük az ellenőrzést), hgy nem vétettek-e számlási hibát!. Oldd meg a valós számk halmazán az alábbi egyenleteket! a) x + = sin tg + cs ctg b) sin x + = sin tg + cs ctg Megldás: a) Az egyenlet jbb ldalán álló négytagú kifejezés racinális szám, mégpedig: sin tg + cs ctg = ( ) + 0 = A megldandó egyenlet: x + =. Ebből x =. b) Az egyenlet ekvivalens a sin x = egyenlettel. Az egyenlet megldáshalmaza: 5 x R x = + n. n Z x R x = + k. k Z. 6 6 A számlógép használatával egyetlen megldást kap a tanuló, és ez magában rejti a gyökvesztés lehetőségét. Ahhz, hgy a tanuló nagybb biztnsággal megtalálja az ilyen (egyszerű) egyenlet összes megldását, érdemes mindig megrajzltatni az egységkört, vagy vázlatsan a megfelelő trignmetrikus függvény grafiknját.. Hány megldása van a sin = 0, 5 megldáskat! x egyenletnek a [ ; ] intervallumn? Srld fel a

25 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 5 Megldás: Az egyenletek grafikus megldása nem szerepel az érettségi vizsgakövetelmények között, de a tanítási flyamatban mint az egyenlet egyik megldási módját, érdemes tanítani. Skszr egyszerűbb, és szemléletesebb ennek alkalmazása más, egyéb módkhz képest, és mellékterméként az alapfüggvények grafiknjának többszöri megrajzlása elmélyítheti azk ismeretét. Grafikus megldás: A valós számk halmazán értelmezett f ( x) = sin x függvény x és ( x) helyen ugyanazt az értéket veszi fel. Ennek ismeretében a függvény grafiknja könnyen megrajzlható: Az ábráról könnyen lelvasható, hgy az egyenletnek a [ ; ] intervallumn öszszesen 4 megldása van, és ezek a következők: Algebrai megldás: Mivel [ ; ] 5 5,,, x minden valós x számra, a intervallumn azk az x valós számk, amelyekre: 5 5 Így a keresett megldásk:,, és intervallumn összesen 4 megldása van. sin x = megldásai a x = vagy 6 5 x =. 6. Az egyenletnek tehát a [ ; ] 3. Add meg az alábbi egyenleteknek 3-3 megldását, majd az összes valós megldásukat is! tgx = 3 cs x = sin x Megldás: A tgx = 3 hárm megldása: pl. 5,, Az összes valós megldása: + k, ahl k Z. 3 cs x = 3

26 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 6 Az egyenletnek véges sk megldását megkereshetjük úgy is, hgy először minden megldást megadunk, majd a paraméter helyére behelyettesítünk 3 különböző egész számt. A cs x = sin x egyenlet ekvivalens a sin x + cs x = aznssággal, amelynek megldása minden valós szám. Pl.,; 3 és 54. A 3 cs x = egyenlet megldásait mst az egységkör segítségével keressük meg. Az i 3 vektrt x szöggel elfrgatva, ahhz, hgy a kaptt vektr első krdinátája le- 5 gyen két lehetőségünk van. Az e x, vektr irányszögei: x = + n, ahl n Z ; az 6 5 e x, vektré pedig: x = + k, ahl k Z. 6 A kaptt egyenletek megldása x-re: 5 5 x = + n, ahl n Z, illetve x = + k, ahl k Z. Az egyenletnek megldása pl., és. x 4. Keresd meg a ctg = egyenlet valós megldásai közül a legnagybb negatív megldást! 4 Megldás: x x ctg = = + n, ahl n Z. Így x = + 4n, ahl n Z. Ezek között a megldásk között a legnagybb negatív szám: Oldd meg a következő egyenleteket a valós számk halmazán! a) (sin x cs x) + (cs x + sin x) = 3sin x ; b) cs x tgx cs x = 0 ; sin x cs x c) + + = 0. cs x sin x

27 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 7 Megldás: a) (sin x cs x) + (cs x + sin x) = 3sin x sin x + cs x = 3sin x (sin x + cs x) = 3sin x sin x = x = n +, ahl n Z. b) A cs x tgx cs x = 0 egyenlet megldása csak lyan x valós szám lehet, amelyre x + n, ahl n Z. Ekkr cs x tgx cs x = 0 ( sin x ) sin x = 0 sin x + sin x = 0. A sin x -re másdfkú egyen- let megldásai: sin x = és sin x =. Az utóbbi egyenletből nem kapunk megldást, hiszen ezeknek az x számknak a tangense nincs értelmezve. A sin x = egyenlet, és ezzel az eredeti egyenlet megldásai: x = n 6 +, ahl n Z, vagy 5 x = + k, ahl k Z. 6 c) I. megldás: sin x cs x A + + = 0 egyenletnek csak lyan valós x szám lehet a megldása, cs x sin x amelynek sem a szinusza, sem a kszinusza nem 0, tehát x k, ahl k Z. Szrzzuk az egyenlet mindkét ldalát sin x cs x -szel! Az így kaptt egyenlet: sin x + cs x + sin x cs x = 0. A bal ldali kifejezés aznsan egyenlő (sin x + cs x) -nel, így sin x + cs x + sin x cs x = 0 (sin x + cs x ) = 0 sin x + cs x = 0. Az egységkörön megrajzlható egységvektrk közül pntsan 3 kettőre igaz, hgy a krdinátáinak összege nulla, ezek irányszögei: x = + n, 4 ahl n Z. Ezek a számk beletartznak az egyenlet alaphalmazába, és mivel ezen az alaphalmazn ekvivalens átalakításkat végeztünk az egyenleten, megldásai az eredeti egyenletnek is. II. megldás: Mivel sin x = tgx, így az eredeti egyenlet ekvivalens a tg x + + = 0 egyenlettel. cs x tg x Az egyenlet alaphalmaza azknak az x számknak a halmaza, amelyekre x k,

28 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 8 ahl k Z. Az egyenlet mindkét ldalát tgx -szel szrzva, a tg x + tgx + = 0 = egyenlethez jutunk, azaz ( tg + ) 0 x. Ennek tgx -re egyetlen megldása a, és 3 tgx = pntsan akkr teljesül, ha x = + n, ahl n Z Biznyítsd be, hgy a cs egyenletnek minden valós szám megldása! Megldás: cs cs 4 4 x + sin x cs x + sin x = x + sin x cs x + sin x = cs x (cs x + sin x) + sin x = x + sin x =. Mivel az eredeti egyenlet megldása bármilyen valós szám lehet, és az egyenleten azns átalakításkat végeztünk, tvábbá az utlsó egyenletnek minden valós szám megldása, így az eredeti egyenletet is minden valós szám kielégíti 7. Biznyítsd be, hgy az alábbi egyenleteknek nincs valós megldása! cs x a) tg x cs x = b) = 0 4sin x 3 Megldás: a) A tg x cs x = egyenlet megldása csak lyan x valós szám lehet, amelyre x + n, ahl n Z, így az egyenlet alaphalmaza: x R x + n,ahl n Z. Ezen a halmazn tg x cs x = sin x =. Ennek az egyenletnek nincs lyan megldása, amely eleme az alaphalmaznak, tehát az eredeti egyenletnek nincs valós gyöke. b) Egy tört pntsan akkr egyenlő nullával, ha a számlálója nulla és a nevezője nem cs x nulla. Így = 0 cs x = 0 és 4sin x 3 0. Ebből adódik, hgy 4sin x 3 csak lyan x szám lehet a megldás, amelyre cs x = és 3 sin. Visznt, ha 4 cs x =, akkr cs 3 x =, és ekkr sin x = =. A cs x = egyenletből nem kapunk megldást. Az eredeti egyenletnek tehát nincs valós megldása.

29 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 9 8. Ha (sin x cs x) + (cs x sin x) = 5, akkr mennyi a sin x? Megldás: (sin x cs x) + (cs x sin x) = 5 5sin x + 5cs x 8sin x cs x = 5 5(sin x + cs x) 8sin x cs x = 5 8 sin x cs x = 0 sin x = 0 vagy cs x = 0. Ha sin x = 0, akkr sin x = 0, ha pedig cs x = 0, akkr sin x =. Tehát, ha (sin x cs x) + (cs x sin x) = 5, akkr sin x = 0 vagy sin x =. 9. Biznyítsd be, hgy az f ( x) = 4 sin x + 4cs x + 4 cs x + 4 sin x (ahl x R ) függvény knstans függvény! Megldás: 4 sin x + 4cs x + 4 cs x + 4sin x = 4 sin x + 4 ( sin x) + 4 cs x + 4 ( cs x) Az azns átalakítással kaptt kifejezésben a zárójelek felbntása után már könnyebben felismerhető, hgy mindkét négyzetgyökjel alatt egy-egy teljes négyzet áll, így az erede- ti kifejezés aznsan egyenlő a ( ) ( ) x + cs x kifejezéssel. Újabb azns átalakítással adódik, hgy sin ( sin ) + ( cs x ) = sin x + cs x x. Mivel 0 sin x és 0 cs x, ezért mindkét tag egy negatív értékű kifejezés abszlútértékével egyenlő, tehát sin x + cs x = ( sin x) + ( cs x). Ebből újabb azns átalakítással (a sin x + cs x = aznsság felhasználásával) azt kapjuk, hgy a f függvény értéke minden x valós szám esetén 3-mal egyenlő, tehát f valóban knstans függvény. 0.* Hány megldása van a sin x cs y = 0 3 cs x + sin y = egyenletrendszernek, ha mindkét váltzó értéke a [ ; ] intervallumnak eleme?

30 Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató 30 Ezt a feladatt csak jól felkészült csprt számára tűzzük ki! Megldás: Az első egyenlet szerint sin x = 0 és y tetszőleges valós szám, vagy cs y = 0 és ekkr x tetszőleges valós szám. Ha sin x = 0, akkr ezekre az x számkra cs x =, tehát ekkr a másdik egyenlet: 3 + sin y =, azaz sin y = vagy ha sin y =. Így, ha sin x = 0, azaz x = k, ahl k Z, akkr sin y =. Az utóbbi két egyenlet valamelyike pntsan akkr teljesül, 5 y = + n vagy y = + m, ahl n, m Z. 6 6 Ebben az esetben keressük a [ ; ] intervallumn a megldásk számát: Ekkr x = k, ahl k { ;0; } esetén 5 5 y ; ; ;, így mivel ebben az esetben az x-re kaptt mindhárm értékhez 4-féle y érték tartzik, ekkr összesen 3 4 = számpár megldása van az egyenletnek a [ ; ] intervallumn. Ha cs y = 0, akkr sin y =, így ekkr a másdik egyenlet szerint cs x + = 3, azaz cs x =. Ez pedig pntsan akkr teljesül, ha x = + n vagy x = + k, ahl 3 3 n, k Z. Ekkr keressük a [ ] ; intervallumn a megldásk számát: Ha cs y = 0, azaz y ;, akkr x ; ; ;. Mivel mind a két y értékhez 4-féle x érték tartzik, tehát ekkr az egyenletnek összesen 4 = 8 számpár megldása van a [ ; ] intervallumn. Összefglalva: Az egyenletrendszernek összesen 0 számpár megldása van a [ ; ] intervallumn.