9. modul Háromszögek, sokszögek

Átírás

1 MATEMATIKA C 11. évflyam 9. mdul Hármszögek, skszögek Készítette: Kvács Kárlyné

2 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató A mdul célja Időkeret Ajánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk Szögfüggvények alkalmazása derékszögű hármszögben. Szinusz- és kszinusztétel alkalmazása hármszögben, skszögekben, gyakrlati feladatkban. 4 fglalkzás 11. évflyam Tágabb környezetben: Fizika, földrajz Szűkebb környezetben: Sík- és térgemetriai számításk. A képességfejlesztés fókuszai Ajánltt megelőző tevékenységek: Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése derékszögű hármszögben. Szinusz- és kszinusztétel ismerete. Ajánltt követő tevékenységek: A tanév anyagának ismétlése feladatkn keresztül Szövegértés, szövegértelmezés, dedukív következtetés, érvelés, biznyítás, gndlkdási sebesség, metakgníció, ismeretek rendszerezése, elmélyítése, értelmes memória, ábrázlás, reprezentáció, térlátás, térbeli visznyk, terület becslése. JAVASLAT Külön mdulban fglalkzunk a hegyesszögek szögfüggvényeinek alkalmazására derékszögű hármszögben, illetve a kszinusztétel és a szinusztétel ismeretében a knvex szögek szögfüggvényeinek skszögekben való használatával. Ez a témakör lehetőséget kínál gyakrlati prblémák megldására is (pl. kiránduláskr). A villámkérdések tapasztalatunk szerint elősegítik a két tétel, de különösen a kszinusztétel alkalmazhatósági körének megismerését. Bár a pliéderek alapsabb ismeretére 1-edik sztályban kerül sr, de már mst néhány ismert test esetében sr kerül az adtt ismeretanyag alkalmazására. Az utlsó fglalkzás itt is önálló munkára, a trignmetriai ismeretek felmérésére frdítódik. A MODUL FOGLALKOZÁSAINAK JAVASOLT SORRENDJE: 1. fglalkzás: Hegyesszögekről. fglalkzás: Ismeri ön a kszinusztételt? 3. fglalkzás: Kirándulunk 4. fglalkzás: Tudáspróba

3 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 3 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feladat/ Gyűjtemény I. Hegyesszögekről 1 A hegyesszög szögfüggvényeinek alkalmazása derékszögű hármszögben. Hegyesszögek szögfüggvényeinek alkalmazása hármszögekben, négyszögekben, pliéderben. Ismeretek rendszerezése, elmélyítése, értelmes memória, metakgníció Dedukív következtetés, gndlkdási sebesség, metakgníció, ismeretek rendszerezése, elmélyítése, térlátás, térbeli visznyk felismerése Feladatlap: 1 7. feladat Feladatlap: feladat II. Ismeri ön a kszinusztételt? 1 Villámkérdések a kszinusztételről. Metakgníció, rendszerezés, tanulási sebesség Feladatlap: 1 5. feladat Kszinusztétel alkalmazása összetettebb feladatkban. Metakgníció, értelmes memória, rész-egész észlelése Feladatlap: feladat III. Kirándulunk 1 Szinusz- és kszinusztétel alkalmazása gyakrlati feladatkban. Szövegértés, szövegértelmezés, térbeli visznyk felismerése, ismeretek rendszerezése, elmélyítése Feladatlap: 1 7. feladat IV. Tudáspróba 1 A mdul témakörében szerzett ismeretek mélységének felmérése. Szövegértés, szövegértelmezés, térbeli visznyk felismerése, értelmes memória Feladatlap: 1 6. feladat

4 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 4 I. HEGYESSZÖGEKRŐL Tizedik sztályban ismerkednek meg a tanulók a hegyesszögek szögfüggvényeivel mint a hasnló derékszögű hármszögek megfelelő ldalainak arányával. Akkr néha előfrdul, hgy a tanulók helytelenül, nemcsak derékszögű hármszögre alkalmazzák a hegyesszögek szögfüggvényeit. Tizenegyedik sztályban, miután megismerkednek a szinusz- és kszinusztétellel, már szinte minden számításba jövő esetben ezeket alkalmazzák, így derékszögű hármszögre is. Mindkettő arra utal, hgy a fgalm (a hegyesszögek szögfüggvényei derékszögű hármszögben), és annak alkalmazhatósági köre nem kellően mélyült el a tanulókban. Erre a fglalkzásra tervezett feladatk a hegyesszögek szögfüggvényeinek alkalmazását teszik lehetővé. Természetesen a nem derékszögű hármszögre vnatkzó feladatk megldhatók pl. kszinusztétel alkalmazásával is, erre utalunk a megldásban. 1. Egy derékszögű hármszög befgói a és b, az ezekkel szemközti szögei rendre α és β, átfgója c. Hány igaz állítás van az alábbiak között? sin α a) sin α + cs β = 1 b) = tg α csα c) Megldás: c tg α + tgβ = d) b sinα = asin β ab a a a a) Hamis, mert sin α + cs β = + = 1 tetszőleges a és c esetén. c c c b) Igaz, a tangens szögfüggvény definíciója szerint. c) Igaz, mert d) Igaz, mert a b a + b c tg α + tgβ = + = =. b a ab ab a ab b sin α = b = és c c b ab a sin β = a =. c c. Egy derékszögű hármszög átfgója 8 cm, egyik befgója 6 cm hsszú. Mekkra a hármszög kisebbik hegyesszöge? Megldás: A hármszög másik befgója 8 (cm) hsszú. Mivel 8 < 6, a hármszög kisebbik hegyesszöge a 8 hsszú befgóval szemközti α szög. A derékszögű hármszögben 8 sinα = 0,6614, és mivel α hegyesszög, ennek egyetlen megldása: α 41, 4. 8

5 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 5 3. Egy hármszög belső szögei:40, 60 és 80 -sak. A leghsszabb ldalhz tartzó magasság 4 cm hsszú. Mekkrák a hármszög ldalai? Megldás: Az ABC hármszög leghsszabb AB = c ldaláhz tartzó magasság T talppntja a c ldal belső pntja, így ez a magasság a hármszöget két derékszögű hármszögre bntja. Jelöljük az ABC hármszög másik két ldalát a következőképpen: derékszögű hármszögben: 3 sin 60 = = BC = a és AC = b. Ekkr a BTC 4 a 8 8 3, ebből a = = 4, 6 (cm). 3 3 Ugyanebben a derékszögű hármszögben TB = =,3 (cm). 3 3 tg 60 = 3 = 4 TB, és ebből 4 4 Az ATC derékszögű hármszögben: sin 40 =, ebből b = 6, (cm), és b sin 40 AT cs 40 =, AT = bcs40 4, 8 (cm). AT + TB = c 7, 1 (cm). b A hármszög ldalainak hssza kb. 4,6 cm, 6, cm és 7,1 cm. 4. Egy téglalap átlói 4 -s szöget zárnak be egymással, és a rövidebb ldala 6 cm hsszú. Milyen hsszúak az átlói? Megldás: Legyen az ABCD téglalap rövidebb ldala BC, átlóinak metszéspntja E. Ekkr BC = 6 és BEC = 4. A BEC egyenlőszárú hármszög E csúcsából a BC alapra húztt merőleges felezi az alapt a T pntban és a 4 -s szárszöget is. A TBE derékszögű hármszögben: sin 1 =, ahl EB a téglalapátló hsszának fele. 3 EB 3 EB = 8,37 (cm). sin 1 A téglalap átlóinak hssza EB 16, 7 (cm).

6 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 6 Megjegyzés: A téglalap átlójának hssza kszinusztétel alkalmazásával is kiszámítható: Az EBC egyenlőszárú hármszög BC ldalára alkalmazva: 6 = x x cs 4, 18 ahl x a téglalapátló hsszának felét jelöli. Ebből x =, azaz 0 < x 8, cs4 5. Egy kikötő világítótrnyából - tenger szintje fölött 40 m magasságból - egy hajó 8 -s depressziószög alatt látszik. Milyen távl van a hajó a trnytól? Megldás: Jelöljük a hajó helyzetét megadó pntt H-val, a trnyt az ET szakasszal. Az EHT szög váltószögpárja az adtt depressziószögnek, így EHT = 8. Az EHT derékszögű hármszögben tg 8 =, ebből 40 x 40 x = 84,6. tg8 A hajó a trnytól kb. 85 m távlságra van. 6. Egy derékszögű hármszög egyik befgójának hssza sin75 egységgel egyenlő. Mekkra a hármszög egyik hegyesszöge? Döntsd el, melyik válasz a helyes! Döntésedet indkld! A: 75 B: Tetszőleges lehet. C: 15 D: A többi válasz nem helyes. Megjegyzés: Itt és a többi választáss megldásk közül csak egy válasz megfelelő. Megldás: A helyes válasz B, mivel a derékszögű hármszöget egy ldalhsszának ismerete nem határzza meg egyértelműen. 7. Ha egy derékszögű hármszög egyik befgója sin 75 egység, a másik sin15 egység hszszú, akkr az átfgó hssza hány egység? A: 0,98 B: tg 75 C: tg 15 D: 1 Megldás: A helyes válasz D. A derékszögű hármszöget a két befgójának hssza egyértelműen meghatárzza. Pitagrasz tétele szerint sin sin sin 15 = c, és mivel sin 15 = cs75 + cs 75 = c. Tudjuk, hgy sin 75 + cs 75 = 1, tehát a derékszögű hármszög átfgója 1 egység hsszú., így

7 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 7 8. Egy egyenlőszárú hármszög szárainak hssza 10 cm, a szárak által bezárt szög 30 -s. Mekkra a hármszög körülírt körének sugara? Megldás: Jelöljük az ABC hármszög alapját AB-vel. A körülírt kör K középpntja a hármszög ldalfelező merőlegeseinek metszéspntja. A CK egyenes a hármszög szimmetriatengelye. A CKF derékszögű hármszögben (F a BC ldal felezőpntja) a CK szakasz hssza a körülírt kör r sugarával egyenlő, és KCF = 15, tvábbá FC = 5. A CKF derékszögű hármszögben: CF cs 15 = CK 5 5 cs 15 =. Innen r = 5, r cs15 A hármszög körülírt körének sugara kb. 5, cm hsszú., azaz 9. Egy egyenlőszárú hármszög szárainak hssza 8 cm, egyik belső szöge10. Mekkra a hármszög harmadik ldalának hssza? Megldás: A hármszög szárszöge 10 -s. A hármszög szimmetriatengelye két egybevágó derékszögű hármszögre bntja a hármszöget. Ha az alap hsszát x-szel jelöljük: x sin 60 =, ebből x = 16sin 60 13, 9. 8 A hármszög harmadik ldalának hssza kb. 13,9 cm. Megjegyzés: Az egyenlőszárú hármszög harmadik (x) ldalának hssza kszinusztétel alkalmazásával is kiszámítható: x = 8 8 cs10, azaz x 19, és ebből 0 < x = 19 13,9. = 10. Egy turista β emelkedési szögű, b km hsszú egyenes útn juttt fel a B csúcsra, nnan γ emelkedési szögű ( γ > β ), c km hsszú egyenes útn feljuttt a C csúcsra. Mennyi a szintkülönbség a kiindulási pnt és a C csúcs között? A: b cs β + c csγ b c B: + sin β sinγ C: b sin β + csin γ D: ( b + c)sin( β + γ )

8 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 8 Megldás: A helyes válasz C. Az ábra szerinti jelölést alkalmazva: A szintkülönbség: CT = EB + DC. Az ABE derékszögű hármszögben BE = bsin β, a CBD derékszögű hármszögben DC = csin γ. Így CT = EB + DC = bsin β + csinγ. 11. Egy szimmetrikus trapéz szára kétszerese a trapéz magasságának. Mekkrák a trapéz szögei? Megldás: A hsszabb alapn nyugvó szögek 30 -sak, a rövidebb alapn fekvők pedig 150 -sak, hiszen a trapéz hegyesszöge, a hsszabb ldalhz tartzó magassága és a trapéz szára által létrehztt derékszögű hármszögben a trapéz hegyesszögével szemközti befgó fele az átfgónak. 1. Mekkra a hegyesszöge annak a paralelgrammának, amelynek ldalai 5 cm és 8 cm hsszúak, területe pedig 0 cm? Megldás: A paralelgramma hsszabb ldaláhz tartzó m magassága a T = 0 = 8 m öszszefüggésből m =,5 cm. A paralelgramma hsszabb ldalán nyugvó hegyesszöget α -val jelölve, az α szög, az m magasság és a paralelgramma rövidebb ldala által meghatárztt derékszögű hármszögben,5 = 5sinα, azaz 1 sin α =. Mivel α -val hegyesszöget jelöltünk, α = 30. A paralelgramma hegyesszöge tehát 30 -s. 13. Egy ház első emeleti ablakának felső párkánya 10 m-re van az utcaszinttől. Az utca egy pntjából ez a felső párkány 35 - s emelkedési szög alatt, a ház teteje 70 -s emelkedési szög alatt látszik. Milyen magas a ház? Megldás: Az ábra jelöléseit alkalmazva: Az utca A pntjából a PC szakasz 35 s szögben látszik, a kérdés a tető és az utcaszint CT távlságának meghatárzása.

9 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató Az APC derékszögű hármszögben tg 35 =, azaz AC = 14,3 (m). Az ATC AC tg35 derékszögű hármszögben A ház kb. 39 m magas. TC 10 tg 70 =, és így TC = tg70 39,. AC tg Egy cég emblémája tömör fából készült négyzet alapú, egyenlő ldalélű gúla. A gúla alapéle 5 cm, ldaléle 8 cm hsszú. a) Milyen magas a gúla? b) Mekkra szöget zár be a gúla két szemközti ldaléle? Megldás: a) Ha elvágjuk az ABCDE gúlát a két szemközti éle mentén, a gúla síkmetszete egy lyan egyenlőszárú hármszög (ACE), amelynek szárai AE = CE = 8 (cm) hsszúak, az AC alapja pedig a gúla alaplapjának átlója. A gúla m magassága e hármszög alaphz tartzó magasságával megegyező. Az alaplap AC átlójának hssza 5. Pitagrasz tételét alkalmazva az AFE derékszögű hármszögre: m 5 = 8, azaz 103 m =, ebből 0 < m = 51, 5 7, (cm). A gúla kb. 7, cm magas. b) A keresett szög az AEC. Az AFE derékszögű hármszögben: AEC sin = 5 8 AEC 5, azaz sin = 0, Mivel 16 AEC 6, 3, így AEC 5, 5. A gúla két szemközti ldalélének hajlásszöge kb. 5,5 -s. AEC hegyesszög,

10 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 10 II. ISMERI ÖN A KOSZINUSZTÉTELT? A hármszöget két ldala és az általuk közbezárt szöge egyértelműen meghatárzza, tehát ezeknek az adatknak az ismeretében kiszámítható a hármszög többi adata, pl. a hármszög harmadik ldalának hssza, a többi szöge. A hármszög hárm ldala és egy szöge közötti kapcslatt a kszinusztétel írja le az algebra nyelvén. Segítségével a hárm ldal ismeretében könnyen megtudhatjuk, hgy szögei szerint milyen a hármszög, mekkra a legnagybb szöge stb. Ezt a tételt skszr alkalmazzuk gemetriai számításk srán, ezért célszerű több időt szánni a tétel mélyebb megismerésére. 1. Egy hármszög egyik szögének kszinusza negatív szám. Szögei szerint milyen a hármszög? Megldás: Mivel a hármszög mindhárm szöge nagybb, mint 0 és kisebb, mint 180, ezért egyik szögének kszinusza csak úgy lehet negatív szám, ha a szög tmpaszög. A hármszög tmpaszögű. a + b c. Egy hármszög a, b és c ldalairól tudjuk, hgy < 0. Szögei szerint milyen a ab hármszög? Megldás: A hármszög tmpaszögű. Mivel a kszinusztétel szerint c = a + b abcsγ, azaz c + abcsγ = a + b, így a + b c csγ =, és ab mivel tudjuk, hgy a vizsgált hármszögben ez a kifejezés negatív értékű, így a hármszög γ szöge tmpaszög. 3. Egy hármszög mindhárm szögének szinusza pzitív szám. Szögei szerint milyen a hármszög? Megldás: Ha a hármszög bármelyik α szögéről tudjuk, hgy sin α > 0, akkr 0 < 180 < α bármelyik szög lehet. Ebből a feltételből tehát nem lehet megállapítani, hgy a hármszög hegyes-, derék- vagy tmpaszögű. 4. Létezhet-e lyan hármszög, és ha igen, szögei szerint milyen, ha α, β és γ szögeire: a) csα cs β csγ 0, 5 b) sin α sin β sinγ = 0

11 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 11 Megldás: a) Lehet ilyen hármszög, mégpedig tmpaszögű hármszög, mert szükséges, hgy egyik szögének kszinusza negatív legyen. (pl. cs11 cs6 cs4 0,50 < 0, 5 ) b) Nincs ilyen hármszög, mert a feltételből az következne, hgy valamelyik szögének szinusza 0-val egyenlő, és mivel a hármszög minden szöge nagybb 0 -nál és kisebb 180 -nál, ezért egyik szögének szinusza sem lehet nulla. 5. Egy hármszög két szögéről (α és β ) tudjuk, hgy α : β = 1:. Melyik kifejezés egyezik meg biztsan a szögekkel szemközti ldalak arányával? A: 1 : B: sin α : sin β C: 1 : 3 D: cs α : cs α (A megadtt válaszk közül pntsan egy helyes.) Megldás: Helyes válasz a B. Minden hármszögre igaz a szinusztétel. Alkalmazzuk a tételt a hármszög a és b ldalára: sinα = sin β a b. Az addíciós tétel ismeretében meg tudnánk mutatni, hgy az A és D válasz egyetlen hármszögre sem teljesül. Ennek hiányában igazljuk példával, hgy A és D nem teljesül minden hármszögre. A C csak arra a derékszögű hármszögre teljesül, amelynek a hegyesszögei 30 és Egy hármszög ldalai 3 cm, 4 cm és 6 cm hsszúak. Mekkra a legnagybb szögének kszinusza? Megldás: Alkalmazzuk a hármszög leghsszabb (6 cm) ldalára (szemközti szöge α ) a kszinusztételt: 6 = csα. Az egyenletből 0 < α < 180, így α 117, 3. A hármszög legnagybb szöge kb. 117,3 -s. 11 csα =. Mivel 4 7. Egy hármszög egyik szöge 10 -s, két ldalának hssza 4 cm és 8 cm. Mekkra a hármszög harmadik ldala? Megldás: A hármszög leghsszabb ldalával szemközti szög lehet csak 10 -s. Így kétféle hármszög tehet eleget a feltételeknek:

12 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 1 a) Ha a hármszög leghsszabb ldala az ismeretlen c ldal, akkr: = c = cs10, azaz c 11. Ebből 0 < c = 11 10,6 (cm). Ebben az esetben a hármszög harmadik ldala kb 10,6 cm hsszú. b) Ha a hármszög leghsszabb ldala a 8 cm-es ldal, akkr a 10 -s szöget közrefgó ldalak hssza 4 cm és b cm. Ekkr 8 = 4 + b 4 b cs10, azaz b + 4b 48 = A másdfkú egyenlet egyetlen pzitív gyöke b = 5,. Ebben az esetben a hármszög harmadik ldala kb 5, cm hsszú. 8. Egy hármszög egyik szöge 150 -s, két ldalának hssza 6 cm és 8 cm. Mekkra a hármszög területe? Megldás: A hármszög leghsszabb ldalával szemközti szög lehet csak 150 -s. Így kétféle hármszög tehet eleget a feltételeknek: a) A két adtt ldal közbezárt szöge 150 -s (az ismeretlen harmadik a leghsszabb ldal). Ekkr a hármszög területe: T = = 1 (cm ). 6 8 sin150 b) Ha a hármszög leghsszabb ldala a 8 cm-es ldal, akkr szinusztétel alkalmazásával kiszámíthatjuk a 6 cm-es ldallal szemközti α szöget: =. sin α 6 sin Ebből sin α = = = 0, 375. Mivel α csak hegyesszöget (30 -nál kisebbet) jelölhet, így α. A 6 és 8 cm hsszú ldalak által határlt β szög kb s. 6 8 sin8 Ekkr a hármszög területe: T 3,3 (cm ). 9. Egy hármszög egyik ldala 4-szerese egy másik ldalnak, s e két ldal által közrefgtt szög 10 -s. A hármszög leghsszabb ldala hányszrsa a legrövidebbnek? Megldás: A hármszög ldalait a-val, 4a -val, és a leghsszabbat c-vel jelölhetjük. Alkalmazzuk a hármszög c ldalára a kszinusztételt: c = a + (4a) a 4a cs10, azaz c = a + 16a + 4a. Tehát c = 1a, és innen 0 < c = 1 a. A hármszög leghsszabb ldala 1 -szerese a legrövidebb ldalnak.

13 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató Egy hármszög két ldala a és b, a velük szemközti szögek rendre α és β, tudjuk tvábbá, hgy csα = cs β a b. a) Mekkra a tg α? tgβ b) Oldalai szerint milyen a hármszög? Megldás: a) A szinusztétel tetszőleges hármszögre alkalmazható, így ebben a hármszögben is sinα = sin β a b. Ekkr csα sinα =. A feltétel szerint csα 0, ezért a kaptt trig- cs β sin β nmetrikus egyenlet mindkét ldalát elszthatjuk val. A kaptt egyenlet: csα -val, és szrzhatjuk sin β - sin β sinα tg α =, azaz tg β = tgα. Ebből adódik, hgy = 1. cs β csα tgβ b) Az a) feladatra kaptt eredményünk szerint tg β = tgα, ez az egyenlőség hármszög szögeire csak úgy teljesülhet, ha α = β, tehát a hármszög egyenlőszárú. 11. Milyen határk között lehet a hármszög b ldalának hssza, ha az a, b, c ldalú hármszög hegyesszögű, b < a és a = 7, c = 9? Megldás: A feltétel szerint b < 7. A hármszög hegyesszögű, azaz a legnagybb szöge (γ ) is hegyesszög. Alkalmazzuk a kszinusztételt a hármszög leghsszabb ldalára: 9 = 7 + b 7 b csγ. Mivel γ hegyesszög, a kszinusza pzitív, ezért célszerű kifejezni az egyenletből b 3 csγ -t: csγ = > 0. Mivel b csak pzitív lehet, az 14b egyenlőtlenség megldása: b > 3. A hármszög b hsszúságú ldalára tehát 3 < b < Milyen határk között lehet a hármszög b ldalának hssza, ha az a, b, c ldalú hármszög tmpaszögű, b < a és a = 5, c = 7? Megldás: A hármszög leghsszabb ldala c, így az ezzel szemközti szög a tmpaszög. A tmpaszög kszinusza negatív. Írjuk fel a c ldalra a kszinusztételben megfgalmaztt összefüggést! 7 = 5 + b 5 b csγ

14 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 14 Fejezzük ki az egyenletből b 4 csγ -t! csγ = < 0, és mivel b pzitív számt je- 10b löl, az egyenlőtlenség megldása: 0 < b < 4. Visznt az 5, 7 és b hsszú szakaszk csak akkr alktnak hármszöget, ha érvényes rájuk a hármszög-egyenlőtlenség, így az 5 + b > 7 egyenlőtlenségnek is teljesülnie kell. A hármszög b ldalának hssza: < b < Mekkra a hármszög legnagybb szöge, ha a, b, c ldalaira: c ab = a + b? Megldás: A kszinusztétel szerint c = a + b abcsγ, ahl γ a hármszög c ldallal szemközti szöge. A hármszög ldalaira vnatkzó egyenletbe helyettesítsük be c helyére a kszinusztétel összefüggését, így a + b abcsγ ab = a + b, azaz abcsγ ab = 0. Mivel ab > 0, így egyenletnek egyetlen megldása van: γ = 135. A hármszög legnagybb (c ldallal szemközti) szöge 135 -s. csγ =. Mivel 0 < γ < 180, ezért az

15 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 15 III. KIRÁNDULUNK Az összetettebb számításkat igénylő feladatkban mint itt is a számításk elvégzése előtt célszerű megtervezni a megldáshz vezető számításk srrendjét. Ezt a módszert mutatjuk be a következőkben. 1. Barátainkkal többnaps kirándulásra mentünk. Szállásunk az A faluban vlt. Első nap felfedeztük a környéket. Szálláshelyünktől nyugatra, nnan 5 km távlságra vlt B falu. Ha ebből a faluból északi irányban haladtunk km-t, egy várrmhz (C) érkeztünk. Innen tvább a menetiránytól jbbra, azzal kb. 70 -s szöget bezáró egyenes útn haladtunk tvább, és C-től 3 km-re a D vadászházhz érkeztünk. a) Rajzld le az első napi túra útvnaltervét! b) Számítsd ki, hgy milyen távl van légvnalban a szálláshelyünk a vadászháztól? Megldás: a) b) Terv: 1. Az ABC derékszögű hármszögből BCA = γ szög kiszámítása tangens szögfüggvénnyel.. Az AC átfgó kiszámítása (pl. Pitagrasz tételével). 3. ACD szög kiszámítása. 4. Az ACD hármszögben a keresett AD szakasz hsszának kiszámítása kszinusztétel felhasználásával. Számításk: 5 1. tg γ =, ebből γ 68,.. AC = 9 5, 4 3. ACD 41,8

16 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató x ( 9) cs41, 8 x 13,9, azaz 0 < x 3, 7. A szálláshelytől a vadászház kb. 3,7 km távlságra van.. Másnap újabb túraútvnalat terveztünk. A térkép szerint ha az A szálláshelyünkről dél felé indulunk el egy egyenes műútn, majd nemskára a műútról jbbra, kb. 30 -s szögben leágazó mellékútn haladunk tvább, úgy 5 km megtétele után a C faluba jutunk el. Ha visznt tvább haladunk még a műútn 3 km-t, és itt (D pntban) egy, a műútról balra kb. 0 -s szögben leágazó útn haladunk 4 km-t, egy régi káplnáhz jutunk. A társaság egyik része a C faluba, a másik része a K káplnáhz ment. a) Rajzld le a másdik napi túra útvnaltervét! b) Milyen távl került egymástól légvnalban a társaság két fele? Megldás: a) b) Terv: 1. A CBD hármszögben ismert két ldal és a közbezárt szög, így CD kiszámítható kszinusztétel alkalmazásával.. A CBD hármszögben CDB = α szög kiszámítása a szinusztétel felhasználásával.

17 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató Ekkr a CDK hármszögben ismert két ldal és a közbezárt szög, a harmadik ldal (CK) kiszámítható a kszinusztétel alkalmazásával. Számítás: 1. CD = cs30 8, 0, így 0 < CD, 83.. sinα sin 30 α ,83 sinα 0, Mivel 0 < α < 180, ezért α 6 vagy A CDB hármszög leghsszabb ldala a CD, így vele szemben van a hármszög legnagybb szöge. Ez nem lehet 6 -s, mert ebben az esetben a harmadik szög 88 -s lenne, és akkr ez lenne a legnagybb szöge a hármszögnek. Tehát α A CDK 8, így CK 4 +,83 8,83 cs8 0, < CK 4, 6 A társaság két fele kb. 4,6 km távlságra van egymástól. 3. Harmadik napra hagytuk a legnehezebb túrát. A szálláshelyünktől kelet felé egy kb. 300 m magas hegy látsztt, tetején egy kilátóval. Elhatárztuk, hgy a hegyet trnyiránt mászszuk meg. A társaság ismét két részre szakadt, mert egy K helyről lankásabbnak tűnt a hegyldal, kb. 0 -s emelkedési szögben lehetett haladni, míg a vízszintes talajn ezzel 10 -s szöget bezáró N helyről meredekebb vlt, kb. 50 -s emelkedési szögű. Számítsd ki a K és N pntk távlságát!

18 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 18 Megldás: Terv: 1. A HKT derékszögű hármszögben KT kiszámítása tangens szögfüggvénnyel.. A HNT hármszögben TN kiszámítása tangens szögfüggvénnyel. 3. KNT hármszögben KN kiszámítása kszinusztétel alkalmazásával. Számítás: tg 0 =, ebből HT = 84 (m) HT tg tg 50 =, ebből NT = 5 (m) NT tg50 3. KN cs10. Innen KN 975 m. 4. Egymással 60 -s szöget bezáró két egyenes útszakaszn egy-egy gépkcsi (A és B) közeledik az M útelágazás felé. Jelenleg A és B távlsága 600 m. B-ből nézve az AM útszakasz 45 -s szög alatt látszik. A gépkcsik állandó sebességének nagysága: v ( A) = 18 m / sec, v ( B) = 5 m / sec. Melyik gépkcsi, és mennyi idővel érkezik előbb az elágazáshz? Megldás: Az ABM hármszög harmadik szöge (MAB) 75 -s. Terv: 1. Az ABM hármszögben szinusztétel alkalmazásával AM kiszámítása.. Az ABM hármszögben kszinusztétel alkalmazásával BM kiszámítása. s 3. A kcsik egyenletes mzgását feltételezve, a t = képlet alapján t (A) és t (B) v kiszámítása. Számítás: 1. sin 45 sin 60 = AM 600 AM = (m). 3. BM cs75, ebből BM 669 (m) t ( A) 7, (sec) és t ( B) 6,8 (sec) 18 5

19 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 19 A B gépkcsi 0,4 sec-mal előbb ér a kereszteződéshez, de ez az eltérés alig mérhető, tehát lényegében egyszerre érnek da. 5.* Hárm középisklás diák egy flyó partján sátrztt. A flyó túlsó partján vlt egy dmb. Úgy becsülték, hgy a dmbtető a sátrhelyükből 45 -s emelkedési szög alatt látszik. Kíváncsiságból, a sátrhelyüktől jbbra és balra is kimértek métert, és ezekről a helyekről is megbecsülték a dmbtető emelkedési szögét. A becsült szögek: az egyik pntból 60, a másikból 30. Becslésed szerint, milyen magas a dmb? Számítsd is ki! Megldás: Az ábrán S a sátr helye, A és B a mérési helyek ( SA = SB = 100 m ), TD a dmb, melynek magasságát jelöljük h-val. Terv: 1. DTS egyenlőszárú, derékszögű hármszög, így TS = h. 1. Az ATD derékszögű hármszög AT befgója: AT = h ctg60 = h A DTB derékszögű hármszög BT befgója: BT = h ctg30 = 3 h. 4. Alkalmazzuk a kszinusztételt az AST hármszög AT ldalára és az SBT hármszög BT ldalára: 1 (1) h = h h cs AST és 3 () ( 3 h) = h h cs BST 5. Mivel az AST = 180 BST, így cs AST = cs BST. Használjuk fel ezt az (1) egyenletben! 1 6. (3) h = h h cs BST. 3

20 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 0 Számítás: Adjuk össze a (), illetve (3) egyenlet megfelelő ldalait! 1 ( 3 ) + h = h h, azaz 3h + h h = Ebből adódik, hgy h = , és így 0 < h = A dmb kb. 1 m magas. 6. A tó egy szigetén lévő két trny (A és B) távlságát szeretnénk meghatárzni. E célból a tó partján kitűzünk két lyan pntt (C és D), amelyek távlsága 300 m, tvábbá lemérjük az alábbi szögeket: DCA = 90, DCB = 40, CDA = 5 és CDB = 70. Mekkra a két trny távlsága? Megldás: Terv: 1. Az ACD derékszögű hármszögben AC befgó kiszámítása tangens szögfüggvénnyel.. Mivel a DBC szög is 70 -s, ezért BC = DC = 300. A BCA hármszögben BCA = Az ABC hármszögből AB kiszámítása kszinusztétel alkalmazásával. Számítás: 1. AC = 300 tg5 139,9 (m) 3. x , ,9 cs50 0 < x 36 (m) A két trny távlsága kb. 36 m.

21 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 1 7. A Gellérthegy magassága tengerszínt felett 35 m. A tetejéről a pesti ldal fele nézve két kis park (A és B) 40 -s és 56.s depressziószög alatt látszik (A pesti ldal tengerszínt feletti magassága kb. 110 m). A két depressziószög mérése között a mérőeszközt kellett elfrgatni. Milyen távl van egymástól légvnalban a két kis park? Megldás: 80 -kal TG = = 15 m Terv: 1. Az ATG derékszögű hármszögben AG átfgó kiszámítása q 40 szinusz szögfüggvényével.. A BTG derékszögű hármszögben BG átfgó kiszámítása az 56 -s szög szinuszával. 3. Az AGB hármszögben AB ldal kiszámítása kszinusztétel alkalmazásával. Számítás: AG = 194,5 (m) sin BG = 150,8 (m) sin AB 194, ,8 194,5 150,8 cs , 5 0 < AB 4,5 A két kis park távlsága kb. 5 m.

22 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató IV. TUDÁSPRÓBA A mdul utlsó fglalkzásán lehetőséget adunk a tanulóknak, hgy önállóan lemérjék ebben a témakörben szerzett ismereteik mélységét. A feladatsr a tanári mellékletben található. A hat feladat megldására 45 perc frdítható. Ha a tanár úgy látja, hgy a csprt munkatempója lassú, és ennyi idő alatt valószínűleg nem tudnak mindegyik feladat megldásával fglalkzni, hagyjn el a feladatk közül egyet! Javaslatunk szerint ekkr az 5. feladatt ne tűzzék ki megldásra. Ebben az esetben nem célszerű az elhagytt feladatt törölni a feladatlapról. Hagyjuk benne, de a feladatlap kisztásakr mndjuk meg, hgy mely feladatk megldását kérjük. A meg nem jelölt feladat megldásáhz csak akkr kezdjenek hzzá a tanulók, ha a már megldtt feladatk megldását átnézték, és még maradt idejük! A tanári mellékletben megadtuk a tudáspróba feladatainak megldását és értékelését is. Javasljuk: döntse el a tanár, hgy pntszámk felhasználásával javítja-e ki a dlgzatkat, illetve, hgy az egész dlgzatt érdemjeggyel, vagy százaléks teljesítmény megadásával értékeli. A következő fglalkzásn mindenképpen érdemes értékelni a csprt munkáját, és ha szükséges, tvábbi feladatkat kitűzni, és ezek megldására buzdítani a tanulókat. A feladatk megldásának megbeszélése történhet úgy is, hgy a megldási útmutatót párnként egy példányban lemásljuk, és azt a tanulók kezébe adjuk. Nagyn tanulságs (az érettségi javítási útmutatója esetében is), ha a tanulók látják, hgy mi alapján javítttuk a munkájukat. Hívjuk fel a figyelmüket arra, hgy a gyakrlati életből vett feladatk végeredményét mindig lyan pntssággal adják meg, amennyire az életszerű, tehát pl. egy dmb magasságát legfeljebb méter, egy utca szélességét legfeljebb deciméter pntssággal. Mivel a közelítő számítás nem tantervi tananyag, így a közelítő értékek pntsságának kérdése eléggé megldatlan a matematikaktatás gyakrlatában. A számlógép használata különösen kiélezi ezt a prblémát, hiszen van tanuló, aki a memóriába teszi a részeredményeket, és azk pnts értékével számlnak a tvábbiakban, és van aki a részeredmények közelítő értékével. Úgy tűnik, hgy az írásbeli érettségi dlgzatk megldási útmutatójában egyelőre tleránsan kezelik ezt a prblémát.

23 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 3 Tudáspróba 1. Milyen magas az a fa, amelynek árnyéka 815 cm hsszú amikr a Nap sugara 31 -s szöget zár be a vízszintes egyenessel?. Náply egyik utcájában úgy helyeznek el egy 6 m hsszú létrát, hgy éppen elérjen egy 5 m magasan lévő ablakt. Ha elfrgatják a létrát a támaszpntja körül (az úttestre merőleges síkban), akkr éppen eléri a szemben lévő ház 3, m magasan lévő ablakát is. a) Készíts vázlatrajzt! b) Milyen széles az utca? c) Mekkra szöggel kell elfrgatni a létrát? 3. Az ABC hármszög ldalai:, 4 és 7 egység, a DEF hármszögé pedig:, 1 és 4 egység hsszúak. Az ABC hármszög legnagybb szöge hány fkkal nagybb a DEF hármszög legkisebb szögénél? 4. Az ábrán egy ABCDE ötszög látható. Az adatk: a = b = 30 cm, c = 60 cm, BCD = 10 és EAB AED = 60. = a) Hány cm hsszú az ötszög AE ldala? b) Mekkra az ötszög területe? 5. Egy hármszög legrövidebb ldala 1 cm-rel rövidebb, a leghsszabb ldala 1 cm-rel hsszabb a hármszög harmadik ldalának hsszánál. A hármszög legkisebb szögének kszinusza 5 3. Mekkrák a hármszög ldalai? 6. Egy hegy csúcsát a hegy lábától a vízszinteshez képest 40 -s szög alatt látjuk. Ha innen egy emelkedő, a vízszintes síkhz 13 alatt hajló egyenes útn 400 m-t haladunk a csúcs felé, lyan pnthz jutunk, amelyből a hegy csúcsa 57 -s emelkedési szög alatt látszik. Milyen magas a hegy?

24 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 4 A tudáspróba feladatainak megldása és értékelése 1. Milyen magas az a fa, amelynek árnyéka 815 cm hsszú amikr a Nap sugara 31 -s szöget zár be a vízszintes egyenessel? Megldás: A szöveges feladat megértése (pl. egy helyes vázlat, az adatk feltüntetésével)...1 pnt A derékszögű hármszög adtt ldala melletti hegyesszög tg s....1 pnt x =...1 pnt 815 x = 815 tg31 489,7...1 pnt A fa kb. 490 cm hsszú....1 pnt Összesen: pnt. Náply egyik utcájában úgy helyeznek el egy 6 m hsszú létrát, hgy éppen elérjen egy 5 m magasan lévő ablakt. Ha elfrgatják a létrát a támaszpntja körül (az úttestre merőleges síkban), akkr éppen eléri a szemben lévő ház 3, m magasan lévő ablakát is. a) Készíts vázlatrajzt! b) Milyen széles az utca? c) Mekkra szöggel kell elfrgatni a létrát? Megldás: a) b) pnt Az ACT derékszögű hármszögben: CT = 6 5 = pnt 0 < CT = 11 3,3 m...1 pnt A TDB derékszögű hármszögben: TD = 6 3, = 5, pnt 0 < TD = 5, 76 5,08 (m)...1 pnt Az utca kb. 8,4 m széles....1 pnt

25 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 5 c) Az AB hssza kiszámítható a Pitagrasz tételének alkalmazásával a B pntn át a CD-vel párhuzams egyenes által létrehztt derékszögű hármszögből, amelynek befgói: 1,8 m és 8,4 m....1 pnt AB = 1,8 + 8,4 = 73,8, ebből AB 8, pnt Az ATB hármszögből pl. kszinusztétellel kiszámítható a keresett szög: AB = csα 73,8... pnt csα 0,05, amiből α 91, pnt A keresett szög kb. 91 -s...1 pnt Összesen: pnt 3. Az ABC hármszög ldalai:, 4 és 7 egység, a DEF hármszögé pedig:, 1 és 4 egység hsszúak. Az ABC hármszög legnagybb szöge hány fkkal nagybb a DEF hármszög legkisebb szögénél? Megldás: Az ABC hármszög legnagybb szöge a 7 hsszú ldallal szemközti ( 4 = 16 < 8 = 7 )...1 pnt* Kszinusztételt alkalmazva a hármszög leghsszabb ldalára: ( 7 ) csα =....1 pnt csα = 0,5...1 pnt Mivel 0 < α < 180, így α = pnt A DEF hármszög legkisebb szöge a egység hsszú ldallal szemközti....1 pnt* Kszinusztételt alkalmazva a DEF hármszög legrövidebb ldalára: = ( 1) csδ....1 pnt 3 cs δ = = pnt Mivel 0 < δ < 180, így δ = pnt A két szög különbsége pntsan pnt** Összesen:... 9 pnt

26 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 6 Megjegyzés: A *-gal jelölt pnt akkr is jár, ha a tanuló nem fgalmazza meg ezt a gndlatt szöveggel, de a vázlatrajzáról, vagy gndlatmenetéből kiderül ennek ismerete. A **-gal jelölt pnt csak akkr jár, ha a szögeket pnts értékkel adja meg. 4. Az alábbi ábrán egy ABCDE ötszög látható. Az adatk: a = b = 30 cm, c = 60 cm, BCD = 10 és EAB AED = 60. = a) Milyen hsszú az ötszög AE ldala? b) Mekkra az ötszög területe? Megldás: a) A BDC hármszögből a BD ldal kiszámítható kszinusztétel alkalmazásával: BD = cs10... pnt 0 < BD = 6300 ( 79,4)...1 pnt Állítsunk merőlegest az AE ldalra a B és D pntkból. A kaptt két derékszögű hármszög (ATB és EKD) egybevágó (mert átfgóik hssza és szögeik párnként egyenlők)....1 pnt Ezeknek a derékszögű hármszögeknek a 60 -s szögük melletti befgójuk 15 cm hszszú, mert a cs 60 = 30 = pnt 1 AE = ,4 (cm)...1 pnt

27 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 7 b) Az ötszög területe a BDC hármszög és az AEDB trapéz területének összegével egyenlő....1 pnt T BDC T BDC sin10 =...1 pnt 779,4 cm...1 pnt Az ATB hármszög TB befgójának hssza: 30 sin 60 = 15 3 ( 5,98)....1 pnt AZ AEDB trapéz területe: T AEDB = AE + BD TB, így 109,4 + 79,4 T AEDB 5,98 45,5 (cm )...1 pnt Az ötszög területe kb. 33 cm....1 pnt Összesen:... 1 pnt 5. Egy hármszög legrövidebb ldala 1 cm-rel rövidebb, a leghsszabb ldala 1 cm-rel hsszabb a hármszög harmadik ldalának hsszánál. A hármszög legkisebb szögének kszinusza 5 3. Mekkrák a hármszög ldalai? Megldás: Jelölje a hármszög ldalait a 1, a és a + 1. A hármszög legkisebb szöge (α ) a legrövidebb ldallal szemközti szög....1 pnt* Írjuk fel a kszinusztétel összefüggését a hármszög legrövidebb ldalára:...1 pnt* ( a 1) = a + ( a + 1) a( a + 1) csα... pnt a a + 1 = a + a 3 + a + 1 a( a + 1)....1 pnt = a + 4a a a, azaz 1 a + a =....1 pnt Mivel a 0, az egyenlet egyetlen megldása a = pnt A hármszög ldalai: 13 cm, 14 cm és 15 cm hsszúak....1 pnt Összesen:... 8 pnt Megjegyzés: A *-gal jelölt pnt akkr is jár, ha a tanuló nem fgalmazza meg ezt a gndlatt szöveggel, de a vázlatrajzáról, vagy gndlatmenetéből kiderül ennek ismerete.

28 Matematika C 11. évflyam 9. mdul: Hármszögek, skszögek Tanári útmutató 8 6. Egy hegy csúcsát a hegy lábától a vízszinteshez képest 40 -s szög alatt látjuk. Ha innen egy emelkedő, a vízszintes síkhz 13 alatt hajló egyenes útn 400 m-t haladunk a csúcs felé, lyan pnthz jutunk, amelyből a hegy csúcsa 57 -s emelkedési szög alatt látszik. Milyen magas a hegy? Megldás: AB = 400 m Helyes vázlatrajz, az adatk feltüntetésével....3 pnt Az ABC derékszögű hármszögben BC = 400sin13 89, pnt Az ABH hármszög ABH szöge: = 136, a harmadik szöge: AHB = pnt* Szinusztétel alkalmazásával kiszámítjuk az ABH hármszög BH ldalának hsszát... pnt BH 400 sin 7 =, azaz sin17 BH sin 7 = pnt sin17 BH 61, pnt A BDH derékszögű hármszögben HD = BH sin pnt HD 50, pnt HT = HD + DT = HD + BC 611 (m). A hegy magassága kb. 611 m....1 pnt Összesen: pnt Megjegyzés: * Az AHB szög más módn is kiszámítható az AHT illetve BHD hármszögből: AHB = AHT BHD = = 17. Az elérhető maximális pntszám: 60 pnt