Dr. Fried Katalin Dr. Gerőcs László Számadó László

Átírás

1 Dr Fried Katalin Dr Gerőcs László Számadó László MATEMATIKA 9 A tankönyv feladatai és a feladatk megldásai A megldásk lvasásáhz Acrbat Reader prgram szükséges, amely ingyenesen letölthető az internetről (például: adbelahu webldalról) A feladatkat fejezetenként külön-külön fájlba tettük A fejezet címmel elláttt fájl tartalmazza a fejezet leckéinek végén kitűzött feladatk részletes megldásait A feladatkat nehézségük szerint jelöltük: K = középszint, könnyebb; K = középszint, nehezebb; E = emelt szint, könnyebb; E = emelt szint, nehezebb feladat Lektrk: PÁLFALVI JÓZSEFNÉ KONCZ LEVENTE Tipgráfia: LŐRINCZ ATTILA Szakgrafika: DR FRIED KATALIN Dr Fried Katalin, Dr Gerőcs László, Számadó László, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt, 009 Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt wwwntkhu Vevőszlgálat: inf@ntkhu Telefn: A kiadásért felel: Kiss Jáns Tamás vezérigazgató Raktári szám: RE 60 Felelős szerkesztő: Szlbda Tibrné Műszaki igazgató: Babicsné Vasvári Etelka Műszaki szerkesztő: Marcsek Ildikó Grafikai szerkesztő: Görög Istvánné, Mikes Vivien Terjedelem: 4,9 (A/5) ív kiadás, 00

2

3 MATEMATIKA Tartalm Jelmagyarázat 5 I Halmazk Halmazk, jelölések 7 Speciális halmazk, intervallumk 9 Halmazk uniója, metszete 4 Halmazk különbsége, kmplementer halmaz 5 A matematikai lgika elemei 4 II III IV Algebra és számelmélet A hatványzás és aznsságai 7 A hatványzás aznsságainak kiterjesztése 7 Gyakrlati számításk 8 4 Algebrai kifejezések összevnása, szrzása 9 5 Nevezetes szrzatk 0 6 Tvábbi nevezetes szrzatk (Emelt szint) 7 Összegek szrzattá alakítása 8 Algebrai törtek egyszerűsítése, összevnása 4 9 Algebrai törtek szrzása, sztása, összetett műveletek algebrai törtekkel 6 0 Oszthatóság 8 Prímszámk, a számelmélet alaptétele 9 Legnagybb közös sztó, legkisebb közös többszörös 0 Osztók száma, négyzetszámk (Emelt szint) 4 Számrendszerek Függvények, srzatk Hzzárendelések, függvények 5 Pnthalmazk a krdináta-rendszerben 7 A lineáris függvény 40 4 Az abszlútérték-függvény 4 5 Az f : 7 függvény 46 6 A másdfkú függvény összetett transzfrmációi 47 7 Tvábbi függvények 49 Bevezetés a gemetriába Pntk, egyenesek, síkk 55 Szakasz, félegyenes, szög 56 Hármszögek 58 4 Tvábbi összefüggések a hármszög alapadatai között 60 5 Összefüggés a derékszögű hármszög ldalai között 6 6 Gemetriai számításk 6 7 Gemetriai szerkesztések 64 8 Thalész-tétel 66 9 A hármszög ldalfelező merőlegesei és köré írt köre 67 0 A hármszög szögfelezői, beírt és hzzáírt körei 70 Skszögek 7

4 4 MATEMATIKA TARTALOM V Egyenletek, egyenletrendszerek Elsőfkú egyismeretlenes egyenletek 75 Szöveges feladatk megldása egyenletekkel 76 Egyenletek megldási módszerei 78 4 Egyenlőtlenségek 80 5 Abszlút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek 8 6 Elsőfkú kétismeretlenes egyenletrendszerek és megldásuk behelyettesítő módszerrel 84 7 Elsőfkú kétismeretlenes egyenletrendszerek megldása egyenlő együtthatók módszerével 85 8 Elsőfkú kétismeretlenes egyenletrendszerek megldása grafikus módszerrel 86 9 Egyenletrendszerrel megldható szöveges feladatk 87 VI Gemetriai transzfrmációk Néhány gemetriai transzfrmáció 89 Egybevágósági transzfrmációk a síkn 9 Alakzatk egybevágósága 94 4 Szimmetria 96 5 Tvábbi nevezetes pntk és vnalak a hármszögben 97 6 Vektrk 98 7 Pnthalmazk 00 8 Szög, körív, körcikk 04 VII Kmbinatrika Srrendek 05 Leszámlálásk 06 VIII Statisztika Adatk gyűjtése, rendszerezése, jellemzése 09 Adatk szemléltetése 0 A kétarcú statisztika 5

5 MATEMATIKA 5 Jelmagyarázat Az A pnt és az e egyenes távlsága: d(a; e) vagy Ae Az A és B pnt távlsága: AB vagy AB vagy d(a; B) Az A és B pnt összekötő egyenese: e(a; B) Az f és f egyenesek szöge: ( f; f) B vagy A C csúcspntú szög, melynek egyik szárán az A, másik szárán a B pnt található: ACBB A C csúcspntú szög: CB Szög jelölése: a, b, c, f Az A, B és C csúcskkal rendelkező hármszög: ABC9 Az ABC9 területe: T(ABC) vagy T ABC Az a, b és c ldalú hármszög fél kerülete: s a b c = + + A derékszög jele: * Az e egyenes merőleges az f egyenesre: e= f Az e egyenes párhuzams az f egyenessel: e < f Egybevágóság:,; ABC9, AlBlCl9 A hasnlóság aránya: m Az A pntból a B pntba mutató vektr: AB Aznsan egyenlő: /; B ( f; f) Egyenlő, nem egyenlő: =,!; a =, b! 5 a+ b / 5 Közelítőleg egyenlő: ; a,; 8,54 8,5 Kisebb, kisebb vagy egyenlő: <, #; <, 5 # Nagybb, nagybb vagy egyenlő: >, $; 6 > 4, a $ A természetes számk halmaza: N; {0; ; ; } Az egész számk halmaza: Z; { ; ; ; 0; ; ; } A pzitív, a negatív egész számk halmaza: Z +, Z ; {; ; ; }, { ; ; ; } A racinális, az irracinális számk halmaza: Q, Q * A pzitív, a negatív racinális számk halmaza: Q +, Q A valós számk halmaza: R A pzitív, a negatív valós számk halmaza: R +, R Eleme, nem eleme a halmaznak:!, "; 5! N, - g Z + Részhalmaz, valódi részhalmaz:, ; A R, N Q Nem részhalmaza a halmaznak: j; Z Y Q Halmazk uniója, metszete:,, +; Halmazk különbsége: \; A \ B Üres halmaz: Q, { } Az A halmaz kmplementere: A Az A halmaz elemszáma: A ; Zárt intervallum: [a; b] Balról zárt, jbbról nyílt intervallum: [a; b[ Balról nyílt, jbbról zárt intervallum: ]a; b] Nyílt intervallum: ]a; b[ Az szám abszlút értéke: ; Az szám egész része, tört része: [], {}; [,] =, {,} = 0, Az a sztója b-nek: a b; 8 + A, B, A+ B " 0 ; ;, = -, =, Az a és b legnagybb közös sztója: (a, b); (4, 6) = Az a és b legkisebb közös többszöröse: [a, b]; [4, 6] = Az f függvény hzzárendelési szabálya: f: 7 f] g; f: 7 + vagy f ] g= y; f ] g= + Az f függvény helyettesítési értéke az 0 helyen: f0 ( ); f(5), ha 0 = 5

6

7 MATEMATIKA 7 I Halmazk Halmazk, jelölések K Döntsük el, hgy halmazt adtunk-e meg az alábbiakban! a) A párs természetes számk b) A barátságs emberek c) A kerek számk d) A kis törtek e) Az -nél kisebb pzitív törtek Halmaz: a), e) K Írjuk fel, hgy az alábbiak közül melyek az egyenlő halmazk! A = {a pzitív egyjegyű párs számk}; B = {a nem 0 párs számjegyek}; C = {a párs számjegyek}; D = {0,, 4, 6, 8}; E = {, 4, 6, 8}; F = { egyjegyű többszörösei} A = B = E, C = D = F K a) Adjuk meg elemei felsrlásával a következő halmazkat! A) a -nál nagybb, 0-nél nem nagybb egész számk; B) a 0 többszörösei; C) egyjegyű pzitív többszörösei; D) 0 pzitív sztói; E) a 8 és a 0 legkisebb közös többszöröse b) Szemléltessük a fenti halmazkat kétféle módn! a) A = " 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, ; B =! 0+ ; C = ", 4, 6, 8, ; D = ",,, 5, 6, 0, 5, 0, ; E =! 90+ b) Mindegyik halmazt szemléltethetjük Venn-diagramn és a számegyenes pntjaiként A) A 4, 5, 6, 7, 8, 9, B) B 0 0

8 8 MATEMATIKA I HALMAZOK C) C, 4, 6, D) D,,, 5, 6, 0, 5, E) E K Adjuk meg elemei egy közös tulajdnságával a következő halmazkat! A = {,, 5, 7,,, 7, 9}; B = {5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, }; C = {, 9, 7, 8, 4, 79, }; D = {0, } A = {a legfeljebb kétjegyű pzitív prímszámk}; B = {az 5 pzitív többszörösei}; C = {a pzitív egész kitevőjű hatványai}; D = {a 0 és az } = {a -nél kisebb természetes számk} 5 E Igazljuk, hgy két racinális szám a) összege; b) különbsége; c) szrzata; d) hányadsa (ha van) is racinális szám! A racinális számk minden esetben felírhatók két egész szám hányadsaként a) Az összeadáshz közös nevezőre hzzuk a számkat Tvábbra is egész számk hányadsai lesznek Az összeg nevezője a közös nevező (egész szám), a számláló a két számláló összege (egész számk összege egész szám) Ezért az összeg két egész szám hányadsa, vagyis racinális szám lesz b) Ugyanezzel a gndlattal ldható meg, csak a számláló a két számláló különbsége, de tvábbra is egész szám lesz c) A szrzat számlálója a két szám számlálójának, a nevező a két szám nevezőjének a szrzata, tehát egész szám d) A hányads az sztandó és az sztó reciprkának (ha van) a szrzata, ami szintén racinális 6 E Lehet-e egy racinális és egy irracinális szám a) összege; b) különbsége; c) szrzata; d) hányadsa racinális, illetve irracinális szám? a) Irracinális biztsan lehet Ha például a racinális tag 0, akkr az összeg irracinális Ha az összeg racinális lenne, akkr a racinális tagt kivnva belőle mivel a különbség

9 szintén racinális, a másik tag is racinális lenne Ez az eset nem frdulhat elő Racinális tehát nem lehet b) Írjuk fel a racinális szám kivnását az ellentett hzzáadásával Ekkr ugyanazt kapjuk, mint az a) esetben: mindig irracinális c) Irracinális biztsan lehet Ha például a racinális tényező, akkr a szrzat irracinális Racinális is lehet, ha például a racinális tényező 0 Ekkr ugyanis a szrzat racinális, mert 0 Másképp aznban nem lehet racinális a szrzat, különben sztva a racinális tényezővel, racinális számt kapnánk, vagyis racinális lenne a másik tényező is d) Legyen a kérdéses hányads a b nem lehet 0 Ha a = 0, akkr 0 a = is racinális b b Ha sem a, sem b nem 0 és b racinális, akkr is az, ha b irracinális, akkr is az A c) feladat szerint akkr a $ b b irracinális b A hányads csak abban az esetben lehet racinális, ha a = 0 I HALMAZOK 7 E Lehet-e két irracinális szám a) összege; b) különbsége; c) szrzata; d) hányadsa racinális, illetve irracinális szám? MATEMATIKA 9 a) Mindkettő lehet r+ ]-rg= 0 racinális; r+ r = r irracinális b) Mindkettő lehet r- r = 0 racinális; r-- ] rg= r irracinális c) Mindkettő lehet $ = racinális; $ = 6 irracinális d) Mindkettő lehet : = racinális; 6 : = irracinális Speciális halmazk, intervallumk K Ábrázljuk számegyenesen a következő intervallumkat! a) ] 0; 6]; b) ] ; 0[; c) ] ; 5]; d) ]4,5; [; e) [,5; 7,5]; f) ] 6; [ a) b) c) d) e) f) ,5 0 7, ,5 K Adjuk meg és szemléltessük a következő egyenlőtlenségek megldáshalmazát, ha az alaphalmaz A) a természetes számk; B) az egész számk; C) a nemnegatív valós számk halmaza! a) < 0; b) > 5; c) $ ; d) < 0 a) A természetes számk alaphalmazán a megldáshalmaz " ,,,,,,,,,, Az egész számk halmazán a " f, -,-,-, 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A nemnegatív valós számk halmazán a 60;06 intervallum

10 0 MATEMATIKA I HALMAZOK A) B) C) b) Ha - 5, akkr -5 [Mindkét ldalhz hzzáadunk ] - 5g-öt] Eszerint ha egy alaphalmazn van megldása, az negatív A természetes számk halmazában nincs megldása Az egész számk halmazán a megldáshalmaz a " f, -0,-9,-8,-7,-6, A nemnegatív valós számk halmazában sincs megldása B) c) A természetes számk halmazán a megldáshalmaz: " 4567f,,,,,,, az egész számk halmazán " f, -8,-7,-6,-5,-4,-,, 4, 5, 6, f,, vagyis az egész számk halmazából elhagyva a "-,-, 0,,, halmazt A valós számk halmazán a ]-g-nál kisebb vagy egyenlő, illetve a -nál nagybb vagy egyenlő számk tartznak a megldáshalmazhz A) B) C) d) < 0, a természetes számk halmazán nincs megldás Az egész számk halmazában a 0-nál kisebb egész számk A valós számk halmazában a 0-nál kisebb valós számk B) C) E Az alábbi egyenlőtlenségek alaphalmaza a valós számhalmaz A megldáshalmazkat írjuk lyan srrendben, hgy mindegyik halmaz után következő halmaz részhalmaza legyen neki! a) > 5; b) 0 $ 5; c) < 0; d) 5 < ; e) - 5 a) A megldáshalmaz: A = " 5vagy -5, b) A megldáshalmaz: B =! $ 5+ c) A megldáshalmaz: C =! 0+ d) A megldáshalmaz: D =! 5+ e) A megldáshalmaz: E = " 7vagy -7, Ha szemléltetjük a megldáshalmazkat számegyenesen, akkr könnyen lelvashatjuk, hgy A E C B D 4 K Írjuk fel az ábrával adtt intervallumkat, illetve azt a halmazt, amely azn elemekből áll, amelyek nincsenek az adtt halmazban! a) 0

11 I HALMAZOK MATEMATIKA b) c) d) e) A halmazk és párjaik: a) -5, illetve #-5; b) - #, illetve " #-vagy, ; c),5, illetve $,5; d) 0, illetve # 0; e) -, illetve " #-vagy $, Halmazk uniója, metszete K Egy sprttagzats sztály létszáma 4 fő Az sztályban mindenki atletizál vagy ksárlabdázik 6-an atletizálnak, 4-en ksaraznak Hány lyan tanuló van az sztályban, aki csak ksarazik? Ha azknak a száma, akik mindkét sprtt űzik, akkr = 4, ahnnan = 6 Így azk száma, akik csak ksaraznak: 8 K Egy sztály minden tanulója elment a tanév hárm isklai kncertjének valamelyikére Az első kncerten -en vltak, a másdik kncerten ugyancsak -en vettek részt, a harmadik kncerten pedig -an Mindhárm kncerten diák vett részt Azk száma, akik csak egy kncerten vltak: 4 Mennyi az sztálylétszám? I() a y b z II() A feladat szövegének megfelelő halmazábra: a+ b+ c = ^+ y+ zh-6 = y+ z Innen + z+ y = 7 Tehát az sztálylétszám: = 4 c III() K Legyen A halmaz a -vel, B halmaz a -mal, C halmaz a 4-gyel sztható számk halmaza Készítsünk halmazábrát, és helyezzük el benne a következő számkat: 0, 4, 6, 8,, 5, 8, 7, 6, 00! A megfelelő halmazábra és a megadtt számk elhelyezése: A C B E Adjunk meg 5 halmazt úgy, hgy közülük bármely 4-nek a metszete ne legyen az üres halmaz, de az öt halmaz metszete az üres halmaz legyen! Legyenek a, b, c, d, e különböző valós számk A megfelelő halmazk: A= " abcd,,,,; Babce ",,,,; C= " abde,,,,; Dacde ",,,,; E= " bcde,,,, 5 K Egy zeneiskla egyik évflyamának 56 diákja hegedülni, zngrázni vagy csellózni tanul (Mindenki játszik valamelyik hangszeren) Azk száma, akik pntsan két hangszeren játszanak, négyszer, akik pedig pntsan egy hangszeren játszanak, kilencszer annyi, mint azk száma, akik mindhárm hangszeren játszanak Hányan vannak azk, akik csak egy hangszeren játszanak? Készítsünk egy halmazábrát! A feltételek szerint a+ b+ c+ + y+ z+ h = 56, + y+ z = 4 h, a+ b+ c = 9h H a y h c z b C Z

12 MATEMATIKA I HALMAZOK Ezek szerint h+ 4h+ 9h = 56, azaz 4h = 56, ahnnan h = 4 A csak egy hangszeren játszók száma: a+ b+ c = 9h = 6 I p a b h r c q III +5 II + 6 E Az isklai túraszaksztály mind a 4 tagja részt vett az idei hárm túra valamelyikén A másdik kirándulásn -gyel, a harmadikn pedig 5-tel többen vettek részt, mint az elsőn Azk száma, akik két túrán vettek részt, -szr, akik pedig egy túrán vettek részt, 0-szer annyi, mint azk száma, akik mindhárm túrán részt vettek Hányan vettek részt az első, a másdik, illetve a harmadik kirándulásn? a+ b+ c = h, p+ q+ r = 0h, tehát 0h+ h+ h = 4h = 4, azaz h = ] a+ b+ cg-h = 4, azaz = 5, ahnnan = 7 Tehát az első, a másdik, illetve a harmadik túrán részt vevők száma rendre 7, 8, 7 E Egy autójavító üzemben 49 szakmunkás dlgzik: autószerelők, lakatsk és autóvillamssági szerelők 5 lyan szakmunkás van közöttük, aki mindhárm szakmában jártas Azk az autószerelők, akik nem rendelkeznek a lakats szakmával is, hármszr annyian vannak, mint akik csak a lakats szakmával rendelkeznek Hét lyan szakmunkás van az összes között, akik az autószerelő és a lakats szakmát is tudják Azk a villamssági szerelők, akik nem értenek az autószereléshez, 4-gyel kevesebben vannak, mint azk az autószerelők, akik nem értenek a lakats munkáhz Hányan vannak, akik csak a lakats szakmával rendelkeznek? A a y 5 v z l V L Készítsünk egy halmazábrát, és tüntessünk fel mindent, amit tudunk A feltételek szerint a+ = l, y =, v+ z+ 4 = a+ Mivel a+ + l+ z+ v+ + 5 = 49, így l+ l+ l = 49, tehát 7l = 56, ahnnan l = 8 Vagyis a csak lakats szakmával rendelkezők száma: 8 4 Halmazk különbsége, kmplementer halmaz K Legyenek az A, B és C halmazk rendre a -mal, 6-tal, illetve 5-tel sztható számk halmaza Mely számk tartznak az alábbi halmazkba? a) (A \ B) + C; b) A \ B \ C a) ] A \ Bg+ C = {a 5-tel sztható páratlan számk} b) A \ B \ C = {a -mal sztható, de 5-tel nem sztható páratlan számk} E Adttak az U alaphalmazn az A, B és C halmazk Szemléltessük egy halmazábrán az alábbi halmazkat! a) ] A, Bg, C; b) ] A\ Bg, C a) b) A B A B U C U C U A B E Adttak az U alaphalmazn az A és B halmazk Igazljuk, hgy ] B+ Ag, ] A+ Bg= ] A, Bg\ ] A+ Bg! Az egyenlőség mindkét ldalának a bal ldali halmazábra felel meg

13 I HALMAZOK MATEMATIKA 4 K Írjuk fel az A, B, A + B és A \ B halmazk elemeit, ha A = {a, b, c, g, h, j}; B = {a, c, f, h, k}! A, B = {a, b, c, f, g, h, j, k}; A + B = {a, c, h}; A \ B = {b, g, j} 5 K Adtt hárm halmaz: A = {,, 4, 7, 8, 9, }; B = {,, 5, 6, 7,, }; C = {4, 5, 6, 7, 0, } Adjuk meg az alábbi halmazk elemeit! a) (A, B) \ C; b) (A + B), (B + C ); c) A + (B \ C ) A könnyebb áttekinthetőség kedvéért először készítsünk halmazábrát, és írjuk be a megfelelő számkat a megfelelő helyre a) ] A, Bg \ C = " 89,,,,,,,; b) ] A+ Bg, ] B+ Cg = " 567,,,,,; c) A+ ] B \ Cg = ",, 6 K Igazljuk halmazábrák segítségével az alábbi egyenlőségeket! a) A \ (B, C ) = (A \ B) + (A \ C ); b) A \ (B + C ) = (A \ B), (A \ C ) A C B a) Az egyenlőség mindkét ldala b) Az egyenlőség mindkét ldala a következő ábráhz vezet: a következő ábráhz vezet: A B A B C C 7 K Igazljuk, hgy nem minden esetben igaz az alábbi egyenlőség! A \ (B \ C ) = (A \ B) \ C Az egyenlőség mindkét ldaláhz ábrát készítünk, ami mutatja az állítást A B A B C C A \] B \ Cg ] A \ Bg\ C 8 K Legyen az alaphalmaz a valós számk halmaza Az A halmaz az $, a B halmaz az # 0, a C halmaz az # 6 valós számk halmaza Határzzuk meg az alábbi halmazkat! a) A, B; b) B\ A; c) A+ C

14 4 MATEMATIKA I HALMAZOK Szemléltessük az A, B, C halmazkat egy számegyenesen! C B A a) A, B =! -0+ ; b) B-A = " -0 vagy #, ; c) A+ C = R Ftó Bilógia Barlangász 5 évf évf évf évf Ftó (4) Bil (45) a q b p r c Barlang (44) 9 E Egy általáns iskla felső tagzatán hármféle szakkör működik: ftószakkör, bilógiaszakkör és barlangász szakkör E szakkörök létszámát a bal ldali ábra mutatja évflyamkra lebntva Azk száma, akik pntsan két szakkörre járnak, kétszer, akik pedig pntsan egy szakkörre járnak, hármszr annyi, mint azk száma, akik mindhárm szakkör munkájában részt vesznek Az iskla felső tagzata 6 diákjának kb hány százaléka nem jár semmilyen szakkörre? Ftószakkörre 4, bilógiaszakkörre 45, barlangász szakkörre pedig 44 diák jár A feltételek szerint: p+ q+ r = és a+ b+ c = Azknak a diákknak a száma, akik legalább egy szakkörre járnak: ^p+ q+ rh- = 0-4, vagyis 0-4 = 6, ahnnan = Tehát azknak a diákknak a száma, akik járnak legalább egy szakkörre, 6 = 78 Ez az iskla 6 diákjának kb 78 $ 00 6,% -a Azk száma, akik semmilyen szakkörre nem járnak a 6 felső tagzatn: 00% - 6,% = 6,9% 5 A matematikai lgika elemei K Írjuk fel a következő jelzők tagadását, valamint két különböző, jelentést kifejező ellenkezőjét! a) szép; b) nagy; c) ks; d) vastag; e) kerek; f) hmrú eredeti kifejezés a tagadása két különböző jelentésű ellenkezője a) szép nem szép csúnya gyönyörű b) nagy nem nagy kicsi hatalmas c) ks nem ks buta zseniális d) vastag nem vastag vékny átlags vastagságú e) kerek nem kerek szögletes vális f) hmrú nem hmrú dmbrú sík K Írjuk fel a következő kijelentések tagadását! Döntsük el, hgy melyik igaz; az állítás vagy a tagadás! a) Minden természetes szám nagybb, mint 0 b) Vannak páratlan egész számk c) Minden hármszögnek van legalább két hegyesszöge d) Minden tengelyesen szimmetrikus négyszögnek van két-két egyenlő szögpárja e) Van lyan síknégyszög, amelyben a derékszögek száma f) Bármely két nem párhuzams egyenes metszi egymást

15 I HALMAZOK MATEMATIKA 5 a) Hamis A tagadása: Van 0-nál nem nagybb természetes szám Igaz, például a 0 b) Igaz A tagadása: Nincsen páratlan egész szám Hamis, például az c) Igaz A tagadása: Van lyan síkbeli hármszög, amelynek nincs legalább két hegyesszöge (vagyis legfeljebb egy hegyesszöge van) Hamis d) Hamis (például egy lyan deltid, amely nem rmbusz) A tagadása: Van lyan szimmetrikus négyszög, amelynek nincs két-két egyenlő szögpárja Igaz e) Hamis A tagadása: Minden síknégyszögben a derékszögek száma -tól különböző (nem ) Igaz, hiszen ha derékszöge lenne, akkr 4 is lenne f) Nem igaz, mert lehetnek kitérő egyenespárk A tagadása: Van lyan egyenespár, amely nem párhuzams és nem is metsző Igaz K Tételezzük fel, hgy igaz az az állítás, hgy Ha füttyentesz, elhallgatk Mi következik abból, hgy a) nem hallgattam el; b) nem füttyentettél; c) elhallgattam; d) füttyentettél? a) Nem füttyentettél, hiszen ha füttyentettél vlna, elhallgattam vlna b) Semmi Lehet, hgy nem hallgattam el, de az is lehet, hgy csak úgy magamtól elhallgattam c) Semmi Lehet, hgy füttyentettél, és azért, de az is lehet, hgy csak úgy magamtól elhallgattam d) Elhallgattam, hiszen ha füttyentesz, elhallgatk 4 K Ha megnyitm a csapt, flyik a víz Az alábbiak közül melyik állítás fejezi pntsan ugyanezt? a) Ha nem nyitm meg a csapt, nem flyik a víz b) Ha flyik a víz, megnyitttam a csapt c) Ha nem flyik a víz, nem nyitttam meg a csapt A c) Hiszen ha megnyitttam vlna a csapt, akkr flyna a víz 5 K Írjuk fel a következő állításk megfrdítását! a) Ha havazik, akkr fagy b) Ha péntek van, akkr mziba megyek c) Ha nincs kifgásd ellene, akkr ablakt nyitk d) Ha ráérsz, akkr eljöhetsz a) Ha fagy, akkr havazik b) Ha mziba megyek, akkr péntek van c) Ha ablakt nyitk, akkr nincs kifgásd ellene d) Ha eljöhetsz, akkr ráérsz 6 K Döntsük el, hgy igazak-e az alábbi állításk! Írjuk fel az állításk megfrdítását, és azkról is döntsük el, hgy igazak-e! a) Ha egy egész szám párs, akkr -esre végződik b) Ha egy egész szám sztható 9-cel, akkr a számjegyeinek az összege 9 c) Ha egy hármszög derékszögű, akkr a két rövidebb ldalra emelt négyzet területösszege egyenlő a leghsszabb ldalra emelt négyzet területével a) Hamis Megfrdítva: Ha egy egész szám -esre végződik, akkr párs Igaz b) Hamis Megfrdítva: Ha egy egész szám számjegyeinek az összege 9, akkr a szám sztható 9-cel Igaz c) Igaz, ez a Pitagrasz-tétel Megfrdítva: Ha egy hármszögben a két rövidebb ldalra emelt négyzet területösszege egyenlő a leghsszabb ldalra emelt négyzet területével, akkr a hármszög derékszögű Igaz, ez a Pitagrasz-tétel megfrdítása Egy hármszög akkr és csak akkr derékszögű, ha a két rövidebb ldalra emelt négyzet területösszege egyenlő a leghszszabb ldalra emelt négyzet területével

16

17 MATEMATIKA 7 II Algebra és számelmélet A hatványzás és aznsságai K Mivel egyenlő? a) ; b) 5 5; c) 0 0; 5 = d) 79; e) 4 6; f) 6; 6 = g) 7 49; h) 6 6; i) 8; = = = = j) $ = 6; 0 k) 6 $ = 6; l) = K Mivel egyenlő? a) ]- g = -; b) ]-g = -8; c) ]-g 4 =6; d) ]-g 6 = 79; e) 4 = 64; f) ]-g 4 = 8; g) ]-5 g = 5; h) 5 = 5; i) ]-5 g = -5; j) 5 $ ]-5 g = 65; k) ]-g $ 0 = 0; l) ]- g 00 = K Írjuk fel hatvány alakban a következő számkat, ha lehet, többféleképpen is! a) 000 például: =0 ; 0 5 b) 04 például: = = 4 = ; 4 c) 8 például: = = 9 ; d) 00 például: =0 ; 0 0 e) például: = = = ; 4 f) 65 például: = 5 = 5 4 K Írjuk fel prímszámk hatványainak szrzataként a következő számkat! a) 0 = $ 5 ; b) = $ ; c) 60 = $ $ 5 ; d) 6 = $ ; e) 8 = 4 ; f) 54 = $ ; g) 4 = 7 ; h) 04 = 0 ; i) = $ 5 ; j) 54 = $ ; k) 60 = $ 5; l) 8 = 7 ; m) 60 = $ $ 5 $ 7; 4 4 n) = $ 5 ; 9 ) = $ 5 5 K Mely számk prímtényezős alakját írtuk fel? a) = 8; b) = 7; c) $ = 08; d) 4 = 6; e) $ = 7; f) 048 = 4 = 4 = = A hatványzás aznsságainak kiterjesztése K Mely számkat írtuk hatványalakban? a) ; b) ( ) ; c) 5 ; d) ( ) 5 ; e) b l - ; f) b- l - ; g) ; h) b l a) ; b) ; c) - ; d) -; 5 e) 5; f) -5; g) ; h) 6 9

18 8 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Írjuk fel a megadtt számkat hatványalakban, ha lehet, többféleképpen is! a) 00; b) 0,; c) 0,5; d) ; e) 0,0; f) ; 8 g) 0,000; h) 0,00 Például: - a) = = = b l ; 0 b) 0, = 0 ; c) 0,5 = 0,5 = ; 0 d) = = ; - e) 0,0 0 = = b l ; 0 f) 4 = = ; 8 9 g) -4 0,0 = = ; h) 0,000 = 0, = 0 K Számítsuk ki a szrzásk eredményét! 7-4 a) $ ; - - b) b l $ ; c) b l 4 $ ; d) 4 $ b l ; 4 - e) ; f) ; g) - ; h) b l $ b l 5 $ b l $ 5 b l 4 $ 4 5 a) 8; b) 4; c) 6 ; 8 d) ; e) 56 ; f) ; g) 65 ; h) 8 4 K Számítsuk ki a műveletek eredményét! a) 4 : ; b) :5 ; c) 4 $ ; d) ] g : ; - e) - ]- g :]-g ; f) - 4 : ] 4 - g ; g) $ ; h) 7 : b l 7 a) 9 ; b) 5; c) 78; d) ; 6 6 e) ; f) ; g) ; h) K Állítsuk nagyság szerint növekvő srrendbe a következő számkat! a = ; b = ]-g ; c = ; d = ]-g ; e = ; f = ]-g; g = ; h = ]-g a = ; b ; c ; d ; e ; f ; g ; h = - = = - = = - = = - Eszerint: f b = d h a e = g c - - Gyakrlati számításk K Fejezzük ki a következő számkat nrmálalakban! a) ; b) 5 000; c) 560; d) ; e) 0,; f),5; g) 0,000 05; h) 0 000,000 0 a) 60 $ 6 ; b),5 $ 0 5 ; c),56 $ 0 ; d) 4,54 $ 0 6 ; - e) 0 $ ; f),5 $ 0 0 ; g) 5$ 0 6 ; h), $ 0 4 K Mennyi a) a 0 5%-a; b) a 5 0%-a; c) a 0 5%-a; d) az 5 0%-a? a) ; b) ; c) 0,5; d) 0,5

19 II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Mennyi a) egy szám 0%-ának 0%-a; b) egy szám 80%-ának 0%-a; c) egy szám 5%-ának 80%-a; d) egy szám 80%-ának a 0%-a? MATEMATIKA 9 a) A szám 4%-a; b) a szám 96%-a; c) a szám 00%-a, azaz maga a szám; d) a szám 8%-a 4 K Melyik szám 45%-a a) a 0; b) a 45; c) a 5; d) az,5? : a), 00 : = ; b) 00; c) 00; d), 0 = 9 5 K Tekintsük a Földet egy lyan gömbnek, amelynek a középpntján átmenő körök kerülete km! a) Megközelítőleg mekkra a Föld átmérője? b) Megközelítőleg mekkra a Föld sugara? c) Megközelítőleg mekkra a Föld térfgata? d) Megközelítőleg mekkra a Föld felszíne? e) A Föld felszínének körülbelül hány százalékát brítja víz, ha az összes vízfelület nagysága körülbelül,4 0 8 km? (Emlékeztetőül: Az r sugarú kör kerülete rr, területe r r Az r sugarú gömb felszíne 4r r, térfgata 4 r ) r 4 a) d,7 $ 0 km b) r 6,4 $ 0 km c) V, $ 0 km 8 d) A 5, $ 0 km e) Kb 67%-át 6 K a) Hány százaléka a Föld átmérője a Napénak? b) Hány százaléka a Föld tömege a Napénak? A szükséges adatk megtalálhatók a négyjegyű függvénytáblázatban a) A Nap átmérője:,4 $ 0 6 km; a Föld átmérője:,7 $ 0 4 km 6 4, $ 0 A kettő aránya: 7, $ 0 4, $ 0 Vagyis a Föld átmérője a Nap átmérőjének,%-a b) A Föld tömege: 60 $ 4 kg, a Nap tömege: 0 $ 0 kg 4 A kettő aránya: 60 $ -6-0 $ százaléka Ez 0,000% 0 = 0 $ 4 0 $ 4 Algebrai kifejezések összevnása, szrzása K Végezzük el az alábbi szrzáskat! 5 4 a) 4ac$ 5abc; b) 4 yz 5 $ yz; c) 5 pqs $ b- pqsl a) 0a bc; b) yz; c) - pqs 4 K Végezzük el az alábbi szrzáskat! a) ^ + yh_ -5y-6y i; b) a a b a ab 4 b - lb + - a bl 4 a) 6-0 y-y + 9 y-5y -8y = 6 - y-7y -8y ; b) 4 a 4 a b 8 a b 5 a b a b + a b 9 9 8

20 0 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Végezzük el az alábbi szrzást! 4 5 ] a- g ^+ a+ a + a + a + a h a+ a + a + a + a + a --a-a -a -a -a = a - 4 K Végezzük el az alábbi szrzáskat! a) 4 a $ a; b) 4 5 pq$ _-6 pq i; c) y b- l$ b y l a) a; b) -p 5 q 8 ; c) - y 4 5 K A következő feladatkban egy többtagú összeget kell szrznunk egy taggal a) ^ - + 4h; b) 6ab^ ab + ab - 4a bh; c) y y 5 y 0 b - + yl a) ; b) ; c) 5 y ab+ 8ab- 4ab - y + y 0 6 E A következő feladatkban egy többtagú összeget kell szrznunk egy taggal a) 4 y _ y- y + 5yi; b) m n q p n m q p m- n+ q p 4 m+ n m-n b - + q p l 5 n+ k+ n+ k n+ k n+ k+ a) ; b) m+ n n+ m q p m- n+ q p 4 m+ n m+ n y - 8 y + 0 y - + q p K Az alábbi feladatkban több tagt kell több taggal szrznunk a) ] a+ g] a- g; b) ^ y -h _ y -y + yi; c) ] -g^ h a) a - 4 ; b) y -y + y -y + 4y-y = y -y -y + 4y-y; c) = E Az alábbi feladatkban több tagt kell több taggal szrznunk n k a) _ + y i^ + + yh; n+ k b) _ p - q i^p+ q+ pqh; c) k k+ -k y k k y k- b + lb - + y l 6 a) n n+ n k k k+ + + y+ y + y + y ; n+ n+ n+ k k+ k+ b) p + p q+ p q-pq -q -pq ; c) k k y k k- y 4 -k + k k k+ y y k y Nevezetes szrzatk K Végezzük el az alábbi műveleteket! a) ^5- yh ; b) ^ab + 4ab h ; c) _ 5y- yi a) 5-0y+ 9y ; b) 4ab+ 6ab+ 6ab; c) 5y- 0y+ 4y K Alakítsuk szrzattá az alábbi kéttagú összegeket! a) 49b - ; b) 6ab- 64ab; c) 6 4 p ab 6 5 a) ^7b + h^7b - h ; b) ^6ab+ 8abh^6ab- 8abh; c) p 4 ab p 4 b + lb - abl

21 II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Elvégeztük egy kéttagú összeg négyzetre emelését, és eredményül azt kaptuk: ] g = 4a - ab+ Sajns az utlsó tag elmsódtt a papírn Milyen összeget emeltünk négyzetre? ] a-bg = 4a -ab+ 9b vagy ]-a+ bg = 4a -ab+ 9b 4 K Számítsuk ki az alábbi kéttagú összegek köbét! a) a a ^ + h ; b) ^- yh ; c) k b - n kl a) a + 9a + 7a + 7a ; b) 8 - y+ 6y -y ; c) k k n n k n k K Két tag összegének, illetve különbségének a négyzetéről tanultak alapján végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) y ^ - h ; b) ^a - 4bh ; c) ^4p+ qh a) 4 - y+ 9y ; 4 b) a - 8a b+ 6b ; c) 6p + 4pq+ 9q 6 K Végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) ^ - h ; b) _ y + yi ; c) ^4a + abh a) - + ; 6 4 b) 4y + y + 9y ; 4 c) 6a + 4a b+ 9a b 7 K Két tag összegének, illetve különbségének a szrzatáról tanultak alapján végezzük el az alábbi szrzáskat! a) ^+ yh^- yh; b) _ + yi_ - yi; c) ^ 5a b + ab h^5a b - ab h a) - 9y ; 4 b) 4 - y ; 6 4 c) 5ab- 4ab 8 E Végezzük el a négyzetre emeléseket! a) b y- yl ; b) ab 5 b + abl ; c) 4 n y 5 n b - y l 5 5 a) 6 4 y y+ 4y; b) ab ab ab; c) 6 n 4 y 8 n+ n+ y 5 4 n y K Két tag négyzetét számltuk ki; mi lehet az eredmény hiányzó harmadik tagja? a) ] g = y ; b) ] g = 4a - a b ; c) ] g = 5p -0 p q a) ^4+ yh = 6 + 8y+ y ; b) ^a -abh = 4a -a b+ 9a b ; c) _ 5p -p qi = 5p -0p 5 q+ 4p q 0 K Két tag összegének, illetve különbségének harmadik hatványáról tanultak alapján végezzük el az alábbi köbre emeléseket! a) ] a + g ; b) ^+ yh ; c) ^k - kh a) 8a + a + 6a+ ; b) y+ 54y + 7y ; c) k -6k 5 + k -8k MATEMATIKA

22 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 6 Tvábbi nevezetes szrzatk (Emelt szint) E Végezzük el a négyzetre emeléseket! a) ^+ y+ zh ; b) ] a+ b- cg ; c) b a b - + abl a) + 4y + z + 4y+ z+ 4yz; b) 4a + 9b + c + ab-4ac-6bc; c) 4 a 9b 4 ab ab ab-4ab 4 9 E Alakítsuk szrzattá az alábbi kéttagú összegeket! a) ; b) p - q ; c) a ; d) 7k - y a) ] + g ^ h ; b) _ p i -q = _ p -qi_ p + p q+ q i; c) a + = ] a+ g^a -a + 4a -8a+ 6h 6 ; d) _ k- y i_ 9k + ky + y i E Igazljuk, hgy sztható 50-cal! ^ h = ^ -h$ K, ahl K egész szám Tehát ^ - h ^ + h $ K De + = 5 0, tehát a kifejezés sztható 5 0-cal 4 E Hármtagú összeg négyzetéről tanultak alapján végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) a b+ c ] - g ; b) ^-y-zh ; c) ^p+ q+ zh a) a + b + 4c -ab+ 4ac-4bc; b) 4 + 9y + z -y-4z+ 6yz; c) p + 4q + 9z + 4pq+ 6pz+ qz 5 E Hármtagú összeg négyzetéről tanultak alapján végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) ^a - ab+ b h ; b) p p q b + - q l ; c) ^ k k+ k k- a - b + a b h a) 4a + 9a b + b -a b+ 4a b -6ab ; b) 9 p pq q pq pq pq; k k+ k k- k k+ k k- k k c) 4a + 9b + a b -a b + 4a b -6a b 6 K Számítsuk ki az alábbi kifejezések megfelelő helyettesítési értékét! a) ^ a b a b a b a b, a,9, b - h -^ + h^ - h + = - = ; b) ^ 4, + + h - ^ + h- = - ; 5 c) ^6k -5nh^ 6k + 5nh -6 k ] + 0ng + ^6k + 5nh, k =, n = -,5 4 4 a) 4a a b 9b 4a 9b a b 8b = = $ = ; b) = + = ; 5 c) 6k 4-5n -7k -60k n+ 6k k n+ 5n = -7k = -7