MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET C

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET C"

Átírás

1 MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET C Matematika 11. évflyam TANULÓK KÖNYVE Készítette: Kvács Kárlyné

2 A kiadvány KHF/457-7/009. engedélyszámn időpnttól tankönyvi engedélyt kaptt Educati Kht. Kmpetenciafejlesztő ktatási prgram kerettanterv A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőfrrás-fejlesztési Operatív Prgram közpnti prgram (Pedagógusk és ktatási szakértők felkészítése a kmpetencia alapú képzés és ktatás feladataira) keretében készült, a sulinva ktatási prgramcsmag részeként létrejött tanulói infrmációhrdzó. A kiadvány sikeres használatáhz szükséges a teljes ktatási prgramcsmag ismerete és használata. A teljes prgramcsmag elérhető: címen. Szakmai vezető: Oláh Vera Grafika: dr. Fried Katalin Alktószerkesztő: Oláh Judit Lektr: Pálmay Lóránt Felelős szerkesztő: Teszár Edit H-CMAT1101 Szerző: Kvács Kárlyné Educati Kht A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgypedagógiai szakértő: Kónya István Tudmánys-szakmai szakértő: dr.marsváry Erika Technlógiai szakértő: Csnka Vilmsné

3 tartalm 1. mdul: Mennyire lehetséges? mdul: Csak permanensen! mdul: Expnenciálisan nő vagy csökken? mdul: Mindig csak a kitevő? mdul: Arra, annyival! mdul: Egyenesen előre! mdul: Körbe, körbe, karikába mdul: Gnimetria mdul: Hármszögek, skszögek mdul: Ezt már mind tudjuk? A matematikai kmpetenciaterület 11. évflyams C mduljai feladatmegldáskn keresztül fejlesztik a tanulók képességeit. A Tanulók könyve tanórán kívüli fglalkzásaihz a tanár a Tanári útmutatót használja. Ezek a fglalkzásk szrsan kapcslódnak a tanórák tananyagáhz, kifejezetten a tanult tananyag elmélyítését, a középszintű érettségire való felkészülést szlgálják. A nehezebb feladatkat *-gal jelöltük.

4

5

6 6 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. ESEMÉNY, ESEMÉNY HÁTÁN 1. Az 1, 1, 3 1,..., , 1 0 közül egyet véletlenszerűen kihúzunk. törtek mindegyikét egy-egy cédulára írjuk. Az így kaptt 19 cédula Az A esemény pntsan akkr következik be, ha a kihúztt cédulán lévő szám tizedestört- alakja véges, a B esemény pedig pntsan akkr, ha a kihúztt cédulán lévő szám reciprka prímszám. I. Hányféleképpen következhet be az A esemény? II. Hányféleképpen következhet be a B esemény? III. Fgalmazd meg, hgy milyen eseményeket jelölnek az alábbi események, és számítsd ki, hgy hányféleképpen következhetnek be! a) AB b) A + B c) A d) A B e) A + B f) AB. Hat pénzérmét dbtunk fel. Válaszd ki a bizts és a lehetetlen eseményeket! Választásdat indkld! a) A fejek száma több mint az íráské. b) Nincs fej köztük. c) A fejek és az írásk száma is párs d) A fejek és az írásk száma is prím. e) A fejek száma hármmal több az íráskénál. f) A fejek és írásk számának különbsége párs szám. 3. Andrásnak Balázs a következőt ajánlja: Ő mnd két játékszabályt, ezek közül András választ, hgy melyik szerint fgnak játszani. (Minden játék után van nyertes.) A szabályk: Az első szerint mindketten feldbnak egy-egy dbókckát, és András nyer, ha kisebbet dbtt, mint Balázs. A másik szabály szerint egyikük hárm érmét feldb, és András nyer, ha a fejek száma több az írásk számánál. Mit tanácslnál Andrásnak, melyik szabályt válassza? 4. Kata hárm barátnőjét, Annát, Brit és Cilit várja látgatóba. Jelölje A, B, C rendre azkat az eseményeket, hgy Anna, Bri illetve Cili meglátgatja Katát! I. Mit jelentenek az alábbi események: A + B, A B, B C?

7 1. mdul: MENNYIRE LEHETSÉGES? 7 II. Add meg az eseményalgebra jelöléseivel az alábbi eseményeket! a) Mindhárman meglátgatják Katát. b) Barátnői közül van Katának látgatója. c) Legalább két látgatója van Katának. d) Legfeljebb két látgatója van. e)* Pntsan egy látgatója van. Az alábbi tíz feladat mindegyikében 4 válasz van, és közülük pntsan egy igaz. Add meg az általad igaznak vélt választ, és karikázd be a betűjelét! Minden feladatban ugyanazt az eseményt jelentik a következők: A: Anna szemüveges; B: Bri szemüveges; C: Cili szemüveges. 5. Melyik jelöli azt az eseményt, hgy mindhárman szemüvegesek? a) A + B + C b) A B C c) A B + C d) Az esemény nem írható fel sem az a), sem a b), sem a c) válasz szerint. 6. Melyik jelöli azt az eseményt, hgy Anna szemüveges, de Cili nem? a) A C b) A C c) A + C d) Az esemény nem írható fel sem az a), sem a b), sem a c) válasz szerint. 7. Melyik jelöli azt az eseményt, hgy Anna szemüveges, ám Bri és Cili egyike sem? a) A + B + C b) A B C c) A B C d) Az esemény nem írható fel sem az a), sem a b), sem a c) válasz szerint. 8. Mit jelent az ( B C) A + esemény? a) Ha Bri szemüveges, akkr Cili nem. b) Anna és a másik két lány közül az egyik szemüveges. c) A lányk között legalább két szemüveges van. d) Annával együtt legalább ketten szemüvegesek. 9. Mi az A + B + C esemény jelentése? a) Ha Bri szemüveges, akkr Anna nem. b) Közülük pntsan egy szemüveges. c) Legalább az egyikük szemüveges. d) Vagy csak Anna, vagy csak Bri, vagy csak Cili szemüveges.

8 8 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 10. Mit jelent az A B C esemény? a) Anna szemüveges, a többiek nem. b) csak Anna és Cili szemüveges. c) Anna szemüveges, és Bri és Cili egyike is. d) közülük pntsan egy nem szemüveges. 11. Hgyan fgalmaznád meg az A B C eseményt? a) egyikük sem szemüveges. b) pntsan ketten szemüvegesek. c) pntsan egy szemüveges közülük. d) a hárm lány között van lyan, aki nem szemüveges. 1. Az A + B + C esemény jelentése: a) Közülük pntsan egy szemüveges. b) Közülük senki sem szemüveges. c) Közülük pntsan ketten szemüvegesek. d) Nem felel meg sem az a), sem a b), sem a c) válaszknak. 13. Mit takar az A + B + C állítás? a) Van lyan köztük, aki nem szemüveges. b) Egyikük sem magas. c) Pntsan egy lyan van, aki nem szemüveges. d) Nem felel meg sem az a), sem a b), sem a c) válaszknak. 14. Jelölje A, B, C, D a következő eseményeket: A: András éhes, B: Balázs éhes, C: Csaba éhes, D: Dani éhes. Ekkr az a) Nincs éhes a fiúk között. b) Van éhes a fiúk között. c) Mind a négyen éhesek. A B C D esemény jelentése: d) Nem felel meg sem az a), sem a b), sem a c) válaszknak.

9 1. mdul: MENNYIRE LEHETSÉGES? 9 II. LOTTÓ ÉS TÁRSAI HÚZHATOD! szerencsejáték leírása: A szelvényen egy 4x5-ös mezőben 1-0-ig vannak feltüntetve a számk. A játéksnak a szelvényen hat számt kell megjelölnie. A srslásn a 0 szám közül 6 számt húzunk ki. Nyereményre jgsít az a szelvény, amelyen legalább, legfeljebb 6 találatt ért el a fgadó Határzd meg, hgy az n darab srslásn melyik szám milyen gyakrisággal frdult elő! Szám: Gyakriság: Szám: Gyakriság: Szám: Gyakriság: Szám: Gyakriság: Számld ki, hgy hány szelvény kitöltése esetén lenne biztsan 6 találatunk! 3. Ezen a héten egy szelvénnyel játszm. Mekkra a valószínűsége, hgy a találataim száma a) hat? b) öt? c) négy? d) hárm? e) kettő? f) egy? g) nulla? 4. Ezen a héten is egy szelvénnyel játszm. Mekkra a valószínűsége, hgy nyertes leszek? 5. Egy baráti társaság külön játékt játszik a HÚZHATOD! szelvényeinek felhasználásával. A játéksknak mst is hat számt kell megjelölniük, de az ő játékukban srslás a következőképpen történik: Négy szám közül (I, II, III, és IV) húznak ki hatszr visszatevéssel egy-egy számt. A kihúztt római számk a szelvény szlpait jelölik. Nyertes az a szelvény, amelyen a megjelölt számk éppen azkban az szlpkban

10 10 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE vannak, amelyeket a srsláskr kihúztak. Pl. Ha a srsláskr kihúztt számk: I, I, IV, III, III, II., ekkr nyertes szelvény például a: 3, 5, 6, 8, 11, 17 számkkal megjátsztt, hiszen két szám (az 5 és 17) az I. szlpban szerepel, kettő(a 3 és 11) a III.-ban, egy szám (a 6-s) a II.-ban és egy szám (a 8-as) a IV.-ben. Ha a srsláskr hatszr ugyanazt a számt húzzák ki, a srslás érvénytelen, és ekkr újból végrehajtják a srslást. a) A példában szereplő srslás esetén (I, I, IV, III, III, II) legfeljebb hány különböző nyertes szelvény lehet? b)* Ha két érvényes srslásban a kisrslt római számk csak srrendben különböznek, akkr a két srslás azns. Hányféle lehet az érvényes srslásk száma? c)* Ha minden héten egyszer srslnak, előfrdulhat-e, hgy másfél éven keresztül nincs két lyan srslás, amelyen azns a srslás eredménye? d)* Mekkra a valószínűsége, hgy egy srslás érvénytelen lesz?

11

12 1 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. LÁTÓMEZŐNKBEN AZ ÖT AZONOSSÁG 1. Próbáld fejben kiszámlni az alábbi kifejezések tízes számrendszerbeli alakját! a) b) 5 4 c) e) f) g) d) h) Melyik a nagybb? Döntésedet indkld! a) vagy 1 1 b) 1 4 vagy c) d) 3 4 vagy vagy e) vagy Melyik szám 4. hatványával egyezik meg a kifejezés? 4. A hatványzás aznsságait számzzuk a következőképpen: I. a n k n+ k a = a II. a a n k n k = a III. n n n a b = ( ab) IV. a b n n n a = V. ( b ) n k nk a = a Az alábbiakban egy-egy kifejezést átalakítttunk a hatványaznsságk felhasználásával. Döntsd el, hgy az egyes esetekben mely aznsságkat használtunk fel, és az alkalmaztt aznsság srszámát írd az egyenlet mellé! (A kitevők egész számkat jelölnek.) a) x x 3 = 8 b) 9 x x+ x+ 1 x+ 1 x+ 1 3 = 3 c) 3 = 6 d) 5 x + 1 x = 5 5 e) 64 = 4 x 4 3 x 1 f) 3 x 1 x 3 9 = 3 3x 3

13 . mdul: CSAK PERMANENSEN! 13 g) x+ 1 x 4 = 3x+ h) 5 5 x x = 5 3x i) x = 3 x + + j) 50 4 = 5 x x 1 3 x x 5. Melyik szám 50-edik hatványával egyezik meg a ( ) kifejezés? x x Mivel egyenlő x x ? 7. Egy apuka a kisfiának szemléltetni szeretné a Naprendszert. A Napt egy kb. 10 cm átmérőjű naranccsal mdellezi. Ha ugyanilyen arányban kicsinyítené a Földet is, akkr mekkra átmérőjű tárgyat kellene választania? Mekkra sugarú körpályán kellene mzgatnia a Földet a Nap körül, ha a Nap Föld távlságt is ugyanilyen arányban szeretné kicsinyíteni? (A közepes Nap Föld távlság: 1, egyenlítőjének átmérője: 1,39 10 km, a Földé: 1, km.) 8 km. A Nap 8 8. Az arany atmjának átmérője kb cm. a) Hányszr érné körbe a Földet az egyenlítő mentén az az aranyfnal, amelyet 1 ml mennyiségű arany atmjainak szrs, egysrs egymás után illesztésével hznánk létre? (A Föld sugara kb km.) b) Ha szrsan egymás mellé tekernénk az 1 ml mennyiségű arany atmjaiból készített aranyfnalat az egyenlítő köré, milyen széles aranyszalaghz jutnánk? 9. Ha x = a és 3 x = b, akkr mivel egyenlő x 36? 10. Ha x = a és 3 x = b, akkr mivel egyenlő 4 + x x x + 6 9? x 11. Ha = 3 x x x, akkr mivel egyenlő ( 8 4 )( + 1)? x 1. Ha 3 = y és 3 = 5, akkr mivel egyenlő 3 y x + (3 3x 3 y ) x?

14 14 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 13. Milyen x egész számra igaz az egyenlőség? a) x x x 8 16 = 4 4 ; b) x+ x+ 1 6 x c) = x = 3 ; 14. A -nek hányadik hatványával egyenlő 100? 5 ) 15. Az 5 ötödik gyöke mivel egyenlő? ( 5

15 . mdul: CSAK PERMANENSEN! 15 II. TEREMTSÜNK RENDET! 1. Az alábbi 4 állítás mindegyike valós számk hatványaira vnatkzik. Melyik állítás hamis? A: Negatív számnak értelmezzük a negatív egész kitevőjű hatványát. B: Negatív szám nulladik hatványa pzitív. C: Negatív számnak értelmezzük a kitevőjű hatványát. 4 D: Negatív számnak a negatív páratlan kitevőjű hatványa is negatív.. Melyik állítás hamis? A: Ha egy valós szám megegyezik a ( 1)-edik hatványával, akkr a szám abszlútértéke 1. B: Ha egy valós szám nulladik hatványa 1, akkr a szám nem egyenlő nullával. C: Ha egy valós szám pzitív kitevőjű hatványa nulla, akkr a szám csak nulla lehet. D: Ha egy valós szám párs kitevőjű hatványa pzitív, akkr a szám is pzitív. x 3. Hány lyan x egész szám van, amelyre az f ( x) = ( 5) kifejezés értelmezhető? 4 4. Döntsd el, hgy az alábbi kifejezések közül melyeket nem értelmezzük! Amelyeket értelmeztük, annak add meg a tízes számrendszerbeli alakját! ( 1) 3 3 1,, ( ) 4, ,, 8 0,1 7, 3 0 π 5. Az alábbi öt egyenlet közül válaszd ki azkat, amelyek minden pzitív valós számra teljesülnek! Döntésedet indkld! a) x = x b) ( x) = x c) d) x x x ( x ) = x e) = x 5 x x = x x 6. Öt kártya mindegyikére egy-egy kifejezést vagy relációjelet írtunk. A kártyák a következők:

16 16 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A kártyákat két dbzba helyezzük el. Az 1. dbzba a kifejezéseket, a. dbzba a relációjeleket. Először az 1. dbzból húzunk egy kártyát, lerakjuk az asztalra, majd a. dbzból egy kártyát, és az előbbi mellé, jbbra helyezzük. Végül ismét az 1. dbzból húzunk egy kártyát, és azt a relációjeles kártya után rakjuk. a) Hány különböző egyenletet, illetve egyenlőtlenséget kaphatunk így? b) Oldd meg az így kapható egyenleteket a valós számk halmazán! c) Oldd meg a valós számk halmazán a következő egyenlőtlenségeket: I) 3 x > x ; II) 3 4 x > x ; III) d) Vázld egy krdináta-rendszerben az f ( x) = x, 4 x < x. 3 g ( x) = x,és 4 h ( x) = x függvények grafiknját a [ 1,5;1,5] intervallumn! e) Vázld a d) feladatban már felvett krdináta-rendszerben az alábbi függvényeket is! j ( x) = x, ahl x 0; 4 ; k ( x) = x, ahl x 3 ; ; 4 1 m ( x) = x, ahl x 0; Válaszd ki az f, g, h, j, k és m függvények közül az inverzpárkat! f) Írj fel lyan egyenlőtlenséget az e) feladatban megadtt függvények kifejezéseinek felhasználásával, amelynek a megldáshalmaza: i) [ 0 ;1 ]; ii) ] 0 ;1 ]; iii) { 0} [ 1; + [.

17

18 18 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. CSAK EXPONENCIÁLISAN! A kutatómunka srán gyakran előfrdul, hgy a mért adatkat egy függvénnyel próbálják közelíteni. Természetesen véges sk adat esetében a feladat nem egyértelmű. Ezen a fglalkzásn ilyen jellegű feladatkkal is fglalkzunk. A megldás srán mód nyílik az expnenciális függvény egyik nagyn fnts tulajdnságának a felismerésére is. 1. A grafikn egy A anyag kncentrációjának időbeli váltzását mutatja reakció közben, állandó hőmérsékleten. a) A grafikn alapján lehetséges-e, hgy a flyamat expnenciálisan zajltt le? Az alábbi táblázat az A anyag kncentrációjának mérésekr készült jegyzőkönyv egy részlete. Idő (sec) Kncentráció ml 3 dm 1 0,5 0,5 0,15 b) A jegyzőkönyvi adatk alapján mndható-e, hgy a flyamat időben expnenciálisan zajltt le? Miért?

19 3. mdul: EXPONENCIÁLISAN NŐ VAGY CSÖKKEN? 19. Az alábbi táblázat egy labratóriumban végzett kísérlet mérési adatait tartalmazza. A flyamat indulásától eltelt idő (percben): Mért adatk: 0,601 0,359 0,16 0,130 0,078 0,047 A kísérlet többszöri elvégzése után a kísérletet végző kutató azt sejti, hgy a flyamat időben expnenciálisan zajlik le. a) A láttt adatk mennyiben támasztják alá a labratórium vezetőjének sejtését? b) A kísérletet végző kutató úgy gndlta, hgy két expnenciális függvény jöhet számításba: f 6 x ( x) = 0, és g 601 x ( x) = 0,. Vizsgáld meg mindkét függvény esetében, hgy ha a flyamatt a megadtt függvény írja le, mekkra az eltérés a mért adatk és a függvény értékei között? Az eltérést tízezredekre kerekített függvényértékekkel számld ki! Az eltérések ismeretében, a kísérletező személy helyében melyik függvényt választanád? 3. Egy kutatóintézetben azt tapasztalták, hgy a K növény hajtásának hsszát az első két napn a h 0,06 t ( t) = 0,0 10 (mm) képlet adja meg, ahl t értékét órában mérték. a) Milyen hsszú vlt a hajtás a megfigyelés kezdetekr? b) Mennyit nőtt az első napn? c) A megfigyelés kezdetekr mért magasságnak hányszrsát érte el a növény hajtása a másdik nap végén? Ugyanebben az intézetben, a K növény vizsgálatával egy időben egy H növény hajtásának növekedését is mérték. Ennél a növénynél azt tapasztalták, hgy a hajtásának hssza időben a d 0,03 t ( t) = 0,4 10 képlet szerint váltzik az első két napn (az időt itt is órában, a hsszt mm-ben mérték). d) Add meg képlettel, hgy t óra múlva hányszrsa a H növény hajtásának hssza a K növényének! ( 0 t 48 ) e) Mikr lesz a két növény azns magasságú? 4. Ebben a feladatban egyenletet, illetve egyenlőtlenségeket kell gyártani. Minden esetben használd fel mindkét, adtt grafiknú függvény képletét!

20 0 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE a) Melyik két expnenciális függvény grafiknja látható az ábrán! A függvényeket add meg képletükkel! b) Írj fel egy lyan egyenletet, amelynek a megldáshalmaza a { 0 }! c) Írj fel egy lyan egyenlőtlenséget, amelynek a megldáshalmaza az R halmaz! d) Írj fel két lyan egyenlőtlenséget, amelyek mindegyike pntsan akkr teljesül, ha [ ; 1] x!

21 3. mdul: EXPONENCIÁLISAN NŐ VAGY CSÖKKEN? 1 III. EGYENLŐTLENEK KÜZDELME Az egyenlőtlenségek megldása jó lehetőséget nyújt a különböző tananyagrészekben szerzett ismeretek alkalmazására. Különösen alkalmas az egyes függvények mntnitásáról tanultak hasznsítására és az algebrai ismeretek elmélyítésére. Ezen a fglalkzásn elsősrban expnenciális egyenlőtlenségeket ldunk meg. 1. Vázld az alábbi egyik krdináta-rendszerben az f 5 x ( x) = 0,, a másikban a g( x) = 3 x ( x R ) függvény grafiknját! Válassz véletlenszerűen két-két pntt a grafiknk pntjai közül! Jelöld a kiválaszttt pntk első krdinátáját x 1 -gyel, illetve x -vel! Hgyan jelölnéd a pntk másdik krdinátáját az egyik, illetve a másik esetben? Fejezd be a következő megkezdett mndatkat: Ha x 1 < x x1 x 0,5 0, 5, akkr > pntsan akkr, ha x1 x Ha 3 > 3, akkr.. Mekkra a valószínűsége, hgy ha véletlenszerűen választunk egymás után két kifejezést az alábbiak közül, akkr az elsőnek választtt kifejezés értéke kisebb minden negatív x szám esetén, mint a másdiknak választtt kifejezés értéke? x 1 x 3 x Egy előző fglalkzásn már találkztunk egy K növény hajtásának hsszát megadó képlettel: 0,06 t ( t) 0,0 10, és egy H növény hajtásának hsszát megadóéval: h =

22 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE d = 0,03 t ( t) 0,4 10. Mindkettőben a hsszat mm-ben, az idő t értékét órában mérték. A megfigyelést két napn keresztül végezték. a) A megfigyelés kezdetétől számítva melyik növény hajtása hány teljes órán keresztül vlt rövidebb a másikénál? b)* A megfigyelés kezdetétől számíttt hányadik órában vlt a növények hajtáshsszának 7 különbsége kb. mm? 8 4. Oldd meg a valós számk halmazán a 5 0, < 0,04 egyenlőtlenséget! x x x (Segítség: 0,04 = 0, ) x 1 x 1 1 x 5. Oldd meg a valós számk halmazán a 0,04 0, egyenlőtlenséget! (Segítség: 0,04 = 0, és 5 1 = 0, vagy 0, 1 = 5, 0,04 = 5.) x+ 1 x 3 6. Oldd meg a valós számk halmazán a 1 0,75 ( 0,5) 0 egyenlőtlenséget!

23

24 4 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. EGYENLET ITT IS, OTT IS 1. Az alábbi táblázat bal ldali szlpában található egyenleteknek, egyenlőtlenségeknek keresd meg a megldáshalmazát a táblázat jbb ldali szlpában! Választásdat indkld! A: lg + lg = 1 16 B: lg 4 + lg 5 = lg x b: { 1} C: lg 4 ( x + ) lg 4 = c: { } 4 D: lg x + lg x 0 d: R lg 0,5 ( x + 16) + lg 0,5 8 E: = lg 0,5 x e: { 30 } F: lg 1 x lg8 x ; 1 1; + x a: { } 7 x x G: lg3( 4 ) = x lg3 4 H: lg( + 1) lg x 1 f: ] ] [ [ g: ;+ x h: [ [ 4 I : lg( x + ) + lg( x + 1) lg( x + 3x + ) J: 9 lg3 + x + 1 = 0 i: 1 1 ;0 0; ; 10 x j: { }. Kapcsld össze az első két kifejezést a négy alapművelet valamelyikével, s az így kaptt kifejezést tedd egyenlővé 1-gyel! Oldd meg az összes így kapható egyenletet a valós számk halmazán! 3. Oldd meg a valós számk halmazán az alábbi egyenleteket és egyenlőtlenséget! 1 7 a) lg5 lg3 x + lg 5 lg3 x + 1,5 = 0 ; b) lg x lg x + + lg 0 = 0 x 1 x 1 c) lg ( + 4 ) 0 ; d)* x 1 x lg 4 e)* Határzd meg a krdinátasíkn azn (x;y) krdinátájú pntk halmazát, amelyekre lg 3 y lg 3 x x + y = teljesül! ;

25 4. mdul: MINDIG CSAK A KITEVŐ? 5 III. ALKALMAZZUK AZ ISMERETEINKET! 1. András a számítógép számlógépével végzett kísérleteket. Beírt egy pzitív számt, majd egymás után annyiszr nymta be a számlógép lg gmbját, amíg a gép ki nem írta, hgy A bevitt adat érvénytelen. Minden egyes szám esetén feljegyezte, hgy hányadik lépésben juttt az érvénytelen kiíráshz. a) Végezz ilyen kísérleteket a saját számlógépeden! Mit tapasztaltál? b) András beírta a számt. Ezzel a számmal végrehajtva a kísérletet, hányadik lépésben juttt először az érvénytelen kiíráshz? András azután egy elég skjegyű számt a következőképpen hztt létre: srban, egymás után beírta 1-től 0-ig az összes egész számt. Az így kaptt számt jelöljük n-nel. c) Hány számjegyű az n szám? d) Ezzel a számmal milyen eredménnyel végződött a kísérlet? e) Melyik az a legnagybb n szám, amelyre lg lg lg lg n értelmezhető, de lg lg lg lg lg n már nem?. Hány számjegyből áll a tízes számrendszerbeli alakja? Mi a szám utlsó számjegye? 3. András testvérének születésekr szüleik Ft-t lekötöttek egy banknál. Feltételezve, hgy 18 éven keresztül nem váltztatja meg a bank az éves kamatlábat, évi hány százaléks kamat esetén kétszereződik meg a betett összeg 18 év elteltével? (Minden év leteltekr az éves kamatt a tőkéhez csatlják. 4. Ha a pzitív számknak csak a pzitív kitevőjű hatványait értelmeztük vlna, akkr milyen számknak nem lenne 10-es alapú lgaritmusa? Ekkr milyen számknak lenne 0,5 alapú lgaritmusa? 5. Az ABC hármszög csúcspntjainak krdinátái: A (lg8;lg ), B (lg 4;lg ) és C (lg 4;lg16) Mekkra a hármszög területe?

26 6 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 6. Határzd meg a [ 3 ; 3] intervallum legbővebb részhalmazát, amelyen értelmezhetők az alábbi kifejezések! a) lg 10 x f(x) = ; b) x g(x) = lg10 ; c) 1 lg x h(x) = 10. A kaptt halmazn értelmezett f, g és h függvényeket ábrázld egy-egy derékszögű krdináta-rendszerben! 7. Fejezd ki az alábbi képletekből az A váltzót! (A, B és t pzitív számt jelölnek) a) lg A lg B lg( A B) lgt = b) = lgt 1 lg B+ lg A c) 10 = t Ha B =, akkr a t váltzó milyen értéke esetén lesz a hárm képlet közül az elsőben a legnagybb az A értéke? 8. Számlógép használata nélkül döntsd el, hgy melyik szám a nagybb! Döntésedet indkld! a) lg 5 vagy lg 5 16 b) lg 3 π 1 vagy 1 lg π 3

27

28 8 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. MERRE? 1. Jelölje A és B egy 10x10-es négyzet két átellenes csúcsát! Tld el az A pntt egymás után valamilyen srrendben az alábbi vektrkkal! a ( 6; ), b ( 7; 1), c ( 0; 8), d (4;), e ( 3;1 ), f ( 7; 1), g ( 3; 1) a) Az eltlásknak van-e lyan srrendje, amely az A pntt nem a B pntba viszi? b) Megadható-e az eltlásknak lyan srrendje, amelyek srán az A pnt nem hagyja el egyszer sem a négyzetlapt?. Az ABCDEFGH téglatest A csúcsából induló élvektrkat jelöljük a következőképpen: AB = a, AD = b és AE = c. Tld el az A csúcst a) a BCGF ldallap K középpntjába! b) a HG él L felezőpntjába! c) a HF lapátló H-hz közelebbi P harmadló pntjába! Add meg mindhárm esetben az eltlás vektrát az a, b és c vektrkkal! 3. Az ábrán látható hat vektrral megadtt eltlásk közül választhatunk-e lyankat (bármelyiket legfeljebb egyszer), amelyek egymás utáni végrehajtása a P pntt

29 5. mdul: ARRA, ANNYIVAL! 9 a) a P 1 pntba viszi? b) a P pntba viszi? c) a P 3 pntba viszi? 4. Az a (;0) vektrhz adj meg krdinátáival egy lyan b vektrt, amelynek a hssza egység, tvábbá a) a + b = 0 b) a b = 0 c) a + b = d) a b = e) a + b = 5 5. Egy hangya sétáját követjük nymn. Az egyszerűség kedvéért krdinátasíkn adjuk meg a mzgását. Először az rigóból a P 1 (6;8 ) pntba másztt el egy egyenes szakasz mentén. Itt a menetirányáhz képest kal elfrdult, és ebben az irányban fele akkra hsszú szakasznyi távlságt ment, mint az előzőben. Így a P pntba juttt. Itt ismét elfrdult a menetirányáhz képest kal, és ebbe az irányba a P 1 P szakasz hsszának felével megegyező távlságt megtéve a P 3 pntba juttt. Még egyszer elfrdult kal, ismét az előző szakaszban megtett távlság felével egyenes útn haladt, és így a P 4 pntba érkezett. a) Mennyi utat tett meg összesen a hangya, amíg az rigóból a P 4 pntba eljuttt? b) Határzd meg az egyes frdulópntk krdinátáit!

30 30 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE c) A hangya végül kiindulópntjáhz képest mennyit mzdult el? 6. Egy négyzet két szmszéds csúcsa: A ( 1;4), B (5;) csúcsának (C és D) krdinátáit!. Határzd meg a négyzet tvábbi két 7. Egy, a DÁMA játékhz hasnló játékt négyzethálós papírn játszanak. Az egyik játéks bábui feketék, a másiké pirsak. A bábuk csak a nagy négyzet ldalán és a belsejében lévő rácspntkn állhatnak, vagy azkra léphetnek. A bábuk a játékmezőből nem léphetnek ki. Az egyik játéks (pl. a fekete bábuval játszó) a másik játéks pirs bábuját leveheti, ha a fekete bábuval tud úgy ugrani, hgy a kiindulási pnt és az érkezés pnt által meghatárztt szakasz felezőpntjában van az ellenfél pirs bábuja. Innen a fekete bábu tvább is ugrhat, ha az új helyzetben ismét talál egy lyan pirs bábut, amelyet az előbb megadtt módn át tud ugrani. (Természetesen ugyanilyen szabály szerint veheti le a pirs bábus játéks is a másik játéks fekete bábuját. Az alábbi ábrán látható helyzetben már csak egyetlen fekete bábu van és 5 pirs. Mst a fekete bábu lépése következik. Találd meg a fekete bábunak azt a lépéssrzatát, amely srán minden pirs bábut le tud szedni!

31 5. mdul: ARRA, ANNYIVAL! 31 II. KÉT VEKTORBÓL EGY SZÁM Gyűjtsük össze két vektr skaláris szrzatával kapcslats ismereteinket! 1. Jelölje i és j a bázisvektrkat! a) Számítsd ki hármféle módn a ( i j) i skaláris szrzatt! b) Ha a = 4i 3j és b = 6 i + 8j, akkr ab =? c) Az a = 4i 3j és b = 6 i + 8j vektrknak mekkra a hssza? d) Mekkra a hajlásszöge a c ( 5; 1) és d (;4) vektrknak? e) Ha az E pnt helyvektra e ( 3; 4), az F pnt helyvektra pedig f ( 1; 8). Mekkra az EF vektr és az i bázisvektr hajlásszöge?. Matematika órán a tanár 4 cédula mindegyikére felírt egy-egy krdinátáival megadtt vektrt, és a cédulákat egy dbzba tette. A dbzból a csprt minden tagja kihúztt visszatevéssel két cédulát. (Azaz a másdik cédula húzása előtt minden tanulónak vissza kellett rakni a dbzba az elsőként kihúztt cédulát.) a*) A végén kiderült, hgy nem vlt két lyan húzás, amikr ugyanakkra szám lett vlna a skaláris szrzat. Legfeljebb hány tagja lehetett a csprtnak? b) Egy alkalmmal a cédulákn a következő vektrk vltak. Ekkr legfeljebb hány tagja lehetett a csprtnak? c) A b) feladatban megadtt vektrk esetén hány húzás esetén kaphatunk lyan vektrkat, amelyek hajlásszöge - 0 -s? - hegyesszög? - derékszög? - tmpaszög?

32 3 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Nehezebb feladatk 3. Döntsd el, hgy az alábbi vektrk közül melyek merőlegesek egymásra! a ( ; 4), b (cs30 ;sin 30 ), c ( 48; 6), d ( 3;), e ( 4 3;1). 4. Az ábrán látható szabálys hármszög ldalának hssza egység, S a hármszög súlypntja, H a BC ldal B csúcshz közelebbi harmadló pntja, F pedig az AB ldal felezőpntja. Határzd meg az alábbi módn megadtt számk pnts értékét! a) d) AB BC ; b) AB CS ; c) AB + AC BC ; AB + AC AS ; e*) AH AB. 5. Az ábrán látható kcka éleinek hssza 10 egység. A kcka A csúcsából induló hárm élvektr: AB = a, AD = b és AE = c. Számítsd ki az alábbi skaláris szrzatkat! a) DH BC ; b) DG a ; c) AF FC ; d) AG AC.

33 5. mdul: ARRA, ANNYIVAL! Az a, b és c egysíkú vektrkról a következőket tudjuk: Az a vektr hssza 3 egység, a b vektré 3 egység; egy nullvektrtól különböző c vektr hajlásszöge az a vektrral 30, a b vektrral pedig 10 -s szöget zár be. Biznyítsd be, hgy az a + b vektr merőleges a c vektrra! 7. Rajzld fel a krdinátasíkn azt az e egyenest, amely átmegy az A ( 1; 4) pntn, és merőleges az n (3;) vektrra! 5 9 Milyen módszerrel döntenéd el, hgy rajta van-e a B ( 1001; 1504), illetve C ; 3 pnt az e egyenesen?

34

35

36 36 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. ALAKZAT ÉS EGYENLET 1. Keress a krdinátasíkn legalább 8 lyan pntt, amelyeknek a) legalább az egyik krdinátája nulla! b) az rdinátája (másdik krdinátája) ( 3) -szrsa az abszcisszájának (első krdinátájának)! c) a két krdinátájuk abszlútértéke megegyezik! d) az abszcisszájuk -vel nagybb az rdinátájuknál! Mit gndlsz, ha mindegyik esetben a sík összes megadtt tulajdnságú pntját meg tudnád keresni, akkr a kaptt pnthalmaz milyen alakzatt alktna?. Keress lyan ( x ; y) krdinátájú pntkat, amelyek krdinátái kielégítik az alábbi egyenletet! a) ( x )( y + 3) = 0 ; b) xy = xy. 3. Pista a következő feladatt kapta: Határzd meg, hgy milyen alakzatt alkt az lyan ( x ; y) krdinátájú pntk halmaza, amelyek krdinátáira igaz az y x = 3x y egyenlőség! Pista a következőképpen járt el: Elszttta az egyenlet mindkét ldalát xy -nal. Így az y = 3x egyenlethez juttt. Azt állíttta, hgy a keresett pnthalmaz azn pntk halmaza, amelyeknek másdik krdinátája 3-szrsa az első krdinátájuknak. Ezek a pntk egy lyan egyenest alktnak, amely áthalad az rigón és a meredeksége 3. Tehát ez az egyenes a keresett pnthalmaz. Kati szerint Pista nem helyesen ldtta-e meg a feladatt. Döntsd el, hgy igaza van-e Katinak! Döntésedet indkld! Hgyan ldttad vlna meg Pista feladatát? 4. Milyen alakzatt alkt a sík összes lyan pntja, amelyek ( x; y) krdinátáit behelyettesítve az alábbi egyenletbe, fennáll az egyenlőség! a) = ; b) y = xy ; c) x xy + y = 9 ; x y ( x 4)( y x)( y 4) d) = 0 ; e) y = 3x. y 1

37 6. mdul: EGYENESEN ELŐRE! Rajta van-e a P pnt a következő egyenlettel megadtt alakzatn? a) x xy = és 3; x 1 P ; b) y = x 3 x és P (;6) ; 3 c) y x = x 4 és P (;8). 6. Van-e az y tengelyen pntja a következő egyenlettel megadtt alakzatnak? Ha igen, add meg a pntt a krdinátáival! a) 3 x ( y + 3x) = 4 ; b) y + y( x 1) = x A következő egyenlettel megadtt alakzatnak van-e pntja az x tengelyen? Ha igen, add meg a pntt krdinátáival! a) 3 x ( y + 3x) = 4 ; b) (1 x )cs y = x + y 1.

38 38 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. ITT IS, OTT IS EGYENES 1. Válaszd ki a megadtt vektrk közül azkat, amelyek nrmálvektrai az egyenletével megadtt e, f, illetve g egyenesnek! Döntésedet indkld! a(1,); b(4, ); c(,1); d( 1,); h(, 4); k(,1); p(0,, 0,1); q(π,π). 4x 1 e: y = ; f : x 1 5 3y = 3 ; g: 6(1- x) - 3(y + 4) = 0.. Mennyi az x + y = 3 3 egyenletű egyenes meredeksége? 3. Döntsd el, hgy igazak-e az alábbi állításk! Döntésedet indkld! a) Az ABC hármszög C csúcspntján átmenő magasságvnalának egyenlete 4x y = 3, ha A (1;7 ), B( 1;8 ) és C ( 5; 9). b) Az ABC hármszög egyik ldalának felezőpntja K ( 5; ), ha A (6;3), B (1;5 ) és C ( 4; 7). c) Az y = x 4 és 3y + 6x = 4 egyenletek egy paralelgramma szemközti ldalegyeneseinek egyenletei. d) Az ABC hármszög egyik ldalegyenesének egyenlete x 7 y = 4, ha A ( 3; 1), B (;0) és C ( 4; 3). e) Az ABC hármszög egyik ldalfelező merőlegesének egyenlete 5x 6y = 113, ha A ( 100;5), B (;73) és C (6;1 ). 4. Egy rmbusz átlóinak metszéspntja: K ( 3;) ; egyik csúcspntja A (;4). a) Ennyi adatból a rmbusz milyen tvábbi adatai határzhatók meg egyértelműen? b) Eláruljuk a rmbusz A csúcsán átmenő egyik ldalegyenesének egy pntját is: P ( 11; 4). Mekkra a rmbusz területe?

39 6. mdul: EGYENESEN ELŐRE! Tükrözd az x tengelyre és az y tengelyre is a) a P ( 3; ) pntt; b) az AB szakaszt, ha A ( ; 1) és B (6;) ; c) az y = x + 3 egyenletű e egyenest; d) a 4 x + 3y = 8 egyenletű f egyenest! Írd fel az e, illetve f egyenes tükörképeinek egyenletét! Az AB szakasz egyenlete: 3 x 4y = 10, ahl x 6. Írd fel az AB szakasz tükörképeinek egyenletét! 6. Tld el a3 x 4y + 8 = 0 egyenletű e egyenest a) a k (3;) vektrral; b) a p (8;6) vektrral; c) az e egyenesre merőlegesen 6 egységgel! Írd fel az eltlással kaptt alakzat egyenletét!

40

41

42 4 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. SEGÍTSÉG 1. Derékszögű hármszög befgói 5 cm és 1 cm hsszúak. Mekkra a hármszög köré írt kör sugara?. Szerkeszd meg az ABC hármszög körülírt körét! C A B 3. Szerkeszd meg a kör a) egy tetszőleges H pntjában a kör érintőjét; b) P pntn átmenő érintőit! 4. A 8 cm sugarú kör K középpntjától 17 cm távlságra megjelölt P pntból milyen hsszú érintőszakasz húzható? 5. Ismét adtt az előző feladat K középpntú köre és a P pnt. Frgassuk a PK egyenest pzitív irányba! Jelöljük az ε szöggel elfrgattt egyenest e-vel. ( 0 ε <180, hiszen s elfrgatásnál már az elfrgattt egyenes újra a PK egyenessel esik egybe.) Az ε milyen értéke esetén a) metszi; b) érinti; c) kerüli el az e egyenes a kört? A hajlásszöget egész fkra kerekítve add meg!

43 7. mdul: KÖRBE, KÖRBE, KARIKÁBA Adtt egy K középpntú kör, és annak külső tartmányában egy P pnt. Szerkeszd meg azt az egyenlőszárú ABP hármszöget, amelyben AP = BP, és az adtt kör a hármszög beírt köre! 7. Számítsd ki, hgy milyen hsszú az előző feladatban megszerkesztett ABP egyenlőszárú hármszög AB alapja, ha az adtt kör sugara 5 cm és PK = 13 cm! 8. Tekintsük azkat a köröket, amelyek átmennek az A és B (különböző) pntkn. Milyen alakzatt alkt e körök középpntjainak halmaza?

44 44 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 9. Az adtt szögtartmányba szerkessz lyan adtt r sugarú kört, amely érinti a szög szárait! 10. Mi azn cm sugarú körök középpntjainak halmaza, amelyek az egymásra merőleges e és f egyenes közül legalább az egyiket érintik?

45 7. mdul: KÖRBE, KÖRBE, KARIKÁBA Adtt az ábrán látható kör és egyenes. Szerkeszd meg a kör azn érintőit, amelyek a) párhuzamsak az adtt egyenessel! b) merőlegesek az adtt egyenesre!

46 46 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. LÁTÓMEZŐNKBEN A KÖR 1. Határzd meg azt az alakzatt, amelynek az egyenlete (Vigyázz!): a) x + y = 10x 6y + ; b) x + y = 6x ; c) x + y 6x y + 10 = 0 ; d) 4x (y 1) = 0; e) y + 4 = x x y.. Határzd meg az x + y + 4x 8y + 13 = 0 egyenletű körrel kncentrikus, feleakkra sugarú kör egyenletét! 3. Tükrözd az x + y 6x y 6 = 0 egyenletű kört az x tengelyre, majd annak képét az y tengelyre! Végül az így kaptt kört az y = x egyenletű egyenesre! Írd fel az egyes transzfrmációk végrehajtásával kaptt alakzat egyenletét! 4. Írd fel azknak a köröknek az egyenletét, amelyek érintik az x tengelyt a ( ;0) krdinátájú pntban, és 3 a középpntjuk másdik krdinátájának abszlútértéke! 5. Írd fel azknak a köröknek az egyenletét, amelyek érintik mindkét krdinátatengelyt, és a sugaruk 4 egység! 6. Hl metszi az y = x egyenletű egyenes az ( x 4) + ( y 3) = 5 egyenletű kört? 7. Írd fel az ( x 4) + ( y 3) = 5 egyenletű körnek a krdináta-rendszer rigóján átmenő érintőjének egyenletét! 1 8. Kicsinyítsd az ( x 4) + ( y 3) = 5 egyenletű kört a ( 0;0) pntból arányban. Írd fel 5 a kaptt alakzat egyenletét! A transzfrmáció végrehajtásával hányszrsára váltztt a kör területe? 9. Az ABC hármszög csúcsainak krdinátái: A (0;3), B ( 4;0) és C (0;0). Írd fel a hármszög körülírt körének egyenletét!

47 7. mdul: KÖRBE-KÖRBE KARIKÁBA 47 III. ÉRINTI? 1. Hány közös pntja van az x + y = 8x egyenletű körnek az y = x egyenletű egyenessel?. Írd fel annak az rigó középpntú körnek az egyenletét, amely érinti a x y + 5 = 0 egyenletű egyenest! 3. A g egyenes merőleges a 3 x y + 0 = 0 egyenletű e egyenesre. A két egyenes metszéspntja P ( ;7). A K ( 1;) középpntú kör érinti mind a két egyenest. a) Írd fel a g egyenes egyenletét! b) Határzd meg az e és g egyenesek által alkttt szögek szögfelezőinek egyenletét! c) Határzd meg az adtt középpntú kör egyenletét! 4. Ha az x tengelyt frgatnád a krdináta-rendszer rigója körül, az elfrgattt egyenesek közül melyek kerülik el, érintik, illetve metszik az ( x 10) + ( y 5) = 5 egyenletű kört? Add meg egyenletével a kérdezett tulajdnságú egyeneseket! 5.* Határzd meg annak az x tengelyt érintő körnek az egyenletét, amelyik áthalad az A ( 9;5) és B ( 1;9 ) pntkn! 6. Írd fel az ( x 4) + ( y + ) = 5 egyenletű körnek a 4x + 3y = 40 egyenletű a) egyenessel párhuzams érintőit! b) egyenesre merőleges érintőit! 7.* Mi az egyenlete annak a körnek, amely belülről érinti az x + y = 5 egyenletű kört a P ( 4;3) pntban, és érinti az y tengelyt! 8. Mi azn pntk halmaza a krdináta síkn, amelyekből az ( x + 7) + ( y 3) = 5 egyenletű körhöz húztt érintőszakaszk hssza 1 egység?

48 48 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE IV. PONTHALMAZOK 1. Az ABC derékszögű hármszög két csúcsa rögzített: A ( ;3) és B (4;1 ). Határzd meg egyenletével azn pntk halmazát, amelyek bármelyike a hármszög harmadik C csúcsa lehet!. Egy egyenlőszárú hármszög egyik szárának végpntjai A (4;) és B ( 1;6 ). A hármszög harmadik csúcsát jelöljük C-vel. Határzd meg a lehetséges C pntk halmazát! Add meg a pnthalmaz egyenletét! 3. Egy hármszög két csúcsa A ( 1; 0) és ( 5; 0) B. A hármszög harmadik csúcsa az y = x egyenletű egyenesen mzg. a) Válassz ki a lehetséges hármszögek közül hármat, és határzd meg a kiválaszttt hármszögek súlypntjának krdinátáit! b) Határzd meg egyenletével az összes ilyen hármszög súlypntjának halmazát! 4. Az A (0;0) pntn át rajzlj egy tetszőleges m 0 iránytangensű egyenest, a B (6;0) pntn át pedig egy m iránytangensűt. Jelölje C a két egyenes metszéspntját. a) Töltsd ki az alábbi táblázat hiányzó helyeit! m értéke 0, 5 1,5 3 C pnt krdinátái ( 1; 4) b) Határzd meg egyenletével a C pntk halmazát! 5*. Egy 10 dm hsszú, vékny, elhanyaglható tömegű madzag két végére egy-egy azns tömegű kis tárgyat erősítünk. Az egyik kis tárgyat (tömegpntt) egy sima asztalra helyezzük. A madzagt kicsi csigán átvetve, annak másik vége szabadn mzghat. Kezdetben az asztaln lévő tömegpnt a lehető legtávlabb (10 dm-re) van a kis csigától. Határzd meg a két tömegpntból álló rendszer tömegközéppntjának pályáját, miközben a tömegpnt lecsúszik az asztalról!

49 7. mdul: KÖRBE-KÖRBE KARIKÁBA Adtt az A (0;0) és B (6;0) pnt. Mi azn pntk halmaza a krdinátasíkn, amelyeknek az A pnttól mért távlsága kétszerese a B pnttól mért távlságának? 7. Jelöld meg a krdinátasíkn az A (1;0 ) pntt és az x = 1 egyenletű e egyenest! Határzd meg azn pntk halmazát a krdinátasíkn, amelyeknek az A pnttól mért távlságuk négyzetének számértéke megegyezik az e egyenestől mért távlságukkal!

50

51

52 5 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. VEKTOROK ÉS SZÖGFÜGGVÉNYEK? 1. Adttak az i és j bázisvektrk ( i = j = 1). Frgasd el az i vektrt a megadtt szöggel! Az elfrgattt vektr melyik síknegyedbe kerül? Milyen előjelű a kaptt egységvektr első krdinátája? a) 1610 ; b) 400 ; c) 4π ; d) 3 ; e) Értelmezd a következő kifejezéseket! 3π cs 53 ; cs( 93 ) ; sin 14 ; sin 180 ; sin ; ( tg ) ; cs 1, Szerkeszd meg a következő 3 vektrt! e ( 1; 3) ; g = (cs 10 ) i + (sin 10 ) j ; k (cs( 330 ) ; sin( 330 )). 4. A szögfüggvények definíciójának felhasználásával (zsebszámlógép és függvénytáblázat használata nélkül) állapítsd meg a következő számk előjelét! a) sin( 97 ) c) tg( 4) e) sin3 cs3 b) cs( + 3π ) d) ctg 51 f) sin 3+ cs 3 5. Mekkra az a ( ;3) vektr legkisebb pzitív irányszöge?

53 8. mdul: GONIOMETRIA a) Az e egységvektr első krdinátája b)* Egy k egységvektr első krdinátája cs 130 bázisvektr, hgy az elfrgattt vektr a k vektr legyen?. Add meg az e vektr összes irányszögét! π sin. Mekkra szöggel frgatható el az i 3 7. Döntsd el, hgy az alábbi egyenlőségek közül melyek teljesülnek tetszőleges k egész szám esetén! a) sin( k 360 ) = b) 1 1, ha k 3 - mal sztható. 1 cs(60 + k 10 ) =, ha k páratlan szám. 1, ha k párs szám. c) sin ( k 180 ) = 1 d) tg0 = ctg( k 360 ) 8. a) Szerkeszd meg azkat az egységvektrkat, amelyek másdik krdinátája! 3 b) Értelmezd a sin x = 3 egyenletet, ahl x fkkban mért szöget jelöl! c) Add meg az egyenlet megldásait a [ 000 ; 300 ] intervallumn! d) Add meg a [ 560 ; 00 ] intervallumn a megldáskat!

54 54 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 9. a) Értelmezd a cs x + 0,5 = 0 egyenletet, ahl x radiánban mért szöget jelöl! b) Oldd meg az egyenletet a valós számk halmazán! 10. Ha A: cs x = cs160, akkr van-e lyan x szög, amelyre: cs x = cs 0 B: sin x = sin( 0 ) C: cs x = cs( 0 ) D: cs x = cs380 E: Egyik eddigi válasz sem helyes. (A megadtt válaszk közül pntsan egy helyes.) 11.* A sin x = cs 0 egyenlet megldáshalmaza ( kn, Z ): A: {70 + k 360 } B: { 0 + k 360 } C: {70 + k 360 vagy 70 + n 360 } D: {70 + k 360 vagy n 360 } E: {0 + k 360 vagy 0 + n 360 } (A megadtt válaszk közül pntsan egy helyes.)

55 8. mdul: GONIOMETRIA 55 II. CSAK SZÖGFÜGGVÉNYEK 1. Az ABCD téglalap AB ldala 4 cm hsszú, az A csúcsból induló átló 5 s szöget zár be ezzel az ldallal. a) Mekkra a téglalap területe? b) A téglalap AB, és a vele párhuzams ldalának hsszát nem váltztatjuk, de az A csúcsból húztt átló hajlásszögét flyamatsan növeljük. Jelöljük az A csúcsból induló átló, és az AB ldal hajlásszögét α -val. Hgyan függ a téglalap területe az α szögtől? c) Az α mekkra értéke esetén lesz a téglalap területe 3 cm? d) Válaszd ki a téglalapk közül azt a téglalapt, amelynek a BC ldala cm hsszú (az AB ldala 4 cm)! Frgassuk el a BC, és a vele párhuzams AD ldalt a B, illetve az A csúcs körül negatív irányba β = 0 szöggel! Mekkra a keletkezett paralelgramma területe? e) Hzz létre a d) kérdésben megadtt módn paralelgrammákat különböző β szögű, negatív irányú frgatással ( 0 < β < 90 )! Hgyan függ e paralelgrammák területe a β szög mértékétől? Add meg a függvényt képlettel, és ábrázld derékszögű krdináta-rendszerben!. Egy egyenlőszárú hármszög szárai cm hsszúak, a szárszöge γ. Hgyan függ a hármszög alapjának hssza a γ szögtől? Add meg a függvényt képlettel! Mi lesz a függvény lehető legbővebb értelmezési tartmánya? Ábrázld derékszögű krdináta-rendszerben a függvényt! π 3. Vizsgáljuk a valós számk halmazán értelmezett f ( x) = sin x függvényt! A függvény milyen egész értékeket vehet föl? Vázld értéktáblázat alapján a függvény grafiknját! Mekkra a függvény periódushssza?

56 56 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. Az ábrán egy kszinuszfüggvény teljes periódusa látható. Melyik képlettel adható meg a függvény? A: f ( x) = cs x π B: f ( x) = cs x C: D: f ( x) = csπ x E: f ( x) = csπ x f ( x) = cs x π (A megadtt válaszk közül pntsan egy helyes.) 5. Adj meg grafiknjával a valós számk halmazán értelmezett lyan függvényt, amelynek az értékkészlete a [ 1; 1] intervallum, a periódushssza π, a 0 helyen maximuma van, és nulláhz a függvény 1-et rendel! 6. Adj meg grafiknjával és képletével is egy lyan trignmetrikus függvényt, amelynek az értelmezési tartmánya a valós számk halmaza, értékkészlete a [ 0 ;] intervallum, periódushssza π, és nulláhz 1-et rendel! 7. Adj meg grafiknjával és képletével is egy lyan trignmetrikus függvényt, amelynek az értelmezési tartmánya a valós számk halmaza, értékkészlete a [ 0 ;] intervallum, periódushssza π, és nulláhz -t rendel! 8. Határzd meg a valós számk halmazán értelmezett f, g és h függvények szélsőértékeit, és azk helyét! π a) f ( x) = 1 sin x b) g ( x) = cs( x + ) c) h ( x) = cs x + 3

57 8. mdul: GONIOMETRIA 57 π 9. A [ 100; 100 ]\ + nπ, n Z R, x a tgx hányszr veszi föl a 8 értéket? függvény az adtt zárt intervallumn Az y = x egyenletű egyenesnek hány közös pntja van a valós számk halmazán 100 értelmezett f ( x) = sin x függvény grafiknjával? π 11. Tld el az f ( x) = cs x (ahl x R ) függvény grafiknját a ;1 krdinátájú vektrral! Add meg kétféleképpen is a kaptt grafiknú függvény hzzárendelési szabályát! 1. Ábrázld függvénytranszfrmációval a valós számk halmazán értelmezett g ( x) = 1 cs( x + π ) függvény grafiknját a [ π ; π ] intervallumn! a) Add meg a valós számk halmazán értelmezett függvény értékkészletét! b) Vizsgáld a valós számk halmazán értelmezett g függvény paritását és állapítsd meg a függvény zérushelyeit, szélsőértékeit, és azk helyét!

58 58 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. EGY EGYENLET, SOK GYÖK 1. Oldd meg a valós számk halmazán az alábbi egyenleteket! π π π π a) x + 1 = sin tg + cs ctg π π π π b) sin x + 1 = sin tg + cs ctg Hány megldása van a sin = 0, 5 megldáskat! x egyenletnek a [ π ; π ] intervallumn? Srld fel a 3. Add meg a következő egyenletek 3-3 megldását, majd az összes valós megldásukat is! a) tgx = 3 ; b) cs x = 1 sin x ; c) cs 3 x =. π x 4. Keresd meg a ctg = 1 egyenlet valós megldásai közül a legnagybb negatív számt! 4 5. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számk halmazán! a) (sin x cs x) + (cs x + sin x) = 3sin x 1; b) cs x tgx cs x 1 = 0 ; sin x cs x c) + + = 0. cs x sin x 6. Biznyítsd be, hgy a cs 4 x + sin x cs x + sin x = 1 egyenletnek minden valós szám megldása! 7. Biznyítsd be, hgy az alábbi egyenleteknek nincs valós megldása! cs x 1 a) tg x cs x = 1; b) = 0. 4sin x 3 8. Ha (sin x cs x) + (cs x sin x) = 5, akkr mennyi a sin x?

59 8. mdul: GONIOMETRIA Biznyítsd be, hgy az f ( x) = 4 sin x + 4cs x + 4 cs x + 4 sin x (ahl x R ) függvény knstans függvény! 10.* Hány megldása van a sin x cs y = 0 3 cs x + sin y = egyenletrendszernek, ha mindkét váltzó értéke a [ π ;π ] Srld fel a megldáskat! intervallumnak eleme?

60

61

62 6 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. HEGYESSZÖGEKRŐL 1. Egy derékszögű hármszög befgói a és b, az ezekkel szemközti szögei rendre α és β, átfgója c. Hány igaz állítás van az alábbiak között? sin α a) sin α + cs β = 1 b) = tg α csα c) c tg α + tgβ = d) b sinα = asin β ab. Egy derékszögű hármszög átfgója 8 cm, egyik befgója 6 cm hsszú. Mekkra a hármszög kisebbik hegyesszöge? 3. Egy hármszög belső szögei: 40, 60 és 80 -sak. A leghsszabb ldalhz tartzó magasság 4 cm hsszú. Mekkrák a hármszög ldalai? 4. Egy téglalap átlói 4 -s szöget zárnak be egymással, és a rövidebb ldala 6 cm hsszú. Milyen hsszúak az átlói? 5. Egy kikötő világítótrnyából a tenger szintje fölött 40 m magasságból egy hajó 8 -s depressziószög alatt látszik. Milyen távl van a hajó a trnytól? 6. Egy derékszögű hármszög egyik befgójának hssza sin75 egységgel egyenlő. Mekkra a hármszög egyik hegyesszöge? Döntsd el, melyik válasz a helyes! Döntésedet indkld! A: 75 B: Tetszőleges lehet. C: 15 D: A többi válasz nem helyes. Megjegyzés: Itt és a többi választáss megldásk közül csak egy válasz megfelelő. 7. Ha egy derékszögű hármszög egyik befgója sin 75 egység, a másik sin15 egység hszszú, akkr az átfgó hssza hány egység? A: 0,98 B: tg 75 C: tg 15 D: 1 8. Egy egyenlőszárú hármszög szárainak hssza 10 cm, a szárak által bezárt szög 30 -s. Mekkra a hármszög körülírt körének sugara?

63 9. mdul: HÁROMSZÖGEK, SOKSZÖGEK Egy egyenlőszárú hármszög szárainak hssza 8 cm, egyik belső szöge10. Mekkra a hármszög harmadik ldalának hssza? 10. Egy turista β emelkedési szögű, b km hsszú egyenes útn juttt fel a B csúcsra, nnan γ emelkedési szögű ( γ > β ), c km hsszú egyenes útn feljuttt a C csúcsra. Mennyi a szintkülönbség a kiindulási pnt és a C csúcs között? b c A: b cs β + c csγ B: + sin β sin γ C: b sin β + csin γ D: ( b + c)sin( β + γ ) 11. Egy szimmetrikus trapéz szára kétszerese a trapéz magasságának. Mekkrák a trapéz szögei? 1. Mekkra a hegyesszöge annak a paralelgrammának, amelynek ldalai 5 cm és 8 cm hsszúak, területe pedig 0 cm? 13. Egy ház első emeleti ablakának felső párkánya 10 m-re van az utcaszinttől. Az utca egy pntjából ez a felső párkány 35 - s emelkedési szög alatt, a ház teteje 70 -s emelkedési szög alatt látszik. Milyen magas a ház? 14. Egy cég emblémája tömör fából készült négyzet alapú, egyenlő ldalélű gúla. A gúla alapéle 5 cm, ldaléle 8 cm hsszú. a) Milyen magas a gúla? b) Mekkra szöget zár be a gúla két szemközti ldaléle?

64 64 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. ISMERI ÖN A KOSZINUSZTÉTELT? A hármszöget két ldala és az általuk közbezárt szöge egyértelműen meghatárzza, tehát ezeknek az adatknak az ismeretében kiszámítható a hármszög többi adata, pl. a hármszög harmadik ldalának hssza, a többi szöge. A hármszög hárm ldala és egy szöge közötti kapcslatt a kszinusztétel írja le az algebra nyelvén. Segítségével a hárm ldal ismeretében könnyen megtudhatjuk, hgy szögei szerint milyen a hármszög, mekkra a legnagybb szöge stb. Ezt a tételt skszr alkalmazzuk gemetriai számításk srán, ezért célszerű több időt szánni a tétel mélyebb megismerésére. 1. Egy hármszög egyik szögének kszinusza negatív szám. Szögei szerint milyen a hármszög? a + b c. Egy hármszög a, b és c ldalairól tudjuk, hgy < 0. Szögei szerint milyen a ab hármszög? 3. Egy hármszög mindhárm szögének szinusza pzitív szám. Szögei szerint milyen a hármszög? 4. Létezhet-e lyan hármszög, és ha igen, szögei szerint milyen, ha α, β és γ szögeire: a) csα cs β csγ 0, 5 ; b) sin α sin β sin γ = Egy hármszög két szögéről (α és β ) tudjuk, hgy α : β = 1:. Melyik kifejezés egyezik meg biztsan a szögekkel szemközti ldalak arányával? A: 1 : ; B: sin α : sin β ; C: (A megadtt válaszk közül pntsan egy helyes.) 1 : 3 ; D: cs α : cs α. 6. Egy hármszög ldalai 3 cm, 4 cm és 6 cm hsszúak. Mekkra a legnagybb szögének kszinusza? 7. Egy hármszög egyik szöge 10 -s, két ldalának hssza 4 cm és 8 cm. Mekkra a hármszög harmadik ldala?

65 9. mdul: HÁROMSZÖGEK, SOKSZÖGEK Egy hármszög egyik szöge 150 -s, két ldalának hssza 6 cm és 8 cm. Mekkra a hármszög területe? 9. Egy hármszög egyik ldala 4-szerese egy másik ldalnak, s e két ldal által közrefgtt szög 10 -s. A hármszög leghsszabb ldala hányszrsa a legrövidebbnek? 10. Egy hármszög két ldala a és b, a velük szemközti szögek rendre α és β, tudjuk tvábbá, hgy csα = cs β a b. tg α a) Mekkra a? tgβ b) Oldalai szerint milyen a hármszög? 11. Milyen határk között lehet a hármszög b ldalának hssza, ha az a, b, c ldalú hármszög hegyesszögű, b < a és a = 7, c = 9? 1. Milyen határk között lehet a hármszög b ldalának hssza, ha az a, b, c ldalú hármszög tmpaszögű, b < a és a = 5, c = 7? 13. Mekkra a hármszög legnagybb szöge, ha a, b, c ldalaira: c ab = a + b?

66 66 MATEMATIKA C 11. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. KIRÁNDULUNK 1. Barátainkkal többnaps kirándulásra mentünk. Szállásunk az A faluban vlt. Első nap felfedeztük a környéket. Szálláshelyünktől nyugatra, nnan 5 km távlságra vlt B falu. Ha ebből a faluból északi irányban haladtunk km-t, egy várrmhz (C) érkeztünk. Innen tvább a menetiránytól jbbra, azzal kb. 70 -s szöget bezáró egyenes útn haladtunk tvább, és C-től 3 km-re a D vadászházhz érkeztünk. a) Rajzld le az első napi túra útvnaltervét! b) Számítsd ki, hgy milyen távl van légvnalban a szálláshelyünk a vadászháztól?. Másnap újabb túraútvnalat terveztünk. A térkép szerint, ha az A szálláshelyünkről dél felé indulunk el egy egyenes műútn, majd nemskára a műútról jbbra, kb. 30 -s szögben leágazó mellékútn haladunk tvább, úgy 5 km megtétele után a C faluba jutunk el. Ha visznt tvább haladunk még a műútn 3 km-t, és itt (D pntban) egy, a műútról balra kb. 0 -s szögben leágazó útn haladunk 4 km-t, egy régi káplnáhz jutunk. A társaság egyik része a C faluba, a másik része a K káplnáhz ment. a) Rajzld le a másdik napi túra útvnaltervét! b) Milyen távl került egymástól légvnalban a társaság két fele? 3. Harmadik napra hagytuk a legnehezebb túrát. A szálláshelyünktől kelet felé egy kb. 300 m magas hegy látsztt, tetején egy kilátóval. Elhatárztuk, hgy a hegyet trnyiránt mászszuk meg. A társaság ismét két részre szakadt, mert egy K helyről lankásabbnak tűnt a hegyldal, kb. 0 -s emelkedési szögben lehetett haladni, míg a vízszintes talajn ezzel 10 -s szöget bezáró N helyről meredekebb vlt, kb. 50 -s emelkedési szögű. Számítsd ki a K és N pntk távlságát!

67 9. mdul: HÁROMSZÖGEK, SOKSZÖGEK Egymással 60 -s szöget bezáró két egyenes útszakaszn egy-egy gépkcsi (A és B) közeledik az M útelágazás felé. Jelenleg A és B távlsága 600 m. B-ből nézve az AM útszakasz 45 -s szög alatt látszik. A gépkcsik állandó sebességének nagysága: v(a) = 18 m/sec, v(b) = 5 m/sec. Melyik gépkcsi, és mennyi idővel érkezik előbb az elágazáshz? 5.* Hárm középisklás diák egy flyó partján sátrztt. A flyó túlsó partján vlt egy dmb. Úgy becsülték, hgy a dmbtető a sátrhelyükből 45 -s emelkedési szög alatt látszik. Kíváncsiságból, a sátrhelyüktől jbbra és balra is kimértek métert, és ezekről a helyekről is megbecsülték a dmbtető emelkedési szögét. A becsült szögek: az egyik pntból 60, a másikból 30. Becslésed szerint, milyen magas a dmb? Számítsd is ki! 6. A tó egy szigetén lévő két trny (A és B) távlságát szeretnénk meghatárzni. E célból a tó partján kitűzünk két lyan pntt (C és D), amelyek távlsága 300 m, tvábbá lemérjük az alábbi szögeket: DCB = 90, DCB = 40, CDA = 5 és CDB = 70. Mekkra a két trny távlsága? 7. A Gellérthegy magassága tengerszint felett 35 m. A tetejéről a pesti ldal fele nézve két kis park (A és B) 40 -s és 56 -s depressziószög alatt látszik (A pesti ldal tengerszínt feletti magassága kb. 110 m). A két depressziószög mérése között a mérőeszközt kellett elfrgatni. Milyen távl van egymástól légvnalban a két kis park? 80 -kal

MATEMATIKA C 12. évfolyam 2. modul Telek és kerítés

MATEMATIKA C 12. évfolyam 2. modul Telek és kerítés MATEMATIKA C 1. évflyam. mdul Telek és kerítés Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató A mdul célja Időkeret Ajánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk Skszögekről

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk MTEMTIK C 1. évflyam. mdul mi terünk Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató mdul célja Időkeret jánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk térfgat- és felszínszámítási

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 5. modul Ismétlés a tudás anyja

MATEMATIKA C 12. évfolyam 5. modul Ismétlés a tudás anyja MATEMATIKA C. évflyam 5. mdul Ismétlés a tudás anyja Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés a tudás anyja Tanári útmutató A mdul célja Időkeret Ajánltt krsztály Mdulkapcslódási

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Ezt már mind tudjuk?

Ezt már mind tudjuk? MATEMATIKA C 11. évflyam 10. mdul Ezt már mind tudjuk? Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató A mdul célja Időkeret Ajánltt krsztály Mdulkapcslódási

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Trigonometria I. A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát (arányát).

Trigonometria I. A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát (arányát). Trignmetria I A hegyes szögű deiníciók: A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti begó és az átgó hányadsát (arányát). Kszinus nak nevezzük a szög melletti begó és az átgó hányadsát (arányát). A

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

MATEMATIKA C 11. évfolyam. 8. modul Goniometria. Készítette: Kovács Károlyné

MATEMATIKA C 11. évfolyam. 8. modul Goniometria. Készítette: Kovács Károlyné MATEMATIKA C. évflyam 8. mdul Gnimetria Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C. évflyam 8. mdul: Gnimetria Tanári útmutató A mdul célja Időkeret Ajánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk A szögfüggvények definíciójának

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

. 2 pont A 2 pont nem bontható. 3 Összesen: 2 pont. Összesen: 3 pont. A valós gyökök száma: 1. Összesen: 2 pont. Összesen: 2 pont

. 2 pont A 2 pont nem bontható. 3 Összesen: 2 pont. Összesen: 3 pont. A valós gyökök száma: 1. Összesen: 2 pont. Összesen: 2 pont 1. Az egyszerűsítés után kaptt tört: I. a b. pnt A pnt nem bntható. 3 Összesen: pnt. Frgáshenger keletkezik, az alapkör sugara 5cm, magassága 1cm. V = 5π 1(cm 3 ). A frgáshenger térfgata 300π cm 3. Ha

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága

Részletesebben

Kisérettségi feladatgyűjtemény

Kisérettségi feladatgyűjtemény Kisérettségi feladatgyűjtemény Halmazok 1. Egy fordítóiroda angol és német fordítást vállal. Az irodában 50 fordító dolgozik, akiknek 70%-a angol nyelven, 50%-a német nyelven fordít. Hány fordító dolgozik

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Harmadikos vizsga Név: osztály:

Harmadikos vizsga Név: osztály: . a) b) c) Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! log 6 log log 49 4 7 d) log log 6 log 8 feladat pontszáma: p. Döntsd el az alábbi öt állítás mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis! A pontozott

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

17. tétel: Egybevágósági transzformációk. Szimmetrikus sokszögek.

17. tétel: Egybevágósági transzformációk. Szimmetrikus sokszögek. 17. tétel: Egybevágósági transzfrmációk. Szimmetrikus skszögek. Gemetriai transzfrmáció: Olyan függvény, melynek értelmezési tartmánya és értékkészlete is egy-egy pnthalmaz (vagyis pntkhz rendel pntkat).

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x = . Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. KÖZÉPSZINT ) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, ab 0)! a b ab ab ab ( a ) a ab I. Összesen: pont ) Egy mértani sorozat második eleme 3, hatodik eleme.

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

c.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 3

c.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 3 1. Az alái feladatok egyszerűek, akár fejen is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonan erre a papírra írja! a.) Írja fel egy olyan egész együtthatós másodfokú egyenlet

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható nálható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.

Részletesebben

Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6

Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6 Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval

Részletesebben

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok! Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Kisérettségi feladatsorok matematikából

Kisérettségi feladatsorok matematikából Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)

Részletesebben

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! 1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! G H = H \ G = 2. Ha 1 kg szalámi ára 2800 Ft, akkor hány

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 11. évfolyam 2. félév ESZKÖZÖK Matematika A 11. évfolyam 6. modul 6.1 kártyakészlet 6.1 kártyakészlet leírása A kártyákon pontok koordinátáit találjuk. A tanulók

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók a szürke

Részletesebben

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! 1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! G H = H \ G = 2. Ha 1 kg szalámi ára 2800 Ft, akkor hány

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 9. KÖZÉPSZINT 1) Mely x valós számokra igaz, hogy x I. 9? x 1 3. x 3. Összesen: pont ) Egy háromszög egyik oldalának hossza 10 cm, a hozzá tartozó magasság hossza 6 cm.

Részletesebben

Számelmélet Megoldások

Számelmélet Megoldások Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,

Részletesebben

Gyakorló feladatsor matematika javítóvizsgára évfolyam.docx

Gyakorló feladatsor matematika javítóvizsgára évfolyam.docx 1) Egy bankba ot helyezek el évre megtakarítás céljából. Mennyi pénzem lesz a év leteltekor, ha az éves kamat? 2) Egy autó értéke 7 évvel ezelőtt volt. Mennyi most az értéke, ha végig évi os értékcsökkenéssel

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 5A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 05-09- Terem: Munkaidő: 50 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I. 1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria I. Trigonometria I. Hegyes szögek szögfüggvényei: Az α hegyesszöggel rendelkező derékszögű háromszögek egymáshoz hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. Így oldalhosszaik aránya mindig állandó. Az α szögtől

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria III. Trigonometria III. TÉTEL: (Szinusz - tétel) Bármely háromszögben az oldalak és a velük szemközti szögek szinuszainak aránya egyenlő. Jelöléssel: a: b: c = sin α : sin β : sin γ. Megjegyzés: A szinusz -

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló

Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. Mennyi a tizenkilencedik prím és a tizenkilencedik összetett szám szorzata? (A) 00 (B) 0 (C) 0 (D) 04 (E) Az előző válaszok egyike sem helyes.. Az 000

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont

törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont 1. Egyszerűsítse az 3 2 a + a a + 1 törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2. Milyen számjegy állhat az X helyén, ha a négyjegyű 361 X szám 6-tal osztható? X = 3. Minden szekrény barna. Válassza ki az

Részletesebben

I. A négyzetgyökvonás

I. A négyzetgyökvonás Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben