Trigonometria I. A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát (arányát).

Átírás

1 Trignmetria I A hegyes szögű deiníciók: A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti begó és az átgó hányadsát (arányát). Kszinus nak nevezzük a szög melletti begó és az átgó hányadsát (arányát). A szög tangensének nevezzük a szöggel szemközti begó és a szög melletti begó hányadsát (arányát). Ktangens nak nevezzük a szög melletti begó és a szöggel szemközti begó hányadsát (arányát). A nevezetes szögek szögüggvényei: sin cs tg ctg A derékszögű hármszögek segítségével megldható eladatk:. Milyen magas az a lejtő, amely 0 -s hajlásszögű és km hsszú? Milyen hsszú a lejtő alapja?. Egy 00 m magas lejtő hajlásszöge 8. Milyen hsszú a lejtő? Mekkra az alapja?. Egy derékszögű hármszög egyik begója 5 cm, az átgója 8 cm. Mekkrák a szögei? 4. Egy egyenlő ldalú hármszög magassága 6 cm. Mekkra az ldala? Mekkra a kerülete és a területe? 5. Egy hármszög ldalai 8 cm hsszúak. Mekkra a területe? 6. Egy egyenlőszárú hármszög alapja 8 cm, és az alapn ekvő szögei 50 ksak. Mekkrák a szárai? Mekkra a kerülete és a területe? Mekkra a szárszöge? 7. Egy téglalap ldalai 5 és 0 cm hsszúak. Mekkra szöget zár be az átló a hsszabbik ldallal?

2 8. Egy téglalap ldalai 5 és 0 cm hsszúak. Mekkra az átlók hajlásszöge? 9. Egy 5 cm-es ldalú rmbusz egyik szöge 70. Mekkrák az átlói? Mekkra a területe? Mekkra a másik szöge? 0. Egy szimmetrikus trapéz alapn ekvő szögei 70 ksak. A hsszabbik alapja 0 a rövidebbik alapja cm hsszú. Mekkrák a szárai? Mekkra a kerülete és a területe? Mekkrák a szögei?. Milyen messze van tőlünk az a 5 m magas épület, amely 5 40' emelkedési szögben látszik? A tedlit állványának a magassága,5 m.. 5 m távlságból egy épület egyik ablakának első párkánya 40, az alsó párkánya 8 emelkedési szögben látszik. Milyen magas az ablak?. Egy hegy csúcsát a vízszintes terep egy pntjából, majd d m-t távldva emelkedési szögben látszik. Milyen magas a hegy? Mekkra e magasság, ha d = 00m, = 4, =? 4. Milyen magas az a hegy, amelyen álló h méter magas trny talppntját a vízszintes terepről, tetőpntját szögben látjuk? Határzza meg a hegy magasságát, ha h = m, =,, =,6! 5. Milyen hsszú az a híd, amelynek két végpntja a híd irányában lévő 5 m magasságú helyről 6, -s, illetve 8,9 -s depressziós szögben látszik? (A depresszió szöge a vízszintestől mért lehajlás szöge.) 6. Egy derékszögű hármszög átgója 5 cm, beírt körének sugara cm. Mekkrák a begói és hegyesszögei? 7. Egy derékszögű hármszög beírt körének sugara cm, körülírt körének sugara 5 cm. Mekkrák a hármszög ldalai és hegyesszögei? 8. Két kör sugara 4, cm, illetve,6 cm. A közös külső érintők hajlásszöge. Mekkra a közös külső érintőnek az érintési pntk közé eső szakasza? Mi állapítható meg a két kör kölcsönös helyzetéről? 9. Mekkrák annak a szimmetrikus trapéznak a szögei és ldalai, amelybe 6 cm átmérőjű kör írható, és a hsszabbik alapja 0 cm? 0. Egy egyenlő szárú hármszög alapja,5 dm, a beírt kör sugara 0,9 dm. Mekkrák a hármszög ldalai és szögei? Kiterjesztés a teljes szögtartmányra De.: Egy tetszőleges szög szinuszán az egységkör rgásszögű pntjának a másdik krdinátáját értjük. De.: Egy tetszőleges szög kszinuszán az egységkör rgásszögű pntjának az első krdinátáját értjük.

3 A tangens és a ktangens üggvényeket a már ismert összeüggés alapján deiniáljuk: sin cs tg : ctg : cs sin A szögüggvényekre vnatkzó Pitagrasz-tétel: Tétel: Ha bármely szög szinuszát és kszinuszát négyzetre emeljük, és a négyzeteket összeadjuk, akkr egyet kapunk. R sin cs Kikeresés: sin 0 = sin (80 0 ) = sin 60 = sin cs cs sin cs 5 = cs (5 80 ) = cs 45 = tg 0 tg 60 ctg 5 = ctg (5 80 ) = ctg 45 = Feladatk: sin 0 = sin 0 = sin 5 = cs 50 = cs 5 = cs 00 = tg 5 = c tg 5 = tg 5 = ctg 0 = A szögüggvények ábrázlása és elemzése: A szinusz üggvény D R R ; ZH : 0 n 80 k;n Z P 60 rad Sz.é. : min 70 k 60 ; max 90 k 60 ; SZMN : 90 k 60 ; 90 k 60 SZMCS : 90 k 60 ; 70 k 60 páratlan v. / sin x sin x /

4 A kszinusz üggvény D R R ; ZH : 90 n 80 k;n Z P 60 rad Sz.é. : min 80 k 60 ; max 0 k 60 ; SZMN : 80 k 60 ; 60 k 60 SZMCS : 0 k 60 ; 80 k 60 párs v. / cs x cs x / A tangens üggvény ÉT : x 90 k 80 k Z ÉK : R ZH : x 0 k 80 Sz.é. : P : 80 SZMN : 90 k 80 x 90 k 80 páratlan A ktangens üggvény ÉT : x 0 k 80 k Z ÉK : R ZH : x 90 k 80 Sz.é. : P : 80 SZMCS : 0 k 80 x 80 k 80 páratlan Függvény transzrmációk Alapüggvény: (x) cr +. (x)+c. (x). c (x) 4. (x+c) Minden helyen c-vel növekedik a üggvény értéke, ezért az (x) üggvény graiknját c-vel eltljuk az y tengely mentén. Minden helyen ellentettjére váltzik a üggvény értéke, ezért az (x) üggvény graiknját tükrözzük az x tengelyre. Minden helyen c- szeresére nő a üggvény értéke, ezért az (x) üggvény graiknját c- szeresére nyújtjuk az y tengely mentén. Ez a üggvény c-vel kisebb helyen veszi el ugyanazt az értéket, mint amit az (x) üggvény az x helyen elvesz. Ezért az (x) graiknját el kell tlni c-vel balra az x tengely mentén.

5 5. ( x) 6. (c x) 7. (c x+a) (x) x 4 x Ez a üggvény ellentett helyen veszi el ugyanazt az értéket, mint amit az (x) üggvény az x helyen elvesz. Ezért az (x) graiknját tükrözzük az tengelyre. Ez a üggvény c-szer kisebb helyen veszi el ugyanazt az értéket, mint amit az (x) üggvény az x helyen elvesz. Ezért az (x) graiknját /cszeresére nyújtjuk az x tengely mentén. A x graiknját -vel balra tljuk, és az x = egyeneshez a elére zsugrítjuk az x tengely mentén. Visszakeresés: sin x x 0 k 60 x 50 l 60 l,k Z cs k 60 0 k l l 60 k; l Z Ell. : cs 0 cs 60 0,5 Trignmetrikus egyenletek. Oldja meg a következő egyenleteket a valós számk halmazán! sin x(cs x + ) =0 cs x cs x = 0 cs x cs x = 0 sin x cs x = 0 sin x sin x = 0 cs x sin x + = 0 csx x ctg Trignmetrikus egyenlőtlenségek sin x 4. Oldja meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számk halmazán! cs x cs x 60 l 60 x 00 l 60 l Z. Oldja meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számk halmazán! cs x 4 sin x cs x sin x = tg x tg x = ctg x sin x > 0 sin x 0 cs x 0 cs x < 0 tg x < 0 tg x 0 ctg x > 0 ctg x 0

6 cs x sin x cs x sin x sin x cs x tg x ctg x