Matematika C 10. osztály 8. modul Terv és valóság

Átírás

1 Matematika C 10. sztály 8. mdul Terv és valóság Készítette: Kvács Kárlyné

2 Matematika C 10. évflyam 8. mdul: Terv és valóság Tanári útmutató 2 A mdul célja Időkeret Ajánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk A képességfejlesztés fókuszai A tanuló környezetében lévő tárgyak, épületek hsszúságadatainak mérése, a már tanult trignmetriai ismeretek alkalmazása, a matematika órán halltt gemetriai feladatk adatainak szembesítése a mért adatkkal. Közelítő számítási alapismeretek elsajátítása. 3 fglalkzás évesek (10. sztály) Tágabb környezetben: földmérők munkája, eszközei Szűkebb környezetben: matematika órán, köznapi életből vett gemetriai feladatk megldása. Fizika órán hibakrlátk megállapítása. Ajánltt megelőző tevékenységek: szögfüggvények ismerete derékszögű hármszögben Számlás, számlálás Mennyiségi következtetés, Becslés, mérés Szöveges feladat megldása, prbléma megldás, metakgníció Rendszerezés, kmbinativitás AJÁNLÁS A feladatgyűjteményekben gyakran találkznak a tanulók lyan feladatkkal, amelyekben épületek magasságának, megközelíthetetlen tárgyak távlságának kiszámítása a feladat. Ezekben a feladatkban a szükséges adatk rendelkezésre állnak. A tanulókban is felmerülhet a hiányérzet: vajn ha adtt egy prbléma (pl. egy épület magasságának meghatárzása), akkr milyen adatk mérésével tudnám elérni a célmat? Vajn a rendelkezésemre álló eszközökkel milyen hibahatárkkal tudnám végrehajtani a mérést? Ezekre a kérdésekre keresi a választ ez a mdul. A mérést természetesen kmly tervezőmunka előzi meg. A mérés többszöri elvégzése, a méréshibák becslése, a mért adatkkal a kérdéses mennyiség kiszámítása, a kiszámíttt mennyiség ellenőrzése, szembesítése a tárgy, épület megismerhető valódi méreteivel mindez része a munkának. Ez a sk tevékenység nem fér egyetlen fglalkzás időtartamába, ezért javaslm az első két fglalkzást egyszerre megtartani.

3 Matematika C 10. évflyam 8. mdul: Terv és valóság Tanári útmutató 3 A harmadik fglalkzás témaköre már régen kikerült a matematika tantervi anyagából. Ez azért is sajnálats, mert a gyakrlati prblémák beszivárgása a matematika órákra szükségessé teszi a közelítő számítás alapismereteinek elsajátítását is. A kalkulátrk használata (ami természetesen elkerülhetetlen) is előidézi a gyakrló tanár által skszr láttt prblémát, amikr a tanuló például egy hegy magasságát ezredmilliméter pntssággal határzza és adja meg. A mdul nem a közelítő számítás elméletével ismertet meg, hanem a tanulók tapasztalatk gyűjtése srán sajátítják el a szükséges alapismereteket.

4 Matematika C 10. évflyam 8. mdul: Terv és valóság Tanári útmutató 4 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszközök, mellékletek I. Mérünk és számlunk (1. rész) 1. A prbléma megfgalmazása, a mérés megtervezése II. Mérünk és számlunk (2. rész) Pntsság, kreativitás, térlátás, térbeli visznyk felismerése, hsszúság becslése, gndlkdási sebesség, ismeretek rendszerezése 1. Terepen a mérések végrehajtása Pntsság, analógiás gndlkdás, becslési képesség, figyelemkncentráció, eredetiség, elemző képesség, térlátás, térbeli visznyk felismerése, hsszúság becslése, gndlkdási sebesség, ismeretek rendszerezése, rugalmas gndlkdás, prblémamegldás 2. A mérés hibahatárainak becslése. Analógiás gndlkdás, becslési képesség, elemző képesség, gndlkdási sebesség, ismeretek rendszerezése, rugalmas gndlkdás 3. Számítás a mért adatkkal és a becsült hibahatárkkal. Pntsság, analógiás gndlkdás, gndlkdási sebesség, ismeretek rendszerezése, rugalmas gndlkdás, prblémamegldás Eszközök: Körző, vnalzó, számlógép, mérőeszközök Tanulói munkafüzet: Mérések és Vázlatk Szükséges eszközök Szögmérés Egy-egy lehetséges mérési mód Eszközök: Körző, vnalzó, számlógép, egyenes léc, szögmérő, erős cérna, kisméretű nehezék Eszköz: Számlógép Eszköz: Számlógép

5 Matematika C 10. évflyam 8. mdul: Terv és valóság Tanári útmutató 5 Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszközök, mellékletek III. Közelítő számításk 1. Számlás közelítő értékekkel Számlási képesség, műveletvégzési sebesség, pntsság, figyelemkncentráció, prblémaérzékenység, gndlkdási sebesség, ismeretek rendszerezése, rugalmas gndlkdás, prblémamegldás, elemző képesség 2. A kör kerülete Számlási képesség, műveletvégzési sebesség, pntsság, figyelemkncentráció, prblémaérzékenység, gndlkdási sebesség, ismeretek rendszerezése, rugalmas gndlkdás, prblémamegldás, elemző képesség 3. Idézetek dlgzatkból Számlási képesség, műveletvégzési sebesség, pntsság, figyelemkncentráció, prblémaérzékenység, gndlkdási sebesség, ismeretek rendszerezése, rugalmas gndlkdás, prblémamegldás, elemző képesség Eszköz: Számlógép Tanulói munkafüzet: Számlás közelítő értékekkel Eszköz: Számlógép Tanulói munkafüzet: A kör kerülete Eszköz: Számlógép Tanulói munkafüzet: Idézetek dlgzatkból

6 Matematika C 10. évflyam 8. mdul: Terv és valóság Tanári útmutató 6 I II. MÉRÜNK ÉS SZÁMOLUNK A tanítási órán nincs alkalm és lehetőség arra, hgy a tanulók a gemetria számlási feladatk adatait kinn, a terepen méréssel határzzátk meg. Kevés lehetőség adódik becslésre, hibahatárk megállapítására Ezen a fglalkzásn e kérdésekkel fglalkzunk. Az egy-egy fglalkzásra megszabtt 45 perc úgy vélem nem elegendő ennek a kmplex feladatnak az elvégzésére, ezért javaslm, hgy vnjunk össze két fglalkzást. A fglalkzás négy részből áll: 1. A prbléma megfgalmazása, a mérés megtervezése 2. A mérések végrehajtása terepen 3. A mérés hibahatárainak becslése 4. Számítás a mért adatkkal és a becsült hibahatárkkal Tanulói munkafüzet: Mérések és Vázlatk A következő prblémákat javaslm kitűzésre: a) Egy épület (fa) magasságának kiszámítása, feltéve, hgy az épület (fa) megközelíthető. b) Egy lyan épület (ablak vagy fa) magasságának kiszámítása, amelyik nem közelíthető meg. c) Két tárgy (épület, fa) távlságának kiszámítása, ha a tárgyak távlsága közvetlenül nem mérhető meg. A feladat kitűzésekr készítsünk egy sematikus vázlatt: a) b) h =? h =? c) s =? Tanulói munkafüzet: Szükséges eszközök Szervezzünk 3 fős csprtkat! Minden csprt számára biztsítsuk a következő eszközöket: szögmérő mérőszalag (legalább 30 m-es) vékny, egyenes léc rajzszög és vékny, erős cérnára kötött nehezék talajba leszúrható egyenes bt

7 Matematika C 10. évflyam 8. mdul: Terv és valóság Tanári útmutató 7 Először minden csprt készítsen tervet, hgy milyen adatkat mérnének meg ahhz, hgy a mért adatkból már kiszámíthatók legyenek a kérdéses hsszúságk! Miután a tanulók megismerték a méréshez használható eszközök listáját, egyértelművé válik számukra, hgy szögeket és hsszúságkat mérhetnek. Mivel már ismerik a szögfüggvényeket, azk derékszögű hármszögben való alkalmazását is, illetve a hármszögek hasnlóságának alapeseteivel is fglalkztak tanórán, valószínű, hgy tanári segítség nélkül is tudnak többféle tervet készíteni. Szögmérést (talajra merőleges síkban) a következőképpen végezhetnek a tanulók: Egy léc ldalára erősítenek egy szögmérőt, annak közepére egy függőónt (cérnából és a végén nehezékből készíthető). A lécet úgy állítják be, mintha egy távcső csöve lenne. A függőón és a léc által bezárt tmpaszögből a derékszöget visszaszámlva az emelkedési szöghöz jutnak. Tanulói munkafüzet: Szögmérés Az alábbiakban néhány mérési lehetőséget vázlunk: Tanulói munkafüzet: Egy-egy lehetséges mérési mód a) Egy épület (fa) magasságának kiszámítása, feltéve, hgy az épület (fa) megközelíthető. i) Mérendő adatk: m, α, b Kiszámítandó: h = x + m Megldás: h = m + b tgα ii) Mérendő adatk: a segédtárgy c hssza, a két árnyék a és b hssza. Kiszámítandó: a h hsszúság.

8 Matematika C 10. évflyam 8. mdul: Terv és valóság Tanári útmutató 8 Megldás: ac h = b b) Egy lyan épület (ablak vagy fa) magasságának kiszámítása, amelyik nem közelíthető meg. i) Mérendő adatk: AB, α, β, m. Kiszámítandó: x és y. Megldás: x x Mivel tgβ = és tg = AB + y y α, így ( AB + y) tgβ = y tgα. AB tgβ Ebből y =. tgα tgβ AB tgα tgβ Ezért x = y tgα =. tgα tgβ AB tgα tgβ A kérdéses magasság: h = x + m = + m. tgα tgβ

9 Matematika C 10. évflyam 8. mdul: Terv és valóság Tanári útmutató 9 ii) Mérendő adatk: derékszög,α, γ, b. Kiszámítandó: y és h. Megldás: b Mivel a talajszinten lévő derékszögű hármszögből: y =, másrészt a h és y csα h b tgγ befgójú derékszögű hármszögben tg γ =, így h = y csα c) Két tárgy (épület, fa) távlságának kiszámítása, ha a tárgyak távlsága közvetlenül nem mérhető meg. i) Mérendő adatk: α, β, b. Számítandó: y és x (ahl β az x és b ldalak hajlásszöge, és y a β szög csúcsából húztt magasság hssza). Megldás: Az y és b ldalak által határlt derékszögű hármszögben: y = bsinα Az x és y ldalak által közrefgtt szög: β ( 90 α) = β 90 + α, és az általuk meghatárztt derékszögű hármszögben: cs( β 90 + α) = y x b sinα Így x =. cs( β 90 + α)

10 Matematika C 10. évflyam 8. mdul: Terv és valóság Tanári útmutató 10 ii) Mérendő adatk: derékszög, α, b. Számítandó: x. Megldás: x = b tgα x α b A mérések megtervezése után írják le a tanulók a kérdéses mennyiség kiszámításának módját is! Így már paraméteresen megfgalmazódik a prbléma megldása is. A terephelyet (a mérésbe bevnt épületeket, fákat) célszerű előre kiválasztanunk. A csprtk frgószínpadszerűen végezhetnék el mind a hárm fajta (vagy esetleg több fajta) mérést. Célszerű a csprtkkal jegyzőkönyvet készíttetni. Egy-egy mérést legalább kétszer végezzenek el! Fnts a becslés, a valóság méreteinek érzékelése. Egy mérés befejezésekr becsüljék meg, hgy a mért hsszúságk, szögek valódi mértéke mennyire térhet el a mérttől. Ezt feltétlen jegyezzék fel a csprtk, mert a végén a hibahatárkkal is ki kell számítaniuk a kérdéses mennyiségeket. Ez nagyn tanulságs lehet a számukra: egy mért adat mindig egy intervallumnak, a hibahatárk által megszabtt intervallumnak az eleme. A hibahatárk természetesen a mérést végző személy gndsságán, pntsságán kívül elsősrban a mérés eszközeinek jóságán múlik. A mérés befejezése után (az iskla épületébe visszatérve) kiszámíthatják a csprtk mindhárm feladatban a kérdezett mennyiséget. Vessék össze eredményeiket a hibahatárkkal kiszámlt értékekkel! Érdemes összehasnlítani az egyes csprtk eredményeit is! Ha ugyanazkat az adatkat mérték, akkr is tanulságs lehet az egyes mérések összevetése, de különösen érdekes a különböző módn mért adatkkal kaptt eredmények összehasnlítása. Célszerű a táblán összesíteni az egy-egy feladatra kaptt eredményeket. Ha eltérések mutatkznak az egyes csprtk mért adatai között, vizsgáltassuk meg, hgy az eltérés a becsült hibahatárkn belül van-e. Ha nem, mi lehet az ka? Ha épület magasságának meghatárzása vlt a feladat, a fglalkzás végén biztassuk a tanulókat, hgy tudják meg, milyen magas az épület valójában!

11 Matematika C 10. évflyam 8. mdul: Terv és valóság Tanári útmutató 11 Tanulói munkafüzet I II. MÉRÜNK ÉS SZÁMOLUNK Mérések: a) Egy épület (fa) magasságának kiszámítása, feltéve, hgy az épület (fa) megközelíthető. b) Egy lyan épület (ablak vagy fa) magasságának kiszámítása, amelyik nem közelíthető meg. c) Két tárgy (épület, fa) távlságának kiszámítása, ha a tárgyak távlsága közvetlenül nem mérhető meg. Vázlatk: a) b) h =? h =? c) s =? Szükséges eszközök: szögmérő mérőszalag (legalább 30 m-es) vékny, egyenes léc rajzszög és vékny, erős cérnára kötött nehezék talajba leszúrható egyenes bt Szögmérés (talajra merőleges síkban): Egy léc ldalára erősítünk egy szögmérőt, annak közepére egy függőónt (cérnából és a végén nehezékből készíthető). A lécet állítsuk be úgy, mintha egy távcső csöve lenne. A függőón és a léc által bezárt tmpaszögből a derékszöget visszaszámlva az emelkedési szöghöz jutnak.

12 Matematika C 10. évflyam 8. mdul: Terv és valóság Tanári útmutató 12 Egy-egy lehetséges mérési mód: a) Egy épület (fa) magasságának kiszámítása, feltéve, hgy az épület (fa) megközelíthető. Mérendő adatk: m, α, b. Kiszámítandó: h = x + m. b) Egy lyan épület (ablak vagy fa) magasságának kiszámítása, amelyik nem közelíthető meg. Mérendő adatk: AB, α, β, m. Kiszámítandó: x és y. c) Két tárgy (épület, fa) távlságának kiszámítása, ha a tárgyak távlsága közvetlenül nem mérhető meg. Mérendő adatk: α, β, b. Kiszámítandó: y és x (ahl β az x és b ldalak hajlásszöge, és y a β szög csúcsából húztt magasság hssza).

13 Matematika C 10. évflyam 8. mdul: Terv és valóság Tanári útmutató 13 III. KÖZELÍTŐ SZÁMÍTÁSOK Ráhanglódás (kb. 5 perc) Szerintetek mennyi lehetett Magyarrszág lakssága a ti születési évetekben? Az 1990-ben mért adatk szerint akkr a népesség száma: fő vlt. Hgyan értelmezzük ezt az adatt? Mi lehet az első kérdés egy ilyen adat láttán? Ez az adat egy meghatárztt napra (pl. január 1-én éjfélre) vnatkzó adat es év flyamán a népesség száma nagy valószínűséggel milyen értékek között lehetett? Sk esetben nem ismerjük a pnts értéket. Ekkr közelítő értékkel számlunk. Pl. a π leggyakrabban használt közelítő értéke 3,14, pedig használhatnánk a 3,142-t vagy a 3,1416 közelítő értéket is, sőt, ha akarnánk, felírhatnánk tíz, húsz, 600 tizedesre is, ha szükségünk lenne rá, hiszen ezek mind a π -nek közelítő értékei, hiszen π irracinális szám. (Mit is jelent ez az utóbbi megállapítás?) 1. Számlás közelítő értékekkel (Javaslt idő: 40 perc. Eszközigény: számlógép. Munkafrma: egyéni és frntális.) Egy derékszögű hármszögben az 55 -s szög melletti befgó cm pntssággal mérve 24,56 m hsszú. Mekkra a másik befgó? Nem ismerjük tg 55 pnts értékét. Próbáljuk ennek a számnak egyre jbb közelítése mellett kiszámítani, hgy a másik befgó hssza milyen értékek között lehet! Ha 1,4 < tg 55 < 1, 5, mit mndhatunk a kérdéses b befgó hsszáról? ( 34,38 < b < 36, 84) Számljunk pntsabb közelítő értékkel! (Ha 1,42 < tg 55 < 1, 43, akkr 34,87 < b < 35, 1208.) Flytassuk tvább! (Ha 1,428 < tg 55 < 1, 429, akkr 35,07168 < b < 35, ) Hány számjegyét tudjuk biztsan a b befgó hsszának? (Hármat: 3, 5, 0) Tegyük fel, hgy ezt a befgót is centiméter pntssággal kell megadnunk. Vajn, milyen mértékben közelítsük tg55 -t, hgy a célunkat elérjük? ( 1,4281 < tg 55 < 1, 4282 esetében 35, < b < 35, ) Ebből milyen tapasztalatt vnhatunk le? (A befgó hsszának 4 értékes jegyét ismertük meg. A értékes jegyet nem váltztatja meg.) tg 55 tvábbi közelítése már e 4

14 Matematika C 10. évflyam 8. mdul: Terv és valóság Tanári útmutató 14 Ha 1,42814 < tg 55 < 1, 42815, akkr 35, < b < 35, A kerekítés szabályai szerint centiméter pntssággal a b befgó hssza 35,08 m, hiszen kiderült, hgy a befgó hsszának ötödik értékes jegye 5, ami azt jelenti, hgy a negyedik jegyet felfelé kell kerekítenünk. Ha Pitagrasz tételének alkalmazásával számítjuk ki az átfgót, s ezt is centiméter pntssággal kell megadnunk, mekkra értéket kapunk? 2 2 ( 24, ,08 = 42, 82. Hiszen 7 értékes jegyre 42, m adódik, s a kerekítés szabályai szerint ez cm pntssággal 42,82 m.) Felvetődhet a kérdés, hgy ha az átfgót szögfüggvény alkalmazásával számljuk ki az adtt befgó hsszának felhasználásával, vajn a cs 55 milyen mértékű közelítése esetén jutunk 24,56 ugyanerre az eredményre. Pnts érték: c =. cs55 Ha 0,5735 < cs55 < 0, 5736, akkr 42, < c < 42, Ha 0,57357 < cs55 < 0, 57358, akkr 42, < c < 42, A kör kerülete (Munkafrma: egyéni és frntális.) Tanulói munkafüzet: A kör kerülete Hgyan számítanánk ki a 3 cm ldalhsszú négyzet köré írt kör kerületét? Tételezzük fel, hgy a 3 cm pnts érték. Hgyan jelölnétek a kerület pnts értékét? ( K = π 18 ) Tudjuk, hgy 3,14 < π < 3, 15. Ha a kalkulátrral kiíratjátk 18 közelítő értékét, kiderül, hgy 4,24 < 18 < 4, 25. Számítsátk ki, hgy ilyen közelítéssel számlva, mit állíthatunk a kör kerületéről! (Mivel 4,24 3,14 = 13,3136 és 4,25 3,15 = 13, 3875, így 13,3136 < K < 13,3875.) Tehát abban biztsak lehetünk, hgy a kérdéses kerület 13,3136 és 13,3875 közötti szám. Számljuk ki jbb közelítéssel is! Mindkét irracinális szám esetében vegyünk figyelembe 3 tizedes jegyet! Mit állíthatunk így a kerület pnts értékéről? (Mivel 4,242 3,141 = 13, és 4,243 3,142 = 13, , ezért 13, < K < 13, ) Pntsítsunk tvább! (Mivel 4,2426 3,1415 = 13, és 4,2427 3,1416 = 13, , így 13, < K < 13, )

15 Matematika C 10. évflyam 8. mdul: Terv és valóság Tanári útmutató 15 Fglaljuk táblázatba az eredményeinket! 18 közelítő π közelítő K értékes értéke: értéke: jegyei: 4,24, ill. 4,25 3,14, ill. 3,15 13,3136 < K K < 13, ,3 4, 242, ill. 4,243 3,141, ill. 3,142 13, < K K < 13, ,3 4,2426, ill. 4,2427 3,1415, ill. 3, , < K K < 13, ,328 Milyen tapasztalatt szűrhetünk le? (Az első esetben mindkét tényezőnek két értékes jegy vlt, a szrzatnak 3 értékes jegye. Amikr 3-3 értékes jegye vlt a tényezőknek, a szrzatnak ismét 3 értékes jegye lett. Az utlsó esetben 4-4 értékes jegye vlt a tényezőknek, a szrzatnak 5 értékes jegye.) Az első két számítás után kiderült, hgy a kerület pnts értékének első két jegye 1 és 3, a tizedes vessző utáni első számjegye pedig 3, azaz az első hárm jegye értékes jegy. A harmadik számításból már öt értékes jegyet kaptunk. Vajn hány értékes jegye lesz a kerületnek, ha az egyik tényező 2 értékes jegyű, a másiknak 4 értékes jegyű közelítő értékével számlunk? Nézzétek meg! (Ekkr is 3 értékes jegye lesz a kerületnek: 4,24 3,1415 = 13, és 4,25 3,1416 = 13,3518, illetve 4,2426 3,14 = 13, és 4,2427 3,15 = 13, ) Hgyan fglalhatnánk össze eddigi tapasztalatainkat? 3. Idézetek dlgzatkból (Munkafrma: egyéni.) Gyakran íratk tanulókkal dlgzatt, és skszr nagyn tanulságs hibákat ejtenek a tanulók dlgzatírás srán. Íme két idézet egy-egy dlgzatból. Hallgassátk meg, s mndjatk véleményt róla! Tanulói munkafüzet: Idézetek dlgzatkból 1. feladat: A dmbra egyenes út (ösvény) visz föl, amelynek hssza 152 m. Az ösvény emelkedési szöge 42. Milyen magas a dmb? A tanuló megldása: h Jelöljük h-val a dmb magasságát. Ekkr sin 42 =, ebből 152 h = 152 sin 42 = 101, Tehát a dmb 101,70785 m magas. Mi a véleményetek a tanuló munkájáról? A kiszámítás módja helyes? Végeredménye jó? (Az ösvény hssza méter pntssággal adtt. Egy dmb magassága is legfeljebb méter pntssággal adható meg, tehát a helyes eredmény: 102 m magas a dmb.)

16 Matematika C 10. évflyam 8. mdul: Terv és valóság Tanári útmutató feladat: Egy körhenger alakú fazék alapkörének sugara 1,2 dm, magassága 3,6 dm. Határzza meg a fazék térfgatát dm 3 pntssággal! A tanuló megldása: 2 Az r sugarú, m magasságú henger térfgata: V = r π m. Így a fazék térfgata: V = 1,2 2 π 3,6 16, A fazék térfgata kb. 16,3 dm 3. Mi a véleményetek? (A tanuló 3,14 közelítéssel számlt. Ennél jbb közelítés esetén is a kaptt szám hárm értékes jegye 1, 6, 2. Ha = 3, 14 π 2 2 3, akkr V = 1,2 π 3,6 = 1,2 3,14 3,6 = 16,27776 ( dm ). π 2 3, akkr V = 1,2 3,141 3,6 = 16, ( dm ). π, akkr 2 3 = 1,2 3, ,6 16, ( dm ) Ha = 3, 141 Ha = 3, V. Tehát a π tvábbi számjegyei nem beflyáslják az első hárm jegyet. A negyedik jegy is értékes jeggyé válik (8), ha a π értékes jegyeinek száma legalább 3. Mivel a 2 után 5-nél nagybb számjegy következik, a megldás helyes, dm 3 pntssággal ennyi a térfgat.) Mire kell vigyáznunk a valósághű feladatk megldása srán? Összefglalva: Valósághű feladatk esetén a végeredményt mindig lyan pntssággal adjuk meg, ami megfelel a mérés pntsságának. (Tehát pl. egy hegy magasságát méter pntssággal, egy asztal magasságát legfeljebb cm pntssággal.) A számlás közben felhasznált számkkal legalább 1-gyel több értékes jeggyel számljunk, mint amilyen pntssággal az adatk vltak megadva. A részeredményekkel is ilyen pntssággal számljunk tvább, és csak a végeredményt kerekítsük megfelelő pntsságúra.

17 MATEMATIKA C 10. ÉVFOLYAM 8. MODUL: TERV ÉS VALÓSÁG TANÁRI ÚTMUTATÓ 17 Tanulói munkafüzet: III. KÖZELÍTŐ SZÁMÍTÁSOK Szerintetek mennyi lehetett Magyarrszág lakssága a ti születési évetekben? Az 1990-ben mért adatk szerint akkr a népesség száma: fő vlt. Hgyan értelmezzük ezt az adatt? Mi lehet az első kérdés egy ilyen adat láttán? Ez az adat egy meghatárztt napra (pl. január 1-én éjfélre) vnatkzó adat es év flyamán a népesség száma nagy valószínűséggel milyen értékek között lehetett? Sk esetben nem ismerjük a pnts értéket. Ekkr közelítő értékkel számlunk. Pl. a π leggyakrabban használt közelítő értéke 3,14, pedig használhatnánk a 3,142-t vagy a 3,1416 közelítő értéket is, sőt, ha akarnánk, felírhatnánk tíz, húsz, 600 tizedesre is, ha szükségünk lenne rá, hiszen ezek mind a π -nek közelítő értékei, hiszen π irracinális szám. (Mit is jelent ez az utóbbi megállapítás?) 1. Számlás közelítő értékekkel Egy derékszögű hármszögben az 55 -s szög melletti befgó cm pntssággal mérve, 24,56 m hsszú. Mekkra a másik befgó? Nem ismerjük tg55 pnts értékét. Próbáljuk ennek a számnak egyre jbb közelítése mellett kiszámítani, hgy a másik befgó hssza milyen értékek között lehet! Ha 1,4< tg55 <1,5, mit mndhatunk a kérdéses b befgó hsszáról? Számljunk pntsabb közelítő értékkel! 2. A kör kerülete Hgyan számítanánk ki a 3 cm ldalhsszú négyzet köré írt kör kerületét? Tételezzük fel, hgy a 3 cm pnts érték. Hgyan jelölnétek a kerület pnts értékét? Tudjuk, hgy 3,14 < π < 3, 15. Ha a kalkulátrral kiíratjátk 18 közelítő értékét, kiderül, hgy 4,24 < 18 < 4, 25. Számítsátk ki, hgy ilyen közelítéssel számlva, mit állíthatunk a kör kerületéről! Számljuk ki jbb közelítéssel is!

18 MATEMATIKA C 10. ÉVFOLYAM 8. MODUL: TERV ÉS VALÓSÁG TANÁRI ÚTMUTATÓ Idézetek dlgzatkból Részletek egy tanuló dlgzatából: 1. feladat: A dmbra egyenes út (ösvény) visz föl, amelynek hssza 152 m. Az ösvény emelkedési szöge 42. Milyen magas a dmb? A tanuló megldása: h Jelöljük h-val a dmb magasságát. Ekkr sin 42 =, ebből 152 h = 152 sin 42 = 101, Tehát a dmb 101,70785 m magas. Mi a véleményetek a tanuló munkájáról? 2. feladat: Egy körhenger alakú fazék alapkörének sugara 1,2 dm, magassága 3,6 dm. Határzza meg a fazék térfgatát dm 3 pntssággal! A tanuló megldása: 2 Az r sugarú, m magasságú henger térfgata: V = r π m. Így a fazék térfgata: V = 1,2 2 π 3,6 16, A fazék térfgata kb. 16,3 dm 3. Mi a véleményetek erről a megldásról? Mire kell vigyáznunk a valósághű feladatk megldása srán?