Lineáris rendszerek stabilitása

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Lineáris rendszerek stabilitása"

Irén Nemesné
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Lineáris rendszerek stabilitása A gyakrlat célja A dlgzatban a lineáris rendszerek stabilitásának fgalmát vezetjük be majd megvizsgáljuk a stabilitás vizsgálati módszereket. Elméleti bevezető Egy LTI rendszer vagy stabil, vagy nem. Ezt a karakterisztikus egyenlete pólusainak az s- síkban való elhelyezkedése határzza meg. Ha a rendszer egy diszkrét rendszer akkr a stabilitást a pólusknak az z-síkban való elhelyezkedését jelenti. A rendszer stabilitása nem függ a rendszer kezdeti feltételeitől. Jelöljük a rendszer karakterisztikus egyenletének gyökeit s i, (i,, L,n) -vel. Szükséges és elégséges stabilitási kritériumk: Az LTI rendszer aszimpttikusan stabil ha si esetében igaz, hgy Re{ s i } < 0 (bal félsík) Az LTI rendszer instabil, ha legalább egy pólus az s-sík jbb félsíkjában helyezkedik el vagy legalább egy kmplex knjugált póluspár az s-sík képzetes tengelyén van. Az LTI rendszer kritikus stabilitási állaptban van, ha egy pólus van a képzetes tengelyen (rigó) és nincsenek knjugált dupla pólusk az s-sík képzetes tengelyén. Egy rendszer BIBO (Bunded Input Bunded Output) stabil ha a kimenő jele krláts bármilyen krláts bemenő jelre. u(t) N < > y(t) M <

2 A stabilitás és a pólusk visznya látható a következő ábrán: Stabilitás vizsgálata y(t)c.e p t + c.e p t + + c n.e p n t > Re(p x ) < 0 Tehát a rendszer aszimpttikusan stabil, ha a karakterisztikus egyenlet gyökei a bal félsíkban vannak. Nyquist stabilitási kritérium A Nyquist stabilitási kritérium segítségével, a visszacsatlás felbntásával létrehztt rendszer Nyquist görbéje segítségével következtetünk a zárt rendszer stabilitására. A gyakrlatban a legtöbb esetben a felnyittt rendszer önmagában stabil. Ha a felnyittt rendszer átviteli függvényének a jbb félsíkban nincs pólusa, a zárt rendszer akkr és csakis akkr stabil, a ffelnyittt rendszer frekvenciafüggvény a (, j 0) pntn nem megy át, vagy azt nem veszi körül, miközben ωváltzik a (, + ) intervallumban.

3 H( s) H( s) a zárt rendszer pólusai az +H(s)H(s) zérósai. + H H a) Egyszerűsített Nyquist kritérium Hf(s) H(s)H(s) Ha Hf(s)-nek nincsenek jbb ldali pólusai és a Hf(s) Nyquist diagramja nem veszi körül a (-,0) pntt, akkr a zárt rendszer stabil. b) Ha a nyílt rendszer labilis > a zárt rendszer akkr stabil, ha a Hf Nyquist diagramja annyiszr veszi körül a (-,0) pntt trignmetriai irányban, amennyi a nyílt rendszer (Hf) instabil pólusainak száma. 3

4 Relatív stabilitás, fázistartalék, erősítéstartalék A felnyittt rendszer BODE diagramjáról lelvasható a rendszer fázistartaléka illetve az erősítési tartaléka. A fázistartalék a Nyquist-diagram és az egységnyi sugarú kör metszéspntját az rigóval összekötő sugár és a negatív valós tengely által bezárt szög. Az egységsugarú körnek a BODE-diagramn a 0 db tengely felel meg. Az egységsugarú kör és a a Nyquist-diagram metszéspntjának a 0 db tengely és a lgaritmikus amplitudó-diagram metszéspntja felel meg. Ha ehhez a metszéspnthz a fázis körfrekvencia jelleggörbén éppen a 80 szög tartzik, a rendszer stabilitás határán van. Ha a metszéspnthz 80 -nál kisebb szög tartzik, a fázistartalék negatív, a rendszer müködése instabil. A stabilitást az erősítési tartalék alapján is vizsgálhatjuk. Ha a 80 -s szöghöz tartzó amplitudó éppen egységnyi, vagyis d [db] 0 akkr a rendszer a stabilitás határán van, ha d [db] < 0 akkr a rendszer stabil, ha meg d [db] > 0 akkr a rendszer instail. (Lásd a következő ábrát). φ(t) arg[h d (jωc)] + 80 H 0 *lg( ), db vagy H ( j * ω * f ) f H f ( ω * f ) tehát ha φt > 0 a rendszer stabil φt 0 a rendszer a stabilitás határán van φt < 0 a rendszer instabil φ(ωf) -80 4

5 Feladatk. ( s+ 5 H s) s 3s + 4s + 0s + 5s 0 Vizsgáljuk meg a stabilitást a gyökök előjele segítségével. H tf(num,den) Ples rts(num) Pzmap(H) ábrázlás 0. H d ( + 0s)( + s) a) Vizsgáljuk meg a zárt rendszer stabilitását egységnyi negatív visszacsatlásra Nyquist kritériummal. b) Ellenőrízzük az eredményt a pólusk vizsgálatával. c) Ha tízszeresére növeljük az erősítést stabil marad-e a rendszer? 5 3. Legyen H d ( 0s)( + 0.s) a) Vizsgáljuk meg a zárt rendszer stabilitását. b) Ellenőrizzük az eredményt a pólusk vizsgálatával. k( s) 4. Legyen H d ( + s)( + 0.5s) a) Milyen k értékre lesz a zárt rendszer stabil? b) Vizsgáljuk meg a k-re illetve a k-re. 5. Legyen H d (0.5 + s)( s + s + ) a) Számítsuk ki a fázistartalékt illetve az erősítéstartalékt. [gm,ρm,ωg,ωc] margin(hd) -ábrázlás margin(hd) b) A Bde diagramt használva vizsgáljuk meg a rendszer stabilitását. Kérdések. A lineáris rendszereknél a stabilitás glbális vagy lkális jellemző?. Mi a különbség az aszimpttikus illetve a BIBO stabilitás között? 3. Mi a feltétele a lineáris diszkrét rendszerek stabilitásának? 4. Milyen más módszereket ismertek a stabilitás vizsgálatára? 5

Hasonló dokumentumok

SZABÁLYOZÁSI KÖRÖK 2.

Irányítástechnika (BMEGERIA35I) SZABÁLYOZÁSI KÖRÖK 2. 2010/11/1. félév Dr. Aradi Petra Zárt szabályozási körrel szemben támasztott követelmények tulajdonság időtartományban frekvenciatartományban pontosság